2015屆高考數(shù)學(xué)（人教理科）大一輪復(fù)習(xí)配套講義：第三章三角函數(shù)、解三角形

1、第三章三角函數(shù)、解三角形第一節(jié)任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)1角的概念(1)分類(lèi)(2)終邊相同的角：所有與角終邊相同的角，連同角在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S|k·360°，kZ2弧度的定義和公式(1)定義：長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角，弧度記作rad.(2)公式：弧度與角度的換算：360°2弧度；180°弧度；弧長(zhǎng)公式：l|r；扇形面積公式：S扇形lr和|r2.3任意角的三角函數(shù)(1)定義：設(shè)是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x，y)，那么sin y，cos x，tan (x0)(2)幾何表示：三角函數(shù)線可以看作是三角函數(shù)的幾何表示正弦

2、線的起點(diǎn)都在x軸上，余弦線的起點(diǎn)都是原點(diǎn)，正切線的起點(diǎn)都是(1,0)如圖中有向線段MP，OM，AT分別叫做角的正弦線，余弦線和正切線1易混概念：第一象限角、銳角、小于90°的角是概念不同的三類(lèi)角第一類(lèi)是象限角，第二、第三類(lèi)是區(qū)間角2利用180° rad進(jìn)行互化時(shí)，易出現(xiàn)度量單位的混用3三角函數(shù)的定義中，當(dāng)P(x，y)是單位圓上的點(diǎn)時(shí)有sin y，cos x，tan ，但假設(shè)不是單位圓時(shí)，如圓的半徑為r，那么sin ，cos ，tan .試一試1假設(shè)k·180°45°(kZ)，那么在()A第一或第三象限B第一或第二象限C第二或第四象限 D第三或第

3、四象限答案：A2角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)(，1)，那么sin _.答案：1三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)規(guī)律概括為：一全正、二正弦、三正切、四余弦；2對(duì)于利用三角函數(shù)定義解題的題目，如果含有參數(shù)，一定要考慮運(yùn)用分類(lèi)討論，而在求解簡(jiǎn)單的三角不等式時(shí)，可利用單位圓及三角函數(shù)線，表達(dá)了數(shù)形結(jié)合的思想練一練假設(shè)sin <0且tan >0，那么是()A第一象限角 B第二象限角C第三象限角 D第四象限角解析：選C由sin <0，知在第三、第四象限或終邊在y軸的負(fù)半軸上，由tan >0，知在第一或第三象限，因此在第三象限考點(diǎn)一角的集合表示及象限角的判定1.給出以下四個(gè)命題：是第二象限角；是第三象限角

4、；400°是第四象限角；315°是第一象限角其中正確的命題有()A1個(gè)B2個(gè)C3個(gè) D4個(gè)解析：選C是第三象限角，故錯(cuò)誤；，從而是第三象限角，故正確；400°360°40°，從而正確；315°360°45°，從而正確2設(shè)集合M，N，那么()AMN BMNCNM DMN解析：選B法一：由于M，45°，45°，135°，225°，N，45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，顯然有MN，應(yīng)選B

5、.法二：由于M中，x·180°45°k·90°45°45°·(2k1)，2k1是奇數(shù)；而N中，x·180°45°k·45°45°(k1)·45°，k1是整數(shù)，因此必有MN，應(yīng)選B.3終邊在直線yx上的角的集合為_(kāi)解析：終邊在直線yx上的角的集合為|k，kZ答案：|k，kZ4在720°0°范圍內(nèi)找出所有與45°終邊相同的角為_(kāi)解析：所有與45°有相同終邊的角可表示為：45°k×3

6、60°(kZ)，那么令720°45°k×360°<0°，得765°k×360°<45°，解得k<，從而k2或k1，代入得675°或315°.答案：675°或315°類(lèi)題通法1利用終邊相同角的集合可以求適合某些條件的角，方法是先寫(xiě)出與這個(gè)角的終邊相同的所有角的集合，然后通過(guò)對(duì)集合中的參數(shù)k賦值來(lái)求得所需角2角的終邊位置，確定形如k，±等形式的角終邊的方法：先表示角的范圍，再寫(xiě)出k，±等形式的角范圍，然后就k的可能取值討論

7、所求角的終邊位置考點(diǎn)二三角函數(shù)的定義 典例(1)角的終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)為，那么角的最小正值為()A. B.C. D.(2)(2021·臨川期末)是第二象限角，其終邊上一點(diǎn)P(x，)，且cos x，那么sin_.解析(1)由題意知點(diǎn)P在第四象限，根據(jù)三角函數(shù)的定義得cos sin ，故2k(kZ)，所以的最小正值為.(2)由題意得cos x，解得x0或x或x.又是第二象限角，x.即cos ，sincos .答案(1)D(2) 類(lèi)題通法用定義法求三角函數(shù)值的兩種情況(1)角終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)，那么可先求出點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離r，然后用三角函數(shù)的定義求解；(2)角的終邊所在的直線方程，那么可先

