等比數(shù)列知識點總結(jié)與典型例題

1、等比數(shù)列知識點總結(jié)與典型例題1、等比數(shù)列的定義：anq qan 10 n2,且nN*，q稱為公比2、通項公式：n 1ana1qan-qA Bna1q 0,AB 0，首項：a1;公比：qq推廣：anna1qmn mqanqJarn mamIam3、等比中項：(1)如果a,A,b成等比數(shù)列，那么A叫做a與b的等差中項，即：A2ab或A、.不注意：同號的兩個數(shù)才有等比中項，并且它們的等比中項 有兩個(2)對任何m,n N,在等比數(shù)列an中，有a“amqn m4、5、6、7、(2)數(shù)列an是等比數(shù)列等比數(shù)列的前n項和Sn公式:(1)當(dāng)q 1時，Sn(2)當(dāng)q 1時，Sn等比數(shù)列的判定方法:(1)(2)

2、(3)na1a11a11 q用定義：對任意的等比中項：an2通項公式:an等比數(shù)列的證明方法:依據(jù)定義：若-a qan 1等比數(shù)列的性質(zhì):2anan 1an 1a1nn,都有nnAAB ABA(A, B,A,B為常數(shù))an 1an 1an 1(an 1an 1BnA2,且nqan或旦丿q(q為常數(shù)，a“0)a“為等比數(shù)an0)an為等比數(shù)列an為等比數(shù)列N*或an 1qana“為等比數(shù)列4208(3)若m n S t(m, n, s,t N),則anamasat。特別的，當(dāng)m n 2k時，得anamak：aana2an 1a3an 2等差和等比數(shù)列比較：等差數(shù)列等比數(shù)列定義遞推公式;通項公式(

3、)中項()()前項和重要性質(zhì)amanaPaq(m, n, p,q N*,m n P q)amanaPaq*(m, n, p, q N ,m n P q)經(jīng)典例題透析類型一：等比數(shù)列的通項公式例1等比數(shù)列an中，a1a964,a3a720,求a11.思路點撥：由等比數(shù)列的通項公式，通過已知條件可列出關(guān)于a1和q的二元方程組，解出a1和q,可2由得：aQ (1 a0 .由得：(ae4)21 q(4)得：2qq4) 20.得an；或注意到下標(biāo)1 93 7,可以利用性質(zhì)可求出a3、a7，再求a11.解析:法一：設(shè)此數(shù)列公比為q,則a3a7a1a1q2a1q646a1q20(1)64,a1q4852，4

4、2082q45q22 :0,解得2q 2或2q12當(dāng)q22時， 印2,a11a1q1064；2當(dāng)q1時,a32,a1a10q1.2- 二 .a1a9a3a764,又a3a720 a3、a7為方程2X20 x640的兩實數(shù)根,a316a34或a74a7162a3a11a7,an2a71或a1164.a3總結(jié)升華：1列方程（組）求解是等比數(shù)列的基本方法，同時利用性質(zhì)可以減少計算量；2解題過程中具體求解時，要設(shè)法降次消元，常常整體代入以達降次目的，故較多變形要用除法（除式不為零）舉一反三：【變式1】an為等比數(shù)列，a=3,a9=768,求a6?！敬鸢浮?6法一：設(shè)公比為q,則768=aq8,q8=2

5、56, q=2, a6=96;2法二：a5=a1a9a5=48 q=2,a6=96?！咀兪?】an為等比數(shù)列，an0,且aa89=16,求a44a45a46的值?！敬鸢浮?4;. a89a4516，又an0,a45=4 a44a45a46a4564。2-7a1aq aq72C【變式3】已知等比數(shù)列an,若aa?a37,a1a2a38，求an?！敬鸢浮糠ㄒ?.a1a32a： , aa2a3aa1CI35從而,解之得a11,&心34當(dāng)a11時,q2;當(dāng)a14時，故an2* 1或a23 n n2。32a3n 13 nan2或an2；8 , a2a法二：由等比數(shù)列的定義知4,a31a2ag,a

