第10講 階躍響應(yīng)與沖激響應(yīng)

1、n本章首先建立連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型-常系數(shù)線性微分方程。n然后，復(fù)習(xí)微分方程經(jīng)典解法，即先求齊次解和特解，再由初始條件求待定系數(shù)。n為了理解系統(tǒng)響應(yīng)的物理特性，將系統(tǒng)的全響應(yīng)分解為零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)。n僅由起始狀態(tài)引起的零輸入響應(yīng)，可通過求解齊次微分方程得到；零狀態(tài)響應(yīng)的求解則用卷積方法。n沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)是兩種很重要的零狀態(tài)響應(yīng)，在求解系統(tǒng)響應(yīng)和進(jìn)行系統(tǒng)特性分析都起到了很重要的作用。第2章 系統(tǒng)的時(shí)域分析-導(dǎo)讀本章主要內(nèi)容n2.1 連續(xù)LTI系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型n2.2 經(jīng)典的微分方程的求解方法n2.3 零狀態(tài)響應(yīng)和零輸入響應(yīng)n2.4 2.4 系統(tǒng)的沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)和

2、階躍響應(yīng)n2.5 離散LTI系統(tǒng)的模型與求解n第第1010講講 系統(tǒng)的沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)第第1010講講 系統(tǒng)的沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)n沖激響應(yīng)與階躍響應(yīng)定義n沖激響應(yīng)與階躍響應(yīng)的一般求解方法n沖激響應(yīng)的另一種求解方法n二階系統(tǒng)的沖激響應(yīng)與階躍響應(yīng)n沖激響應(yīng)的應(yīng)用沖激響應(yīng)與階躍響應(yīng)的重要性n沖激響應(yīng)與階躍響應(yīng)都是零狀態(tài)響應(yīng)。n沖激信號(hào)和階躍信號(hào)是兩種典型的基本信號(hào)，由這兩種信號(hào)引起的零狀態(tài)響應(yīng)是線性系統(tǒng)分析中的典型問題。n由于任意信號(hào)都可以分解為沖激信號(hào)和階躍信號(hào)的組合，可借助沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)，通過卷積積分求系統(tǒng)對任意信號(hào)的零狀態(tài)響應(yīng)。n沖激響應(yīng)和

3、系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)的穩(wěn)定性有直接關(guān)系。n工程上常用二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)的性能指標(biāo)來評價(jià)一個(gè)系統(tǒng)的性能。沖激響應(yīng)的定義沖激響應(yīng)的定義系統(tǒng)在單位沖激信號(hào) 作用下產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)，稱為單位沖激響應(yīng)，簡稱沖激響應(yīng)，一般用h(t)表示。 )(t 階躍響應(yīng)的定義階躍響應(yīng)的定義n階躍響應(yīng)與沖激響應(yīng)的關(guān)系階躍響應(yīng)與沖激響應(yīng)的關(guān)系根據(jù)系統(tǒng)的微分、積分特性，則ttsthd)(d)(thtsd)()(沖激響應(yīng)與階躍響應(yīng)的求解方法( )f t( ) t( ) t( )( )( )( )( )nf tth tg tft( )( )( )( )( )nf tts tg tft根據(jù)零狀態(tài)響應(yīng)求解的一般方法：將上式中的 分別換成和

4、即 2( )( )( )zsytftg t由于單位沖激響應(yīng)與單位階躍響應(yīng)是在特殊激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng)沖激響應(yīng)與階躍響應(yīng)的求解方法)( )(6)( 5)( tftytyty23232( )( )( )() ( )ttttg teteteet)(tf)( t23322( )( )( )() ( )( )(32) ( )tttth tg tfteetteet)(tf)(t23232( )( )( )() ( )( )() ( )tttts tg tfteetteet例：二階系統(tǒng)的微分方程為解 特征函數(shù)為 對沖激響應(yīng)，強(qiáng)迫函數(shù)為則沖激響應(yīng)為對階躍響應(yīng)，強(qiáng)迫函數(shù)為則階躍響應(yīng)為求其沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)。沖激響