8、設(shè)出終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)，求出此點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，然后用三角函數(shù)的定義來(lái)求相關(guān)問(wèn)題針對(duì)訓(xùn)練角的終邊在直線y3x上，求10sin 的值解：設(shè)終邊上任一點(diǎn)為P(k，3k)，那么r|k|.當(dāng)k>0時(shí)，rk，sin ，10sin 330；當(dāng)k<0時(shí)，rk，sin ，10sin 330.綜上，10sin 0.考點(diǎn)三扇形的弧長(zhǎng)及面積公式典例(1)扇形周長(zhǎng)為10，面積是4，求扇形的圓心角(2)扇形周長(zhǎng)為40，當(dāng)它的半徑和圓心角取何值時(shí)，才使扇形面積最大？解(1)設(shè)圓心角是，半徑是r，那么(舍)，故扇形圓心角為.(2)設(shè)圓心角是，半徑是r，那么2rr40.S·r2r(402r)r(20r)(r

9、10)2100100，當(dāng)且僅當(dāng)r10時(shí)，Smax100，2.所以當(dāng)r10，2時(shí)，扇形面積最大假設(shè)本例(1)中條件變?yōu)椋簣A弧長(zhǎng)度等于該圓內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)，那么其圓心角的弧度數(shù)是_.解析：設(shè)圓半徑為r，那么圓內(nèi)接正方形的對(duì)角線長(zhǎng)為2r，正方形邊長(zhǎng)為r，圓心角的弧度數(shù)是.答案：類(lèi)題通法弧度制應(yīng)用的關(guān)注點(diǎn)(1)弧度制下l|·r，Slr，此時(shí)為弧度在角度制下，弧長(zhǎng)l，扇形面積S，此時(shí)n為角度，它們之間有著必然的聯(lián)系(2)在解決弧長(zhǎng)、面積及弓形面積時(shí)要注意合理應(yīng)用圓心角所在的三角形針對(duì)訓(xùn)練扇形的圓心角是120°，弦長(zhǎng)AB12 cm，求弧長(zhǎng)l.解：設(shè)扇形的半徑為r cm，如圖由sin 6

10、0°，得r4 cm，l|·r×4(cm)第二節(jié)同角三角函數(shù)的根本關(guān)系與誘導(dǎo)公式1同角三角函數(shù)的根本關(guān)系式(1)平方關(guān)系：sin2cos21(R)(2)商數(shù)關(guān)系：tan .2六組誘導(dǎo)公式角函數(shù)2k(kZ)正弦sin_sin_sin_sin_cos_cos_余弦cos_cos_cos_cos_sin_sin_正切tan_tan_tan_tan_對(duì)于角“±(kZ)的三角函數(shù)記憶口訣“奇變偶不變，符號(hào)看象限，“奇變偶不變是指“當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，正弦變余弦，余弦變正弦；當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，函數(shù)名不變“符號(hào)看象限是指“在的三角函數(shù)值前面加上當(dāng)為銳角時(shí)，原函數(shù)值的符號(hào)1在利用同

11、角三角函數(shù)的平方關(guān)系時(shí)，假設(shè)開(kāi)方，要特別注意判斷符號(hào)2注意求值與化簡(jiǎn)后的結(jié)果一般要盡可能有理化、整式化試一試1(2021·全國(guó)大綱卷)是第二象限角，sin ，那么cos ()ABC. D.解析：選A因?yàn)槭堑诙笙藿牵詂os .2(2021·洛陽(yáng)統(tǒng)考)cos()A. B.C D答案：C1誘導(dǎo)公式的應(yīng)用原那么負(fù)化正，大化小，化到銳角為終了2三角函數(shù)求值與化簡(jiǎn)的常用方法(1)弦切互化法：主要利用公式tan 化成正、余弦(2)和積轉(zhuǎn)換法：利用(sin ±cos )21±2sin cos 的關(guān)系進(jìn)行變形、轉(zhuǎn)化(3)巧用“1的變換：1sin2cos2cos2(1

12、tan2)tan.練一練1sin()cos(2)，|<，那么等于()A BC. D.解析：選Dsin()cos(2)，sin cos ，tan .|<，.2(2021·蕪湖調(diào)研)假設(shè)sin ·cos ，那么tan 的值是()A2 B2C±2 D.解析：選Btan 2.考點(diǎn)一三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式A(kZ)，那么A的值構(gòu)成的集合是()A1，1,2，2B1,1C2，2 D1，1,0,2，2解析：選C當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，A2；k為奇數(shù)時(shí)，A2.2sin 600°tan 240°的值等于_解析：sin 600°tan 240°si

