(全國通用)中考數學難點攻克：“K”字型幾何相似題型突破與練習

1、中考數學重難考點突破-“K”字型幾何相似題型研究與練習相似基本圖形中除了常見的“A”字型、X”字型相似外，還有一個“K字型相似，也常用丁各種相似圖形中“K”字型相似由特殊到一般， 題型往往豐富多彩， 也是近幾年中考題中常見的一種基本圖形.了解一個基本圖形，有助丁我們在復雜圖形中滲透其中的奧秘，從而找到解決問題的突破口.類型1“K字型相似基本圖形1圖1例1條件：如圖1,B,C,E三點共線，/B=ZAC6ZE=90.結論：ABSzXCED.請證明結論正確【分析】(1)證明兩個三角形相似有哪些方法？除了ZB=ZE=ZACD之外，圖中還可以找出哪些角相等？【答案】(1)證明兩個三角形相似常用的判定方法

2、有：兩角對應相等的兩個三角形相似；兩邊對應成比例且火角相等的兩個三角形相似；三邊對應成比例的兩個三角形相似等.(2)根據余角的性質還可以得到ZA=ZDCEZAC&ZD,從而可證得AB(ACED.【應用】如圖2,已知點A(0,4),B(4,1),BCx軸丁點C,點P為線段OC上一點，且PMP則點P的坐標為.【分層分析】(1)根據“K”字型相似，圖中可以找到哪兩個三角形相似？根據相似三角形乂可以得到怎樣的比例式？設P(x,0),貝U根據比例式列出方程即可求得x的值，從而得到點P的坐標.【解題方法點醒】K”字型相似基本圖形1,在丁尋找三個直角相等，熟記基本圖形有利丁快速找到相似三角形，從而通

3、過建立方程解決問題.【答案】【分層分析】一.AOOPAOAPCB所以豈由PCCB設P(x,0)，因為A8。妥4,BO1,所以ORx,PO4-x,所以4x=；,解得x=2,從而得到點P的坐標為(2,0).4xI答案(2,0)解析.PAPB,ZAPOZBP(90.ACKx軸，.ZAPOZPAO=90,ZPAOZBPC.乂B如x軸，Adx軸，.ZBCRZPO左90,AOOP.BCfAPOA品PCCB.點A(0,4),B(4,1),/.AO4,BO1,OC4.設P(x,0),則OAx,PO4-x,(1)根據“K”字型相似，可得到4x=；，解得x=2,.,點P的坐標為(2,0).4x1類型2“K字型相似

4、基本圖形2例2條件：如圖3,B,D,C三點共線，ZB=ZED巳ZJ 匕也.圖3結論：BDMzXCFD.請證明：結論正確【分層分析】(1) “K”字型相似基本圖形2與基本圖形1有何聯系？(2)如何證明/E=ZCDF?【答案】【分層分析】(1)兩個圖形都有三個角相等，基本圖形1是三個直角相等，而基本圖形2是基本圖形1的般情況，更具普遍性，兩個圖形的形狀均類似丁字母“K”，因此稱之為“K”字型相似圖形.(2) .ZB=ZED巳ZOZa,由外角性質可知ZED。ZB+ZE=Za+ZE.乂.ZED。ZEDIZFD(Za+ZCDF.ZE=ZCDF.證明：/B=/ED巳/C=/a,由外角性質可知ZED。ZB+

5、ZE=Za+ZE.乂.ZED。ZEDNZFD(Za+ZFDC.ZE=ZFDC.乂B=ZC,.BDEACFD.【應用】1.如圖4,在平面直角坐標系中，四邊形OABCM梯形，CB/OA。孚BA。住7,BO1,AA5,點P為x軸上的一個動點，點P不與點O,A重合.連結CP過點P作PD交AB丁點D.(1)直接寫出點B的坐標：;(2)當點P在線段OA上運動時，使得ZCP6ZOAB且BD：AE3：2,求點P的坐標.【分層分析】(1)過點B作BCUx軸丁點Q,依題意可得OO4,AO3,已知AA5,根據勾股定理求出QB即可解答.根據“K”字型相似，圖中可以找到哪兩個三角形相似？根據相似三角形乂可以得到怎樣的比

