周三(1-2節(jié))第三章,剛體運(yùn)動學(xué) (2014-3-25)

1、大學(xué)物理大學(xué)物理 College Physics 華華 中中 科科 技技 大大 學(xué)學(xué) 物物 理理 學(xué)學(xué) 院院傅華華傅華華主主 講講 剛體的定軸轉(zhuǎn)動定律剛體的定軸轉(zhuǎn)動定律iiiprLLiiiFrMM剛體對轉(zhuǎn)軸上任意一點(diǎn)剛體對轉(zhuǎn)軸上任意一點(diǎn)的角動量、合外力矩的角動量、合外力矩與定軸轉(zhuǎn)動有關(guān)的與定軸轉(zhuǎn)動有關(guān)的只是它們的只是它們的Z Z分量分量zLzMzLzMLM改寫改寫2iirmJJM JL均是對轉(zhuǎn)軸的均是對轉(zhuǎn)軸的tdd mrJd2JM (Z軸軸)轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸剛剛 體體OOiRiriinA回顧回顧l 轉(zhuǎn)動慣量的計(jì)算轉(zhuǎn)動慣量的計(jì)算 2iirmJd2MJrm (1) 分立的質(zhì)量元構(gòu)成的系統(tǒng)分立的質(zhì)量元構(gòu)成的

2、系統(tǒng): (2) 質(zhì)量連續(xù)分布的系統(tǒng)質(zhì)量連續(xù)分布的系統(tǒng)(如如:剛體剛體):(3) 平行軸定理平行軸定理2mdJJCAl 幾種常用的轉(zhuǎn)動慣量幾種常用的轉(zhuǎn)動慣量 例例 . .一個飛輪一個飛輪m= =69kg，半徑，半徑R = =0.25m, , 正在以每分正在以每分1000轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)動。轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)動。 現(xiàn)在要制動飛輪，要求在現(xiàn)在要制動飛輪，要求在5.0秒內(nèi)秒內(nèi) 使它均勻減速而最后停下來。閘使它均勻減速而最后停下來。閘 瓦與輪子間的摩擦系數(shù)瓦與輪子間的摩擦系數(shù) = = 0.46。 求閘瓦對輪子的壓力求閘瓦對輪子的壓力N為多大？為多大？解：飛輪制動時有角加速度解：飛輪制動時有角加速度t0 rad/s7.

3、104min/r1000o 0s5 t2rad/s9.20 外力矩是摩擦阻力矩，角加速度為負(fù)值。外力矩是摩擦阻力矩，角加速度為負(fù)值。RfMrNR JM mR221)(3922N mR N oNfr tt0odJM 例例. 在半徑為在半徑為R，質(zhì)量為，質(zhì)量為 m，J= mR2的圓輪上掛一細(xì)繩的圓輪上掛一細(xì)繩 細(xì)繩兩端各掛兩物細(xì)繩兩端各掛兩物 m1m2。求兩物的。求兩物的 a及輪子的及輪子的 ？21m2m1解：解： m1、m2可作為質(zhì)點(diǎn)處理，可作為質(zhì)點(diǎn)處理， 輪子作剛體處理。輪子作剛體處理。各物受力情況如圖：各物受力情況如圖：m1gT1m2gT2T1T2T1T2=根據(jù)牛頓定律：根據(jù)牛頓定律：amT

4、gm111)(222amTgmy根據(jù)根據(jù)定軸轉(zhuǎn)動定律定軸轉(zhuǎn)動定律： JRTRT21 aa R解得：解得：gmmmmma212121Rgmmmmm212121? JM 例例 . .一根長為一根長為L、質(zhì)量為、質(zhì)量為m的均勻細(xì)直棒，其一端有一的均勻細(xì)直棒，其一端有一 固定的光滑水平軸，因而可以在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動。固定的光滑水平軸，因而可以在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動。 最初棒靜止在水平位置，求它由此下擺最初棒靜止在水平位置，求它由此下擺 角時的角角時的角 加速度和角速度。加速度和角速度。解：棒下擺為加速過程，外解：棒下擺為加速過程，外 力矩為重力對力矩為重力對O的力矩。的力矩。 棒上取質(zhì)元棒上取質(zhì)元dm, ,當(dāng)