13、n(720°120°)tan(180°60°)sin 120°tan 60°.答案：3tan，那么tan_.解析：tantantantan.答案：4._.解析：原式·1.答案：1 類(lèi)題通法誘導(dǎo)公式應(yīng)用的步驟提醒：誘導(dǎo)公式應(yīng)用時(shí)不要忽略了角的范圍和三角函數(shù)的符號(hào)考點(diǎn)二同角三角函數(shù)的根本關(guān)系 典例是三角形的內(nèi)角，且sin cos .(1)求tan 的值；(2)把用tan 表示出來(lái)，并求其值解(1)聯(lián)立方程由得cos sin ，將其代入，整理得25sin25sin 120.是三角形內(nèi)角，tan .(2)tan ，.保持本例條件不變

14、，求：(1)；(2)sin22sin cos 的值.解：由例題可知：tan .(1).(2)sin22sin cos .類(lèi)題通法1利用sin2cos21可以實(shí)現(xiàn)角的正弦、余弦的互化，利用tan 可以實(shí)現(xiàn)角的弦切互化2應(yīng)用公式時(shí)注意方程思想的應(yīng)用：對(duì)于sin cos ，sin cos ，sin cos 這三個(gè)式子，利用(sin ±cos )21±2sin cos ，可以知一求二3注意公式逆用及變形應(yīng)用：1sin2cos2，sin21cos2，cos21sin2.針對(duì)訓(xùn)練sin 2sin ，tan 3tan ，求cos .解：sin 2sin ，tan 3tan ，sin24s

15、in2，tan29tan2.由÷得：9cos24cos2.由得sin29cos24.又sin2cos21，cos2，cos ±.考點(diǎn)三誘導(dǎo)公式在三角形中的應(yīng)用典例在ABC中，假設(shè)sin(2A)sin(B)，cos Acos (B)，求ABC的三個(gè)內(nèi)角解由得sin Asin B，cos Acos B兩式平方相加得2cos2A1，即cos A或cos A.(1)當(dāng)cos A時(shí)，cos B，又角A、B是三角形的內(nèi)角，A，B，C(AB).(2)當(dāng)cos A時(shí)，cos B，又角A、B是三角形的內(nèi)角，A，B，不合題意綜上知，A，B，C. 類(lèi)題通法1誘導(dǎo)公式在三角形中經(jīng)常使用，常用的角的

16、變形有：ABC,2A2B22C，等，于是可得sin(AB)sin C，cossin 等；2求角時(shí)，通常是先求出該角的某一個(gè)三角函數(shù)值，再結(jié)合其范圍，確定該角的大小針對(duì)訓(xùn)練在ABC中，sin Acos A，cos Acos(B)，求ABC的三個(gè)內(nèi)角解：sin Acos A，12sin Acos A2，sin2A1.A為ABC的內(nèi)角，2A，A.cos Acos(B)，coscos B，cos B.0B，B.ABC，C.A，B，C.第三節(jié)三角函數(shù)圖像與性質(zhì)正弦、余弦、正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)(下表中kZ).函數(shù)ysin xycos xytan x圖像定義域RRx|xR，且xk，kZ值域1,11,1R周期

17、性22奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)性為增；為減2k，2k為減；2k，2k為增 為增對(duì)稱(chēng)中心(k，0)對(duì)稱(chēng)軸xkxk無(wú)1三角函數(shù)存在多個(gè)單調(diào)區(qū)間時(shí)易錯(cuò)用“聯(lián)結(jié)2研究三角函數(shù)單調(diào)性、對(duì)稱(chēng)中心、奇偶性及對(duì)稱(chēng)軸時(shí)易無(wú)視“kZ這一條件試一試1函數(shù)ytan的定義域是()A.B.C.D.答案：D2假設(shè)函數(shù)f(x)cos 2x，那么f(x)的一個(gè)遞增區(qū)間為()A.B.C. D.解析：選B由f(x)cos 2x知遞增區(qū)間為，kZ，故只有B滿(mǎn)足1三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法先把函數(shù)式化成形如yAsin(x)(>0)的形式，再根據(jù)根本三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出x所在的區(qū)間應(yīng)特別注意，考慮問(wèn)題應(yīng)在函數(shù)的定義域內(nèi)考慮注意

18、區(qū)分以下兩題的單調(diào)增區(qū)間的不同：(1)ysin；(2)ysin.2求三角函數(shù)值域(最值)的兩種方法(1)將所給函數(shù)化為yAsin(x)的形式，通過(guò)分析x的范圍，結(jié)合圖像寫(xiě)出函數(shù)的值域；(2)換元法：把sin x(cos x)看作一個(gè)整體，化為二次函數(shù)來(lái)解決練一練1函數(shù)y|sin x|的一個(gè)單調(diào)增區(qū)間是()A. B.C. D.解析：選C作出函數(shù)y|sin x|的圖像觀察可知，函數(shù)y|sin x|在上遞增2(2021·天津高考)函數(shù)f(x)sin在區(qū)間上的最小值為()A1 BC. D0解析：選B由x，得2x，所以sin，故函數(shù)f(x)sin在區(qū)間上的最小值為.考點(diǎn)一三角函數(shù)的定義域與值域

