《學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方法》讀書筆記

1、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方法繪制函數(shù)圖形和制作數(shù)學(xué)動畫的數(shù)學(xué)軟件（如Maple、Mathematica、MathCad、Matlab）數(shù)學(xué)思想、推理方法、研究方法和求知能力智力是一個整體，它由觀察力、注意力、記憶力、思維能力和語言表達能力等組成，它是認識活動的綜合能力，能力，是影響一個人的活動效果的基本因素能力，是人的一種個性心理特征，是人掌握和運用知識的表現(xiàn)和思維方法，是調(diào)節(jié)行動和活動的相應(yīng)心理過程的概括化的結(jié)果，它的遷移范圍較廣知識，是人對客觀現(xiàn)實的反映，屬于認識的范疇它是對相應(yīng)經(jīng)驗的概括，只能遷移到與其相似的場合中去；技能，是由于練習(xí)而鞏固了的行為方式，亦屬于認識的范疇，它是相應(yīng)行為方式的概括化的結(jié)果

2、，其遷移范圍較窄；類似地直線的無限性，極限，有理數(shù)的稠密性，實數(shù)的連續(xù)性等概念，也都是理性思維的結(jié)果，不可能直接為人們所感知復(fù)數(shù)（虛數(shù)）的幾何表示，幫助人們直觀地理解了它的真實意義，隨后又在流體力學(xué)中得到了應(yīng)用經(jīng)過比較、分類、抽象、概括、分析、綜合、論證而上升為理性知識思考總結(jié)分析提煉1）數(shù)學(xué)以及相關(guān)硬知識數(shù)學(xué)專業(yè)知識基礎(chǔ)理論（如極限、導(dǎo)數(shù)、微分、積分、代數(shù)的一些抽象概念等）基本思想（如形數(shù)結(jié)合、變量代換、問題轉(zhuǎn)換、結(jié)構(gòu)特征等）算術(shù)中的數(shù)，代數(shù)中待定的未知數(shù)，幾何中以點、線、面組成的圖形，三角中角的三角函數(shù)值及相應(yīng)關(guān)系變量數(shù)學(xué)-高等數(shù)學(xué)辯證邏輯思維能力微積分時會遇到三個著名的定理：絡(luò)爾定理、拉

3、格朗日中值定理和柯西中值定理。李代數(shù)、譜理論、交換代數(shù)、微分流形大學(xué)各科知識占比1) 第一類基礎(chǔ)理論知識占70%左右由于大學(xué)期間，主要是學(xué)習(xí)前人積累下來的間接知識，學(xué)習(xí)上應(yīng)力求達到“基礎(chǔ)扎實，知識廣博”根據(jù)數(shù)學(xué)及大學(xué)理科各專業(yè)目前的要求，這部分知識在學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)中宜占70%左右它主要包括：1)專業(yè)基礎(chǔ)理論知識，它是理科專業(yè)知識的主干內(nèi)容在課程設(shè)置上可分為專業(yè)基礎(chǔ)課、專業(yè)課和作為擴充學(xué)生知識面而設(shè)的“概論課”2)管理和教育基礎(chǔ)理論知識，諸如教育學(xué)、心理學(xué)、現(xiàn)代的科學(xué)管理知識等等3)語言知識，如中國語言、外國語言和計算機語言等知識2) 第二類橫向相關(guān)知識占30這部分知識在學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)中目前宜占

