復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算

1、2021/3/2712021/3/272 兩個復(fù)數(shù)的和（差）依然是一個復(fù)數(shù)兩個復(fù)數(shù)的和（差）依然是一個復(fù)數(shù), ,它的實(shí)它的實(shí)部是原來的兩個復(fù)數(shù)實(shí)部的和（差）部是原來的兩個復(fù)數(shù)實(shí)部的和（差）, ,它的虛部是它的虛部是原來的兩個復(fù)數(shù)虛部的和（差）原來的兩個復(fù)數(shù)虛部的和（差）, ,并滿足交換律和并滿足交換律和結(jié)合律。結(jié)合律。1 1、復(fù)數(shù)加法、復(fù)數(shù)加法: :Z Z1 1+Z+Z2 2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+di)=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+di)2 2、減法、減法: :Z Z1 1-Z-Z2 2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-di)=(a+b

2、i)-(c+di)=(a-c)+(b-di)3 3、幾何意義、幾何意義: :復(fù)數(shù)的加法可以按照向量復(fù)數(shù)的加法可以按照向量的加法進(jìn)行的加法進(jìn)行, ,復(fù)數(shù)的減法可以按照向量的復(fù)數(shù)的減法可以按照向量的減法進(jìn)行。減法進(jìn)行。2021/3/2731.1.復(fù)數(shù)的乘法法則復(fù)數(shù)的乘法法則: :2acadibcibdi)()acbdbcad i（說明說明:(1):(1)兩個復(fù)數(shù)的積仍然是一個復(fù)數(shù)兩個復(fù)數(shù)的積仍然是一個復(fù)數(shù); ; (2) (2)復(fù)數(shù)的乘法與多項(xiàng)式的乘法是類似的復(fù)數(shù)的乘法與多項(xiàng)式的乘法是類似的，只是在，只是在運(yùn)算過程中把運(yùn)算過程中把 換成換成1 1，然后實(shí)、虛部分別合并，然后實(shí)、虛部分別合并. .i2

3、(3)(3)易知復(fù)數(shù)的乘法滿足交換律、結(jié)合律以及分配律易知復(fù)數(shù)的乘法滿足交換律、結(jié)合律以及分配律即對于任何即對于任何z1 , z2 ,z3 C,有有,()(),().zzzzzzzzzzz zzz zz z12211231231231 21 3()()abi cdi2021/3/274例例1.1.計算計算(2i i )(32i i)(1+ +3i i) 復(fù)數(shù)的乘法與多項(xiàng)式的乘法是類似的復(fù)數(shù)的乘法與多項(xiàng)式的乘法是類似的. . 我們知道多項(xiàng)式的乘法用乘法公式可迅速展開運(yùn)算我們知道多項(xiàng)式的乘法用乘法公式可迅速展開運(yùn)算, ,類似地類似地, ,復(fù)數(shù)的乘法也可大膽運(yùn)用乘法公式來展開運(yùn)算復(fù)數(shù)的乘法也可大膽運(yùn)

4、用乘法公式來展開運(yùn)算. .2021/3/275 實(shí)數(shù)集實(shí)數(shù)集R R中正整數(shù)指數(shù)的運(yùn)算律中正整數(shù)指數(shù)的運(yùn)算律, ,在復(fù)數(shù)集在復(fù)數(shù)集C C中仍然成立中仍然成立. .即對即對z z1 1,z,z2 2,z,z3 3CC及及m,nNm,nN* *有有: : z zm mz zn n=z=zm+nm+n, , (z (zm m) )n n=z=zmnmn, , (z (z1 1z z2 2) )n n=z=z1 1n nz z2 2n n. .2021/3/27612345678,()i i iiiiiinN例(1)求, , , , , 的值；（2）由（1）推測的值有何規(guī)律？并把這個規(guī)律用式子表示出來。

5、ni12345678,1,111ii iii iiiiii i ( 1), =, = ；41424344,1,1nnnnii iii i ( 2),練習(xí)練習(xí): 1+i1+i2+i3+i 2012的值為的值為( )(A) 1 (B) -1 (C) 0 (D) i2021/3/277注意注意 a+bi 與與 a- -bi 兩復(fù)數(shù)的特點(diǎn)兩復(fù)數(shù)的特點(diǎn).例例3.計算計算(a+bi)(a- -bi)思考：思考：在復(fù)數(shù)集在復(fù)數(shù)集C內(nèi)，你能將內(nèi)，你能將 分解因式嗎？分解因式嗎？22yx 22 ()abi（ ）222babia222()()2abiababi22 22aabib i222ababi例例22021

