江蘇省常州市高級中學(xué)2016屆高三上學(xué)期階段調(diào)研(二)數(shù)學(xué)(理)試卷

1、江蘇省常州高級中學(xué)2015-2016學(xué)年第一學(xué)期高三年級階段調(diào)研（二）數(shù) 學(xué) （理）試 卷一、填空題：（本大題共14小題，每小題5分，共70分請將答案填入答題紙?zhí)羁疹}的相應(yīng)答題線上）1函數(shù)y 的定義域是 ； 2設(shè)是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)的模= ； 3“”是“直線和直線平行”的 條件；（選“充分不必要” “必要不充分” “充要” “既不充分也不必要”填空） 4若樣本數(shù)據(jù)，的標(biāo)準(zhǔn)差為，則數(shù)據(jù)，的標(biāo)準(zhǔn)差為 ； 5閱讀右面的程序框圖，運行相應(yīng)的程序，則輸出i的值為 ； 6已知等差數(shù)列的公差為，若成等比數(shù)列，那么等于 ； 7袋中有形狀、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只紅球，2只黃球，從中一次

2、隨機(jī)摸出2只球，則這2只球中有黃球的概率為 ； 8圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角為，面積為2的扇形，則圓錐的體積是 ； 9已知，則= ； 10已知雙曲線 的一條漸近線過點 ，且雙曲線的一個焦點在拋物線 的準(zhǔn)線上，則雙曲線的方程為_ _； 11已知菱形的邊長為2，點分別在邊上，若，則的值為 ； 12如果函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則mn的最大值為 ； 13已知函數(shù),則方程恰有兩個不同的實根時，實數(shù)a的取值范圍是 ； 14已知圓O：，點M（1，0）圓內(nèi)定點，過M作兩條互相垂直的直線與圓O交于AB、CD，則弦長AC長的取值范圍 ； 二、解答題（本大題共6小題，共計90分）15（本小題滿分14分） 在中，（1）求

3、的值；（2）若點D在邊上，求的長。16（本小題滿分14分）在四棱錐PABCD中，PC平面ABCD，DCAB，DC2，AB4，BC2，CBA30°（1）求證：ACPB；（2）若PC=2，點M是棱PB上的點，且CM平面PAD，求BM的長。PA M C D B17（本小題滿分14分）某油庫的設(shè)計容量為30萬噸，年初儲量為10萬噸，從年初起計劃每月購進(jìn)石油 萬噸，以滿足區(qū)域內(nèi)和區(qū)域外的需求，若區(qū)域內(nèi)每月用石油1萬噸，區(qū)域外前個月的需求量（萬噸）與的函數(shù)關(guān)系為 ，并且前4個月，區(qū)域外的需求量為20萬噸 （1）試寫出第個月石油調(diào)出后，油庫內(nèi)儲油量（萬噸）與的函數(shù)關(guān)系式；（2）要使16個月內(nèi)每月按

4、計劃購進(jìn)石油之后，油庫總能滿足區(qū)域內(nèi)和區(qū)域外的需求，且每月石油調(diào)出后，油庫的石油剩余量不超過油庫的容量，試確定的取值范圍 18（本小題滿分16分）平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的離心率為，左、右焦點分別是，以為圓心以3為半徑的圓與以為圓心以1為半徑的圓相交，且交點在橢圓上.（1）求橢圓的方程；（2）過橢圓上一動點的直線，過F2與x軸垂直的直線記為，右準(zhǔn)線記為；設(shè)直線與直線相交于點M，直線與直線相交于點N，證明恒為定值，并求此定值。 若連接并延長與直線相交于點Q，橢圓的右頂點A，設(shè)直線PA的斜率為，直線QA的斜率為，求的取值范圍 19（本小題滿分16分）設(shè)數(shù)列的前項和，且當(dāng)時，（1）求證:數(shù)列是等比

5、數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；（2）令，記數(shù)列的前項和為設(shè)是整數(shù)，問是否存在正整數(shù)，使等式成立？若存在，求出和相應(yīng)的值；若不存在，說明理由 20（本小題滿分16分）已知為實常數(shù)，函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)有兩個不同的零點；求實數(shù)的取值范圍；求證：. 江蘇省常州高級中學(xué)20152016學(xué)年第一學(xué)期高三階段調(diào)研數(shù)學(xué)理科附加卷21（） 選修42：矩陣與變換(本小題滿分10分)已知，矩陣有一個屬于特征值的特征向量，（1）求矩陣；（2）若矩陣，求 （） 選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程(本小題滿分10分)在直角坐標(biāo)系中，曲線（為參數(shù)，），其中，在以為極點，軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線，曲線（1

