數學之旅作業(yè)及答案

1、第一單元客觀題1、 愛因斯坦創(chuàng)立廣義相對論時用到了以下什么重要的數學工具？CA、數論B、歐式幾何C、黎曼幾何D、線性代數2、下面這個方程有沒有整數解？方程:護普爐護有沒有整數解？ AA、有 B、沒有3、以下哪個是孿生素數對？ BA、11,17 B、17,19 C、7,9 D、11,194、圓與橢圓在以下哪個數學分支中可看作一樣？ BA、代數 B、拓撲 C、幾何 D、分析5、 具有同樣周長的以下列圖形哪個面積更大？BA、正三角形B、圓C、正六邊形D、正四邊形6、 以下漢字哪一個可以一筆不重復地寫出？DA、甲 B、目 C、田 D、日7、偶數與正整數哪個多？ D A、無法確定B、正整數C、偶數D、一

2、樣多8、數列極限趨于0的直觀定義的弱點是下面哪一點？ CA、罵人不帶臟字B、過于代數化C、缺乏可操作性D、沒提到09、 課程中費曼的故事告訴我們懂得一件事情最重要的是下面列出的哪一條？CA、大象比茶杯高B、記得數字C、找到感覺 D、恐龍24英尺高10、 超弦理論中蜷縮的空間可以用下面那個空間來描述BA、Euclid 空間 B、Calabi-Yau 空間 C、Minkowski空間 D、Hilbert 空間第一單元思考題1、哈密頓周游世界問題這是以英國數學家哈密頓名字命名的一個游戲，在一個正十二面體的二十個頂點為什么是二十個頂點上分別標上一個城市名，問可否設計一條路線， 沿著正十二面體不重復周游

3、二十個城市如圖，為什么?解，如下列圖圖中所示的路線就可以實現不重復周游二十個城市。整個棋盤呢?2、如圖一個黑白相間的 8*8的國際象棋棋盤，去掉左上角和右下角的兩個白顏色的格子，給31張多米諾骨牌，骨牌的大小正好蓋住兩個格子，那我們可否用這31張骨牌蓋住1、不可以，31張骨牌能蓋住62個格子，其中一定是 31個黑格 子和31個白格子； 而棋盤除掉兩個角后，也是剩下 62個格子， 但是其中有32個黑格子，30個白格子；3、所以骨牌不能將黑格 子蓋完，即不能蓋住剩下的整個棋盤。第二單元客觀題1、 下面哪一位人物用窮竭法證明了圓的面積與其直徑平方成正比？DA、劉徽B、歐幾里得C、阿基米德D、歐多克索

4、斯2、 以下什么成果是阿基米德首先得到的？ C )A、圓的面積與其直徑的平方成正比B、窮竭法 C、拋物線弓形的面積 D、圓周率的值3、 阿基米德求幾何級數的和用的是什么方法？ CA、平衡法B、窮竭法C、幾何的方法D、代數的方法4、歐多克索斯、阿基米德和劉徽等人對微積分的奉獻主要表達在什么方面？ CA、函數B、不定積分C、定積分D、微分學5、?一種開展連續(xù)不可分量的新幾何學的方法?是以下哪位數學家的著作？CA、伽利略B、開普勒C、卡瓦列里D、牛頓6、現在我們一直在用的"函數function 這個詞是誰引進的？ CA、牛頓B、費馬C、萊布尼茲D、卡瓦列里7、 本課程提到的最美的風景點是指

5、？CA、流數術B、不可分量C、牛頓-萊布尼茲公式D、加百列號角8、 一直沿用至今的& - 3語言是哪位數學家引入的？ CA、康托爾B、牛頓C、魏爾斯特拉斯D、傅立葉9、康托爾所創(chuàng)立的什么理論是實數以至整個微積分理論體系的根底？ CA、群論B、虛數理論C、集合論D、量子理論10、下面關于黎曼可積和勒貝格可積的論述那一項為哪一項正確的？ CA、兩種積分函數類都是不完備的第二單元客觀題十匸方十6C、黎曼可積函數類是不完備的，勒貝格可積函數類是完備的B、黎曼可積函數類是完備的，勒貝格可積函數類是不完備的D、兩種積分函數類都是完備的1、試用阿基米德的方法求下面幾何級數的和解 所小. 形9等分 怯