5、棒處在當(dāng)棒處在 下擺下擺 角時角時，重力矩為：重力矩為：mxgMdd XOgdmdmxCmgxM mxgdmmcx重力對整個棒的合力矩與全部重力集中重力對整個棒的合力矩與全部重力集中作用在質(zhì)心所產(chǎn)生的力矩一樣。作用在質(zhì)心所產(chǎn)生的力矩一樣。 cosLxc21 mgLcos M21JM 23121mLcosmgL Lcosg23 mgC mxgMd合力矩：合力矩：JM ddt tdd dd dd dd Lcosg23 Lgcos 0023dd22123 sinLgLsing 3 又：又：即：即：mgCXOxcLcosg23 若一人突然松手，另外若一人突然松手，另外一人手上的力在這一瞬一人手上的力在

6、這一瞬間如何變化？間如何變化？問題：問題：例例 . . 質(zhì)量為質(zhì)量為m、長為、長為L L的勻質(zhì)細(xì)桿水平放置，一端為的勻質(zhì)細(xì)桿水平放置，一端為 鉸鏈，另一端用繩懸掛。求剪斷繩子瞬時，桿的鉸鏈，另一端用繩懸掛。求剪斷繩子瞬時，桿的 角加速度以及鉸鏈的支撐力。角加速度以及鉸鏈的支撐力。分析：分析：.解：解：gmF剪斷時剪斷時F = mg或或mgF21?0 0 0M剪斷時細(xì)桿繞剪斷時細(xì)桿繞O O點(diǎn)的力矩為點(diǎn)的力矩為omgLM21根據(jù)定軸轉(zhuǎn)動定律根據(jù)定軸轉(zhuǎn)動定律JM 231mLJ Lg23 質(zhì)心平動：質(zhì)心平動：cmaFmg Lac21)(cagmFmg41問：問：若桿從上方轉(zhuǎn)下來到水平位置時若桿從上方轉(zhuǎn)

7、下來到水平位置時o 此時此時?F rac自己練習(xí)！自己練習(xí)！ 竿子長些還是短些安全？竿子長些還是短些安全？ 飛輪的質(zhì)量為什么大飛輪的質(zhì)量為什么大都分布于外輪緣？都分布于外輪緣？轉(zhuǎn)動慣量的大小取決于剛體的轉(zhuǎn)動慣量的大小取決于剛體的質(zhì)量質(zhì)量、分布及轉(zhuǎn)軸的位置分布及轉(zhuǎn)軸的位置. 幾個生活中的實(shí)際例子：幾個生活中的實(shí)際例子： 長長桿桿短短鉛鉛筆筆竿子長些還是短些安全？竿子長些還是短些安全？續(xù)上 從小傾角從小傾角 處靜止釋放處靜止釋放兩勻直細(xì)桿兩勻直細(xì)桿地面地面短桿的角加速度大短桿的角加速度大且與勻質(zhì)直桿的質(zhì)量無關(guān)且與勻質(zhì)直桿的質(zhì)量無關(guān)兩者瞬時角加速度之比兩者瞬時角加速度之比213 1 1321根據(jù)剛體

8、中任一質(zhì)元剛體中任一質(zhì)元 的速率的速率該質(zhì)元的動能該質(zhì)元的動能對所有質(zhì)元的動能求和對所有質(zhì)元的動能求和轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量 JJ得得2iirmJ力力 的元功的元功力對轉(zhuǎn)動剛體所做的功用力矩的功來計(jì)算力對轉(zhuǎn)動剛體所做的功用力矩的功來計(jì)算切向切向若在某變力矩若在某變力矩 的作用下，剛體由的作用下，剛體由 轉(zhuǎn)到轉(zhuǎn)到 ，做的總功為做的總功為力矩的瞬時功率力矩的瞬時功率回憶質(zhì)點(diǎn)的動能定理回憶質(zhì)點(diǎn)的動能定理剛體轉(zhuǎn)動的動能定理剛體轉(zhuǎn)動的動能定理由由 力矩的元功力矩的元功轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動定律合外力矩的功合外力矩的功轉(zhuǎn)動動能的增量轉(zhuǎn)動動能的增量稱為稱為則則4、剛體的重力勢能、剛體的重力勢能yhihcxOMC mi一一個