4、30左右1） 相關(guān)學(xué)科知識諸如政治學(xué)、哲學(xué)、經(jīng)濟學(xué)、邏輯學(xué)、史地知識、社會學(xué)、法律學(xué)、美學(xué)、音樂及軍事學(xué)等方面的基礎(chǔ)知識或常識幻現(xiàn)代科學(xué)新成就的基本常識諸如現(xiàn)代教育、計算機、新的數(shù)學(xué)邊緣學(xué)科、生物工程、系統(tǒng)論、控制論、信息論等新成就的常識性了解豐富的學(xué)科物理數(shù)學(xué)、經(jīng)濟數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)地震學(xué)，數(shù)學(xué)地質(zhì)學(xué)、計算水力學(xué)、數(shù)學(xué)語言學(xué)、數(shù)學(xué)教育學(xué)、數(shù)學(xué)心理學(xué)，數(shù)學(xué)社會學(xué)、數(shù)學(xué)歷史學(xué)、數(shù)學(xué)考古學(xué)哲學(xué)、邏輯學(xué)、神經(jīng)生理學(xué)、語言學(xué)、心理學(xué)、美學(xué)、控制論、信息論、人工智能、計算機軟件技術(shù)、圖象識別技術(shù)等多種學(xué)科的研究對象知識更新速度加快比過去2千年的總和還要多在19世紀人類知識總量每隔50年翻一番，到了本世紀40年代

5、則每隔20年增加一倍，而目前增長的速度更快，每隔5年至10年，知識總量就要翻一番，其中某些學(xué)科的知識，甚至3年或不到3年就翻一番照此下去，50年后人類知識總量將是今天的32倍僅就數(shù)學(xué)學(xué)科而言，現(xiàn)在全世界大約有2600多種數(shù)學(xué)雜志，用將近100種語言出版美國的文摘性雜志數(shù)學(xué)評論2） 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法觀察力是基礎(chǔ)，記憶力是橋梁，思維力是核心，實踐力是檢驗?zāi)芰φ莆盏目陀^標誰數(shù)學(xué)思維與能力分類具體思維、抽象思維（包括分析思維，邏輯思維、空間思維）、函數(shù)思維和直覺思維正確地使用自然語言來描述數(shù)學(xué)，并借助數(shù)學(xué)概詞，數(shù)學(xué)符號、命題等將這種自然語言準確、無誤地“翻譯”成公式語言以及有關(guān)的數(shù)學(xué)語言。運算能力空間想象

6、抽象概括邏輯推理思維沿著“發(fā)散（求異）一收斂（求同）一再發(fā)散一再收斂”的途徑循環(huán)進展思維方法3） 對比4） 類比（熟悉的東西去比較）5） 分析6） 綜合7） 邏輯推理：歸納（概括）+演繹（普通的原理推出特殊的結(jié)論）演繹這種方法只能推出更低一層次的新知識，而不能發(fā)現(xiàn)同一層次或更高一層次的新的結(jié)論，它主要用于數(shù)學(xué)的邏輯證明之中，其主要形式是“三段論”，常用的“三段論”格式是：一切M都是P（大前提），S是M（小前提），所以，S是P（結(jié)論）8） 完全歸納法:可以當作證明方法使用，因為完全歸納法是根據(jù)對某類事物的全部對象的分析而作出的概括推理方法這種方法也稱為“窮舉法”或“枚舉法”第一，歸納的正確性主要

7、取決于所得出的結(jié)論是否具有“穩(wěn)定性”，即能否“穩(wěn)定地”從一個已經(jīng)研究過的特例遞推到其它尚未研究過的特例，這是歸納遞推能否進行下去的保證；第二，為了保證結(jié)論的正確性，所說的關(guān)于“穩(wěn)定性”的分析不能遺漏任何一個特例，這就要求所考慮的對象應(yīng)是“可數(shù)”的一可按自然數(shù)順序予以編號，以保證能按自然數(shù)序逐一去研究結(jié)論的穩(wěn)定性因此，數(shù)學(xué)歸納法用于含有自然數(shù)n的命題時特別有效；9） 分析證法（簡稱“分析法”）是從未知到已知的證明方法,其證明過程是由“題斷”出發(fā)，逐步逆追這個結(jié)論成立的條件，直到最后找到已知的“題設(shè)”由于它是從結(jié)果逆追到產(chǎn)生這一結(jié)果的原因的一種思維方法，故也可稱為“執(zhí)果索因法”，由于它的思考順序是