6、例式？【答案】【分層分析】過點B作BCUx軸丁點Q易求得BO4,故得到點B的坐標為(4,4).由“K”字型相似可得到/POADAP一2設OT,gAA5,AAgAA2,AA7x,5x所以=5，解得x=2或x=5,/x2所以點P的坐標為(2,0)或(5,0).解：(1)過點B作BCUx軸丁點Q.AAOCAO(71)-2=3,在RtBQM,B住5,由勾股定理，得BOAE2-AQ=4,.點B的坐標為(4,4).(2).ZCP/WOCBZCOP即ZCPIZDP缶ZCOBZOCP而ZCP6ZOA序ZCOP.ZOCRZAPD.OCAAPD.OCOP.APAD.BD3AET2,A2-設OAx,O孚AA5,AA

7、7x,5x.=-所以OCOPAFAD圖47-x2解得x=2或x=5,.點P的坐標為(2,0)或(5,0).2.如圖5,已知直線y=kx與拋物線y=一x2+22交丁點A(3,6).273(1)求直線y=kx的函數表達式和線段OA的長度.若點B為拋物線上對稱軸右側的點，點E在線段OA上(與點O,A不重合)，點D(m0)是x軸正半軸上的動點，且滿足ZBAEZBESZAOD探究：m在什么范圍內時，符合條件的點E分別有1個、2個？【分層分析】(1)利用待定系數法求出直線y=kx的函數表達式，根據A點坐標用勾股定理求出線段OA的長度.延長AB交x軸丁點F,由ZBAE/AOCM求出點F的坐標為,進而再求得點

8、B的坐標為然后由兩點間距離公式可求得線段AB的長為;由已知條件ZBAEZBE孚ZAOD可得到“K”字型相似的基本圖形2,故可得到設。 日a,則由對應邊的比例關系可以得到.從而得到關丁a的一元二次方程為然后根據根的判別式可以分別得到a的值分別為1個、2個時m的取值范圍.【解題方法點醒】“K”字型相似基本圖形2,根據三個角相等，聯想到“K”字型基本圖形1,便丁快速找到相似三角形，從而利用相似的有關性質解決問題.【答案】【例題分層分析】(1)直線y=kx的函數表達式為y=2x,OA.32+62=3J5.15(2)點F的坐標為(萬,0),點B的坐標為(6,2),BD圖5AN5.根據“K”字型相似的基本

9、圖形2,可得到ABMzXOED設。日a,WJAE=3寸5a(0a0.當=0,即(一3 也-20”0,E4時，符合條件的點E有1個;當A。，即(一3寸5)220e0,0RK,時，符合條件的點E有2個.解：(1)把點A(3,6)的坐標代入y=kx，得6=3k,.k=2,.y=2x,。住/32+62=3J5.如圖，延長AB交x軸丁點F,過點F作FCLOA于點C,過點A作Ax軸丁點R.ADROvZAO6ZBAE.AF=OF,13-.O孚ACOX25.ZAROZFCO=90,ZAO&ZFOCAAOIAFOCOFAO3冷-3-15OTORT3=梅0巳次*底云圖615.,點F的坐標為,0.15設直線

10、AF的函數表達式為y=ax+b（a豐0）,把點A（3,6）,F,0的坐標代入，解得a.B(6,2),.AA5.ZBAEZBEDZABmZBAEZDEQZBED.ZABEZDEO.vZBA日ZEODABEAOED.設。日a,WJAE=35-a(0a0.當=0,即（一3寸5）220”0,E4時，符合條件的點E有1個;當A。，即（一3寸5）220e0,02O住6,AD：AA3:1,則點C的坐標是（）A.(2,7)B.(3,7)C.(3,4=3,b=10,.=4x+10,34一y=一三x+10,3x=3,CO解得Q4222y=6y=27x+，（舍去），X2=6,V2=2,圖102.如圖7,在矩形ABC

11、Lfr,把DA沿AF對折，使得點D與CB邊上的點E重合，若AE10,AA8,WJEF=CE圖73.如圖8,D是等邊/XABCfeAB上的點，AE2,BA4.現將zABC疊，使得點C與點D一CF重合，折痕為EF,且點E,F分別在邊AC和BC上，則RCE4.如圖9,在直角梯形ABC叫，CA14,C巳4,AN6,CF/AB,在邊CB上找一點E,使以E,A,B為頂點的三角形和以E,C,F為頂點的三角形相似，WJCE.圖95.如圖10,在直角梯形ABCg,ZA=90,ZB=120,A4寸3,AA6.在底邊AB上取點E,在射線DC上取點F,使得ZDE巳120.(1)當點E是AB的中點時，線段DF的長度是;

