數(shù)學(xué)建模之灰色預(yù)測模型

1、、灰色預(yù)測模型簡介P372特點：模型使用的不是原始數(shù)據(jù)列，而是生成的數(shù)據(jù)列。優(yōu)點：不需要很多數(shù)據(jù)，一般只用 4個數(shù)據(jù)就能解決歷史數(shù)據(jù)少，序列的完 整性和可靠性低的問題。缺點：只適用于中短期的預(yù)測和指數(shù)增長的預(yù)測。1、GM(1,1)預(yù)測模型GM(1,1)表示模型為一階微分方程，且只含有一個變量的灰色模型。1.1模型的應(yīng)用 銷售額預(yù)測 交通事故次數(shù)的預(yù)測 某地區(qū)火災(zāi)發(fā)生次數(shù)的預(yù)測 災(zāi)變與異常值預(yù)測，如對旱災(zāi)，洪災(zāi)，地震等自然災(zāi)害的時間與程度進行 預(yù)報。百度文庫 基于GM(1,1)模型的廣州市人口預(yù)測與分析下載的文檔 網(wǎng)絡(luò)輿情危機預(yù)警下載的文檔1.2步驟 級比檢驗與判斷由原始數(shù)據(jù)列x(0) (X(0

2、) (1),X(0) (2),x(0)(n)計算得序列的級比為(k)x(0) (k 1),k 2,3，n.假設(shè)序列的級比(k) 模。光滑比為2 2(ee71)，貝U可用x(0)作令人滿意的GM(1,1)建p(k)x(0)(k)1(0) X假設(shè)序列滿足-P(k 1) 1,k 2,3,n 1; p(k)p(k) 0, ,k 3,4，,n;0.5.那么序列為準(zhǔn)光滑序列。否那么，選取常數(shù)c對序列x(0)做如下平移變換y(0) (k)x(0)(k) c,k 1,2，,n,序列y(0)的級比y(k)y0(k 1)y(0) (k),k 2,3，n. 對原始數(shù)據(jù)x(0)作一次累加得x(x(1),x(2),X(

3、1)(n)(x(0)(1 , x(0)(1+x(0)(2),x(0)(1)x(0)(n).建立模型：ax(1)b,1dt構(gòu)造數(shù)據(jù)矩陣B及數(shù)據(jù)向量Yz1x(0) (2)B.z1 ,Yx(0)z(n)x(0) (n)其中：z(k) 0.5x(k) 0.5x(1 (k 1),k 2,3，,n. 由a T 1 Tu?門(btb) 1btyb?求得估計值a?=i?= 由微分方程1得生成序列預(yù)測值為x>(1)(k 1) x(0) (1) g 1，k 0,1，,n 1,a a那么模型復(fù)原值為00)(k 1) X(1(k 1) 0),k 1,2,n 1,. 精度檢驗和預(yù)測殘差(k)x(0)(k) 00)

4、(k),k 1,2，,n,相對誤差I(lǐng) (k)| x(0)(k)相對誤差精度等級表精度等級一級 優(yōu)二級 良三級 合格四級 不合格相對誤差0.010.050.10.2級比偏差(k) 11 0.5a1 0.5a假設(shè)k0.2那么可認(rèn)為到達一般要求；假設(shè) k0.1，那么可認(rèn)為到達較高要求。利用matlab求出模型的各種檢驗指標(biāo)值的結(jié)果如表骨口. 序號年份原始值預(yù)測值殘差相對誤差級比偏差1經(jīng)過驗證，給出相應(yīng)預(yù)測預(yù)報。2、新陳代謝模型灰色新陳代謝模型是一個不斷考慮新信息的預(yù)測模型，它考慮了隨著時間推 移相繼進入系統(tǒng)的擾動因素帶來的影響，在不斷補充新信息的同時，及時去掉 舊信息，使整個系統(tǒng)一直處于更新和開展的

5、過程中，更符合現(xiàn)實世界的變化。與GM1,1模型相比，既能充分發(fā)揮傳統(tǒng) GM1,1模型僅利用少量數(shù)據(jù)，就能獲得較高預(yù)測精度的優(yōu)點，又能反映出數(shù)據(jù)的變化趨勢，從而使預(yù)測結(jié)果的精度 獲得更進一步的提高。局限性在于該模型適合預(yù)測具有較強指數(shù)規(guī)律的序列 ， 只能描述單調(diào)變化的過程。2.1模型的應(yīng)用 深圳貨運量預(yù)測；下載文檔 天津市城市人均住宅建筑面積及非農(nóng)業(yè)戶籍人口總數(shù)預(yù)測下載文檔； 網(wǎng)絡(luò)輿情危機預(yù)警下載文檔。2.2步驟 建立新陳代謝數(shù)據(jù)序列原始數(shù)據(jù)列x(0)(x(o)(1),x(o)(2),X(0)(n)，用最新信息x(0)(n 1)替換最初數(shù)據(jù) x(0) (1)，即得到新陳代謝數(shù)據(jù)序列y(0)(x(