19、f(x)3sin在區(qū)間上的值域?yàn)?)A.B.C. D.解析：選B當(dāng)x時(shí)，2x，sin，故3sin，即此時(shí)函數(shù)f(x)的值域是.2(2021·湛江調(diào)研)函數(shù)ylg(sin x) 的定義域?yàn)開(kāi)解析：要使函數(shù)有意義必須有即解得(kZ)，2k<x2k，kZ，函數(shù)的定義域?yàn)?答案：3當(dāng)x時(shí)，函數(shù)y3sin x2cos2x的最小值是_，最大值是_解析：x，sin x.又y3sin x2cos2x3sin x2(1sin2x)22.當(dāng)sin x時(shí)，ymin，當(dāng)sin x或sin x1時(shí)，ymax2.答案：2類(lèi)題通法1三角函數(shù)定義域的求法求三角函數(shù)定義域?qū)嶋H上是構(gòu)造簡(jiǎn)單的三角不等式(組)，常借

20、助三角函數(shù)線或三角函數(shù)圖像來(lái)求解2三角函數(shù)值域的不同求法(1)利用sin x和cos x的值域直接求；(2)把所給的三角函數(shù)式變換成yAsin(x)的形式求值域；(3)把sin x或cos x看作一個(gè)整體，轉(zhuǎn)換成二次函數(shù)求值域；(4)利用sin x±cos x和sin xcos x的關(guān)系轉(zhuǎn)換成二次函數(shù)求值域 考點(diǎn)二三角函數(shù)的單調(diào)性典例求以下函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間：(1)y2sin；(2)ytan.解(1)由2kx2k，kZ，得2kx2k，kZ.故函數(shù)y2sin的單調(diào)減區(qū)間為(kZ)(2)把函數(shù)ytan變?yōu)閥tan.由k<2x<k，kZ，得k<2x<k，kZ，即&l

21、t;x<，kZ.故函數(shù)ytan的單調(diào)減區(qū)間為(kZ)假設(shè)將本例(1)改為“y2，如何求解？解：畫(huà)出函數(shù)y2的圖像，易知其單調(diào)遞減區(qū)間為(kZ)類(lèi)題通法三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法(1)代換法：所謂代換法，就是將比擬復(fù)雜的三角函數(shù)整理后的整體當(dāng)作一個(gè)角u(或t)，利用根本三角函數(shù)的單調(diào)性來(lái)求所要求的三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(2)圖像法：函數(shù)的單調(diào)性表現(xiàn)在圖像上是：從左到右，圖像上升趨勢(shì)的區(qū)間為單調(diào)遞增區(qū)間，圖像下降趨勢(shì)的區(qū)間為單調(diào)遞減區(qū)間，畫(huà)出三角函數(shù)的圖像，結(jié)合圖像易求它的單調(diào)區(qū)間提醒：求解三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)假設(shè)x的系數(shù)為負(fù)應(yīng)先化為正，同時(shí)切莫漏掉考慮函數(shù)自身的定義域針對(duì)訓(xùn)練1(2021

22、3;安徽師大附中3月月考)設(shè)>0，假設(shè)函數(shù)f(x)sincos在區(qū)間上單調(diào)遞增，那么的取值范圍是()A. B.C. D1，)解析：選Bf(x)sin cossin x，假設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，那么，即，應(yīng)選B.2函數(shù)ycos的單調(diào)遞增區(qū)間為_(kāi)解析：函數(shù)ycos x的單調(diào)遞增區(qū)間為2k，2k，kZ.由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.答案：(kZ)考點(diǎn)三三角函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性與奇偶性正、余弦函數(shù)的圖像既是中心對(duì)稱(chēng)圖形，又是軸對(duì)稱(chēng)圖形.正切函數(shù)的圖像只是中心對(duì)稱(chēng)圖形，應(yīng)把三角函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性與奇偶性結(jié)合，體會(huì)二者的統(tǒng)一.歸納起來(lái)常見(jiàn)的命題角度有：(1)求三角函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸或?qū)ΨQ(chēng)中心；(2)由三角函數(shù)

23、的對(duì)稱(chēng)性求參數(shù)值；(3)三角函數(shù)對(duì)稱(chēng)性的應(yīng)用.角度一求三角函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸或?qū)ΨQ(chēng)中心1(2021·揭陽(yáng)一模)當(dāng)x時(shí)，函數(shù)f(x)Asin(x)(A>0)取得最小值，那么函數(shù)yf()A是奇函數(shù)且圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)B是偶函數(shù)且圖像關(guān)于點(diǎn)(，0)對(duì)稱(chēng)C是奇函數(shù)且圖像關(guān)于直線x對(duì)稱(chēng)D是偶函數(shù)且圖像關(guān)于直線x對(duì)稱(chēng)解析：選C當(dāng)x時(shí)，函數(shù)f(x)取得最小值，sin1，2k(kZ)f(x)AsinAsin.yfAsin(x)Asin x.yf是奇函數(shù)，且圖像關(guān)于直線x對(duì)稱(chēng)角度二由三角函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性求參數(shù)值2(1)(2021·哈爾濱二模)假設(shè)f(x)2sin(x)m，對(duì)任意實(shí)數(shù)t都有ff，且f3