6、32a1q代入已知得a1aq aq821 351 3a1(1 q q )7,a1(13 3a1q 8解得q243 a1,131 r3364243【變式2】已知：a為等比數(shù)列,1219；a1a2a3=27,S=13,S5.【答案】121或.3a?27 a213印 （13q )1 q、1q 3或q,貝Ua1=1或a1=93 S5121或S5=1219q2) 7,(1)aq將a1-代入(1)得2q25qq由(2)aa以下同方法一。類型例2.設(shè)等比數(shù)列an的前n項和為S,若SS+S6=2S9,求數(shù)列的公比q.解析：若q=1,則有S3=3a1,S6=6a1,S9=9a1.因a10,得S3+S52S9,顯

7、然q=1與題設(shè)矛盾，故q1.等比數(shù)列的前n項和公式a1(1 q3)印(1 q6)26(1 q9)由S32S9得，1 q整理得q3(2q6-q3-1)=0,由q0,得2q6-q3-1=0,從而(2q3+1)(q3-1)=0,因q31,故q31,所以q舉一反三:【變式1】求等比數(shù)列11,1丄9的前6項和。【答案】364；21 351 3【變式3】在等比數(shù)列an中，aan66,a?a.1128,Sn126,求n和q。36a1q【答案】1q或2,n 6;2Va2an 1a1an，a1an128aa 128a164亠a12解萬程組,得或a1an66an2an64將a164代入Sn印anq,得q1an21

8、q2由anaiqn 1,解得n6;將a2代入Sna1anq,得q2,an641q由ann 14 ,raq,解得n6。q1或2,n 6。2類型-1：等比數(shù)列的性質(zhì)例3.等比數(shù)列an中,若a5a69,求log3a1log3a2解析：V an是等比數(shù)列，a1a10a2a9a3asa4a7a5.lg3ai0-log3a10369 log3a1log3a2舉一反三：lg3(aia255a3L a10) Iog3(a5a6)log3910【變式1】正項等比數(shù)列an中，若a1a100=100;貝yIga1+lga2+.+lga100=【答案】100;/lga1+lga2+lga3+.+lga100=lg(a

9、1a2a3a100)而a1a100=a2a99=a3a98=.=a50a51原式=lg(a1a100) =50lg(a1a100)=50lg100=100。827【變式2】在8和27之間插入三個數(shù)，使這五個數(shù)成等比數(shù)列，則插入的三個數(shù)的乘積為32【答案】216;法一：設(shè)這個等比數(shù)列為an,其公比為q，8a13,a52724ag4 4q,q8116 a：a3a42a1q a1q3a1q法二：設(shè)這個等比數(shù)列為an,公比為63216。q,則277，【變式3】在等比數(shù)列an中，aan66,a?a.1128,Sn126,求n和q。36a1q加入的三項分別為a2,a3,a4,23 a2a3a4a3a3a3

10、216O類型四：等比數(shù)列前n項和公式的性質(zhì)44444444例4.在等比數(shù)列a中，已知Sn48,S2n60,求S3。思路點撥：等差數(shù)列中也有類似的題目，第2個k項和，第3個k項和，第解析：法 :令b=S=48, b2=S2n-Sn=60-48=12,b3=S3n-S2n觀b=a+a2+.+an,+a2n=qn(a1+a2+a3n=qb2=an+an+2+b3=a2n+1+a2 n+2+我們?nèi)匀徊捎玫炔顢?shù)列的解決辦法，即等比數(shù)列中前n個k項和仍然成等比數(shù)列。+ an),2n(a1+a2+.+an)k項和,易知b1,b2,b3成等比數(shù)列， SBn=b3+S2n=3 + 60=63.b3比122b48

11、3,法二：S2n251, q1,a1(1 q)48由已知得1qa1(1 q2)601 q得d51 q即q144代入得a164,1 q3 、S3na1(1 q )64(14)63 o1 q4法三：a為等比數(shù)列，Sr1,S2nSn,S3( S2nSn)Sn( S3nS2),S32(S2Sn)S2(60蠡6063 oSI48舉一反三:【變式1】等比數(shù)列an中, 公比q=2, S4=1,則S8=【答案】17；S2n也成等比數(shù)列,由題意a,a3,a5也成等比數(shù)列，2a32736,故a36,2S8=S4+a5+a6+a7+a8=S4+a1q +a2q +a3q +a4q =S4+q (a1+a2+a3+a