6、9等分 分，涂黑H 等于所仆裁 因為1 j每類似F阿呈米德求兒何級數扌十千十十務十 我們取一個邊長為1的正方形對邊進行三等分， 接右把左下角的格子涂黑而積猊，然Ju再把右 涂忙左下ffi的-個恪子而積為擊、接右再把右丨 圧下角格子面積為占*依法繼續(xù)下龍 色格子的面積和，而所有黑色格子的面積利 個接色格子等而積的移子邯仃8個，故？廠:履的方法“ 從而將單一位：上角的格子依 用的小格子9筈 顯然所求級數的和剛好 總面積的趴這是L2、計算下述問題并解釋。計算加百列號的外表積與體積，并解釋為何在這個號角里面灌滿油漆，油漆的體積是有 限的，但它卻能夠涂滿無限的外表積?解*求解繪而扶弓體積需耍屮到積分的知

7、識=加白列號角是函數妙二 乂 1繞花T軸旋轉而成的°山旋轉曲而而積計算公貞得農而積1丁d戈=+oc,r/1 +> 2tt如果我們把汕漆F成現實中的油漆.那么你矣發(fā)現由于藕漆分子具仃 定的尺皮人小，囚而在對角很細的地方，油漆是進不左的。但是， 當我們把油漆看成理想狀杰下可無限謝分的時候.收仝出規(guī)冇Z 體積的汕沬灌満了均角.開且涂滿r無報外表積的情形。再舉一個例 子，比方如何用帆位體積的可無限細分的理懇油漆漆滿榕個2維¥而。n，然總川*體枳的汕漆漆滿網格+ 右體積的油漆漆滿皿號網格彊疼.剛耳十缶十"十貴十-=1林積的油漆漆訓樂個T ift 我們可以這么做，首先把

8、平面用單位網幣剖分，由于是可列的，因此 可以進行編1,2嚴，然肩川*體積的油漆漆満1號網格，右體 積的油漆漆滿卽；網格3、舉例說明黎曼積分中積分號和極限號有時不可交換，并給出可交換時需要的條件。解；設&工=琳h 衛(wèi)燦函數屮匕久在區(qū)問CM I:收斂到函 數£ = 1從而/ liiii Sn I dj：二 0,Jn g但足廣n21翹厶 = n + l2n+l = ?故此時積什號與極限號不可交換。町交換的條件是；1屈敕序叫凡和阿：項們仏可逬紋:2.函數序列snxy在丘廚上一致收斂于sh.即：對任意林定的疋存在仗淀有關的1E整數jVfejin N何時，禺一 S町討 '切37

9、口川成；匚第三單元客觀題1、以下四個定義中，哪個不能作為Rn中的度量距離？ DA、點帆必三曲廠=乳| .：垃=注B、雉 = |1 一 如-I+ %_曲|c、d込訕=晶 的十D、峽門 - I - ：1 - .-門2、度量的三個根本屬性中不包括以下哪一個？ DA、三角不等式B、對稱性C、正定性D、連續(xù)性 3、以下關于度量和范數的說法中正確的選項是？ AA、由距離可以定義范數，但由范數不可以定義距離B、由范數可以定義距離，但由距離不可以定義范數C、由范數不可以定義距離，由距離也不可以定義范數D、由范數可以定義距離，由距離也可以定義范數4、以下說法中不正確的選項是？對栄芒，假設LT為的范數，那么以下說