24、，那么實(shí)數(shù)m的值等于()A1 B±5C5或1 D5或1解析：選C由ff得，函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為x.故當(dāng)x時(shí)，函數(shù)取得最大值或最小值，于是有2m3或2m3，即m1或5.(2)(2021·遼寧六校聯(lián)考)>0，函數(shù)f(x)cos的一條對(duì)稱(chēng)軸為x，一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為點(diǎn)，那么有()A最小值2 B最大值2C最小值1 D最大值1解析：選A由題意知，T，2，應(yīng)選A角度三三角函數(shù)對(duì)稱(chēng)性的應(yīng)用3.(2021·遼寧五校聯(lián)考)設(shè)偶函數(shù)f(x)Asin(x)(A>0，>0,0<<)的局部圖像如下圖，KLM為等腰直角三角形，KML90°，KL1，那么f的值為()

25、A BC D.解析：選D由題意知，點(diǎn)M到x軸的距離是，根據(jù)題意可設(shè)f(x)cos x，又由題圖知·1，所以，所以f(x)cos x，故fcos. 類(lèi)題通法1假設(shè)f(x)Asin(x)為偶函數(shù)，那么當(dāng)x0時(shí)，f(x)取得最大或最小值假設(shè)f(x)Asin(x)為奇函數(shù)，那么當(dāng)x0時(shí)，f(x)0.2對(duì)于函數(shù)yAsin(x)，其對(duì)稱(chēng)軸一定經(jīng)過(guò)圖像的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)中心一定是函數(shù)的零點(diǎn)，因此在判斷直線xx0或點(diǎn)(x0,0)是否是函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸或?qū)ΨQ(chēng)中心時(shí)，可通過(guò)檢驗(yàn)f(x0)的值進(jìn)行判斷第四節(jié)函數(shù)yAsin(x)的圖像及三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用1yAsin(x)的有關(guān)概念yAsin(x)(A&

26、gt;0，>0)，x0，)表示一個(gè)振動(dòng)量時(shí)振幅周期頻率相位初相ATfx2用五點(diǎn)法畫(huà)yAsin(x)一個(gè)周期內(nèi)的簡(jiǎn)圖用五點(diǎn)法畫(huà)yAsin(x)一個(gè)周期內(nèi)的簡(jiǎn)圖時(shí)，要找五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，如下表所示：xx02yAsin(x)0A0A01函數(shù)圖像變換要明確，要弄清楚是平移哪個(gè)函數(shù)的圖像，得到哪個(gè)函數(shù)的圖像；2要注意平移前后兩個(gè)函數(shù)的名稱(chēng)是否一致，假設(shè)不一致，應(yīng)先利用誘導(dǎo)公式化為同名函數(shù)；3由yAsin x的圖像得到y(tǒng)Asin(x)的圖像時(shí)，需平移的單位數(shù)應(yīng)為，而不是|.試一試1y2sin的振幅、頻率和初相分別為()A2，B2，C2， D2，答案：A2把ysinx的圖像上點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍得到y(tǒng)s

27、in x的圖像，那么的值為()A1 B4C. D2答案：C1由函數(shù)ysin x的圖像變換得到y(tǒng)Asin(x)(A>0，>0)的圖像的兩種方法2學(xué)會(huì)列表技巧表中“五點(diǎn)相鄰兩點(diǎn)的橫向距離均為，利用這一結(jié)論可以較快地寫(xiě)出“五點(diǎn)的坐標(biāo)練一練1要得到函數(shù)ycos(2x1)的圖像，只要將函數(shù)ycos 2x的圖像()A向左平移1個(gè)單位 B向右平移1個(gè)單位C向左平移個(gè)單位 D向右平移個(gè)單位解析：選Cycos(2x1)cos 2，只要將函數(shù)ycos 2x的圖像向左平移個(gè)單位即可2用五點(diǎn)法作函數(shù)ysin在一個(gè)周期內(nèi)的圖像時(shí)，主要確定的五個(gè)點(diǎn)是_、_、_、_、_.答案：考點(diǎn)一求函數(shù)yAsin(x)的解析

28、式1.(2021·四川高考)函數(shù)f(x)2sin(x)的局部圖像如下圖，那么，的值分別是()A2，B2，C4， D4，解析：選A因?yàn)?#183;，所以2，又因?yàn)?×2k(kZ)，且<<，所以，應(yīng)選A.2(2021·東北三校聯(lián)考)函數(shù)yAsin(x)k(A>0，>0)的最大值為4，最小值為0，最小正周期為，直線x是其圖像的一條對(duì)稱(chēng)軸，那么下面各式中符合條件的解析式為()Ay4sinBy2sin2Cy2sin2 Dy2sin2解析：選D由函數(shù)yAsin(x)k的最大值為4，最小值為0，可知k2，A，可知，得x是其圖像的一條對(duì)稱(chēng)軸，可知4

