概率統(tǒng)計：第八章 參數(shù)估計(第四節(jié))

1、第四節(jié) 正態(tài)分布均值和方差的區(qū)間估計我們知道，正態(tài)隨機變量是最為常見的，特別是很多產(chǎn)品的指標服從或近似服從正態(tài)分布。因此,我們主要研究正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計。先研究均值的區(qū)間估計，然后再研究方差的區(qū)間估計。這些在實際應(yīng)用中是很重要的.一：均值的區(qū)間估計下面分兩種情況進行討論。1 方差已知，對進行區(qū)間估計設(shè)總體，其中已知。又為來自于總體的樣本。由第七章第三節(jié)中的結(jié)論可知于是 ,由標準正態(tài)分布可知，對于給定的，可以找到一個數(shù)，使 , ,即 ,也就是說，落在區(qū)間內(nèi)的概率為。區(qū)間 , (8.11)即為的置信區(qū)間。稱為在置信度下的臨界值，或稱為標準正態(tài)分布的雙側(cè)分位點。當0.05時，查標準正態(tài)分布表得臨

2、界值1.96，此時的置信區(qū)間是當0.01時，查標準正態(tài)分布表得臨界值2.58，此時的置信區(qū)間是從上可知，越大，則越小,置信區(qū)間越小，(精度高,難于辦到),落在區(qū)間內(nèi)的把握也就越小。因此，在實際應(yīng)用中，要適當選取。例1：已知某種滾珠的直徑服從正態(tài)分布，且方差為0.06，現(xiàn)從某日生產(chǎn)的一批滾珠中隨機地抽取6只，測得直徑的數(shù)據(jù)（單位mm）為14.6 15.1 14.9 14.8 15.2 15.1試求該批滾珠平均直徑的95置信區(qū)間。解 當0.05時，,查表得1.96 , , 于是14.951.96，14.95+1.96，故所求置信區(qū)間為。對于不是服從正態(tài)分布的總體，只要足夠大，則由中心極限定理，隨機

3、變量近似地服從標準正態(tài)分布，因此仍然可以用作為的置信區(qū)間，但此時仍然又多了一次誤差。例 設(shè)是來自正態(tài)總體的樣本，未知，已知。對給定置信水平（），滿足 即 的實數(shù)有無窮多組，試求，使得的置信水平為的置信區(qū)間 的長度最短。（用標準正態(tài)分布的分布函數(shù)的反函數(shù)表示出所求的即可。）解：要求使得置信區(qū)間的長度最短，實際上是要求滿足等式，即的，使得最小，這是個條件極值問題。令其中表示標準正態(tài)分布的分布函數(shù)。求偏導有，令三個偏導數(shù)等于零，可得。由于，所以有與為相反數(shù)，即，再由等式，可得，。2、 方差未知，對進行區(qū)間估計上面的討論是在已知的情況下進行的，但實際應(yīng)用中往往是未知的情況。設(shè)為正態(tài)總體的一個樣本，由于

4、未知，我們用樣本方差來代替總體方差，,根據(jù)第七章定理四，統(tǒng)計量.于是，對給定的，查分布表可得臨界值，使得,即,故得均值的置信區(qū)間為 ,(8.12)當時，查t分布表得臨界值2.306。因此，在方差未知的情況下，的置信區(qū)間是 .例2 設(shè)有某種產(chǎn)品，其長度服從正態(tài)分布，現(xiàn)從該種產(chǎn)品中隨機抽取9件，得樣本均值9.28（cm），樣本標準差0.36（cm），試求該產(chǎn)品平均長度的90置信區(qū)間.解：當時，查t分布表得，于是9.281.86,故所求置信區(qū)間為9.06，9.50。例3 設(shè)燈泡的壽命服從正態(tài)分布，現(xiàn)從一批燈泡中隨機地抽取6只，測得壽命的數(shù)據(jù)（單位：h）為1020 , 1010 ,1050 ,1040

5、 ,1050 ， 1030.求燈泡壽命平均值的置信度為0.95的單側(cè)置信下限。解 由于總體方差未知，故統(tǒng)計量于是對給定的，查t分布表可得臨界值，使得,即 ,由此得到的置信度為的單側(cè)置信區(qū)間的置信度為的單側(cè)置信下限為 .本例中，0.95,n=6,= 代入得單側(cè)置信下限為.實際應(yīng)用 例4:收獲前如何預測水稻總產(chǎn)量問題問題：某縣多年來一直種植某種水稻品種并沿用傳統(tǒng)的耕作方法，平均畝產(chǎn)600千克，今年換了新的稻種，耕作方法也作了一些改進，收獲前，為了預測產(chǎn)量高低，先抽查了具有一定代表性的30畝水稻的產(chǎn)量，平均畝產(chǎn)642.5千克，標準差為160千克，如何估算總產(chǎn)量。解：由于總產(chǎn)量是隨機變量，因此最有參考

6、價值的是估算出總產(chǎn)量在某一個范圍內(nèi)，因而這是一個區(qū)間估計問題，設(shè)水稻畝產(chǎn)量X為一隨機變量，由于它受眾多隨機因素的影響，我們可設(shè)它服從正態(tài)分布，即。只要算出水稻平均畝產(chǎn)量的置信區(qū)間，則下限與種植面積的乘積就是對總產(chǎn)量最保守的估計，而上限與種植面積的乘積則是對總產(chǎn)量最樂觀的估計。根據(jù)正態(tài)分布關(guān)于均值的區(qū)間估計，在方差未知時，的置信度為95%的置信區(qū)間為(，其中為樣本標準差。在例中，n=30,，將這些數(shù)據(jù)代入，有=642.5因此得到的95%的置信區(qū)間為(582.25,699.75)。置信下限約為585.25千克/畝，小于以往的常數(shù)總體均值600千克/畝，置信上限約為700千克/畝，則大于以往總體均值

7、600千克/畝，由此得出的結(jié)論是：今年的產(chǎn)量未必比往年高。最保守的估計為畝產(chǎn)585.25千克，比往年略低；最樂觀的估計為畝產(chǎn)可達到700千克，比往年高出100千克。因上、下限差距太大，這將不能做出準確的預測，要解決這個問題，可在抽查70畝，前后共抽樣100畝，設(shè)平均畝產(chǎn)量與標準差不變，即,n=100，則的置信度為95%的置信區(qū)間為31.4，即(611.1,673.9)。置信下限比往年畝產(chǎn)600千克多11.1千克，這樣就可以預測，在很大程度上，今年水稻平均畝產(chǎn)至少比往年要高出11千克。三.方差的區(qū)間估計設(shè)總體，是來自于總體的樣本?，F(xiàn)利用樣本給出的置信區(qū)間?？紤]統(tǒng)計量,由第七章定理三可知，統(tǒng)計量 。于是，對給定的，查分布表，可得臨界值及,使得,因此，當總體中的參數(shù)為未知的情況下，方差的置信區(qū)間為 , (8.13)注意這里選取的臨界值,不是唯一的。例如可以選取等等。順便指出，的置信區(qū)間是 ，(8.14)例3：某自動車床生產(chǎn)的零件，其長度X服從正態(tài)分布，現(xiàn)抽取16個零件，測得長度（單位：mm）如下：12.15 ,12.12, 12.01 , 12.08, 12.16 ，12.09，12.17 ,12.16,12.03,12.01,12.06,12.18 12.13 12.07 , 12.11,12.08 , 12.01 ,12.03 ,