10、法中不正確的選項是？a、對處用飛疋有k +訓0胡ITMB、對也E屈，有閏®C、 假設入為實數，那么有=入I圍ID、 假設.k打忠，貝U'5、以下現象可以用什么原理來解釋？ 在三維空間中，波的傳播有清晰的前后陣面，但是在二維空間中卻沒有A、惠更斯原理 B、疊加原理C、泊松原理D、達朗貝爾原理6、以下選項中正確的選項是?以下向量組中哪個不能構成 FQ的基向量A、0，1，1，2，B、1，0，-1丨，2，C、0，1，1，-1，D、1，0，0，0，1，1， 1，0，01，1， 1，1，11，0， 1，2，11，1， 0, 0，17、以下哪個選項是正確的?假設向量 a= 1，0，5，2

11、丨，b= 3，-2，3，-4 丨，c=-1，1，t，3線性相關，那么t的值為？8、以下選項正確的選項是?A、一. B、 C、財 D、9、以下說法哪一個是正確的？向量組 g 碌i嚴虹;線性無關的充分必要條件是？A、 齊次線性方程組-'只有零解B、 齊性線性方程組'-'有非零解c、 齊性線性方程組詢酬一心d 卜隔緞"有無窮多個非零解d、齊性線性方程組 w+ "賁罰有不唯一解10、以下哪個屬性不是內積所具有的？D、正定性A、三角不等式B、對稱性C、對第一個變元的線性性第二單兀思考題1、試驗證以下問題給定一個集合M =,試驗證下面兩個集族是否構成集合M上的拓

12、撲？“.Mm血何.間、踞利偽眾碼瓦科2). A 0；擁“h泗呱血叭他碼碼飢七只需耍逐個驗證是仲滿足構成拓撲的條件即(1"構成集介M上的拓撲。容易驗證 (0 4內任意個集合的并仍屬于4 厲)4內有限個集介的交仍屬 TA； (iii) 0和M屬A.(2)占不構成集合M 的拓撲。因為仙娜&,<: = &軍A.不滿足4內有 限牛集合的交仍屬M這個性質12、驗證下述問題。隨著網絡的迅速開展，人們越來越多的使用e-mail聯(lián)系和交流。試通過任意兩人之間在一段時間內的e-mail交流的次數來定義一個距離，使得交流多的距離近，交流少的距離遠， 并驗證它滿足度量距離的三條屬性。解

13、：這個距離的也義育很多，只要滿足度量的條性質即可.人家打分 的時候汴垃&比方，記人全體為萬 幾中任總兩亍人兒B.記他們兩人在一段時間內 inai咬流次數為fc(A.B)c那么我們對以運義兩人的距離為1 _ i+機0.if A豐玖 if A = B.下面驗證這個距離函數満足度量的-：條“計I :(i非負性顯織冇p(A.B> ilp(A.B) = 且僅SA = B：(ii) 對稱性顯然成立：(iii) 一：角爾,乍式VA, D.CeC,仃J p(九 E) + p(B.C),if A = C oi- A = B or B = C.pAX 2<pA.B)±pB C), o

14、thers,第四單元客觀題1、 函數？(x)=x2+5x+4在實數域上的不動點是什么？BA、-4 ；B、-2 ；C、-1 ； D、0。2、假設你正在一個圓環(huán)形注意是圓環(huán)形的公園內游玩，手里的公園地圖不小心掉到了地上，問此時地圖上是否有一點，使得這個點下面的地方剛好就是它在地圖上所表示的位置？ AA、有；B、沒有；C、不確定。A、有；B、沒有;C、不確定。4、定義在0,1上的連續(xù)函數空間是幾維的？DA、1 維；B、3 維；C、11 維；D、無限維。3、慢慢攪動咖啡，當它再次靜止時，問咖啡中是否有一點在攪拌前后位置相同？5、假設把一圓周繞著圓心旋轉90。，問在圓周上是否有不動點？ AA、有;B、沒

