橢圓知識點及經(jīng)典例題

1、橢圓知識點及經(jīng)典例題橢圓知識點知識要點小結(jié)：知識點一：橢圓的定義平面內(nèi)一個動點到兩個定點、的距離之和等于常 ,這個動點的軌跡叫橢圓.這兩個定點叫橢圓的焦點，兩焦點的距離叫作橢圓的焦距.注意：若，則動點的軌跡為線段；若，則動點的軌跡無圖形.知識點二：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程1當(dāng)焦點在軸上時，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：，其中2當(dāng)焦點在軸上時，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：，其中； 3.橢圓的參數(shù)方程 注意：1只有當(dāng)橢圓的中心為坐標(biāo)原點，對稱軸為坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系時，才能得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2在橢圓的兩種標(biāo)準(zhǔn)方程中，都有和；3橢圓的焦點總在長軸上.當(dāng)焦點在軸上時，橢圓的焦點坐標(biāo)為，；當(dāng)焦點在軸上時，橢圓的焦點坐標(biāo)為，知識點三：橢圓

2、的簡單幾何性質(zhì)橢圓：的簡單幾何性質(zhì)（1）對稱性：對于橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程：說明：把換成、或把換成、或把、同時換成、原方程都不變，所以橢圓是以軸、軸為對稱軸的軸對稱圖形，并且是以原點為對稱中心的中心對稱圖形，這個對稱中心稱為橢圓的中心。（2）范圍：橢圓上所有的點都位于直線和所圍成的矩形內(nèi)，所以橢圓上點的坐標(biāo)滿足，。（3）頂點：橢圓的對稱軸與橢圓的交點稱為橢圓的頂點。橢圓與坐標(biāo)軸的四個交點即為橢圓的四個頂點，坐標(biāo)分別為 ， 線段，分別叫做橢圓的長軸和短軸，,。和分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長。（4）離心率： 橢圓的焦距與長軸長度的比叫做橢圓的離心率，用表示，記作。因為，所以的取值范圍是。越接近1，則就越

3、接近，從而越小，因此橢圓越扁；反之，越接近于0，就越接近0，從而越接近于，這時橢圓就越接近于圓。 當(dāng)且僅當(dāng)時，這時兩個焦點重合，圖形變?yōu)閳A，方程為。注意：橢圓的圖像中線段的幾何特征（如下圖）：（1）；l ；（3）；知識點四：橢圓第二定義 一動點到定點的距離和它到一條定直線的距離的比是一個內(nèi)常數(shù)，那么這個點的軌跡叫做橢圓 其中定點叫做焦點，定直線叫做準(zhǔn)線，常數(shù)就是離心率左準(zhǔn)線 右準(zhǔn)線知識點五：橢圓的焦半徑公式：（左焦半徑） （右焦半徑） 其中是離心率 焦點在y軸上的橢圓的焦半徑公式： （ 其中分別是橢圓的下上焦點）知識點六：直線與橢圓問題（韋達(dá)定理的運(yùn)用）弦長公式：若直線與圓錐曲線相交與、兩點，

4、則 弦長 知識點七：橢圓 與 的區(qū)別和聯(lián)系標(biāo)準(zhǔn)方程 圖形性質(zhì)焦點，焦距 范圍，對稱性關(guān)于軸、軸和原點對稱頂點，軸長長軸長=，短軸長= 離心率準(zhǔn)線方程焦半徑，注意：橢圓，的相同點：形狀、大小都相同；參數(shù)間的關(guān)系都有和，；不同點：兩種橢圓的位置不同；它們的焦點坐標(biāo)也不相同。規(guī)律方法： 1如何確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程？ 任何橢圓都有一個對稱中心，兩條對稱軸。當(dāng)且僅當(dāng)橢圓的對稱中心在坐標(biāo)原點，對稱軸是坐標(biāo)軸，橢圓的方程才是標(biāo)準(zhǔn)方程形式。此時，橢圓焦點在坐標(biāo)軸上。確定一個橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程需要三個條件：兩個定形條件；一個定位條件焦點坐標(biāo)，由焦點坐標(biāo)的形式確定標(biāo)準(zhǔn)方程的類型。 2橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中的三個量的幾何意義橢圓

