解直角三角形的中考試題特點(diǎn)與復(fù)習(xí)建議

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載解直角三角形的中考試題特點(diǎn)與復(fù)習(xí)建議初中階段的三角函數(shù)建立了直角三角形中邊與角的直接聯(lián)系，拓寬了三角形的研究領(lǐng)域，既為利用解直角三角形來解決生產(chǎn)生活中一些簡單的實(shí)際問題提供了新的工具，又為高中學(xué)習(xí)任意角的三角函數(shù)打下了的基礎(chǔ)。 解直角三角形這塊內(nèi)容是中考復(fù)習(xí)與考試的重要內(nèi)容之一，對此，同學(xué)們不應(yīng)忽視。一、試題特點(diǎn)近年來，不少省市的中考試題中，出現(xiàn)了與銳角三角函數(shù)和解直角三角形有關(guān)的題目，從知識角度講，它主要考查對三角函數(shù)概念及其有關(guān)計(jì)算、解直角三角形的技能及其將非直角三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形的思想方法等內(nèi)容的掌握情況；從能力角度講，它主要考查對三角函數(shù)定義的理解力，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化

2、為數(shù)學(xué)問題的建模能力，以及在綜合背景中恰當(dāng)運(yùn)用的能力。與三角函數(shù)有關(guān)的題目很多，形式也多種多樣，下面僅選擇幾個(gè)主要方面，從題目的設(shè)計(jì)角度，用實(shí)例加以評說，至于題目的解答可自己完成或查看有關(guān)資料。這些評說，同學(xué)們不妨認(rèn)真地讀讀，也許對你有一定幫助。1、從特殊角、特定角三角函數(shù)的計(jì)算、求值等方面設(shè)計(jì)題目例 1（ 20XX 年山東省中考題）計(jì)算tan45cos60cot 30的結(jié)果為（）。sin 60（A）1（B） 1（C）2 3 3（D）2 3133評說 ：這類題目如其說是考查對特殊角三角函數(shù)值的記憶是否準(zhǔn)確，更多地不如說是考查無理數(shù)的運(yùn)算。當(dāng)然，能否正確地完成此類題的解答，首先要以記住特殊角三角

3、函數(shù)值為前提，因此，記住特殊角的三角函數(shù)值是必需的。雖然數(shù)學(xué)中不提倡過多的機(jī)械記憶，但并不是說數(shù)學(xué)中就不需要記憶。其實(shí)，要記住 30°、 45°、 60°的三角函數(shù)值是不難的，這可通過直角三角形聯(lián)系勾股定理和三角函數(shù)定義來形象的和推理的“記住” （如圖 1 所示），還可通過練習(xí)達(dá)到自然記住的目的。學(xué)習(xí)必備歡迎下載例 2（ 20XX年江西省中考題）如圖 2,Rt ABC 中， ACB=90°,CD AB 于D,BC=3,AC=4, 設(shè) BCD= ,則 tan 的值為（）。B（A） 3（ B）443（C） 3（ D ）4AC55評說 ：求一個(gè)非 30

4、6;、 45°、 60°的角的三角函數(shù)值，其基本思路是利用三角函數(shù)的定義來求，當(dāng)所涉及的這個(gè)角不在某一個(gè)直角三角形中或雖在某一個(gè)直角三角形中但不便于直接求時(shí)，可利用另一個(gè)與之相等的角進(jìn)行轉(zhuǎn)換，以求另一個(gè)角的三角函數(shù)值而達(dá)到求這個(gè)角的三角函數(shù)值的目的。這種轉(zhuǎn)化的思想方法在數(shù)學(xué)上是非常有用的，同學(xué)們應(yīng)注意體會，并努力在自己的解題實(shí)踐中學(xué)會運(yùn)用這一思想方法。這里，因?yàn)?BCD = CAD ，所以，求 tan 就快而容易了。2、從建立解直角三角形模型來解決實(shí)際問題的角度設(shè)計(jì)題目例 3（ 2000 年長沙市中考題）如圖 3，學(xué)校測量組在池塘邊的A 點(diǎn)處測得 BAC=90 °

