直線與圓問題研究

1、直線與圓問題研究直線與圓問題研究杭州第十四中學杭州第十四中學 馬茂年馬茂年與圓有關的一些問題與圓有關的一些問題圓的定義圓的定義 為為定定值值為為定定點點為為動動點點ROPRPO,11 圓的標準方程圓的標準方程(x-x0)2+(y-y0)2=R2圓心：圓心：C(x0,y0) ,半徑：半徑：R)(sincos00為參數參數方程RyyRxx圓心在原點的圓方程圓心在原點的圓方程x2+y2=R2 , C(0,0) , 半徑半徑R)(sincos:為為參參數數參參數數方方程程 RyRx切點為切點為(x1,y1)的切線方程的切線方程:x1x+y1y=R2切點為切點為(Rcos,Rsin)的切線方的切線方程程

2、:xcos+ysin=R21kRkxyk的切線方程已知斜率為圓心在原點的圓方程圓心在原點的圓方程 x2+y2=R2 , C(0,0) , 半徑半徑R 切點弦切點弦:自點自點(x0,y0)引曲線的兩切引曲線的兩切線線,其切點的連線稱為點其切點的連線稱為點(x0,y0)關于此曲關于此曲線的切點弦線的切點弦.圓心在原點的圓方程：圓心在原點的圓方程： x2+y2=R2 , C(0,0) , 半徑半徑R 點點(x0,y0)關于圓關于圓x2+y2=R2的切點的切點弦方程為弦方程為:x0 x+y0y=R2 .圓的一般方程圓的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0FEDrEDC42221,2,2半徑圓心 =D

3、2+E2-4F，當，當0時，方程表示時，方程表示實圓；實圓； 0時，表示點圓；時，表示點圓； 0時，時，表示虛圓表示虛圓(無軌跡）。無軌跡）。圓的一般方程圓的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=00F2yyE2xxDyyxx:y,x111111的切線方程切點為FEyDxyxPP:,P,y,xP002020101000長為切線切點為引圓之切線自根軸與共軸圓束根軸與共軸圓束 到兩不同心的已知圓到兩不同心的已知圓 x2+y2+Dix+Eiy+Fi=0(i=1,2)的切線長相等的點的軌跡稱為此圓的根的切線長相等的點的軌跡稱為此圓的根軸軸.共根軸的圓束稱為共軸圓束共根軸的圓束稱為共軸圓束.根軸方程根軸

4、方程:(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0.共軸圓束方程共軸圓束方程: x2+y2+D1x+E1y+F1+(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0 (-1).問題（問題（1）直線與圓位置關系探求直線與圓位置關系探求題組（題組（1）：試確定下列直線與圓的位置關系）：試確定下列直線與圓的位置關系例例1 直線直線m：x=1，圓，圓C：x2+y2=1， 位置關系。位置關系。例例2 直線直線m：y=2，圓，圓C：x2+y2=4， 位置關系。位置關系。相切相切相切相切問題（問題（1） 直線與圓位置關系探求直線與圓位置關系探求題組（題組（2）：試確定下列直線與圓的位置關系）：試確定下列直線與圓

5、的位置關系例例3 直線直線m：x=2，圓，圓C：x2+y2=1， 位置關系。位置關系。例例4 直線直線m：y=4，圓，圓C：x2+y2=4， 位置關系。位置關系。相離相離相離相離問題（問題（1） 直線與圓位置關系探求直線與圓位置關系探求題組（題組（3）：試確定下列直線與圓的位置關系）：試確定下列直線與圓的位置關系例例5 直線直線m：x=2，圓，圓C：x2+y2=16， 位置關系。位置關系。例例6 直線直線m：y=3，圓，圓C：x2+y2=25， 位置關系。位置關系。相交相交相交相交問題（問題（1） 直線與圓位置關系探求直線與圓位置關系探求題組（題組（4）：試確定下列直線與圓的位置關系）：試確定

6、下列直線與圓的位置關系例例7 直線直線m：x+y=1，圓，圓C：x2+y2=1， 位置關系。位置關系。例例8 直線直線m：x+y= ，圓，圓C：x2+y2=1， 位置關系。位置關系。相交相交相切相切2問題（問題（1） 直線與圓位置關系探求直線與圓位置關系探求題組（題組（5）：試確定下列直線與圓的位置關系）：試確定下列直線與圓的位置關系例例9 直線直線m：xcos+ysin=1，R，圓圓 C：x2+y2=1，位置關系。，位置關系。拓廣：若拓廣：若A=（x，y） xcos+ysin=1，R，則，則 CuA =。相切相切（x，y）x2+y21問題（問題（1） 直線與圓位置關系探求直線與圓位置關系探求

7、題組（題組（6）：試確定下列直線與圓的位置關系）：試確定下列直線與圓的位置關系例例10 點點M（x0，y0）是圓）是圓x2+y2=a2（a0）內不）內不為圓心的一點，則直線為圓心的一點，則直線m：x0 x+y0y=a2，與該圓的，與該圓的位置關系是。位置關系是。拓廣拓廣：（：（1）點點M（x0，y0）是圓）是圓x2+y2=a2（a0）上）上一點，則一點，則 直線與圓的位置關系為直線與圓的位置關系為 。（2）點）點M（x0，y0）是圓）是圓x2+y2=a2（a0）外一點，）外一點，則則 直線與圓的位置關系為直線與圓的位置關系為 。相離相離相切相切相交相交小結提高小結提高直線與圓直線與圓位置關系位