6、）求與交點的直角坐標(biāo)；（2）若與相交于點，與相交于點，求的最大值22（本小題滿分10分）為推動乒乓球運動的發(fā)展，某乒乓球比賽允許不同協(xié)會的運動員組隊參加?，F(xiàn)有來自甲協(xié)會的運動員3名，其中種子選手2名；乙協(xié)會的運動員5名，其中種子選手3名從這8名運動員中隨機(jī)選擇4人參加比賽（1）設(shè)A為事件“選出的4人中恰有2名種子選手，且這2名種子選手來自同一個協(xié)會”求事件A發(fā)生的概率；（2）設(shè)X為選出的4人中種子選手的人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望 23（本小題滿分10分） 若拋物線C的頂點在坐標(biāo)原點O，其圖象關(guān)于x軸對稱，且經(jīng)過點M（2，2）（1）求拋物線C的方程；（2）過點M作拋物線C的兩條弦MA，

7、MB，設(shè)MA，MB所在直線的斜率分別為，當(dāng)變化且滿足時，證明直線AB恒過定點，并求出該定點坐標(biāo) 江蘇省常州高級中學(xué)2015-2016學(xué)年第一學(xué)期高三年級階段調(diào)研數(shù)學(xué)試卷答案一、填空題：（本大題共14小題，每小題5分，共70分請將答案填入答題紙?zhí)羁疹}的相應(yīng)答題線上）1函數(shù)y 的定義域是 ； （1，） 2設(shè)是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)的模= ； 13“”是“直線和直線平行”的 條件；（選“充分不必要” “必要不充分” “充要” “既不充分也不必要”填空） 充分不必要4.若樣本數(shù)據(jù)，的標(biāo)準(zhǔn)差為，則數(shù)據(jù)，的標(biāo)準(zhǔn)差為 ；165閱讀右面的程序框圖，運行相應(yīng)的程序，則輸出i的值為 ； 46.已知等差數(shù)列的

8、公差為，若成等比數(shù)列，那么等于 ； 7袋中有形狀、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只紅球，2只黃球，從中一次隨機(jī)摸出2只球，則這2只球中有黃球的概率為 ；8圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角為，面積為2的扇形，則圓錐的體積是 ；9已知，則= ；10已知雙曲線 的一條漸近線過點 ，且雙曲線的一個焦點在拋物線 的準(zhǔn)線上，則雙曲線的方程為_；11已知菱形的邊長為2，點分別在邊上，若，則的值為 ；212如果函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則mn的最大值為 ； 18 13已知函數(shù),則方程恰有兩個不同的實根時，實數(shù)a的取值范圍是 ； 14已知圓O：，點M（1，0）圓內(nèi)定點，過M作兩條互相垂直的直線與圓O交于AB、CD，求

9、弦長AC長的取值范圍 ； 二、解答題（本大題共6小題，共計90分）15（本小題滿分14分） 在中，（1）求的值；（2）若點D在邊上，求的長。 解：如圖， 設(shè)的內(nèi)角所對邊的長分別是，由余弦定理得 ， 所以. 4分 又由正弦定理得. 6分由題設(shè)知，所以. 8分 10分 在中，由正弦定理得. 14分16（本小題滿分14分）在四棱錐PABCD中，PC平面ABCD，DCAB，DC2，AB4，BC2，CBA30°（1）求證：ACPB；（2）若PC=2，點M是棱PB上的點，且CM平面PAD，求BM的長。 ABCDMP16（1）PC平面ABCD，PCAC，又CBA30°，BC2，AB4，A

10、C，AC2BC241216AB2，ACB90°， 故ACBC又PC、BC是平面PBC內(nèi)的兩條相交直線，故AC平面PBC，ACPB 7分 （2） BM=2 14分 17. （本小題滿分14分）某油庫的設(shè)計容量為30萬噸，年初儲量為10萬噸，從年初起計劃每月購進(jìn)石油 萬噸，以滿足區(qū)域內(nèi)和區(qū)域外的需求，若區(qū)域內(nèi)每月用石油1萬噸，區(qū)域外前個月的需求量（萬噸）與的函數(shù)關(guān)系為 ，并且前4個月，區(qū)域外的需求量為20萬噸 （1）試寫出第個月石油調(diào)出后，油庫內(nèi)儲油量（萬噸）與的函數(shù)關(guān)系式；（2）要使16個月內(nèi)每月按計劃購進(jìn)石油之后，油庫總能滿足區(qū)域內(nèi)和區(qū)域外的需求，且每月石油調(diào)出后，油庫的石油剩余量不

