粘性流體力學(xué)

1、 粘性流體力學(xué)閻超北京航空航天大學(xué) (3.14) 第四章 邊界層理論 2、邊界層方程n設(shè)直勻流V平行流過一長度為l的平板，坐標(biāo)系如圖： n當(dāng)某個y處的速度為層外自由流速(V)的99%時，該點(diǎn)到物體表面的距離稱為邊界層在該點(diǎn)的厚度，記為。顯然 是x的函數(shù)，(x)。n設(shè)邊界層很?。?(x) ln此時的二維不可壓N-S方程為n V01122222222yvxuyvxvypyvvxvutvyuxuxpyuvxuutun取V和l 為特征速度和特征長度，所以x l （這里 表示兩端有相同的量級），y ，x方向的速度uV，n容易推知：n連續(xù)方程中各項(xiàng)量級應(yīng)相等：n所以：lVxu222lVxuVyu222Vy

2、ulVxuyvylVdylVv， ， 322lVxvlVyv222lVxvn根據(jù)NS方程，可以假設(shè)非定常項(xiàng)與慣性項(xiàng)同量級，可推知局部速度發(fā)生變化的時間量級為l/V,于是：n根據(jù)NS方程，壓力項(xiàng)總是與慣性項(xiàng)同量級；根據(jù)邊界層定義，層內(nèi)粘性力與慣性力具有同一量級 ，即分別有：n便可以得到：n所以為使 l，必須使Re1，這時邊界層方程才成立。22VvlVlVxp2122lVtvlVxuutu22/1eRVlln根據(jù)上述量綱估計(jì)，引入如下無量綱量：n這些無量綱量及其導(dǎo)數(shù)都是同一量級，將他們帶入二維不可壓NS方程，整理后，可得：20,/,/,/,/VpppVvRvVuulVttlyRylxxeen由上述

3、知，邊界層方程成立的條件是必須使Re1，所以忽略去上方程中1/Re以上的小量，并將有量綱帶回，則有邊界層方程n這表明邊界層內(nèi)壓力的法向梯度近似為零，只是x的函數(shù):p=pe(x) ,下標(biāo)e表示邊界層外邊緣的量。221yuxpyuvxuutu0yp0yvxunpe(x)可由邊界層外無粘區(qū)的壓力分布來決定。無粘區(qū)的速度只有x方向的分量Ue，則無粘區(qū)NS方程簡化為：n將該式帶入上述邊界層方程，這樣NS方程在邊界層內(nèi)簡化為n邊界條件：x0,y=0: u=v=0(固壁無滑移條件) x0,y: u(x,y,t)Ue(x,t) （外流無粘條件） x0）作用下，層內(nèi)流體質(zhì)點(diǎn)受到“逆壓”和“粘性”兩方面的阻滯，使

4、動能迅速損失，就會在某處耗盡所有動能而滯止下來又由于愈靠近物面，流速愈小，所以這種情形總是在物面附近首先發(fā)生一旦這種情形發(fā)生，根據(jù)連續(xù)性要求，下游流體便在“逆壓”梯度作用下發(fā)生倒流兩股流體相匯的結(jié)果是回流流體把從上游來的流體“擠”出物面，使邊界層內(nèi)流體進(jìn)入流體深處這種現(xiàn)象稱為邊界層分離分離示意圖n邊界層定常分離點(diǎn)一定發(fā)生在逆壓梯度區(qū)，因?yàn)樵谖锩嫔纤俣葹榱?，定常邊界層方程簡化為：n所以，存在粘性和逆壓力梯度是流體發(fā)生分離的必要條件。 n可將分離點(diǎn)定義為緊鄰壁面的順流和倒流流體的分界點(diǎn)，即 n這就是普朗特的二維定常邊界層分離判據(jù)。n目前，三維定常分離判據(jù)和非定常判據(jù)還在探索中。n邊界層分離后會將勢

5、流區(qū)向外推移很大的距離，邊界層假設(shè)不再成立，邊界層方程不再適用。分離實(shí)例第四章 邊界層理論4、邊界層方程的近似解n一般情況下，邊界層方程無解析解。目前，常用3種方法得到邊界層方程的近似解：相似性解、動量積分方程方法、CFD（計(jì)算流體力學(xué)）。n幾個基本定義： 邊界層的位移厚度 ：相比較無粘流，由于邊界層的存在使自由流流線向外推移的距離（形象的說：對于無粘流動，由于邊界層的存在，好像使物體增加了該厚度，而流量保持不變）： 同樣，粘性引起動量的損失，也可以定義一動量損失厚度或簡稱動量厚度，它表示由于邊界層的存在損失了該厚度的自由流流體的動量流率：01dyUue01dyUuUueen由于邊界層方程與N

