隨機過程(十四)-布朗運動

1、Brown運動隨機游動設一個粒子在直線上做隨機游動，每隔Dt時間內等可能的向左或向右移動Dx的距離。若記X(t)記時刻t粒子的位置，則1 /( )()ttX tx XXD D其中1i 1i1(1)(1),()0,var()12iiiiiiXXP XP XE XX 如果第 步向右，相互獨立如果第 步向左問：要令Dt和Dx趨于零，X(t)將會具有哪些性質？首先來看1 /221 /( )()0( )()()() ( /)ttttE X tEx XXVar X tx Var XXxttDDD D DD因此，32,0( )0,( )0a.s.() ,0, ( ),0, ( )txtVar X tX tt

2、xtVar X txttVar X ttD DD D DD D DD 若取令，則從而 ，若取令則若取令則容易證明：（1）X(t)服從均值為0，方差為2t的正態(tài)分布；（2）X(t),t0有獨立增量（3） X(t),t0有平穩(wěn)增量Brown運動的定義隨機過程B(t),t0如果滿足（1）B(0)0 ；（2）B(t),t0有平穩(wěn)獨立增量;（3） 對每個t0，B(t) 服從正態(tài)分布N(0,2t).則稱B(t),t0為布朗運動，也稱為wiener過程。如果1，則稱為標準布朗運動。注：第(1)條并不是必須的。如果B(0)x，則稱B(t),t0為始于x的布朗運動，記為Bx(t) 。Brown運動的另一種定義B

3、rown運動是具有如下性質的隨機過程B(t), t0：（1）正態(tài)增量性：（2）獨立增量性：B(t)-B(s)獨立于過程的過去狀態(tài)B(u), 0us。（3）路徑的連續(xù)性: B(t)是t的連續(xù)函數。( )( ) (0,), B tB sNtstsBrown的分布性質22/2() /20( 1 ) ( ) (0, ), 1 ( )2 ( ) ( , ), 1 ()2( )xttxy xttdxB tNtf xetB tN x tf yxetBB tx它的密度函數為它的密度函數為空間齊次性t,0,0, (|) (|)(,0)tt stt stuX tPs tyRP XyP Xy XXut稱隨機過程是一

4、族定義在（ ， ）上的馬氏過程，如果對任意及任意均有其中FFF定義：定義：連續(xù)Markov過程的轉移概率定義為在時刻s處于狀態(tài)x的條件下，過程在時刻t的分布函數( , , , )( )|( )P y t x sP X ty X sxBrown的馬氏性2()( )()( )( )()( )( )2( )()( )(|)(|) ()() (|) uB t suB tu B t sB tttuB tu B t sB tu tuB tuB tu B t sB ttE eFeE eFeE eeeeE eBBrown運動滿足馬氏性,采用條件期望證明如下獨立增量性）() (|)uB t stE eF在Bro

5、wn運動的情況下，轉移概率是正態(tài)的()2()( , , , )( ( )|( )( ( )( )12 ()u xyt sP y t x sP B ty B sxP B tB syxeduts轉移概率函數滿足P(y,t,x,s)=P(y,t-s,x,0 )，即( ( )|( )( ()|(0)P B ty B sxP B tsy Bx這個性質稱為Brown運動的時間時齊性,即分布不隨時間而變化.2()2( )()( , ),1 ( , ) ()2( , )sty xttttB sxB tsp x yp x yef yxtp x y已知，的條件密度記為因此，與 無關。2/2(3)( )() ()|

6、( ) ()( )12y xutB sxB tsP B tsy B sxP B tsB syxedut已知，的條件分布1111111111 ( ), ( ) ( )|( ),11 ( ),11 ( )|() ()|( ),12 ( ),12 ( )|() ()|(nnnniiiinnnnnniiiinnnnnnnP B txB txP B txB txinP B txinP B txB txP B txB txinP B txinP B txB txP B txB t 12121122221111111221) ( )|( ) ( ( )(0,)( ,)(,)nnnnxxxtttttnnnxP