8、執(zhí)果索因，因而它是從結(jié)論出發(fā)去步步尋找結(jié)論成立的充分條件。從結(jié)果到原因其證明模式為“要證，只須證，”解應(yīng)用題、證明幾何題和證明三角函數(shù)恒等式時用得較多10） 證明與反駁直接證法根據(jù)給定的條件和已知的論據(jù)（已知的定義、公理、定理、法則等），去直接斷定論題的真實性的證明方法它包括演繹法、完全歸納法、數(shù)學(xué)歸納法、綜合法、分析法等間接證法，則是不去直接證明原命題，而是去證明原命題的等價命題，從而使原命題間接獲證的一種方法它包括反證法，同一法等反證法的一般步驟：反設(shè)：假定所要證的結(jié)論不成立，而設(shè)結(jié)論的反面（否定命題）成立；歸謬：將“反設(shè)”作條件，由此出發(fā)經(jīng)過正確的推理，導(dǎo)出矛盾與已知條件、已知的公理。定

9、義、定理及明顯的事實矛盾或自相矛盾；結(jié)論：因為推理正確，產(chǎn)生矛盾的原因在于“反設(shè)”的謬誤既然結(jié)論的反面不成立，從而肯定了結(jié)論成立反證法是在中學(xué)平面幾何中出現(xiàn)得最早的一種證明方法，在講到直線性質(zhì)：“兩條直線相交，只有一個交點”時，就用了反證法來證明。一般，反證法常用來證明“否定性”命題，“唯一性”命題，“至多”、“至少”命題，某些定理的逆命題和某些無限”命題它在初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中都是一種重要的證明方法，應(yīng)當牢固掌握反駁用已知為真的命題去揭露或證實另一命題的虛假性的邏輯思維方法進行反駁時，思想上必須明確：反駁什么？用什么去反駁？怎樣去反駁？在數(shù)學(xué)中主要使用的反駁方式有兩種：舉出反例和推出悖

10、論不禁使人想起俄國文學(xué)評論家赫爾岑的一例子個生動的小故事：有一次，赫爾岑應(yīng)邀參加一個宴會，在宴會上，他聽到輕挑的音樂，厭惡地用手捂住其耳主人見狀向他解釋：“演奏的是流行樂曲”赫爾岑反問道：“流行的樂曲就一定高尚嗎？主人爭辯道；不高尚的東西怎么能流行？赫爾岑笑著說：“那么，流行的感冒也是高尚的了？”說罷，揚長而去實際上，這里主人講的話可表示成一個全稱命題：“（每個）流行的東西都是高尚的”赫爾岑則只舉出一反例，就對之作了有力的駁斥構(gòu)造反例需要邏輯思維的技巧訓(xùn)練，更需要“直覺”等創(chuàng)造性思維能力的素養(yǎng)直覺：運用直覺大膽假設(shè)誠然，舉反例帶有一定程度的技巧性，有時也是費力的，從解題經(jīng)驗得知，用“走極端”的

11、辦法，易于尋得反例因為一到極端，事物常常會發(fā)生轉(zhuǎn)化因此，走極端是舉反例的一個常用方法11） 綜合證法(簡稱“綜合法”)從已知到未知的證明方法，其證明過程是由“題設(shè)”出發(fā)，逐步推導(dǎo)到這個題設(shè)可能得出的結(jié)論，直到最后推出未知“題斷”為止由于它是從原因推導(dǎo)到由原因產(chǎn)生的結(jié)果的一種思維方法，故也可稱為“由因?qū)Чā庇捎谒乃伎柬樞蚴恰坝梢驅(qū)Ч?，因而它是從題設(shè)和已知的正確命題出發(fā)，步步尋找其必要條件直至得到探求的正確結(jié)論，其證明模式為：“因為，所以”，鑒于從平幾學(xué)習(xí)開始，這種綜合法我們已作過許多次的訓(xùn)練，較為熟悉，就不再贅述學(xué)習(xí)過程1) 計劃：目標擬定一個學(xué)習(xí)的目標，如多2個月完成高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，達到