15、有;C、不確定。6、美籍法裔經濟學家 G. Debreu 由于什么奉獻而獲得了 1983 年的諾貝爾經濟學獎？ C A、創(chuàng)立了一般均衡理論；B、在非合作博弈的均衡理論方面做出了開創(chuàng)性奉獻;C、運用不動點理論進一步開展了一般均衡理論；D 、對資產價格的實證分析。7、以下哪種表達了壓縮映像的思想？DA、攪動咖啡；B、顯微成像；C、壓縮文件；D、合影拍照。8、電影“ A beautiful mind 中男主人公的原型既是一位經濟學家，又是一位大數學家， 他的名字是？ B A 、 G. Debreu ；B、 J.F. Nash ；C、 L.V. Kantorovich ；D 、 Adam SmithA

16、9、假設你正在一個圓形的公園內游玩，手里的公園地圖不小心掉到了地上，問此時你能否 在地圖上找到一點，使得這個點下面的地方剛好就是它在地圖上所表示的位置？A、能；B、不能；C、不確定。10、以下陳述哪一項為哪一項正確的？ B A、任意維空間中的有界無窮集合必有收斂子列；B、有限維空間中的有界無窮集合必有收斂子列，無窮維那么不然；C、任意維空間中的有界無窮集合不一定有收斂子列；D 、無窮維空間中的有界無窮集合必有收斂子列，有窮維那么不然。 第四單元思考題1、試述均衡的方法。假設消費者甲有6輛自行車，0臺電腦，消費者乙有3輛自行車，6臺電腦。甲和乙都想1/2用于自行車，1/2用于電腦，請找到一種定價

17、方式使之到達供求均衡？解：設自行車定價為X,電腦定價為Y.并設最終甲有自行車 k輛，電腦L臺，那么乙最終有自行車9-k輛電腦6-L臺.基于條件可列如下等式：對甲：6X=kX+LY;kX=LY=6X*1/2;得到 k=3,L=3X/Y.對乙：3X+6Y=(9-k)X+(6-L)Y;(9-k)X=(6-L)Y=(3X+6Y)*1/2;代入 k=3 得 L=2,3X=2Y.可記 X=2t,Y=3t(t>0).綜上所述，在自行車定價為2t電腦定價3t條件下可使供求到達平衡此時，甲有自行車 3輛電腦2臺，乙有自行車6輛電腦4臺。2、雙煎餅問題有兩張形狀任意的煎餅，任意重疊在一起，問能夠一刀切下去，

18、同時將兩煎餅二等分嗎，如果能，請說明理由。解：能。以下把煎餅抽象成平面上的封閉凸域理由如下：先給個簡單小引理：即對一個煎餅，不管相對F形狀如何，必可切一刀，使它面積二等分。請見.1附件咯再應用連續(xù)函數的介值定理即可對于凹域可以轉化為多個凸域證明。三煎餅問題證明不重疊情形：針旋轉到0X 0與兩圖形相交。證明過程請見附件第五單元客觀題1、擬微分算子在20世紀60年代成為了一種系統(tǒng)的數學理論，它的集大成者為以下哪位數 學家？ AA、L.Hormander ；B、A.Calderon ; C、Shing-Tung Yau； D、H.Cartan.2、有一段聲樂可以用y=a sin (bt)來表示，那么

19、這段聲樂的音量是由其中哪個數值決定的AB、b ；C、ab ；D、a/b。3、間斷函C心二：蠱數能不能由Fourier級數表出？A、無法確定；B、不能；C、能。sin mx sinnTt/T (其中 mg 口)4、式子一斤的值為？ AA、0 ；B、1 ；C、-1 ；D、n。A、0.01 , 200 ;B、0.01 , 400 ; C、0.02 , 200 ; D、0.02 , 400。6、頻率表示的是物體每單位時間每秒振動的次數，它是以什么為單位的？ AA、赫茲；B、庫侖；C、特斯拉；D、歐姆。7、光的三原色是什么？ D A、紅藍黃；B、藍綠黃；C、紅綠黃；D、紅藍綠。8、 以下哪個著作可視為調