12、4)=S4+q S=S4(l+q )=1(1+2 )=17【變式2】已知等比數(shù)列an的前n項和為S且S10=10, S20=40,求：S。=?【答案】130;2法一：Sl0,S20-S10,S30-S20構(gòu)成等比數(shù)列，.(S20-S10) =So(S30-S20)2即30 =10(S30-40),S30=130.法二：2Si0S20,q 1, S10a1(1 q10)10 ,S20a1(120q )401 q1 q101 q1 .10Ca1JI20Iq3, -51 q41qS30a1(1 q )(5)(133)130.1 q【變式3】等比數(shù)列an的項都是正數(shù)，若3=80,S2n=6560,前n

13、項中最大的一項為54,求n.【答案】 -Sn遼，q 1(否則蛍 丄)S2n6560S2n2a1(1 qn)Sn -=80 (1)1 qS2na1(Iq)=6560.(2),1 q(2)(1)得：1+qn=82, qn=81 (3)該數(shù)列各項為正數(shù)，由(3)知q1an為遞增數(shù)列，an為最大項54.an=a1qn-1=54,a1qn=54q,81a1=54q.(4)5422a1q q代入(1)得q(1 81) 80(Iq),8133q=3,n=4.【變式4】等比數(shù)列an中，若a1+a2=324, a3+a4=36,則a5+a6=_.【答案】4;24令b1=a1+a2=a1(1+q)，b2=a3+a

14、4=a1q (1+q),b3=a5+a6=a1q (1+q),b2362易知：b1, b2, b3成等比數(shù)列，b3=-=4,即a5+a6=4.b324【變式5】等比數(shù)列an中，若a1+a2+a3=7,a4+a5+a6=56,求a7+a8+a9的值?！敬鸢浮?48;33/ an是等比數(shù)列，(a4+a5+a6)=(a1+a2+a3)q ,q =8,3a7+a8+a9=(a4+a5+a6)q =568=448.類型五：等差等比數(shù)列的綜合應(yīng)用例5.已知三個數(shù)成等比數(shù)列，若前兩項不變，第三項減去32，則成等差數(shù)列若再將此等差數(shù)列的第二項減去4,則又成等比數(shù)列求原來的三個數(shù)思路點撥：恰當(dāng)?shù)卦O(shè)元是順利解方程

15、組的前提考慮到有三個數(shù)，應(yīng)盡量設(shè)較少的未知數(shù)，并將其設(shè)為整式形式解析：法一：設(shè)成等差數(shù)列的三數(shù)為a-d, a,a+d.則a-d, a, a+d+32成等比數(shù)列，a-d, a-4, a+d成等比數(shù)列.2a(a d)(a d 32).(1)2(a 4)(a d)(a d).(2)由得a=d 16.8由(1)得32a=d +32d. (4)8(3)代消a,解得d?或d=8.3826當(dāng)d時，a；當(dāng)d=8時,a=1039原來三個數(shù)為,26,338或2,10,50.999法二：設(shè)原來三個數(shù)為a, aq, aq2,貝U a, aq,aq2-32成等差數(shù)列，a, aq-4,aq2-32成等比數(shù)列2aq a a

16、q232.(1)2 2(aq 4) a(aq32)(2)2由 得a,代入(1)解得q=5或q=13q 42當(dāng)q=5時a=2;當(dāng)q=13時a -.9原來三個數(shù)為2,10,50或2,生，338.999總結(jié)升華：選擇適當(dāng)?shù)脑O(shè)法可使方程簡單易解。一般地，三數(shù)成等差數(shù)列，可設(shè)此三數(shù)為a-d, a, a+d;若三數(shù)成等比數(shù)列，可設(shè)此三數(shù)為-,X, xy。但還要就問題而言，這里解法二中采用首項a,公比q來解y決問題反而簡便。舉一反三：【變式1】一個等比數(shù)列有三項，如果把第二項加上4,那么所得的三項就成為等差數(shù)列，如果再把這個等差數(shù)列的第三項加上32,那么所得的三項又成為等比數(shù)列，求原來的等比數(shù)列【答案】為2

