簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃

1、簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃1 .考綱要求：了解用二元一次不等式表示平面區(qū)域及簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃2 .重點(diǎn)、難點(diǎn)：1 .用二元一次不等式表示平面區(qū)域2 .準(zhǔn)確理解：（線性）約束條件，（線性）目標(biāo)函數(shù)，可行解，可行域，最優(yōu)解3 .近年考點(diǎn)分析：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃考法相對(duì)穩(wěn)定，主要是以填選題為主，08年開始在大題中有所體現(xiàn)。其考查方式主要集中在以下幾個(gè)方面：.一一.二元整式的最俏-.根據(jù)約束條件：求最值；求面積；求值域；斜率的最值求整數(shù)解；求參數(shù)；簡(jiǎn)單運(yùn)用。四.知識(shí)點(diǎn)回顧：1 .二元一次不等式的區(qū)域（1）在平面直角坐標(biāo)系中，所有的點(diǎn)被直線x+y1=0分成三類：即,工在直線上，點(diǎn)在直線的上方區(qū)域，點(diǎn)在直線的下方區(qū)域。一般地

2、，二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角坐標(biāo)系中表示直線Ax+By+C=0某一側(cè)所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域，我們把直線畫成虛線以表示區(qū)域不包括邊界直線。注意：在坐標(biāo)系中畫不等式Ax+By+C>0所表示的平面區(qū)域時(shí)畫成實(shí)線。（4）區(qū)域判斷方法是：特殊點(diǎn)法。2 .線性規(guī)劃：(1)約束條件、線性約束條件：變量x、y滿足的一組條件叫做對(duì)變量x、y的約束條件，若約束條件都是關(guān)于x、y的一次不等式，則約束條件又稱為線性的約束條件。(2)目標(biāo)函數(shù)、線性目標(biāo)函數(shù)：欲達(dá)到最大值或最小值所涉及的變量x、y的解析式,叫做目標(biāo)函數(shù)。若解析式是x、y的一次解析式，則目標(biāo)函數(shù)又稱線性目標(biāo)函數(shù)。(3)線性規(guī)劃：求

3、線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問(wèn)題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問(wèn)題。(4)可行域：滿足線性約束條件的解(x、y)叫做可行解，由所有可行解組成的集合叫做可行域。(5)最優(yōu)解：分別使目標(biāo)函數(shù)取得最大值和最小值的解，叫做這個(gè)問(wèn)題的最優(yōu)解。3 .解線性規(guī)劃應(yīng)用問(wèn)題的一般方法和步驟：(1)理清題意，設(shè)好變?cè)⒘谐霾坏仁浇M和目標(biāo)函數(shù)、約束條件。(1,3)時(shí)Z有最小值-5.引申：求|x2y4的最大值(答案：3)(2)求x2+y2的最值；max=10,minx=2圖1解：Z=x2+y2表示區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到點(diǎn)O(0,0)的距離的平方，顯然Zmax=(1-0)2+(3-0)2=10,Zmin=(1-0)2+(10

4、)2=2.引申：求(x+1)2+(y-2)2-3的最小值；(答案：1)求點(diǎn)(2,-1)到平面區(qū)域的最小距離。(答案：展)(3)求？的取值范圍；x解：Z=¥表示過(guò)原點(diǎn)和區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)的直線的斜率的范圍。Z1,3引申：求x2y3的取值范圍。x1(提示：Z=x12(y1)2?口1,貝UZ3,5)x1x1(4)求平面區(qū)域的面積；解：S=1(3-1)X1=12)，且 f(4) f( 2) 1, £(刈為£3的引申1:已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?,導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)yf(x)的圖象如圖2所示.x0則平面區(qū)域y0所圍成的面積是f(2xy)1A. 2 B . 4 C . 5D. 8解析：考

5、查函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系，函數(shù)單調(diào)性及線性規(guī)劃等知識(shí)。答案：B引申2:(09安徽)若不等式組4所表示的平面區(qū)域被直線y4kx為面積相等的兩部分，則k的值是(B)7(C)y.4y=kx+3解析：不等式表示的平面區(qū)域如圖所示陰影部分(ABC由3x3y”aB1(°4),C(0-)二SaaBC=-(432一yDkx4與3xy4的交點(diǎn)為D,35.5.14.7、中.一k,k_zzpAo22233則由SBCD1-SABC2(5)求平面區(qū)域內(nèi)的整點(diǎn)個(gè)數(shù);解：平面區(qū)域內(nèi)的整點(diǎn)有(1,1),(1,2),(1,3),(2,2),共4個(gè)點(diǎn).(6)當(dāng)a>1時(shí)，求函數(shù)f(x,y尸y-ax的最值;解：當(dāng)-1&l