29、5;k，kZ，從而k，kZ，故滿(mǎn)足題意的是y2sin2. 類(lèi)題通法確定yAsin(x)b(A>0，>0)的步驟和方法(1)求A，b，確定函數(shù)的最大值M和最小值m，那么A，b；(2)求，確定函數(shù)的周期T，那么可得；(3)求，常用的方法有：代入法：把圖像上的一個(gè)點(diǎn)代入(此時(shí)A，b)或代入圖像與直線yb的交點(diǎn)求解(此時(shí)要注意交點(diǎn)在上升區(qū)間上還是在下降區(qū)間上)五點(diǎn)法：確定值時(shí)，往往以尋找“五點(diǎn)法中的某一個(gè)點(diǎn)為突破口具體如下：“第一點(diǎn)(即圖像上升時(shí)與x軸的交點(diǎn))時(shí)x0；“第二點(diǎn)(即圖像的“峰點(diǎn))時(shí)x；“第三點(diǎn)(即圖像下降時(shí)與x軸的交點(diǎn))時(shí)x；“第四點(diǎn)(即圖像的“谷點(diǎn))時(shí)x；“第五點(diǎn)時(shí)x2.考

30、點(diǎn)二函數(shù)yAsin(x)的圖像典例函數(shù)f(x)3sin，xR.(1)畫(huà)出函數(shù)f(x)在長(zhǎng)度為一個(gè)周期的閉區(qū)間上的簡(jiǎn)圖；(2)將函數(shù)ysin x的圖像作怎樣的變換可得到f(x)的圖像？解(1)列表取值：xx02f(x)03030描出五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)并用光滑曲線連接，得到一個(gè)周期的簡(jiǎn)圖(2)先把ysin x的圖像向右平移個(gè)單位，然后把所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來(lái)的2倍，再把所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)擴(kuò)大為原來(lái)的3倍，得到f(x)的圖像本例第(2)問(wèn)變?yōu)椋河珊瘮?shù)ysin x的圖像作怎樣的變換可得到y(tǒng)2sin的圖像？解：把ysin x的圖像上所有的點(diǎn)向左平移個(gè)單位，得到y(tǒng)sin的圖像，再把ysin的圖像上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到

31、原來(lái)的倍(縱坐標(biāo)不變)，得到y(tǒng)sin的圖像，最后把ysin上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(橫坐標(biāo)不變)，即可得到y(tǒng)2sin的圖像類(lèi)題通法函數(shù)yAsin(x)(A>0，>0)的圖像的兩種作法(1)五點(diǎn)法：用“五點(diǎn)法作yAsin(x)的簡(jiǎn)圖，主要是通過(guò)變量代換，設(shè)zx，由z取0，2來(lái)求出相應(yīng)的x，通過(guò)列表，計(jì)算得出五點(diǎn)坐標(biāo)，描點(diǎn)后得出圖像(2)圖像變換法：由函數(shù)ysin x的圖像通過(guò)變換得到y(tǒng)Asin(x)的圖像，有兩種主要途徑“先平移后伸縮與“先伸縮后平移提醒：五點(diǎn)作圖取值要準(zhǔn)確，一般取一個(gè)周期之內(nèi)的；函數(shù)圖像變換要注意順序，平移時(shí)兩種平移的長(zhǎng)度不同針對(duì)訓(xùn)練1(2021·

32、全國(guó)卷)函數(shù)ycos(2x)(<)的圖像向右平移個(gè)單位后，與函數(shù)ysin的圖像重合，那么_.解析：ycos(2x)的圖像向右平移個(gè)單位得到y(tǒng)cos的圖像，整理得ycos(2x)其圖像與ysin的圖像重合，2k，2k.即2k<，.答案：2(2021·合肥模擬)設(shè)函數(shù)f(x)cos(x)的最小正周期為，且f.(1)求和的值；(2)在給定坐標(biāo)系中作出函數(shù)f(x)在0，上的圖像解：(1)最小正周期T，2.fcoscossin ，sin .<<0，.(2)由(1)得f(x)cos，列表：x02x0f(x)1010圖像如下圖考點(diǎn)三函數(shù)yAsin(x)的圖像與性質(zhì)的綜合應(yīng)用

33、典例(2021·安徽望江中學(xué)模擬)如圖是函數(shù)f(x)Asin(x)的局部圖像，M，N是它與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，D，C分別為它的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，點(diǎn)F(0,1)是線段MD的中點(diǎn),·.(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間解(1)由F(0,1)是線段MD的中點(diǎn)，可知A2，··(T為f(x)的最小正周期)，T，3，f(x)2sin(3x)，設(shè)D點(diǎn)的坐標(biāo)為(xD,2)，那么由得點(diǎn)M的坐標(biāo)為(xD，0)，xD(xD)T×，那么xD，那么點(diǎn)M的坐標(biāo)為，sin0.0<<，函數(shù)f(x)的解析式為f(x)2sin.(2)由2k3x