7、 B txB tx P B txpy dypx y dypxy dy有限維分布密度112111211, ,111211211( ,)(0,)( ,)(,)()()()nnnnnttntttttnntttttnnfxxpx px xpxxfxfxxfxx注：由有限維分布，可以計算任何想求的條件概率。例如，求給定B(t)=y時，B(s)，ss，則E(B(t)B(s)=s。再由正態(tài)分布的性質和數學歸納法得到B(t)的任意有限維分布都是多元正態(tài)分布。(5) B(t),t0是均值函數為m(t)=0, 協(xié)方差函數(s,t)=min(s,t)高斯過程。?下面證明B(t)的任意有限維分布都是多元正態(tài)分布。首先

8、對任意t1t2，B(t1)N(0,t1), B(t2) N(t2)，Cov(B(t1), B(t2) )=t1，則利用正態(tài)分布的性質111212( ( ), ( ) ( ,),(0,0),ttB tB tNtt 利用數學歸納法可以證明(B(t1), B(t2),B(tn)服從多元正態(tài)分布。例：設B(t),t0是標準布朗運動，1、求P(B(2)0)和P(B(t)0，t0,1,2)。2、求B(1)+ B(2)+ B(3)+ B(4)的分布。3、1112( )( )( )( )6323BBBB求的分布。解：1、011(2) (0,2), ( (2)0)2( (1)0, (2)0)( (1)0, (1

9、)(2)(1)0) ( (1)0, (2)(1)(1) ( (2)(1) ( ) BNP BP BBP BBBBP BBBBP BBx f x dx 由于所以01100112 () ( ) ( )()( )( )3 8x f x dxx fx dxx dxydy 由條件期望的性質由積分的變量替換公式2、考慮隨機向量X=(B(1),B(2),B(3),B(4),由定理7.2可知，X是多元正態(tài)分布，具有零均值和協(xié)方差矩陣令A=(1,1,1,1),則1111122212331234 1234(1)(2)(3)(4)AXXXXXBBBB是均值為0，方差為AA30的正態(tài)分布。請同學們思考一下第3題的答案

10、應該等于多少？Brown 運動的鞅性定理1)B(t)是鞅；2)B(t)2t是鞅；3)對任何實數u， 是鞅。2exp( )2uuB tt1）的證明可積性。由Brown運動的定義，B(t)N(0, t), 所以B(t)可積，且EB(t)=0.鞅性 ()| ( )()( )| ( )| ()( )| ( ) ()( ) ( )ttttE B tsE B tB tsB tE B tE B tsB tB tE B tsB tB tFFFF2）和3）的證明參見教材P1652）的證明：由于E(B2(t)=t=0使得是連續(xù)鞅，則是brown運動。222()() |( )()( )tEBtstsFsB ttsB

11、 tt2( ),0X tt t(3) 由于B(t)N(0,t),由正態(tài)分布的矩母函數知這說明 可積，并且 2( )/2()B t utuE ee ( )B t ue( )B t ue2( )2()1uuB ttE e由于布朗運動具有獨立增量性，對任何函數g(x)有，令 則 ( )xug xe()()()( ) |()( )tE g B tsB tFE g B tsB t()2()( )( )()()( )( )()( )( )( )2(|)(|) (|) u B t sB tB tuB t sttu B t sB tuB ttu B t sB tuB tusuB tE eFE eFeE eFe

12、E eee將上式兩邊同時乘以 2()2ut se2222()()()( )( )2222(|)uuuut sst stuB t suB tuB ttE eeFeeeeeBrown運動的路徑性質（1）B(t),t0是t的幾乎處處連續(xù)函數；（2）在任何區(qū)間（無論區(qū)間有多小）都不是單調的；（3）幾乎處處不可微；（4）在任何區(qū)間（無論區(qū)間有多?。┒际菬o限變差的，例：在區(qū)間0,t上的變差（5）對任何t，在0,t上的二次變差等于t，即在幾乎處處收斂的意義下12100lim ()( ), . . , ( ), . .nnnniiiB tB tt aeB B tt ae通常記為110010 lim|()( )