12、概念理解，會做基本的習(xí)題。并能夠運用數(shù)學(xué)思維方法解決實際生活中的問題。2) 搜集資料搜集學(xué)習(xí)的書本教材，習(xí)題集，視頻等3) 預(yù)習(xí)vs自學(xué)粗讀-精讀閱談一分析一思索一再閱讀思索自學(xué)重要性：一個大學(xué)生在校學(xué)習(xí)期間，只能獲得需用知識的百分之十左右，其余的百分之九十的知識，都要在工作中不斷學(xué)習(xí)，獨立攝取第一個教大學(xué)的，必定是從來沒有上過大學(xué)的人實際上，直到13世紀，大學(xué)才真正產(chǎn)生。4) 上課提問:從(公式，定理，解題方法)入手，數(shù)學(xué)問題分兩類：常規(guī)問題和反常規(guī)問題理解：抽象具體化討論：瘋子集會思考：讀數(shù)學(xué)書之始，必須從基本概念、公理、定理開始，逐一細讀深思，自疑行答，反復(fù)練習(xí)，練中反思筆記：劃記劃記符

13、號直線段“”標明較為重要的內(nèi)容；紅色線段”或波浪線段“”標明特別重要的內(nèi)容；問號“？”標明自己的疑點、難點；“”標明知識空白點，留待補充；“*”標明暫時跳過去未看的內(nèi)容；5) 復(fù)習(xí)回憶基本的概念，做題，聯(lián)系生活應(yīng)用6) 評估學(xué)習(xí)效果剖析自己：看概念是否弄懂，是否具備基本的解題思路，一道題是否用多種方法解決。是否圓滿完成學(xué)習(xí)目標。找出改進學(xué)習(xí)效果的方法，重新制定計劃。九條學(xué)習(xí)心理學(xué)原則第一，適當?shù)牟阶樱瑥男〔街饾u過渡到大步；第二，當時知道結(jié)果；第三，鋪墊原則；第四，從展開到壓縮；第五，直接揭露本質(zhì)特征；第六，盡量采取變式復(fù)習(xí)，避免機械性復(fù)習(xí)；第七，按步思維的原則；第八，運算根據(jù)外化；第九，可逆聯(lián)

14、想創(chuàng)造性的數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)正如科學(xué)哲學(xué)家波普爾所言：科學(xué)發(fā)現(xiàn)無邏輯！7) 學(xué)會發(fā)散思考求異思維收斂思維：綜合法、歸納法、演繹法、反證法8) 學(xué)中求變由于事物的質(zhì)和量是由多種因素決定的，如改變其中某一因素，就可能產(chǎn)生新的思路在求解數(shù)學(xué)問題中，使用的“代換法”解題“變量代換法”在數(shù)學(xué)中應(yīng)用很廣，在解高次方程，三角方程以及微積分、函數(shù)論、微分方程中都經(jīng)常應(yīng)用9) 思考受阻，立即轉(zhuǎn)向逆向思維的方法10) 學(xué)會形象思維邏輯思維?？捎眯蜗笏季S來開辟思路對形象思維的深人研究，必將促進人們數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)研究的深化11) 學(xué)會激發(fā)靈感靈感(或頓悟)，是顯意識與潛意識通融交互的結(jié)晶。第一，突發(fā)性靈感發(fā)生于出其不

15、意的瞬間，如散步、閑談、賞花、觀光、娛樂活動中，在觸景生情中靈感大多來自長期緊張的思索而暫時松弛之時.因為靈感的產(chǎn)生與潛意識推論有關(guān)，潛意識推論是一種信息同構(gòu)和腦神經(jīng)系統(tǒng)功能結(jié)構(gòu)的建構(gòu)的整合式推論這種推論結(jié)果從“潛式”到“顯式”，是一種信息躍遷現(xiàn)象。因此，在緊張思考時，思維高度集中在一點上，對單點深入見效，對全面貫通則少功；暫時的松弛則有利于消化，利用和溝通已得到的全部信息，使大腦的疲勞得到恢復(fù)，從而再次高度興奮，促成這種信息躍遷第二，偶然性而這種偶然性中卻隱蔽著一種必然性因為長期有意識(顯意識)的對某一課題的思索，發(fā)散式地提供相近的若千課題信息，從中說不定有某一信息的閃現(xiàn)，一下打開了思維的大