5、標(biāo)準(zhǔn)方程中，三個量的大小與坐標(biāo)系無關(guān)，是由橢圓本身的形狀大小所確定的。分別表示橢圓的長半軸長、短半軸長和半焦距長，均為正數(shù)，且三個量的大小關(guān)系為：，且?？山柚覉D理解記憶： 顯然：恰構(gòu)成一個直角三角形的三條邊，其中a是斜邊，b、c為兩條直角邊。3如何由橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程判斷焦點位置橢圓的焦點總在長軸上，因此已知標(biāo)準(zhǔn)方程，判斷焦點位置的方法是：看，的分母的大小，哪個分母大，焦點就在哪個坐標(biāo)軸上。 4方程是表示橢圓的條件方程可化為，即，所以只有A、B、C同號，且AB時，方程表示橢圓。當(dāng)時，橢圓的焦點在軸上；當(dāng)時，橢圓的焦點在軸上。5求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的常用方法： 待定系數(shù)法：由已知條件確定焦點的位置，從而確

6、定橢圓方程的類型，設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，再由條件確定方程中的參數(shù)的值。其主要步驟是“先定型，再定量”；定義法：由已知條件判斷出動點的軌跡是什么圖形，然后再根據(jù)定義確定方程。6共焦點的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程形式上的差異共焦點，則c相同。與橢圓共焦點的橢圓方程可設(shè)為，此類問題常用待定系數(shù)法求解。7判斷曲線關(guān)于軸、軸、原點對稱的依據(jù)： 若把曲線方程中的換成，方程不變，則曲線關(guān)于軸對稱； 若把曲線方程中的換成，方程不變，則曲線關(guān)于軸對稱； 若把曲線方程中的、同時換成、，方程不變，則曲線關(guān)于原點對稱。8如何求解與焦點三角形PF1F2（P為橢圓上的點）有關(guān)的計算問題？ 思路分析：與焦點三角形PF1F2有關(guān)的計算問題時，?？?/p>

7、慮到用橢圓的定義及余弦定理（或勾股定理）、三角形面積公式相結(jié)合的方法進(jìn)行計算解題。將有關(guān)線段，有關(guān)角 ()結(jié)合起來，建立、之間的關(guān)系. 9如何計算橢圓的扁圓程度與離心率的關(guān)系？ 長軸與短軸的長短關(guān)系決定橢圓形狀的變化。離心率，因為，用表示為。顯然：當(dāng)越小時，越大，橢圓形狀越扁；當(dāng)越大，越小，橢圓形狀越趨近于圓。經(jīng)典例題：一、橢圓的定義例1、已知F1(-8，0)，F(xiàn)2(8，0)，動點P滿足|PF1|+|PF2|=16，則點P的軌跡為( )A 圓 B 橢圓 C線段 D 直線例2、橢圓左右焦點為F1、F2，CD為過F1的弦，則CDF2的周長為_二、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程例3、已知方程表示橢圓，則k的取值范圍

8、是( ) A -1<k<1 B k>0 C k0 D k>1或k<-1例4、已知方程+=1，表示焦點在y軸上的橢圓，則m的取值范圍為 .例5、求滿足以下條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)長軸長為10，短軸長為6 (2)長軸是短軸的2倍，且過點(2，1) (3) 經(jīng)過點(5，1)，(3，2)例6、若ABC頂點B、C坐標(biāo)分別為(-4，0)，(4，0)，AC、AB邊上的中線長之和為30，求ABC的重心G的軌跡方程。例7、 已知動圓過定點，且在定圓的內(nèi)部與其相內(nèi)切，求動圓圓心的軌跡方程例8、已知點在以坐標(biāo)軸為對稱軸的橢圓上，點到兩焦點的距離分別為和，過點作焦點所在軸的垂線，它恰好

9、過橢圓的一個焦點，求橢圓方程三、離心率例9、橢圓的左右焦點分別是F1、F2，過點F1作x軸的垂線交橢圓于P點。若F1PF2=60°，則橢圓的離心率為_例10、已知正方形ABCD，則以A、B為焦點，且過C、D兩點的橢圓的的離心率為_例11、橢圓與軸正向交于點，若這個橢圓上總存在點，使(為坐標(biāo)原點)，求其離心率的取值范圍四、最值問題例12、橢圓兩焦點為F1、F2，點P在橢圓上，則|PF1|·|PF2|的最大值為_，最小值為_例14、已知橢圓，A(1，0)，P為橢圓上任意一點，求|PA|的最大值和最小值。六、直線和橢圓例16、已知直線l:y=2x+m，橢圓C：，試問當(dāng)m為何值時： (1)有兩個不重合的公共點； (2)有且只有一個公共點； (3)沒有公共點.例17、已知斜率為1的直線l經(jīng)過橢圓的右焦點，交橢圓于A、B兩點，求弦AB的長.例18、已知橢圓及直線（1）當(dāng)為何值時，直線與橢圓有公共點？（2）若直線被橢圓截得的弦長為，求直線的方程例19、已知橢