20、和分析的發(fā)端？ BA、?自然哲學的數學原理?；B、?熱的解析理論?；C、?代數幾何原理?；D、?幾何原本?。9、 振動快的波相對于振動慢的波稱為什么波？ BA、低頻波；B、高頻波。10、 分數階導數可以由什么理論來定義？ BA、不動點原理;B、Fourier分析；C、泰勒級數；D、超弦理論。第五單元思考題1、f(x)是周期為2卞的函數, 且= 寫出f(x)的Fourier級數/(z) = + y(anCiS7ijr + bnsinm).其中Fourier系數% = 呂 f打 /(t) cosTwdij 虬 = +f 何 sina.求出an總分值25分 b.求出bn總分值25分2、求調制信號的表

21、達式。如果載波信號為% =臥心訕,調制信號為吩="“曲",那么經過調幅后的已調其中5，k是波的表達式"沖M = “ Wl"心域f = Up(i十UJ rasSZtJcosf,個比例常數。試用上面給出的調幅信號的表達公式來求解以下問題：一個載波信號為 氐=Szj，經過調制后的已調波為小 口 = ( UMJ 4- 25Qf) co目J*，假設比例常數k=1，求調制信號的表達式。第六單元客觀題1、皮亞諾曲線是一條填滿正方形的曲線，那么它的相似維數是多少呢？ B )A、1 B、2C、3 D、In4/ln32、科克曲線的Hausdo市 維數是多少？ CA、1B、2

22、 C、In4/ln3D、4/33、一個外徑為3，內徑為2的圓環(huán)的Hausdorff維數是多少？ CA、1B、3/2C、2 D、In3/ln24、 以下和混沌與分形最不相關的是？AA、三角初等函數；B、尤利亞集；C、曼德勃羅集；D、科克曲線。5、費根鮑姆Feigenbaum丨在研究混沌理論時，發(fā)現前兩個分叉點參數距離是后兩個分 叉點參數距離的4.669倍，這個現象說明了？ BA、長期天氣不可預測;B、非線性系統(tǒng)造成的混沌中有一定規(guī)律；C、混沌現象不可捉摸；D、偶然發(fā)現，不說明什么。6、 假設= 那么a是周期為多少的點呢？ CA、1 ；B、2 ；C、3 ；D、4。7、具體到每時每刻的長期天氣預報是

23、可能的嗎，為什么？ AA、不可能，由于蝴蝶效應；B、可能，不解釋；C、可能，人定勝天；D、不可能，因為科學不夠興旺。8、蝴蝶效應指的是初始值的微小變化可以極大地影響結果，可以用于股票、天氣等一段時間內難以預測的復雜系統(tǒng)中，那么蝴蝶效應來源于誰的發(fā)現呢？AA、洛倫茲；B、牛頓；C、笛卡爾；D、歐幾里得。9、科克曲線所圍的圖形面積是有限的嗎？ AA、有限；B、無限；C、不確定；D、其他。10、 為了使肺泡與空氣有更多的接觸面，人的肺泡結構十分復雜，其外表的Hausdo市 維 數是多少呢？ DA、1 ；B、2 ；C、3 ；D、接近于 3。第六單元思考題1、試做下述練習題。設生成科克曲線(Koch curve)的初始三角形為邊長為 1的單位正三角形。(i)試求出科克曲線所圍圖形的面積;(ii)證明科克曲線長度為無窮大。圖將圖、圖、圖中的圖形依次記作M、吒、Mh設M,的邊長為1 ° *城的邊數為an, X的面積為仏岡的長度匚報由附詢遞推公式霽込I' W y/32 6所以殆為等比數列，其通項公式為色=3 - 4-/J 1(1)圏的面積£二，圖的面積歸=+-x4