17、,6,18或-10 50；999設(shè)所求的等比數(shù)列為a,aq,aq2;I I r2一2 2則2(aq+4)=a+aq,且(aq+4) =a(aq +32);2解得a=2,q=3或a,q=-5；9故所求的等比數(shù)列為2,6,18或-I10,50.999【變式2】已知三個數(shù)成等比數(shù)列，它們的積為27,它們的平方和為91,求這三個數(shù)?！敬鸢浮?、3、9或一1、3、一9或9、3、1或一9、3、一1設(shè)這三個數(shù)分別為a, a, aq,qa aaq 27a 3由已知得q212a2 2 2aC2q21) 912a a q 91qq得9q482q2290,所以q9或q219即q3或q 故所求三個數(shù)為：1、3、9或一

18、1、3、一9或9、3、1或一9、3、一1?！咀兪?】有四個數(shù)，其中前三個數(shù)成等差數(shù)列，后三個數(shù)成等比數(shù)列，并且第一個數(shù)與第四個數(shù)的和 是16，第二個數(shù)與第三個數(shù)的和為12，求這四個數(shù).【答案】O，4，8，16或15，9，3，1；設(shè)四個數(shù)分別是x,y,12-y,16-x2y x 12y. (12 y)2y(16 x).2由(1)得x=3y-12,代入(2)得144-24y+y =y(16-3y+12)2 2 2. 144-24y+y =-3y +28y, 4y -52y+144=0,2. y -13y+36=0, y=4或9，. x=0或15，四個數(shù)為0，4，8，16或15，9，3，1.類型六：

19、等比數(shù)列的判斷與證明例6.已知數(shù)列an的前n項和Sn滿足:log5(Sn+1)=n(nNL),求出數(shù)列的通項公式，并判斷an是 何種數(shù)列？思路點撥：由數(shù)列an的前n項和S可求數(shù)列的通項公式，通過通項公式判斷an類型.解析：/log5(Sn+1)=n,Sn+1=5n,S=5n-1 (nZ), 1a1=S1=5 -1=4,當(dāng)n2時，an=Sn-Sn-1=(5n-1)-(5n-1-1)=5n-5n-1=5n-1(5-1)=45n-1n-11-1而n=1時，45 =45 =4=a1,nNL時，an=45n-1由上述通項公式，可知an為首項為4,公比為5的等比數(shù)列.舉一反三：【變式1】已知數(shù)列Cn,其中

20、G=2n+ 3n,且數(shù)列Cn+1-pCn為等比數(shù)列，求常數(shù)P。【答案】p=2或p=3; Cn+1-pCn是等比數(shù)列，對任意nN且n2，有(Cn+1-PCn) =(Cn+2-pCn+1)(Cn-pCn-1)n nn+1n+1n n 2n+2n+2n+1n+1n nn-1n-1I G=2 +3 ,(2 +3)-p(2 +3 )=(2+3 )-p(2+3 )(2 +3 )-p(2+3 )即(2-P)2n+(3-p)3n2=(2-p)2n+1+(3-p)3n+1(2-P)2n-1+(3-P)3n-11整理得：(2p)(3 p) 2n3n0,解得：p=2或p=3,6顯然G+1-pCn0，故p=2或p=3

21、為所求.【變式2】設(shè)an、bn是公比不相等的兩個等比數(shù)列，G=an+bn,證明數(shù)列Cn不是等比數(shù)列.【證明】 設(shè)數(shù)列an、bn的公比分別為p, q,且pq為證Cn不是等比數(shù)列，只需證C1C3C；. Cf (a1P b1q)2a12p2bf2q22a1b1pq,222 22 22G C3 b1)(a1Pb1q ) a1p b1q22.CIC3C2a1b1( P q),又TPq, a10, b10,數(shù)列Cn不是等比數(shù)列【變式3】判斷正誤：(1)an為等比數(shù)列a7= a3a4;若b2=ac，則a，b，C為等比數(shù)列;C220即G C3an,bn均為等比數(shù)列，則anbn為等比數(shù)列;an是公比為q的等比數(shù)列，貝Ua：、若a,b,C成等比，則Iogna,IOgmb,IOgmC成等差.【答案】錯；a7=a1q6,a3a4=a1q2aq3=a2q5,等比數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)要求項數(shù)相同;錯；反例：02=00,不能說0,0