8、置關系定定 義義理理 解解判判 斷斷核心概念核心概念方法方法(步驟步驟)知識知識方法方法思想思想總結（一）：直線與圓總結（一）：直線與圓把直線方程代入圓的方程把直線方程代入圓的方程得 到 一 元得 到 一 元 二 次 方 程二 次 方 程計計 算算 判判 別別 式式 0, 直直 線線 與與 圓圓 相相 交交 = 0, 直直 線線 與與 圓圓 相相 切切 R, 直直 線線 與與 圓圓 相相 離離 d = R, 直直 線線 與與 圓圓 相相 切切 d R, 直直 線線 與與 圓圓 相相 交交問題（問題（2）動圓圓心軌跡問題動圓圓心軌跡問題題組（題組（7）：試求同時與定直線）：試求同時與定直線m和定

9、圓和定圓C都相切的都相切的動圓圓心的軌跡方程動圓圓心的軌跡方程例例2 直線直線m：x=0，圓，圓C：（：（x-2）2+y2=4， 動圓圓心軌跡方程為。動圓圓心軌跡方程為。例例1 直線直線m：x=-2，圓，圓C：（：（x-2）2+y2=4， 動圓圓心軌跡方程為。動圓圓心軌跡方程為。例例3 直線直線m：x=2，圓，圓C：（：（x-2）2+y2=4， 動圓圓心軌跡方程為。動圓圓心軌跡方程為。問題（問題（2）動圓圓心軌跡問題動圓圓心軌跡問題題組（題組（7）：試求同時與定直線）：試求同時與定直線m和定圓和定圓C都相切的都相切的動圓圓心的軌跡方程動圓圓心的軌跡方程例例1 直線直線m：x=-2，圓，圓C：（

10、：（x-2）2+y2=4， 動圓圓心軌跡方程為動圓圓心軌跡方程為。y2=12（x+1）或）或 y2=4（x-1）問題（問題（2）動圓圓心軌跡問題動圓圓心軌跡問題題組（題組（7）：試求同時與定直線）：試求同時與定直線m和定圓和定圓C都相切的都相切的動圓圓心的軌跡方程動圓圓心的軌跡方程例例2 直線直線m：x=0，圓，圓C：（：（x-2）2+y2=4， 動圓圓心軌跡方程為動圓圓心軌跡方程為。y2=8x（x0）或）或y=0（x0，x2）問題（問題（2）動圓圓心軌跡問題動圓圓心軌跡問題題組（題組（7）：試求同時與定直線）：試求同時與定直線m和定圓和定圓C都相切的都相切的動圓圓心的軌跡方程動圓圓心的軌跡方

11、程例例3 直線直線m：x=2，圓，圓C：（：（x-2）2+y2=4， 動圓圓心軌跡方程為動圓圓心軌跡方程為。y2=-4（x-3）（）（x2）或）或 y2=4（x-1）（）（x2）小結提高小結提高動點軌跡動點軌跡定定 義義理理 解解求求 法法核心概念核心概念步驟步驟知識知識方法方法思想思想總結（三總結（三) 求動點軌跡方程求動點軌跡方程的的要點要點 1. 根據題目所給條件根據題目所給條件,建立建立等等量關系量關系并討論動點并討論動點軌跡范圍軌跡范圍； 2. 化簡方程化簡方程,應考慮是否要加應考慮是否要加以條件限制或者加以補充以條件限制或者加以補充,而后確而后確定軌跡；定軌跡； 3. 考慮問題要考

12、慮問題要全面全面，做到，做到仔細認真仔細認真； 4. 題目中出現題目中出現字母字母表示數時表示數時,應對應對字母字母加以討論加以討論; 5. 如果題目中要求如果題目中要求動點的軌跡動點的軌跡,則在解答中除了求出動點的軌跡方則在解答中除了求出動點的軌跡方程外程外,還需要指明這個方程所表示的還需要指明這個方程所表示的曲線形狀、位置和大小曲線形狀、位置和大小。如果題目。如果題目中要求動點的中要求動點的軌跡方程軌跡方程，那么只須，那么只須求出軌跡方程即可。求出軌跡方程即可。 求曲線方程的一般求曲線方程的一般步驟步驟1.1.建建立適當的坐立適當的坐標標系，設動點系，設動點M M的坐標的坐標( (x x，

13、y)y)；2.2.寫寫出適合條件出適合條件p p的的點點M M的集合的集合P=M|p(M);P=M|p(M);3.3.用坐標用坐標表示表示條件條件p(M)p(M)，列出方程，列出方程f(xf(x，y)=0y)=0；4.4.化簡化簡方程；方程；5.5.證明證明化簡以后的方程的解為坐標的點都是曲線化簡以后的方程的解為坐標的點都是曲線上的點。上的點。 求與圓求與圓(x 2)2 + y2 = 9相切且與相切且與y軸相軸相切的動圓圓心軌跡方程。切的動圓圓心軌跡方程。（答案：（答案：y2=10 x+5，y2=-2x+5）拓展提高拓展提高1. 試求過定點且與定圓相切的動圓試求過定點且與定圓相切的動圓 圓心軌跡。圓心軌跡。2. 試求同時與兩定圓相切的動圓圓試求同時與兩定圓相切的動圓圓心軌跡。心軌跡。1、閱讀作業(yè)：閱讀作業(yè)：通讀教材通讀教材(講義講義)直線與圓有關的概直線與圓有關的概 念和知識點念和知識點，達到復習和鞏固達到復習和鞏固。2、書面作業(yè)：書面作業(yè)：見下見下 頁。頁。3、彈性作業(yè)彈性作業(yè)： 上上 課講解中的課講解中的三種情