6、S方程相比作了一定的簡化，既沒有能使原方程線化也沒有能使它降階，所以在1904年發(fā)表后的幾年內(nèi)并沒有有效的應(yīng)用。直到1908年平板邊界層精確解的發(fā)現(xiàn)，得到了阻力與來流速度的3/2冪成正比的規(guī)律。這是在流體力學(xué)發(fā)展史上，首次能夠用理論方法準(zhǔn)確地計(jì)算大雷諾數(shù)繞流問題的摩擦阻力，因此平板邊界層解在邊界層理論中具有特殊重要的意義。n邊界層相似解法的理論依據(jù)： 由無量剛邊界層方程可知，方程中不含Re數(shù)，也就是說其解不依賴Re數(shù)，所以對于兩個不同Re數(shù)，但具有相同無量剛邊界條件的流動，在邊界層內(nèi)流場圖像應(yīng)滿足一個相似變換關(guān)系。這個原則稱為Re數(shù)相似原理。第四章 邊界層理論4、邊界層方程的近似解n邊界層相似

7、解法的典范：Blasius解： 研究均勻定常來流沿?zé)o窮長平板的流動：由于邊界層很薄，外部勢流區(qū)中速度處處近似等于來流速度U=Ue，勢流區(qū)的壓力在x方向上的梯度為零，邊界層方程為： 邊界條件22yVyVVxVVxxyxx0yVxVyxyUVyVVxyx，00n以邊界層厚度為特征量，引入無量綱坐標(biāo)n假定無量綱流向速度由無量綱變量唯一確定，即 n相應(yīng)的流函數(shù)是 n由此可以得到相應(yīng)的法向速度 Uxy/ fUVx xU f ffRUxVexy2n其中 。將以上速度表達(dá)式帶入邊界層方程后，整理得到 n這是一個關(guān)于f的三階非線性常微分方程，這就是著名的 Blasius方程，其邊界條件為： n很多人提出過不同

8、的Blasius方程解法，至今仍有人研究?，F(xiàn)在一般使用泰勒級數(shù)展開解法/UxRex 20fff fff0001 ,n右圖為Blasius方程的解。n知道了邊界層內(nèi)的速度分布，就可以計(jì)算出所需要的其它量，如磨擦阻力、邊界層厚度、渦量等邊界層重要特性。n目前只有少量流動可以用的邊界層相似解法，大量的流動是非相似的。第四章 邊界層理論4、邊界層方程的近似解n動量積分方程方法n其基本思想是利用邊界條件先給出邊界層內(nèi)用未知單參數(shù)表示的近似速度剖面，再利用建立起來的積分關(guān)系確定該參數(shù)沿流向的變化，從而求出整個問題的解。該方法的基礎(chǔ)是卡門動量積分關(guān)系式n動量積分法是將引人了薄剪切層近似的動量方程、能量方程以

9、及連續(xù)方程分別沿剪切層厚度方向積分，把這些二維偏微分方程變?yōu)殛P(guān)于某些典型參數(shù)的常微分方程，再利用一些通過實(shí)驗(yàn)建立的經(jīng)驗(yàn)關(guān)系式，最后解出這些典型參數(shù)沿流向的變化。這一方法最早是由馮卡門于1921年引人的，他得出了著名的動量積分方程。1958年，赫德（Head）對連續(xù)方程積分引入了裹入方程（entrainment），這些方程不僅可用于近似計(jì)算，也可用于定性分析。n目前，能量積分方程用得很少，不擬進(jìn)一步討論。 第四章 邊界層理論專題討論n邊界層及其控制是目前國內(nèi)外流體力學(xué)、空氣動力學(xué)的研究熱點(diǎn)和前沿問題。n希望同學(xué)們廣泛閱讀國內(nèi)外有關(guān)的論文、書籍、報(bào)告等，寫出論文，重點(diǎn)是自己的見解和感受。n推薦的方向： （1）邊界層減阻：減阻方式及其效果，如仿生減阻 （2）邊界層分離及其控制：包括邊界層吹吸、振蕩或俯仰、加裝旋轉(zhuǎn)體、 聲激勵、旋渦發(fā)生器、多段翼等等 （3）激波、邊界層干擾 （4）邊界層計(jì)算n建議暫時不要涉及的邊界層方面的問題： 層流邊界層控制、邊界層轉(zhuǎn)捩n高難度題目：從“哥倫比亞”號航天飛機(jī)失事談邊界層氣動加熱第四章 邊界層理論專題討論n建議研究方式： 參閱新出版的流體力學(xué)、空氣動力學(xué)、飛行器設(shè)計(jì)等方面的書籍、刊物，刊物方