9、質(zhì)元的勢能：個質(zhì)元的勢能：iiighmE iiiPhgmE )(iiihmg 整個剛體的勢能：整個剛體的勢能：剛體的重力勢能剛體的重力勢能 cMghMM它的全部質(zhì)量都它的全部質(zhì)量都集中在質(zhì)心時所集中在質(zhì)心時所具有的勢能具有的勢能. . iicxmMx1 iicymMy1 iiczmMz1機(jī)械機(jī)械外外力力非保守內(nèi)非保守內(nèi)力矩力矩力力力矩力矩則系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。則系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。外外力力力矩力矩非保守內(nèi)非保守內(nèi)力矩力矩力力若若1. 剛體的角動量剛體的角動量剛體上的一個質(zhì)元繞固定軸做圓周運(yùn)動時相剛體上的一個質(zhì)元繞固定軸做圓周運(yùn)動時相對于轉(zhuǎn)軸上任意一點(diǎn)對于轉(zhuǎn)軸上任意一點(diǎn)O 的角動量在軸上的分的角動量

10、在軸上的分量的大小均為：量的大小均為：vmrPrL質(zhì)點(diǎn)對定點(diǎn)的角動量：質(zhì)點(diǎn)對定點(diǎn)的角動量：所以，剛體對此軸的角動量定義為：所以，剛體對此軸的角動量定義為：iizzLLiriiiizvmrL iimr2 剛體對固定轉(zhuǎn)動軸的角動量剛體對固定轉(zhuǎn)動軸的角動量L,等于它對該軸的轉(zhuǎn)動慣等于它對該軸的轉(zhuǎn)動慣量量J 和角速度和角速度 的乘積。的乘積。zim izL )(2iiirm zJ JL簡寫為：簡寫為：四、剛體的角動量定理和角動量守恒定律四、剛體的角動量定理和角動量守恒定律dtLdM質(zhì)點(diǎn)的角動量定理為：質(zhì)點(diǎn)的角動量定理為：對質(zhì)點(diǎn)對質(zhì)點(diǎn)系系任意一質(zhì)點(diǎn)任意一質(zhì)點(diǎn):dtLdMii內(nèi)外iiiMMM dtdLMi

11、izzdtdLMiziz定軸方向定軸方向0外iMM外izzMM dtLdiz dtdLz對質(zhì)點(diǎn)對質(zhì)點(diǎn)系系:zzdLdtM由上可得：由上可得： zzJL dLdtM簡寫簡寫 dtdLMzz)( zJdtdconstJz dtdJMzz zJ定軸轉(zhuǎn)動定律定軸轉(zhuǎn)動定律constJz dt)J(dMzz剛體剛體繞繞定軸定軸的角動量定理的角動量定理LddtM2. 剛體剛體繞繞定軸定軸的角動量定理的角動量定理合外力矩合外力矩 對剛體對剛體繞繞定軸定軸的沖量矩為：的沖量矩為：MdLMdtotooJJ oLtLotLL PddtFotPPovmvm與動量定與動量定理比較：理比較：即：即：對某對某一一定軸的外力