5、，在距離 A 點(diǎn) 10 米的 C 點(diǎn)處測得 ACB=60 ° .根據(jù)這些數(shù)據(jù)，你能算出A 、B 兩點(diǎn)間的距離嗎？AB請寫出解答過程。（精確到0.1 米,3 1.73）C圖 3評說 ：這是用解直角三角形來解決簡單實(shí)際問題的最基本模型，通過定義即刻可以求出答案。此題雖然簡單，但它確實(shí)告訴我們一種算出兩點(diǎn)間距離的實(shí)用方法：如池塘較大而難以直接丈量出A 、B 兩點(diǎn)間距離時(shí)， 可先間接測量某些數(shù)據(jù)，再通過計(jì)算而求得結(jié)果。這就是數(shù)學(xué)的力量，這種間接的方法也值得我們借鑒。例 4（ 20XX 年福州市中考題）某市在“舊城改造”中計(jì)劃在市內(nèi)一塊如圖4 所示的三角形空地上種植某種草皮以美化環(huán)境，已知這種

6、草皮每平方米售價(jià)a 元，則購買這種草皮至少需要（）（ A ）450a 元（ B ）225a 元（ C） 150a 元（D ）300a 元圖 4評說 ：題目中出現(xiàn)的是一個(gè)非直角三角形的問題，解決這類題目最有效的方法之一就是化歸：通過作輔助線將非直角三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形。有了這個(gè)思想作指導(dǎo)，問題迎刃而解。該題雖然不難，但所使用的方法值得我們重視。例 5（20XX 年山西省中考題）如圖 5， MN 表示某引水工程的一段設(shè)計(jì)路線，從 M 到 N 的走向?yàn)槟掀珫|30°。在 M 的南偏東60°方向上有一點(diǎn)A ，以 A 圓心、500m為半徑的圓形區(qū)域?yàn)榫用駞^(qū)。取MN 上另一點(diǎn)B,測得

7、BA 的方西南偏。學(xué)習(xí)必備歡迎下載東 75°測得 MB=400m, 通過計(jì)算回答，如果不改變方向，輸水路線是否會穿過居民區(qū)？評說：此題雖然涉及到方位角，但其實(shí)質(zhì)還是基本模式的變式。中考題中這類題目還不少，多數(shù)只是換了一下情景，或僅增加了一點(diǎn)復(fù)雜性，并沒有什么本質(zhì)上的改變，這就叫做萬變不離其宗。此題的核心部分分離出來就是圖 6。在數(shù)學(xué)中，分離圖形是一種重要的方法，圖形分離出來后，就可以排除一些不必要的干擾，將注意力集中在關(guān)鍵問題上，因此，同學(xué)們應(yīng)注意加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練。例 6（ 20XX 年安徽省中考題）如圖 7，自卸車車廂的一個(gè)側(cè)面是矩形ABCD,AB=3米， BC=0.5 米，車廂底

8、部距離的面1.2 米 .卸貨時(shí) ,傾斜的角度 =60 ° ,問此時(shí)車廂的最高點(diǎn) A 距離的面多少米？評說：這道題是一個(gè)實(shí)際問題，情景新，圖示較復(fù)雜，求解時(shí)稍有一點(diǎn)難度，但解決問題的基本方法還是轉(zhuǎn)化：先將實(shí)際問題數(shù)學(xué)化，再將數(shù)學(xué)化后的圖形（圖8）通過作輔助線轉(zhuǎn)化為幾個(gè)基本的直角三角形進(jìn)行求解。所以，同學(xué)們在學(xué)習(xí)時(shí)首要的不是學(xué)習(xí)什么題型，而是數(shù)學(xué)的思想方法與解題策略。例 7（ 20XX 年煙臺市中考題）如圖 9，某港口有燈塔A, 燈塔 A 的正方向有 B 、C 兩燈塔，以 BC 為直徑的半圓區(qū)域內(nèi)有若干暗礁，BC=18海里，一船在M 處測得燈塔 A、 C 分別在船的南偏西 60°

9、;和南偏西 15°方向，船沿MA 方向行駛6 海里恰好處在燈塔 C 的正北方向 N 處。（ 1）求 CN 的長；（精確到 0.1 海里）（ 2）若船繼續(xù)沿 MA 方向朝 A 行使，是否觸礁的危險(xiǎn)？（參考數(shù)據(jù)：21.414,31.732, sin150.2588,cos150.9658,cot 153.732 ）評說：此題的第一問本質(zhì)上與例4 相同；其第二問本質(zhì)上與例5 相同，可見它是兩種類型問題的綜合。因是綜合，圖形就會有新的變化，一時(shí)可能不知從哪下手。這時(shí)，仔細(xì)弄清問題中已知與所求的內(nèi)在關(guān)聯(lián)這常常是解決問題的關(guān)鍵，就可發(fā)現(xiàn)原圖可以分解兩個(gè)圖形（圖 10）、問題也可以分解為兩個(gè)基本問

