解決排列組合問題的常用方法

1、解決排列組合問題的常用方法1.特殊元素，優(yōu)先處理；特殊位置，優(yōu)先考慮 例1：六人站成一排，求 甲不在排頭，乙不在排尾的排列數(shù) （）A.504 B.520 C.480 D.532答案：A分析：法1:先考慮排頭，排尾，但這兩個(gè)要求相互有影響，因而考慮分類。 第一類：乙在排頭，有A(5.5)種站法。 第二類：乙不在排頭，當(dāng)然他也不能在排尾，這時(shí)候有4種選擇即C(4.1)，還剩5個(gè)位置，甲不能再排頭所以只有4種選擇C(4.1)，剩下的全排列，即有C(4.1)C(4.1)A(4.4)種站法。2.反面考慮法法2: 全排列減掉甲在排頭的、乙在排尾的、再加上他們多減的部分（正好甲在排頭，乙在排尾） A(6.6

2、)-A(5.5)*2+A(4.4) =504例2：某單位邀請(qǐng)10名教師中的6位參加一個(gè)會(huì)議，其中甲乙兩位不能同時(shí)參加，則邀請(qǐng)的不同方法有多少種（）A.84 B.98 C.112 D.140答案：D解析：法1:甲參加，乙不參加，有C(8.5)=56種 乙參加，甲不參加，有C(8.5)=56種 甲，乙都不參加，有C(8.6)=28種 則邀請(qǐng)的不同方法有56+56+28=140種法2:從反面考慮，甲乙都參加，有C(8.4)=70種 C(10.6) -C(8.4)=1403.捆綁法例3：A、B、C、D、E五人排成一排，其中A、B兩人必須站在一起，共有（）種排法。A.120 B.72 C.48 D24答

3、案：C解析:將A、B捆綁一起，與C、D、E一起排，共有種排法，A、B又有種排法，共有種排法。例4：從單詞“equation”選5個(gè)不同的字母排成一排，且含有qu（其中qu相連且順序不變），共有（）種排法。A.120 B.480 C.720 D840答案：B解析：從剩下的6個(gè)字母里選3個(gè)，有C(6，3)=20， 再將這3個(gè)字母和qu全排列A(4.4)=24 所以共有20×24=480種排法4.錯(cuò)位排列錯(cuò)位排列問題：有封信和個(gè)信封，每封信都不裝在自己的信封里，比如： 2封信就有1種裝法；3封信的具體裝法 12,23,31和13,21,32就有2種裝法；隨著信封數(shù)目的增多，這種問題也隨之復(fù)

4、雜多了。應(yīng)用集合中的容斥原理，我們就可得到“裝錯(cuò)信封問題”的數(shù)學(xué)模型的求解公式，請(qǐng)牢記：設(shè)這個(gè)數(shù)的錯(cuò)位排列數(shù)為，當(dāng)時(shí)，經(jīng)過枚舉我們可以得到：例5：甲乙丙丁四個(gè)同學(xué)站成一隊(duì)，從左到右數(shù)，如果甲不排在第一個(gè)位置，乙不排在第二個(gè)位置，丙不排在第三個(gè)位置，丁不排在第四個(gè)位置，那不同的排法有幾種？A.9 B.11 C.12 D24答案：A 5.間接計(jì)數(shù)法.(排除法) 例6： 三行三列共九個(gè)點(diǎn)，以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)可組成多少個(gè)三角形? A.79 B.71 C72 D76答案：D分析：有些問題正面求解有一定困難，可以采用間接法。所求問題的方法數(shù)=任意三個(gè)點(diǎn)的組合數(shù)-共線三點(diǎn)的方法數(shù)，C(9.3)-8 例7：正方體

5、8個(gè)頂點(diǎn)中取出4個(gè)，可組成多少個(gè)四面體? 分析：所求問題的方法數(shù)=任意選四點(diǎn)的組合數(shù)-共面四點(diǎn)的方法數(shù)， 共C(8.4)-12=70-12=58個(gè)。 6.分配插板什么時(shí)候使用插板法呢？有兩個(gè)前提：1）相同的東西進(jìn)行分配；2)每人至少分一個(gè)；例8：（河南政法2010A-41）把9個(gè)蘋果分給5 個(gè)人，每人至少分一個(gè)蘋果，那么不同的分法有多少種？（）A.70 B.40 C.50 D60答案：A分析: 9個(gè)蘋果排成一排，形成8個(gè)空，插4個(gè)擋板，就可以把這9個(gè)蘋果分成5份，并且每份至少1個(gè)，例9：10個(gè)名額分配到八個(gè)班，每班至少一個(gè)名額，問有多少種不同的分配方法? 分析：把10個(gè)名額看成十個(gè)元素，在這十

6、個(gè)元素之間形成的九個(gè)空中，選出七個(gè)位置放置檔板，則每一種放置方式就相當(dāng)于一種分配方式。因而共種。 例10：個(gè)教師分配到個(gè)班參加活動(dòng)，每班至少人，有幾種不同的分法？錯(cuò)解： 把個(gè)老師排成一排，中間投入四塊擋板：|，只要在塊擋板中任取塊，一共有種不同的方法.錯(cuò)因： 個(gè)教師是互不相同的，而用擋板時(shí)，要求這些元素必須相同.即把問題改為：把個(gè)名額分配給個(gè)班，每班至少有人.問有幾種不同的分法？個(gè)名額是沒有區(qū)別順序的.可用擋板法解決.正解：先把位老師分成三堆，有兩類：、和、2、2分別有和種，再分到三個(gè)班里，共有種.7.等價(jià)轉(zhuǎn)換當(dāng)考試題目和實(shí)際問題比較接近時(shí)。我們一定要將其轉(zhuǎn)換成我們呢熟悉的等價(jià)數(shù)學(xué)模型例11：

7、馬路上有編號(hào)為1,2,3,4,5,6,的6只路燈，為了節(jié)約用電，現(xiàn)要求把其中的兩只燈關(guān)掉，但不能關(guān)掉相鄰的兩只，也不關(guān)掉兩端的路燈，則滿足條件的關(guān)燈方法共有幾種？（）A.2 B.3 C.4 D5答案：B分析：等價(jià)轉(zhuǎn)換，假設(shè)有4個(gè)白球排成一排（中間3個(gè)空，不包括端點(diǎn)2個(gè)空），將2個(gè)黑球插入到白球構(gòu)成的空中，最后得到的6個(gè)球就相當(dāng)于6只路燈，白球代表亮的，黑球代表關(guān)掉的.8.分組法例12.  6本不同的書 (1) 分給甲乙丙三人，每人兩本，有多少種不同的分法?  (2) 分成三堆，每堆兩本，有多少種不同的分法？ (3) 分成三堆，一堆一本，一堆兩本，一堆三本，有多少種不同的分法？ (4) 甲一本，乙兩本，丙三本，有多少種不同的分法? (5) 分給甲乙丙三人，其中一人一本，一人兩本，第三人三本，有多少種不同的分法? 分析 (1) 分給甲乙丙三人，每人兩本，有多少種不同的分法? C(6.2)C(4.2)(2) 分成三堆，每堆兩本，有多少種不同的分法？ C(6.2)C(4.2)/A(3.3)(3) 分成三堆，一堆一本，一堆兩本，一堆三本，有多少種不同的分法？ C(6.3)C(3.2)(