12、矩的作用在某段時間內(nèi)的累定軸的外力矩的作用在某段時間內(nèi)的累 積效果為剛體對同一轉(zhuǎn)動軸的角動量的增量。積效果為剛體對同一轉(zhuǎn)動軸的角動量的增量。dLMdt( (微分形式微分形式) )剛體剛體繞繞定軸定軸的角動量定理的角動量定理000JJdtMt( (積積分形式分形式) )dLMdtototLL dLMdt當(dāng)合外力矩當(dāng)合外力矩0M則：則：otLL const角動量守恒角動量守恒討論討論1）當(dāng)）當(dāng) L=常量，常量， 若若J=常量，常量， 則則 =常量，常量，即：剛體保持恒定的角速度即：剛體保持恒定的角速度 轉(zhuǎn)動。轉(zhuǎn)動。2）當(dāng)）當(dāng) L =常量，常量，但但J 常量，常量， J =常量，常量，則則 常量，常

13、量，1122JJJ 3) 此定律對多個剛體、質(zhì)點(diǎn)組成的系統(tǒng)也成立。此定律對多個剛體、質(zhì)點(diǎn)組成的系統(tǒng)也成立。 JL例：系統(tǒng)由兩個剛體組成，例：系統(tǒng)由兩個剛體組成，設(shè)初時刻，設(shè)初時刻，Lo= 0任意任意t 時刻，時刻，Lt=0系統(tǒng)無轉(zhuǎn)動：系統(tǒng)無轉(zhuǎn)動：21LL 0系統(tǒng)有轉(zhuǎn)動：系統(tǒng)有轉(zhuǎn)動：021LL21LL2211 JJ即即：21JJ 若若則：則：21 同一轉(zhuǎn)軸同一轉(zhuǎn)軸或或J3. .角動量守恒定律角動量守恒定律直升飛機(jī)防止機(jī)身旋動的措施用兩個對轉(zhuǎn)的頂漿（支奴干 CH47)用 尾 漿（美洲豹 SA300）（ 海豚 ）角動量守恒定律的應(yīng)用角動量守恒定律的應(yīng)用受合外力矩為零受合外力矩為零回轉(zhuǎn)體質(zhì)量呈軸對稱分

14、布；回轉(zhuǎn)體質(zhì)量呈軸對稱分布；軸摩擦及空氣阻力很小。軸摩擦及空氣阻力很小。角動量守恒角動量守恒回轉(zhuǎn)儀定向原理回轉(zhuǎn)儀定向原理使其以一定的角速度高速旋轉(zhuǎn)，使其以一定的角速度高速旋轉(zhuǎn)，其中轉(zhuǎn)動慣量其中轉(zhuǎn)動慣量J為常量。為常量。若將回轉(zhuǎn)體轉(zhuǎn)軸指向若將回轉(zhuǎn)體轉(zhuǎn)軸指向Z方向，方向，則轉(zhuǎn)軸將保持該方向不變，則轉(zhuǎn)軸將保持該方向不變，而不會受基座改向的影響。而不會受基座改向的影響。（轉(zhuǎn)動慣量（轉(zhuǎn)動慣量 ）回轉(zhuǎn)體回轉(zhuǎn)體萬萬向向支支架架基基 座座常量常量 JL Z 例例: :如圖所示如圖所示, ,一質(zhì)量為一質(zhì)量為m的子彈以水平速度射入一靜止的子彈以水平速度射入一靜止 懸于頂端的長棒的下端懸于頂端的長棒的下端, ,穿出

15、后速度損失穿出后速度損失3/ /4, ,求子彈求子彈 穿出后棒的角速度穿出后棒的角速度 . .已知棒長為已知棒長為L, ,質(zhì)量為質(zhì)量為M. .v0vmM解解: :問問: :子彈和棒的總動量是否子彈和棒的總動量是否守恒守恒? ?系統(tǒng)對軸的總角動量守恒。系統(tǒng)對軸的總角動量守恒。 JmvLLmv0 J40/mLvLmv0L LJLmv430 MLmv490 231mLJ 故：故： mgZL 陀螺在繞自身的對稱軸轉(zhuǎn)動的同時陀螺在繞自身的對稱軸轉(zhuǎn)動的同時, ,其對稱軸繞經(jīng)過其對稱軸繞經(jīng)過定點(diǎn)定點(diǎn)( (如如: :O點(diǎn)點(diǎn)) )的軸的軸( (如如: :OZ軸軸) )轉(zhuǎn)動，這種高速自旋的物體轉(zhuǎn)動，這種高速自旋的