10、題，于是，問題迎刃而解。3、從自主設(shè)計(jì)測量方案的角度來設(shè)計(jì)題目例 8（ 20XX年重慶市中考題）如圖 11， A、 B 是兩幢地平高度相等、隔岸相望的建筑物， B 樓不能到達(dá)，由于建筑物密集，在A 的周圍沒有開闊地帶，為了測量B 的高度學(xué)習(xí)必備歡迎下載只能充分利用A 樓的空間， A 的各層樓度可到達(dá)且能看見B, 現(xiàn)僅有的測量工具為皮尺和測角器（皮尺可用于測量長度，測角器可以測量仰角、俯角或兩視線相間的夾角。（1）請你設(shè)計(jì)一個(gè)測量B 樓高度的方法：要求寫出測量步驟和必需的測量數(shù)據(jù)（用字母表示），并畫出測量圖形。（ 2）用你測量的數(shù)據(jù)（用字母表示），寫出計(jì)算B 樓高度的表達(dá)式。）評說 : 此題從學(xué)

11、生自主設(shè)計(jì)測量方法的角度來設(shè)計(jì)題目， 有一定的開放性， 又有一定的實(shí)用性，可以較好地考查學(xué)生是否具有靈活運(yùn)用所學(xué)的知識來解決問題的能力。對于這樣的題目，可能有些學(xué)生還不適應(yīng)，不知如何下手，這時(shí)，可通過回想，從所學(xué)知識中通過問題的相似性來尋找設(shè)計(jì)方案的切入口。4、從三角函數(shù)與其它知識的綜合來設(shè)計(jì)題目例 9（ 20XX 年北京市東城區(qū)中考題）已知：如圖12，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、二、三象限，且與反比例函數(shù)的圖象交于A 、B 兩點(diǎn)，與 y 軸交于點(diǎn) C，與 x 軸交于點(diǎn)D， OB= 101,tan BOD= .3（ 1） 求反比例函數(shù)的解析式；（ 2） 略；（ 3）略。評說：將三角函數(shù)或解直角三角

12、形置于綜合題中進(jìn)行考查，其重點(diǎn)、難點(diǎn)通常不是三角函數(shù)或解直角三角形，而是其它的代數(shù)或幾何方面的知識與思想方法。這時(shí)，若涉及到三角函數(shù)值，通?？蓮暮瘮?shù)意義入手進(jìn)行考慮。若三角函數(shù)的角出現(xiàn)在直角坐標(biāo)系中，而又要利用三角函數(shù)的定義來考慮問題時(shí)，應(yīng)注意點(diǎn)的坐標(biāo)與直角三角形的直角邊的聯(lián)系與區(qū)別。二、復(fù)習(xí)建議雖然上面的實(shí)例沒有涉及到解直角三角形的各個(gè)方面（如，利用計(jì)算器求任意一個(gè)非特殊角的三角函數(shù)值，就沒有提到，若所在地允許計(jì)算器進(jìn)考場，自己就應(yīng)該補(bǔ)上相應(yīng)內(nèi)容的復(fù)習(xí)，等等，不一而足） ，但也使我們看到解直角三角形這部分內(nèi)容的中考試題的主要特點(diǎn)，因此，復(fù)習(xí)這部分內(nèi)容時(shí)應(yīng)注意如下幾點(diǎn)：1、三角函數(shù)的定義是整個(gè)解直角三角形這部分內(nèi)容的基礎(chǔ)，因此要緊緊抓住不妨。這不僅僅意味著要記住它的形式定義，更要抓住它的本質(zhì)。在初中階段，由于三角函數(shù)把直角三角形中的邊與角有機(jī)地結(jié)合起來，因而可用它有效地解決一些解直角三角形和一些簡單的非直角三角形的問題。這里，抓住基本圖形和順利地將非基本圖形轉(zhuǎn)化為基本圖形是非常重要的。2、轉(zhuǎn)化是解直角三角形的一個(gè)重要思想，它包括兩方面：一是將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，二是將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題，將組合問題轉(zhuǎn)化為基本問題。因此，在復(fù)習(xí)與解題過程中，應(yīng)注意體會與運(yùn)用。當(dāng)你做了若干道這方面的題目后，你將發(fā)現(xiàn)這許許多多的實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題