12、若射線EF經過點C,則AE的長是.圖106.將形狀、 大小完全相同的兩個等腰三角形如圖11所示放置，點D在AB邊上，DEF繞點D旋轉，腰DF和底邊DE分別交CAB的兩腰CACB丁MN兩點.若C住5,AA6,AD：AB=i:3，貝uMtMADNN勺最小值為.圖117.如圖12,在四邊形ABCLfr，已知AD/BCZB=90,AA7,AE9,BO12,在線段BC上任取一點E,連結DE作EFLDE交直線AB丁點F.(1)若點F與B重合，求CE的長；(2)若點F在線段AB上，且AF=CE求CE的長.圖128.如圖13,在zABC中，ANAG點P,D分別是BGAC邊上的點，且/AP孚ZB.(1)求證：A

13、C CCP BP;(2)若AA10,BO12,當PD/AB時，求BP的長.9.ABCPADEF是兩個全等的等腰直角三角形，ZBAZED巳90,DEF的頂點E與ABC的斜邊BC的中點重合， 將DEF繞點E旋轉， 旋轉過程中， 線段DE與線段AB相交丁點P,線段EF與射線CA相交丁點Q.(1)如圖14，當點Q在線段AC上，且A卜AQ時，求證：BPEACQE.如圖14，當點Q在線段CA的延長線上時，求證：BPEACEQ并求當B卜2,CQ=9時BC的長.圖1410.在ABC中，AAAC,ZBAO120,P為BC的中點，小明拿著含有30角的透明直角三角板，使30角的頂點落在點P上，三角板繞點P旋轉.(1

14、)如圖15，當三角板的一直角邊和斜邊分別與A己AC交丁點E,F時， 連結EF,請說明BPEACFP.(2)操作：將三角板繞點P旋轉到圖的情形時，三角板的兩邊分別交BA的延長線、邊AC丁點E,F,連結EF.1探究1:ABPEACFP相似嗎？請說明理由；2探究2:zBPEzPFE相似嗎？請說明理由.圖15BPCBPC參考答案51.【答案】A2.【答案】53.【答案】二4284.【答案】2或12成解析兩個二角形相似，可能是EFzEA己也可能是EFSzXAEB,5所以應分兩種情況討論，進而求CE的值即可.5.【答案】(1)6(2)2或5解析(1)過點E作E饑DF,由E是AB的中點，得出DE3,從而得出

15、ZDE奪60,由ZDEF-.FG一=120,得/FE孚60,由tan/FE(即可求出GF的長，進而得出DF的長.GE過點B作BHLDC延長AB,過點C作CMAB丁點M則B已AA寸3,再由銳角三角函數的定義求出CH及BC的長，設AAx,則BA6-x,利用勾股定理用x表示出DE及EC的長，再判斷出AEDS/XBCE由相似三角形的對應邊成比例即可得出關丁x的方程，求出x的值即可.6.【答案】2寸3解析先求出A42,BE4,由“K”字型相似可得AMEftzXBDN似，根據相似三角形對應求出MADN4MD再將所求代數式整理得出完全平方的形式，然后根據非負數的性質求出最小值即可.7.解：(1)當點F和B重

16、合時,MAMD邊成比例可得旬.EFLDE,.DBC.ZB=90,.ABLBGAB/DEAD/BC,四邊形ABED!平行四邊形,AAEF=9,.CBOEF=12-9=3.過點D作D匝BC丁點M,.ZB=90,.ABLBCDM/AB.AD/BC,四邊形ABMD!矩形，AAB峰9,AD岬7,g12-9=3.設AF=Ca,貝UBF=7a,Eha3,B12a,可證FBEAEMDBFBEa12-a即=EMDMa-37解得a=5或a=17.點F在線段AB上，AF=C氏A7,.C5.8.解：(1)證明：.ZAPQZPAEZB,ZAPtZB,ZDPQZPAB乂AAACZABAZPCD(2).PD/AB,.ZDPQZB,ZPA&ZB,乂ZB=ZC,ZPA&ZC.乂ZPB4ZABCAABFAPCDABPCFCDAC=CD*CECP BPBPAB.PBkzXABC.而=胡AB210225.BF=BBC123-9.解：（1）證明：zABC是等腰直角三角形，ZB=/C=45,A=AC.AAQ.BP=CQ.E是BC的中點，BE=CEBACE在/BPERACQ/B=ZC,BACQ.BPEACQESAS；ABCADEF是兩個全等的等腰直角三角形,ZB=ZC=ZDE45,.ZBEOZEQQZC,即ZBE即ZDEZEQZC,/BE即45=ZEQQ450,/BE/EQC入入BPBE.BPE