6、0) (2),x(0)(n),x(0)(n 1)。 后續(xù)步驟同GM(1,1)模型。 用計算出的最新結(jié)果再次替換最初信息x(0) (2)得到新序列重復(fù)步驟，以此類推，將計算結(jié)果制表并分析。3、波形預(yù)測波形預(yù)測，是對一段時間內(nèi)行為特征數(shù)據(jù)波形的預(yù)測。當(dāng)原始數(shù)據(jù)頻頻擺動 且擺動幅度較大時，可以考慮根據(jù)原始數(shù)據(jù)的波形預(yù)測未來的行為數(shù)據(jù)開展變 化，以便進行決策。從本質(zhì)上來看，波形預(yù)測是對一個變化不規(guī)那么的行為數(shù)據(jù)列 的整體開展進的預(yù)測。3.1模型的應(yīng)用 區(qū)域降水量預(yù)測下載文檔 運量需求不平衡航線下客流量預(yù)測下載文檔 網(wǎng)絡(luò)輿情危機預(yù)警下載文檔3.2步驟 求出序列折線由原始數(shù)據(jù)列x (x(1),x(2),x

7、(n)得出序列X的k段折線圖形為xkx(k) (x k) x(k 1) x(k)序列X的折線為Xkx(k) (xk) x(k 1) x(k) | k 1,2，n 1 選取等高線maxmaxx(k),minmnx(k)那么有1i0min ,1( maxmin 丿min ,1( maxmin丿sss 1s(minmax)min , smax。0,1,2,s)smin)如果xk的i段折線上有等高點'那么坐標(biāo)為(i爲(wèi)%) 等高點的計算解方程Xk=Y得到折線Xk與丫的交點x(0) (i)=(為，x(xj)(i 1,2，)，即丫等高占八、 x(0) (i)構(gòu)成等高時刻序列，求出各等高時刻序列的GM

8、(1,1)預(yù)測 得出波形預(yù)測畫出波形圖，并分析。4、Verhulst 模型Verhulst模型主要用來描述具有飽和狀態(tài)的過程，即S型過程。常用于人口預(yù)測、生物生長、繁殖預(yù)測和產(chǎn)品經(jīng)濟壽命預(yù)測等。例如B題艾滋病療法的評價及治療預(yù)測4.1步驟 模型的建立對原始數(shù)據(jù)x(0)(x(0) (1),x(0) (2),x(0)(n)作一次累加得x(x(1),x(2)，,X(1)(n)(x(0)(1,x(0)(1+X(0)(2),X(0)X(0)(n).令z(k) 0.5x(k) 0.5x(k 1),k 2,3，n,得x的均值生成序列為z(z(2),z(3),z(1)( n).那么得到灰色Verhulst模型

9、為(0) (1) (1)2x az b(z )灰色Verhulst模型的白化方程為axb(x(1)22 參數(shù)求解構(gòu)造數(shù)據(jù)矩陣B及數(shù)據(jù)向量丫zz(1 )(2) 2x(0 )(2)Bzz)2丫x(0)z(1)( n)z(1)( n)2x(0) (n)u? c(BTB) 1BTYb?求得估計值刃=|?= 解微分方程2得灰色Verhulst模型的時間序列響應(yīng)為通過累減復(fù)原得X(k 1)ax(0)(i)bX(0)(i)a>bX(0)(i)e和(k 1)爐樂 1) X(1(k). 精度檢驗和預(yù)測 同GM(1,1)模型。例題：某地區(qū)年平均降雨量數(shù)據(jù)如表1。規(guī)定=320,并認(rèn)為x(0)(j)為旱災(zāi)。預(yù)測

10、下一次發(fā)生的時間表1某地區(qū)年平均降雨量數(shù)據(jù)年1丄345<5789 1390 6斗12320559.2380.8542 4553310501年10111213r 14151617300632>40466.2313.B5765S7.6118.5解：模型的建立:列出原始數(shù)據(jù)列x(0)(x(0)(1),x(0)(2),x(0"n)，確定在x(0)320s的條件下的下限災(zāi)變數(shù)列x0與其相對應(yīng)的時刻數(shù)列t(0)計算光滑比p(k)t(0) (k)t(0) (i)判斷序列t(0)是否滿足滿足P(k 1)P(k)1,k2,3,，5;p(k) 0, ,k 3,4,5;0.5.對數(shù)列t(0)做

11、1次累加，得t 建立GM(1 1)模型dtdtat(1)b,1 構(gòu)造數(shù)據(jù)矩陣B及數(shù)據(jù)向量丫z(2)1x(0)z(3)1YX(0)J *z(1)(n)x(0)( n)其中：z (k) 0.5t (k) 0.5t (k 1),k2,3,5. 由a T1 TU? °(BtB) 1btyb?求得估計值a, ?。 由微分方程1得生成序列預(yù)測值為0)(k 1)x(0)舟 e “ b，k 0,1，,n 1,a a那么模型復(fù)原值為00)(k 1) >?(1)(k 1) 0),k 1,2，,n 1,.預(yù)測到第6個和第7個數(shù)據(jù)。模型的求解1根據(jù)題得：原始數(shù)據(jù)列 x(0)(390.6,412,320,559.2,380.8,542.4,553,310,561,300,632,540,406.2,313.8,576,587.6,318.5)因為當(dāng)x(0) 320s時的x(0) (i)為異常值，可得下限災(zāi)變數(shù)列為x0 (320,310,300,313.8,318.5)與其相對應(yīng)的時刻數(shù)列為：t(0) = (