34、2k(kZ)，得2k3x2k(kZ)，得x(kZ)，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(kZ)類(lèi)題通法函數(shù)yAsin(x)(A>0，>0)的性質(zhì)(1)奇偶性：k時(shí)，函數(shù)yAsin(x)為奇函數(shù)；k(kZ)時(shí)，函數(shù)yAsin(x)為偶函數(shù)(2)周期性：yAsin(x)存在周期性，其最小周期為T(mén).(3)單調(diào)性：根據(jù)ysin t和tx的單調(diào)性來(lái)研究，由2kx2k，kZ得單調(diào)增區(qū)間；由2kx2k，kZ得單調(diào)減區(qū)間(4)對(duì)稱(chēng)性：利用ysin x的對(duì)稱(chēng)中心為(k，0)(kZ)求解，令xk(kZ)，求得x.利用ysin x的對(duì)稱(chēng)軸為xk(kZ)求解，令xk(kZ)得其對(duì)稱(chēng)軸 針對(duì)訓(xùn)練(2021

35、3;安徽江南十校聯(lián)考)將函數(shù)ysin x的圖像向右平移個(gè)單位，再將所得的圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的4倍這樣得到函數(shù)f(x)的圖像假設(shè)g(x)f(x)cos x.(1)將函數(shù)g(x)化成g(x)Asin(x)B的形式；(2)假設(shè)函數(shù)g(x)在區(qū)間上的最大值為2，試求0的最小值解：(1)由題意可得f(x)4sin，g(x)4sincos x4cos x2(sin xcos xcos2x)2sin.(2)x，2x，要使函數(shù)g(x)在上的最大值為2，當(dāng)且僅當(dāng)20，解得0.故0的最小值為.第五節(jié)兩角和與差的正弦、余弦和正切公式1兩角和與差的正弦、余弦和正切公式sin(±)sin

36、_cos_±cos_sin_；cos()cos_cos_±sin_sin_；tan(±).2二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 22sin_cos_；cos 2cos2sin22cos2112sin2；tan 2.1在使用兩角和與差的余弦或正切公式時(shí)運(yùn)算符號(hào)易錯(cuò)2在(0，)范圍內(nèi)，sin()所對(duì)應(yīng)的角不是唯一的試一試1sin 68°sin 67°sin 23°cos 68°的值為()AB.C. D1答案：B2(2021·江西高考)假設(shè)sin，那么cos ()A BC. D.解析：選C因?yàn)閟in，所以cos 12si

37、n2 12×2.1公式的常用變形(1)tan ±tan tan(±)(1tan tan )；(2)cos2，sin2；(3)1sin 2(sin cos )2，1sin 2(sin cos )2，sin ±cos sin.2角的變換技巧2()()；()；.3三角公式關(guān)系練一練1tan，tan，那么tan()的值為()A.B.C.D1答案：D2(2021·全國(guó)卷)sin 2，那么cos2()A. B.C. D.解析：選A法一：cos2(1sin 2).法二：coscos sin ，所以cos2(cos sin )2(12sin cos )(1si

38、n 2).考點(diǎn)一三角函數(shù)公式的根本應(yīng)用1.sin ，那么_.解析：cos sin ，sin ，cos .原式.答案：2(2021·四川高考)設(shè)sin 2sin ，那么tan 2的值是_解析：sin 22sin cos sin ，cos ，又，sin ，tan ，tan 2.答案：3函數(shù)f(x)2sin，xR.(1)求f的值；(2)設(shè)，f，f(32)，求cos()的值解：(1)f(x)2sin，f2sin2sin.(2)，f，f(32)，2sin ，2sin.即sin ，cos .cos ，sin .cos()cos cos sin sin ××.類(lèi)題通法兩角和與差

39、的三角函數(shù)公式可看作是誘導(dǎo)公式的推廣，可用、的三角函數(shù)表示±的三角函數(shù)，在使用兩角和與差的三角函數(shù)公式時(shí)，特別要注意角與角之間的關(guān)系，完成統(tǒng)一角和角與角轉(zhuǎn)換的目的考點(diǎn)二三角函數(shù)公式的逆用與變形應(yīng)用典例(1)(2021·長(zhǎng)春二模)在ABC中，假設(shè)tan A·tan Btan Atan B1，那么cos C的值是()AB.C. D(2)的值為()A B.C. D解析(1)由tan Atan Btan Atan B1，可得1，即tan(AB)1，所以AB，那么C，cos C.應(yīng)選B.(2).答案(1)B(2)B 類(lèi)題通法運(yùn)用兩角和與差的三角函數(shù)公式時(shí)，不但要熟練、準(zhǔn)確，