6、/3/278 2、定義、定義:實(shí)部相等實(shí)部相等, ,虛部互為相反數(shù)虛部互為相反數(shù)的的兩個復(fù)數(shù)叫做互為兩個復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù)共軛復(fù)數(shù). .思考思考: :設(shè)設(shè)z= =a+ +bi ( (a, ,bR ),R ),那么那么復(fù)數(shù)復(fù)數(shù) z= =a+ +bi 的共軛復(fù)數(shù)記作的共軛復(fù)數(shù)記作?zz, zzabi即即?zzzzzzzzzz12121212, 另外不難證明另外不難證明:2a2biz z22ab | |ZZZZ2021/3/279思考思考:？若若z1 , z2是共軛復(fù)數(shù)是共軛復(fù)數(shù),那么那么在復(fù)平面內(nèi)在復(fù)平面內(nèi),它們所對應(yīng)的它們所對應(yīng)的點(diǎn)點(diǎn)有怎樣的位置關(guān)系有怎樣的位置關(guān)系?z1z2是一個怎樣的數(shù)是一

7、個怎樣的數(shù)?解解:作圖作圖得出結(jié)論得出結(jié)論:在復(fù)平面內(nèi)在復(fù)平面內(nèi),共軛復(fù)數(shù)共軛復(fù)數(shù)z1 ,z2所對應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于所對應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸實(shí)軸對稱。對稱。令令z1=a+bi,則則z2=a-bi則則z1z2=(a+bi)(a-bi) =a2-abi+abi-bi2 =a2+b2結(jié)論結(jié)論:任意兩個互為共軛復(fù)數(shù)任意兩個互為共軛復(fù)數(shù)的乘積是一個的乘積是一個實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)。yx(a,b)(a,-b)z1=a+bioyx(a,o)z1=aoxyz1=bi(0,b)(0,-b)o2021/3/2710 例例4 已知復(fù)數(shù)已知復(fù)數(shù) 是是 的共軛復(fù)數(shù)，求的共軛復(fù)數(shù)，求x的值的值 222(32)xxxxii204 解：因?yàn)榻猓阂驗(yàn)?

8、的共軛復(fù)數(shù)是的共軛復(fù)數(shù)是 ， 根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義，可得根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義，可得i204 i204 .2023 , 4222xxxx 6323xxxx或或或或解得解得所以所以 3 x2021/3/2711探究探究: :類比實(shí)數(shù)的除法是乘法的逆運(yùn)算類比實(shí)數(shù)的除法是乘法的逆運(yùn)算, ,規(guī)定規(guī)定復(fù)數(shù)的除法是乘法的逆運(yùn)算。試探究復(fù)數(shù)除復(fù)數(shù)的除法是乘法的逆運(yùn)算。試探究復(fù)數(shù)除法的法則。法的法則。把滿足把滿足(c+di)(x+yi) =a+bi (c+di0) 的復(fù)數(shù)的復(fù)數(shù) x+yi 叫做復(fù)數(shù)叫做復(fù)數(shù) a+bi 除以復(fù)數(shù)除以復(fù)數(shù)c+di的商的商,()()()()cdi xyicxdydxcy icxdyadxc

9、yb2222acbdxcdbcadyicd解得2021/3/27123.3.復(fù)數(shù)的除法法則復(fù)數(shù)的除法法則 先把除式寫成分式的形式先把除式寫成分式的形式, ,再把分子與分母都再把分子與分母都乘以分母的共軛復(fù)數(shù)乘以分母的共軛復(fù)數(shù), ,化簡后寫成代數(shù)形式化簡后寫成代數(shù)形式( (分母分母實(shí)數(shù)化實(shí)數(shù)化).).即即分母實(shí)數(shù)化分母實(shí)數(shù)化dicbiadicbia)()()()(dicdicdicbia22)()(dciadbcbdac(0).cdi2222acbdbcadicdcd 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法實(shí)質(zhì)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法實(shí)質(zhì):分母實(shí)數(shù)化分母實(shí)數(shù)化2021/3/2713例例5.5.計算計算)43()21 (i

10、i解解:iiii4321)43()21 ()43)(43()43)(21 (iiii2510543468322iiii5251先寫成分式形式先寫成分式形式 化簡成代數(shù)形式就得結(jié)果化簡成代數(shù)形式就得結(jié)果. 然后然后分母實(shí)數(shù)化分母實(shí)數(shù)化即可運(yùn)算即可運(yùn)算.(一般分子一般分子分母同時乘以分母的共軛復(fù)數(shù)分母同時乘以分母的共軛復(fù)數(shù))解題步驟解題步驟: :2021/3/27141212(1)(2)(3)(4)ZZZZZZ下列命題中正確的是如果是實(shí)數(shù)，則 、互為共軛復(fù)數(shù)純虛數(shù) 的共軛復(fù)數(shù)是。兩個純虛數(shù)的差還是純虛數(shù)兩個虛數(shù)的差還是虛數(shù)。(2)(2)1212121212121212( )0,( )0,( )0,