13、| max()nnnniiinnniiii nB tB tttt n這里是0,t上的分割，（3）的簡要證明：由Brown運動的性質知22()( )1B thB thEhhh取極限得20()( )limhB thB tEh 假設B(t)是可微的，其導數為B(t)存在，則20()( )lim( )0hB thB tEB th從而220()( )lim( )hB thB tEE B th與（1）式矛盾（1）（4）的證明：利用有界變差函數幾乎處處可導的性質（證明參見實變函數論徐森林著，P319）即可得證。01210112110042 , ()( ) () ()( )()4E(X )=3(| )() n

14、niinnnnnniiinnnnnnniiiiiinntSB tB tE SE B tB ttttE StVar SV 取區(qū)間0,t的分割使得記則再由標準正態(tài)分布的 階矩公式()得1122110012110( ()( ) )( ()( ) 3()3max()3nnnnnniiiiiinnnnniiiiniarB tB tVar B tB ttttttt證明 (5)取n使得 則 ,12121 () (- ) ) (- ). ., . ., , ( ).nnnnnnnnnVar StEStSta sSta sB B tt 由單調收斂定理，得因此，于是（n）故1nni 例：求概率解：首先說明積分的存

15、在性。由于B(t)具有連續(xù)的運動路徑，即對每個w，B(t)(w)是t的幾乎處處連續(xù)函數，因此Rieman積分 存在。因此隨機變量 是有意義的。 下面來求 的分布。由Rieman積分的定義知，102( )3PB t dt 10( )( )B tdtw10( )B t dt10( )B t dt10|0011 ( )lim( )010 1,| maxniiniiiniB t dtB tttttttttD DD DD+是 ， 上的一個劃分，其中每個求和項都是均值為0的正態(tài)分布，因此 是均值為零的正態(tài)分布。下面計算 的方差。10( )B t dt10( )B t dt11100011001100110

16、0var( )cov( ),( ) ( )( ) ( ) ( ) cov ( ), ( ) minB t dtB t dtB s dsEB t dtB s dsE B t B s dtdsB tB s dtds 1100( , )t s dtds 1110001100var( )min( , )1 ()3ttB t dtt s dtdssdstds dt 因此， ，101( )(0, )3B t dtN11002( ) 3( )23 1(2)0.025PB t dtPB t dt Brown運動的擊中時記Tx為標準Brown運動首次擊中x的時刻，即inf0:( )xTtB tx下面計算PTxt

17、。1、對于x0，若Txt，則B(t)在0, t內的某個點擊中x，由于對稱性，顯然有1( ( )|)( ( )|)2xxP B tx TtP B tx Tt因此，由全概率公式 ( ) ( )| ( )| xxxxP B txP B tx Tt P TtP B tx Tt P Tt因為x0，由Brown運動的連續(xù)性，B(t)不可能還未擊中x，就大于x，因此上式的第二項為零。于是22/2/2/2 ( )22 22xytyxxtP TtP B txedyedyt對于x0, 根據Brown運動的連續(xù)性利用類似的方法，可以得到Brown運動的最小值的分布為0( )min( )s tm tB s 2/2/02(min( )(),02yxxts tPB sxP Ttedy x 證明做習題。Brown運動的零點定義：如果時間t使得B(t)=0，則稱t是Brown運動的零點。下面計算PB(x)在區(qū)間(t1,t2)中至少有一個零點的概率。對B(t1)取條件得21211B(t)1B(t)( )2xtPPB tx edxt1212在區(qū)間(t ,t )至少有一個零點在區(qū)間(t ,t )至少有一個零點|所以1| |21B(t)( )xPB txP Ttt12在區(qū)間