5、應(yīng)另一種求解方法( ) t0t ( )h t( ) t0t 0t ( )h tn1( ) ( )intiih tAet( ) tiA由于激勵(lì)信號(hào)的特殊性，及其各階導(dǎo)數(shù)在時(shí)都為零，于是的形式應(yīng)與齊次解的形式相同并且不包含特解。加入系統(tǒng)并在系統(tǒng)的儲(chǔ)能變化從而引起響應(yīng)，所以， 也必然和系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)有相同的形式。設(shè)系統(tǒng)的特征方程共有 個(gè)不相等的特征根，則利用微分方程兩端及其各階導(dǎo)數(shù)對應(yīng)平衡來求出系數(shù)以后激勵(lì)將不存在，沖激信號(hào)只引起22( )( )( )43 ( )2 ( )d y tdy tdf ty tf tdtdtdt( )h t22( )( )43 ( )( )2 ( )d h tdh th

6、 tttdtdt121,3 312( )() ( )tth tAeA et31212( )(3) ( )() ( )tth tAeA etAAt 3121212( )()( )(3) ( )(9) ( )tth tAAtAAtAeA et ( )h t( )h t( )h t( ) t( ) t1211,22AA31( )() ( )2tth teet已知微分方程為，求沖激響應(yīng)解：微分方程變?yōu)樘卣鞲鶠閷?、代入微分方程，并比較方程兩邊和可求出則沖激響應(yīng)為沖激響應(yīng)另一種求解方法的系數(shù)，將系統(tǒng)模型中的將系統(tǒng)模型中的 y(t) 和和 f(t)分別用分別用h(t)和和 (t)代替代替： 下面分別就下面分

7、別就n和和m的大小情況進(jìn)行討論（假設(shè)特征根均為單根的大小情況進(jìn)行討論（假設(shè)特征根均為單根 ）)(d)(d)(d)(dd)(d00111tbttbthatthatthmmmnnnnn 沖激響應(yīng)另一種求解方法1）當(dāng)當(dāng)nm，假如假如h(t)含有含有 (t)，則，則h(n)(t)必包含必包含 (n)(t)，因此，因此 h(t)不包含不包含 (t)，即：即：)()(1tecthnitii2）當(dāng)當(dāng)n=m，假如假如h(t)含有含有 (t)的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，則，則等式左端的等式左端的 (t)導(dǎo)數(shù)階數(shù)必高于右端，因此導(dǎo)數(shù)階數(shù)必高于右端，因此 h(t)僅包含僅包含 (t)，即：，即：3）當(dāng)當(dāng)n0對對 t 0時(shí)時(shí)，

8、有，有h”(t) + 5h(t) + 6h(t) = 0代入初始條件求得代入初始條件求得 C1=1, C2= -1故系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為此方程的齊次解。故系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為此方程的齊次解。所以所以 h(t) = ( e-2t - e-3t) (t) 例例1 描述某系統(tǒng)的微分方程為描述某系統(tǒng)的微分方程為 y”(t)+5y(t)+6y(t)=f(t) 求其沖激響應(yīng)求其沖激響應(yīng)h(t)。解法二：解法二：因?yàn)橐驗(yàn)?nm,特征根為特征根為-2，-3，所以沖激響應(yīng)為：，所以沖激響應(yīng)為： h(t) = (C1e-2t + C2e-3t) (t) （1）求導(dǎo)：求導(dǎo)：h(t) = (C1 + C2) (t)+(-2C

9、1e-2t -3C2e-3t) (t) h(t) = (C1 + C2) (t) +(-2C1 -3C2) (t) + (4C1e-2t +9C2e-3t) (t)將將h(t)、 h(t)和和 h(t)代入式代入式(1) ： (C1 + C2) (t) + (3C1 + 2C2) (t) = (t)比較方程比較方程2端系數(shù)端系數(shù) ： (C1 + C2)=0 (3C1 + 2C2) = 1求得求得C1=1, C2= -1, 所以：所以： h(t)=( e-2t - e-3t) (t)一階系統(tǒng)的沖激響應(yīng)( )( )( )( )y tay tbtft則沖激響應(yīng)： taatbthty0de)(e)()