11、超過油庫的容量，試確定的取值范圍解：（1） 4分（2）根據(jù)題意，所以恒成立 6分即 恒成立 8分14分（2+2+2） 18. （本小題滿分16分）平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的離心率為，左、右焦點分別是，以為圓心以3為半徑的圓與以為圓心以1為半徑的圓相交，且交點在橢圓上.（1）求橢圓的方程；（2）過橢圓上一動點的直線，過F2與x軸垂直的直線記為，右準(zhǔn)線記為；設(shè)直線與直線相交于點M，直線與直線相交于點N，證明恒為定值，并求此定值。 若連接并延長與直線相交于點Q，橢圓的右頂點A，設(shè)直線PA的斜率為，直線QA的斜率為，求的取值范圍 （1）由題意知 ，則 ,又 可得 ,所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為. 4分 （

12、2）M N 6分 9分 點（），點Q， 10分 ， = 12分 點P在橢圓C上， ， =14分 ， 的取值范圍是 16分19. （本小題滿分16分）設(shè)數(shù)列的前項和，且當(dāng)時，（1）求證:數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；（2）令，記數(shù)列的前項和為設(shè)是整數(shù)，問是否存在正整數(shù)，使等式成立？若存在，求出和相應(yīng)的值；若不存在，說明理由19.解：（1）當(dāng)時, ,代入并化簡得, 4分而恒為正值,數(shù)列是等比數(shù)列. 5分.當(dāng)時, 又， 7分（2）當(dāng)時，,此時 ，又. 9分故， 10分當(dāng)時，12分若，則等式為，不是整數(shù)，不符合題意；14分若，則等式為，是整數(shù), 必是的因數(shù), 時 當(dāng)且僅當(dāng)時，是整數(shù)，從而是整數(shù)符

13、合題意.綜上可知，當(dāng)時，存在正整數(shù)，使等式成立，當(dāng)時，不存在正整數(shù)使等式成立. 16分20（本小題滿分16分）已知為實常數(shù)，函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)有兩個不同的零點；求實數(shù)的取值范圍；求證：.20.（1）的定義域為其導(dǎo)數(shù) 1分當(dāng)時，函數(shù)在上是增函數(shù)； 2分當(dāng)時，在區(qū)間上，；在區(qū)間上，所以在是增函數(shù)，在是減函數(shù). 4分（2）由（I）知，當(dāng)時，函數(shù)在上是增函數(shù)，不可能有兩個零點;當(dāng)時，在是增函數(shù)，在是減函數(shù)，此時為函數(shù)的最大值，當(dāng)時，最多有一個零點，所以，解得， 6分此時，且，令，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，即所以的取值范圍是 8分證法一：下面證明：當(dāng)時， .設(shè) ，則 .在 上是

14、增函數(shù)，所以當(dāng)時， .即當(dāng)時，. . 16分證法二： 令則：，所以函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù).,則,又于是. 又由(1)可知 .即 16分江蘇省常州高級中學(xué)20152016學(xué)年第一學(xué)期期中質(zhì)量檢查高三年級數(shù)學(xué)理科附加卷 21（1） 選修42：矩陣與變換(本小題滿分10分)已知，矩陣有一個屬于特征值的特征向量，（1）求矩陣；（2）若矩陣，求 解：（1） 4分（2） 6分 10分21（2） 選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程(本小題滿分10分)在直角坐標(biāo)系中，曲線（為參數(shù)，），其中，在以為極點，軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線，曲線（1）求與交點的直角坐標(biāo)；（2）若與相交于點，與相交于點，求的最大值（1） 4分（2）曲線的極坐標(biāo)方程為，其中因此得到極坐標(biāo)為，的極坐標(biāo)為所以，當(dāng)時，取得最大值，最大值為 10分22（本小題滿分10分）為推動乒乓球運動的發(fā)展，某乒乓球比賽允許不同協(xié)會的運動員組隊參加?，F(xiàn)有來自甲協(xié)會的運動員3名，其中種子選手2名；乙協(xié)會的運動員5名，其中種子選手3名。從這8名運動員中隨機(jī)選擇4人參加比賽.（1）設(shè)A為事件“選出的4人中恰有2名種子選手，且這2名種子選手來自同一個協(xié)會”求事件A發(fā)生的概率；（2）設(shè)X為選出的4人中種子選手的人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布