11、()0,AZZZZBZZZZCZZZZDZZZZ下列命題中的真命題為：若則與互為共軛復(fù)數(shù)。若則與互為共軛復(fù)數(shù)。若則與互為共軛復(fù)數(shù)。若則與互為共軛復(fù)數(shù)。D D2021/3/2715（1 1）已知已知求求iziz41,232111212122,zzzzzzzz練練 習(xí)習(xí)（2 2）已知）已知 求求iziz2,1214211122, ()zzzzz2021/3/2716（3 3）2)1 (i;2iii11i1; iii11; i. i2021/3/2717（4 4） 設(shè)設(shè) ，求證：，求證： （1） ；（；（2） i2321 012 . 13 證明：證明： （1）22)2321()2321(11ii ;

12、 0 4323412321 ii22)23(23212)21(2321iii （2）33)2321(i )2321()2321(2ii )2321)(2321(ii 22)23()21(i 14341 2021/3/27183.3.互為共軛復(fù)數(shù)的兩個復(fù)數(shù)之和一定為實(shí)數(shù)互為共軛復(fù)數(shù)的兩個復(fù)數(shù)之和一定為實(shí)數(shù)4.互為共軛復(fù)數(shù)的兩個復(fù)數(shù)之互為共軛復(fù)數(shù)的兩個復(fù)數(shù)之差一定為虛數(shù)差一定為虛數(shù)2.2.實(shí)數(shù)與實(shí)數(shù)相加為實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)與實(shí)數(shù)相加為實(shí)數(shù), , 虛數(shù)與虛數(shù)相加為虛數(shù)虛數(shù)與虛數(shù)相加為虛數(shù)判斷正誤判斷正誤:錯誤的請舉出反例錯誤的請舉出反例1.實(shí)數(shù)與虛數(shù)相加一定為虛數(shù)實(shí)數(shù)與虛數(shù)相加一定為虛數(shù)正確正確錯誤錯誤正確正

13、確錯誤錯誤2021/3/2719 3 3、復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法實(shí)質(zhì)、復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法實(shí)質(zhì): :分母實(shí)數(shù)化分母實(shí)數(shù)化1 1、復(fù)數(shù)相乘類似于多項(xiàng)式相乘、復(fù)數(shù)相乘類似于多項(xiàng)式相乘, ,只要在所得只要在所得的結(jié)果中把的結(jié)果中把i i2 2換成換成1,1,并且把實(shí)部和虛部分并且把實(shí)部和虛部分別合并。別合并。2 2、實(shí)數(shù)系中的乘法公式在復(fù)數(shù)系中仍然成立、實(shí)數(shù)系中的乘法公式在復(fù)數(shù)系中仍然成立2021/3/2720如果如果nN*有有:i4n=1;i4n+1=i,i4n+2=-1;i4n+3=-i.(事實(shí)上可以把它推廣到事實(shí)上可以把它推廣到nZ.）設(shè)設(shè) ,則有則有:i2321 . 01 ; 12_23 事實(shí)上事

14、實(shí)上, 與與 統(tǒng)稱為統(tǒng)稱為1的立方虛根的立方虛根,而且對于而且對于 ,也也有類似于上面的三個等式有類似于上面的三個等式._ _ .11;11;1;2)1(2iiiiiiiiii 4、一些常用的計算結(jié)果、一些常用的計算結(jié)果2021/3/27212021/3/2722一一. 平方根定義平方根定義:200zzzz當(dāng)時，稱 為 的平方根 : 11如的平方根為2021/3/2723定義定義:2axbxc0(a,b,cR,a0)x稱為關(guān)于 的一元實(shí)系數(shù)二次方程0 當(dāng)，22bxb4aac2a4bx2a2a 0 當(dāng)，22bb4acix2a4abx2ai2a bx2a (實(shí)根)ibx2a (虛根)20(0)0 xaxbxca 說明：關(guān)于 的方程當(dāng)時方程有兩個根，且這兩個根互為共軛虛數(shù),此時韋達(dá)定量仍然成立。2021/3/2724練習(xí)練習(xí)1.計算計算:(1)i+2i2+3i3+2004i2004;解解:原式原式=(i- -2- -3i+4)+(5i- -6- -7i+8)+(2001i- -2002- -2003i+2004)=501(2- -2i)=1002- -1002i.2.已知方程已知方程x2- -2x+2=0有兩虛根為有兩虛根為x1, x2, 求求x14+