10、()(etbat一階微分方程為一階系統(tǒng)的階躍響應(yīng) ( )( )( )( )y tay tbtft則階躍響應(yīng)： taatbtsty0de)(e)()()()e1(tabat一階微分方程為例 求圖示一階系統(tǒng)沖激響應(yīng)h( t ) = uC( t ) 解解 )(1)(1)(CCtRCtuRCtu)(e1de)(1e)()(0CtRCRCthtuRCttRCRCt所以二階系統(tǒng)的沖激響應(yīng)與階躍響應(yīng) tC i tR cUtL1(1)413RLH CF (2)211RLH CF (3)111RLH CF (4)011RLH CF 11( )( )( )( )CCCRutututtLLCLC系統(tǒng)如圖所示，討論以

11、下4種情況下的沖激響應(yīng)與階躍響應(yīng) 系統(tǒng)的微分方程為二階系統(tǒng)的沖激響應(yīng)與階躍響應(yīng) （1）過阻尼下，代入元件數(shù)值( )4( )3( )3 ( )CCCutututt1213 32( )( )3 ( )( )1.5ttCh tuttg teet 2( )1 1.50.5tts teet特征根為O( )s t1t二階系統(tǒng)的沖激響應(yīng)與階躍響應(yīng) （2）臨界阻尼下，代入元件數(shù)值( )2( )( )( )CCCutututt121 2( )( )( )( )( )ttCh tuttg tttettet ( )1tts tetet特征根為( )s t1Ot二階系統(tǒng)的沖激響應(yīng)與階躍響應(yīng) （3）欠阻尼下，代入元件數(shù)

12、值( )( )( )( )CCCutututt11322j 21322j 223( )( )( )( )sin()23tCh tuttg tett 223( )1sin6023ts tett特征根為O( )s t1t二階系統(tǒng)的沖激響應(yīng)與階躍響應(yīng) 特征根為（4）無阻尼下，代入元件數(shù)值( )( )( )CCututt11 j21 j 2( )( )( )( )sinCh tuttg ttt ( )1 coss tttO( )s tt1階躍響應(yīng)的測量階躍響應(yīng)的測量二階系統(tǒng)的沖激響應(yīng)與階躍響應(yīng)的實(shí)際測量 任意信號(hào)作用下的零狀態(tài)響應(yīng) -)d-(t)( f (t) h(t) (t- ) -)d-(t)(

13、hf)(tf)()(thtf f( ) (t- ) f( )h(t- ) h(t- )LTI系統(tǒng)系統(tǒng)零狀態(tài)零狀態(tài)激勵(lì)激勵(lì)響應(yīng)響應(yīng)沖激響應(yīng)沖激響應(yīng)（時(shí)不變性）（時(shí)不變性）（齊次性）齊次性）（可加性）（可加性）零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)( )zsyt一線性非時(shí)變系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為一線性非時(shí)變系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為h(t)=e t (t)，激勵(lì)為，激勵(lì)為f(t)= (t-1)，求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。，求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。解：解：te010( ) *( )()ddttth the (1)zs1( )1 (1)tytet根據(jù)卷積的時(shí)移性質(zhì)：根據(jù)卷積的時(shí)移性質(zhì)：)1(1 te 任意信號(hào)的零狀態(tài)響應(yīng))()()(ttftf

14、-)d-(t)( f (t) s(t) (t- ) -( ) (t- )dfs)(tf( )( )( )zsytfts tf ( ) (t- ) f ( )s(t- ) s(t- )LTI系統(tǒng)系統(tǒng)零狀態(tài)零狀態(tài)激勵(lì)激勵(lì)響應(yīng)響應(yīng)階躍響應(yīng)：階躍響應(yīng)：（時(shí)不變性）（時(shí)不變性）（齊次性）齊次性）（可加性）（可加性）零狀態(tài)響應(yīng)：零狀態(tài)響應(yīng)：思考與練習(xí)( ) t3( )tet( ) t1.一個(gè)起始儲(chǔ)能為零的系統(tǒng)，當(dāng)輸入為時(shí)，系統(tǒng)的響應(yīng)為則當(dāng)輸入為時(shí)，系統(tǒng)的響應(yīng)為（ ）。 2( )(1) ( ),ts tet22( )(1) ( )ttzsytetet( )f t2.某線性時(shí)不變系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為使其零狀態(tài)響應(yīng)為，其輸入激勵(lì)信號(hào)應(yīng)該為（ ）。思考與練習(xí)思考與練習(xí)( )( )f tt