16、門，爆發(fā)了靈感但絕不會有一無所思，守株待免式的靈感到來第三，獨創(chuàng)性。從靈感思維的功能和作用卜看，它具有區(qū)別于其它思維形式的本質(zhì)特征獨創(chuàng)性事實上。第四，模糊性如何激發(fā)靈感第一，追捕熱線法第二，暗示右腦法人的右腦主管著許多高級功能比如音樂、圖畫、圖形等感覺能力，幾何學(xué)和空間性能力，以及綜合化、整體化功能，都優(yōu)越于左腦用“暗示法”啟示潛意識，調(diào)動大腦兩半球不同功能的積極性，收到良好的效果第三，尋求誘因法如自由的想象，科學(xué)的幻想，發(fā)散式的聯(lián)想，大膽的懷疑，多向的反思等等第四，暫擱問題法輔之以體育活勸、文藝活動或散步、賞花、談心、下棋、看戲、沐浴、洗衣等等,第五，西托夢境法為有利的“作夢”提供機會第六，

17、養(yǎng)氣虛靜法采取練氣功方式可達到“養(yǎng)氣”的目的第七，跟蹤記錄法靈感象個精靈，來去匆匆，稍縱即逝必須跟蹤記錄，隨身攜帶筆和小本子，只要靈感火花一現(xiàn)，就即刻把它捕獲記下點線面方法一般在讀書時，應(yīng)攻其一“點”，由“點”連成“線”，由“線”構(gòu)成“面”，由“面”再組成“體”縱、橫聯(lián)系，形成一個完整的整體若積以時日，必學(xué)有大成五步學(xué)習(xí)法瀏覽、發(fā)問、閱讀、復(fù)述、復(fù)習(xí)五步學(xué)習(xí)法制定計劃一課前自學(xué)一專心上課一及時復(fù)習(xí)一獨立作業(yè)一解決疑難一系統(tǒng)小結(jié)一課外學(xué)習(xí)科學(xué)記憶方法12) 用腦與血流量當人處于清醒和安靜狀態(tài)時：額葉血流量最大，顳葉和枕葉血流量最小；作有意運動時：大腦皮層軀體感覺區(qū)和運動區(qū)血流量都增多，而以感覺區(qū)

18、及其鄰近部位的血流量最大；當人說話時：運動區(qū)、感覺區(qū)、運動前區(qū)、頂葉與枕葉交界處血流量都明顯增多；閱讀時，除上述區(qū)域外，后枕葉的血流量也增多；進行心算時：前額葉和運動前區(qū)的血流量增多可見，人腦對氧的消耗量很大，盡管人的腦重僅占體重的四十幾分之一，但它的耗氧量卻占全身用氧的四分之一相應(yīng)地對腦的供血量也就較大，即使是在安靜狀態(tài)下，腦部的血流量也相當f心臟排出血量的五分之一，當大腦工作時血流量則將大大增加這是因為腦細胞工作時比肌肉細胞工作時所需的血液要多十五倍至二十倍之故13) 功能分布神經(jīng)細胞的數(shù)量約為1011（千億）左腦主管語言和抽象思維，擔負著分析、讀、寫、算、邏輯思維等功能；右腦則主管音樂、繪畫等形象思維材料的綜合活動長時間的聽覺集中不如視覺集中好由于自學(xué)是以視覺分析器為主，而視覺分析器是主動的分析器人的語言中樞位于左腦半球左腦皮層的中央前回下部的前方區(qū)域語言中樞；額葉的額中回后部區(qū)域一書寫性語言中樞；頂下葉的角回附近區(qū)域視覺性語言中樞；顳葉上回的后部區(qū)域一一聽覺性語言中樞第一類信號是指現(xiàn)實的具體信號；第二類信號是指現(xiàn)實的抽象