6、t;a01時(shí)，過(guò)點(diǎn)(1,3)時(shí)fmax=3-a,過(guò)點(diǎn)1,1)時(shí)fmin=1-a當(dāng)a>1時(shí),過(guò)點(diǎn)(1,3)時(shí)fmax=3-a,過(guò)點(diǎn)(2,2)時(shí)fmin=2-2a(7).若在區(qū)域內(nèi)有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)(x,y)可使Z=x+my取得最大值，則m=解：據(jù)題意，目標(biāo)函數(shù)所表示的直線應(yīng)與區(qū)域的邊界重合,故m=±1.(8)若點(diǎn)(a,b)在以上平面區(qū)域內(nèi)，則點(diǎn)(2a-b,a+3b)到原點(diǎn)的最小距離是解：丁點(diǎn)(a,b)1b4,令ax2abya3b3xy72yx73x7y7.y4x0從而轉(zhuǎn)化為常規(guī)解法。2x 3y 28例2:線形規(guī)劃思想的運(yùn)用在一個(gè)居民小區(qū)內(nèi)設(shè)計(jì)一個(gè)邊長(zhǎng)為5米的菱形噴水池，規(guī)劃者要求：菱形的

7、一條對(duì)角線長(zhǎng)不大于6米，另一條對(duì)角線長(zhǎng)不小于6米。試問(wèn)該菱形噴水池的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度之和的最大值為多少米？解：設(shè)兩對(duì)角線的長(zhǎng)度分別為a,b,則a,b應(yīng)滿足約束條件：0 ab 62 a 2求a+b的最大值。由線性規(guī)劃知識(shí)易得25a+b的最大值為14A. 7B. 5C. 4D. 3例3:(2007年湖南卷理14題)設(shè)集合Ax, y y x b ,A B(1)b的取值范圍是;若(x,y)AIB,且x2y的最大值為9,則b的值是.答案：(1)1,)-2解析：(1)作出圖象可知b的取值范圍是1,).(2)若x,yAB,令t=x2y,則在(0,b)處取得最大值,所以0+2b=9,所以b=9.22 .跟蹤練

8、習(xí)：2(1) .設(shè)f(x)axbx,且1f(1)2,2f(1)4則f(2)的取值范圍是2yx(2) .已知實(shí)數(shù)x,y滿足2xy10,則y-3x的最小值為;(3) .實(shí)系數(shù)方程x2+(a+1)x+a+b+1=0的兩根分別為一個(gè)橢圓和一個(gè)雙曲線的離心率，則b的取值范圍是；a姊妹題：已知,是三次函數(shù)f(x尸1x3lax22bx的兩個(gè)極值點(diǎn)，3 2且0V1,12,aR,bR,則L2的取值范圍是a1(4)已知點(diǎn)A(2,1)和B(3,2)在直線l：2x3yc0的兩側(cè)，則實(shí)數(shù)c的取值范圍是。(5) .(2009湖北)在“家電下鄉(xiāng)”活動(dòng)中，某廠要將100臺(tái)洗衣機(jī)運(yùn)往鄰近的鄉(xiāng)鎮(zhèn)，現(xiàn)有4輛甲型貨車和8輛乙型貨車可

9、供使用。每輛甲型貨車運(yùn)輸費(fèi)用400元，可裝洗衣機(jī)20臺(tái)；每輛乙型貨車運(yùn)輸費(fèi)用300元，可裝洗衣機(jī)10臺(tái)。若每輛車至多只運(yùn)一次，則該廠所花的最少運(yùn)輸費(fèi)用為()A.2000元B.2200元C.2400元D.2800元(6) .已知集合M(x,y)|x|y|1,N(x,y)|(yx)(yx)0,PMN,則P的面積為。x2y190,(7) .(08山東卷12)設(shè)二元一次不等式組xy80,所表示的平面區(qū)2xy140域?yàn)镸使函數(shù)y=ax(a>0,a乎1)的圖象過(guò)區(qū)域M的a的取值范圍是()(A)1,3(B)2,10(C)2,9(D)-10,9y>1,(8) .(08陜西卷10)已知實(shí)數(shù)x,y滿足