16、物體的轉(zhuǎn)軸在空間轉(zhuǎn)動的現(xiàn)象稱為的轉(zhuǎn)軸在空間轉(zhuǎn)動的現(xiàn)象稱為進(jìn)動進(jìn)動( (回轉(zhuǎn)效應(yīng)回轉(zhuǎn)效應(yīng)) )。p OrdL L重力對重力對O點(diǎn)的力矩始終與角動量垂直，點(diǎn)的力矩始終與角動量垂直，所以角動量只改變方向而大小不變，所以角動量只改變方向而大小不變，從而產(chǎn)生旋進(jìn)運(yùn)動從而產(chǎn)生旋進(jìn)運(yùn)動, ,即即進(jìn)動進(jìn)動。dL 的的方方向向與與重重力力矩矩的的相相同同。五五. 進(jìn)動進(jìn)動tMLdd tgmrd LLLd 進(jìn)動的角速度：進(jìn)動的角速度：ddpt ddsinLL ddddsinLLMtt sinpL LOdL sinL p d sinsinpMMLJ 注意：注意：上述討論中上述討論中, 將高速旋轉(zhuǎn)的陀螺對將高速旋轉(zhuǎn)的

17、陀螺對O點(diǎn)的角點(diǎn)的角 動量近似成了陀螺對本身對稱軸的角動量動量近似成了陀螺對本身對稱軸的角動量?；剞D(zhuǎn)效應(yīng)（回轉(zhuǎn)效應(yīng)（進(jìn)動進(jìn)動）的應(yīng)用舉例：）的應(yīng)用舉例：來復(fù)線使槍彈、炮彈在飛行時能繞自身的對來復(fù)線使槍彈、炮彈在飛行時能繞自身的對 稱軸旋轉(zhuǎn)稱軸旋轉(zhuǎn),在空氣阻力的作用下不會翻在空氣阻力的作用下不會翻“筋斗筋斗”，而是產(chǎn)生進(jìn)動，使總的運(yùn)動基本保持原方向。而是產(chǎn)生進(jìn)動，使總的運(yùn)動基本保持原方向。(3) 抗磁性的起源抗磁性的起源: 電子在外磁場中的進(jìn)動。電子在外磁場中的進(jìn)動。(2) 飛機(jī)的自動駕駛，輪船的穩(wěn)定器飛機(jī)的自動駕駛，輪船的穩(wěn)定器例例: :如圖所示，將單擺和一等長的勻質(zhì)直桿懸掛在同一點(diǎn)，桿如圖所

18、示，將單擺和一等長的勻質(zhì)直桿懸掛在同一點(diǎn)，桿的質(zhì)量的質(zhì)量m與單擺的擺錘相等。開始時直桿自然下垂，將單擺的與單擺的擺錘相等。開始時直桿自然下垂，將單擺的擺錘拉到高度擺錘拉到高度h0 ，令它自靜止?fàn)顟B(tài)下，令它自靜止?fàn)顟B(tài)下落落, ,于鉛垂位置和直桿作于鉛垂位置和直桿作彈性碰撞。求碰撞后直桿下端達(dá)到的彈性碰撞。求碰撞后直桿下端達(dá)到的最大最大高度高度h. .解解: :002ghv 設(shè)碰撞后桿的角速度為設(shè)碰撞后桿的角速度為 ，擺錘的速度為擺錘的速度為v。由角動量守恒有：由角動量守恒有： Jvmlmlv 0碰撞過程中機(jī)械能也守恒碰撞過程中機(jī)械能也守恒: :2220212121 Jvmmv lv,vv23200 amll0h碰撞前單擺的速度為碰撞前單擺的速度為chchh b按機(jī)械能守恒，碰撞后擺錘達(dá)到