10、y<2x1,如果目標(biāo)函數(shù)zxy的xy&m最小值為1,則實(shí)數(shù)m等于()x0(9) .(08安徽15)若A為不等式組y0表示的平面區(qū)域，則當(dāng)a從2yx2連續(xù)變化到1時(shí)，動(dòng)直線xya掃過(guò)A中的那部分區(qū)域面積為x0,(10) .(08浙江卷17)若a0,b0,且當(dāng)y0,時(shí)，恒有axby1,xy1則以a,b為坐標(biāo)點(diǎn)P(a,b)所形成的平面區(qū)域的面積等于。(11) mR,若(x,y)x2y5(M3xQmxy0(x,y)x2y225,則m的范圍為。(12)已知集合A=(x,y)x2y21,B(x,y)kxy2,其中x,yR,若AB,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是。(13)已知Ax0,y。，B1,1,C5

11、,2，如果一個(gè)線性規(guī)劃問(wèn)題的可行域是ABC邊界及其內(nèi)部，線性目標(biāo)函數(shù)zaxby,在B處取得最小值3,在C處取得最大值12,則下列關(guān)系一定成立的是()A、ax0by012B、ax0by03C、ax0by012D、ax0by03uuu uuuruuu uuir ,OP OM 1,0 OP ON 1 的uuuu1uuur-1一，(14)設(shè)OM(1),ON(0,1),則滿足條件02動(dòng)點(diǎn)P的變化范圍(圖中陰影部分含邊界)是()ABCD4x3y120(15)設(shè)p:3x0,(x、yR),q：x2+y2>r2(x、yR,r>0),若非q是非px3y12的充分不必要條件，則r的取值范圍是(16)已知

12、不等式組04 0 ,a2,2表示的平面區(qū)域面積是f(a),則x4在區(qū)域D內(nèi)的弧長(zhǎng)為()2 x2 y(18)(092年山東)設(shè)x, y滿足約束條件343x y x y 2x 0, y32,若目標(biāo)函數(shù)z=ax+by(a>0b>0)的是最大值為12,則2a. 256B. 8C.a11鐘最小值為().D. 4(19)33.(08年四川文)設(shè)函數(shù)f(x) x3(I)求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值;(n)若當(dāng)x1,2,3af(x)b3,求ab的最大值。(理)設(shè)函數(shù)f(x)=考(I)求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值;x2(II)對(duì)任意的xR,3af(x)b3,求ab的最大值。(20)(2009全國(guó)卷I理)

13、設(shè)函數(shù)fxx33bx23cx在兩個(gè)極值點(diǎn)xx2，且x11,0,x21,2.(I)求b、c滿足的約束條件，并在下面的坐標(biāo)平面內(nèi)，畫出滿足這些條件的點(diǎn)b,c的區(qū)域;跟蹤練習(xí)參考答案1.-1,102.號(hào)，提示：作出圖形,對(duì)f(x)=x2求導(dǎo)，用f'(x)=3或解方4程組y',4=0可求切點(diǎn)，再代如y=3x+z即可。3.(-2,1),(1,1)y3xz244.(-12,-1)5.B,解析：設(shè)甲型貨車使用x輛，已型貨車y輛.則0x40y8，求Z=400x+300y最小值.可求出最優(yōu)解為(4,2)故2010y100min2200.6.17.C8. B 9.7,10.1 11.44 0,-

14、12.3,3, 3 13.C 14.A 15.(0,16.C17.B18.A解析：作出不等式表示的平面區(qū)域，當(dāng)直線ax+by=z(a>0,b>0)過(guò)直線x-y+2=0與直線3x-y-6=0的交點(diǎn)(4,6)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z=ax+by(a>0,b>0)取得最大12,即4a+6b=12，即2a+3b=6,而252 一623_232a3d13ba13()()abab66ab6【命題立意】：本題綜合考查了線性規(guī)劃問(wèn)題和由基本不等式求函數(shù)的最值問(wèn)題.19.解：(文科)(I)略。(II)根據(jù)(I)及f(1)1,f(2)4,f(x)在1,2的最大值為4,最小值為1,因此，當(dāng)x1,2時(shí)，3af(x)b3的充要條件是；晨3即a,b滿足約束條件a b 3a b 34ab 34ab 3根據(jù)線性規(guī)劃的知識(shí)可求得的最大值為7.23 a f(x) b 3的充要條件是a b 3a b 31 a b 32a b 32Ic會(huì)較繁瑣)再利用x2的范圍，并借助()中的約束條件得c 2,0進(jìn)而求解。(理科)(I)f(x)2(x22"D當(dāng)x(2,1)時(shí)，f(x)0;當(dāng)x(,2)U(1,)時(shí),(x22)2f(x)0,所以函數(shù)“*)在(2,1)單調(diào)增加，在(，2),(1,)單調(diào)減少