40、而且要熟悉公式的逆用及變形，如tan tan tan()·(1tan tan )和二倍角的余弦公式的多種變形等針對(duì)訓(xùn)練1(2021·贛州模擬)sincos ，那么sin的值為()A.B.C. D.解析：選A由條件得sin cos ，即sin cos .sin.2假設(shè)，那么(1tan )(1tan )的值是_解析：1tantan()，tan tan 1tan tan .1tan tan tan tan 2，即(1tan )(1tan )2.答案：2考點(diǎn)三角的變換典例(2021·常州一模)，均為銳角，且sin ，tan().(1)求sin()的值；(2)求cos 的值

41、解(1)，從而<<.又tan()<0，<<0.sin().(2)由(1)可得，cos().為銳角，且sin ，cos .cos cos()cos cos()sin sin()××.在本例條件下，求sin(2)的值.解：sin()，cos()，cos ，sin .sin(2)sin()sin()cos cos()sin .類(lèi)題通法1當(dāng)“角有兩個(gè)時(shí)，一般把“所求角表示為兩個(gè)“角的和或差的形式；2當(dāng)“角有一個(gè)時(shí)，此時(shí)應(yīng)著眼于“所求角與“角的和或差的關(guān)系，然后應(yīng)用誘導(dǎo)公式把“所求角變成“角；3注意角變換技巧針對(duì)訓(xùn)練1設(shè)tan，tan，那么tan()A.

42、B.C. D.解析：選Ctantan().2設(shè)為銳角，假設(shè)cos，那么sin的值為_(kāi)解析：因?yàn)闉殇J角，cos，所以sin，sin 2，cos 2，所以sinsin××.答案第六節(jié)簡(jiǎn)單的三角恒等變換考點(diǎn)一三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)1.化簡(jiǎn)：_.解析：原式2cos .答案：2cos 2化簡(jiǎn)：.解：原式cos 2x.3化簡(jiǎn)：·(1tan ·tan)解：·(1tan ·tan)···.類(lèi)題通法三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)要遵循“三看原那么(1)一看“角，這是最重要的一環(huán)，通過(guò)看角之間的差異與聯(lián)系，把角進(jìn)行合理的拆分，從而正確使用公式；

43、(2)二看“函數(shù)名稱(chēng)，看函數(shù)名稱(chēng)之間的差異，從而確定使用的公式，常見(jiàn)的有“切化弦；(3)三看“結(jié)構(gòu)特征，分析結(jié)構(gòu)特征，可以幫助我們找到變形的方向，如“遇到分式要通分等考點(diǎn)二三角函數(shù)式的求值研究三角函數(shù)式的求值，解題的關(guān)鍵都是找出條件中的角與結(jié)論中的角的聯(lián)系，依據(jù)函數(shù)名稱(chēng)的變換特點(diǎn)，選擇適宜的公式求解.歸納起來(lái)常見(jiàn)的命題角度有：(1)給值求值；(2)給角求值；(3)給值求角.角度一給值求值1(2021·廣東高考)函數(shù)f(x)cos，xR.(1)求f的值；(2)假設(shè)cos ，求f.解：(1)因?yàn)閒(x)cos，所以fcoscos×1.(2)因?yàn)?，cos ，所以sin .所以fc

44、oscos×cos sin .角度二給角求值2(1)(2021·重慶高考)4cos 50°tan 40°()A.B.C. D21解析：選C4cos 50°tan 40°4cos 50°.(2)化簡(jiǎn)：sin 50°(1tan 10°)_.解析：sin 50°(1tan 10°)sin 50°sin 50°×sin 50°×1.答案：1角度三給值求角3，為銳角，sin ，cos，求2.解：sin ，cos ，cos()，(0，)，sin()

45、，sin(2)sin()sin cos()cos sin()××0.又2.2.4，(0，)，且tan()，tan ，求2的值解：tan tan()>0，0<<.又tan 2>0，0<2<，tan(2)1.tan <0，<<，<2<0，2. 類(lèi)題通法三角函數(shù)求值有三類(lèi)(1)“給角求值：一般所給出的角都是非特殊角，從外表上來(lái)看是很難的，但仔細(xì)觀察非特殊角與特殊角總有一定關(guān)系，解題時(shí)，要利用觀察得到的關(guān)系，結(jié)合公式轉(zhuǎn)化為特殊角并且消除非特殊角的三角函數(shù)而得解(2)“給值求值：給出某些角的三角函數(shù)式的值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題關(guān)鍵在于“變角，使其角相同或具有某種關(guān)系(3)“給值求角：實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化為“給值求值，先求角的某一函數(shù)值，再求角的范圍，確定角考點(diǎn)三三角恒等變換的綜合應(yīng)用典例(2021·湖南高考)函數(shù)f(x)sincos，g(x)2sin2.(1)假設(shè)是第一象限角，且f()，求g()的值；(2)求使f(x)g(x)成立的x的取值集合解f(x)sincossin xcos xcos xsin xsin x，g(x)2sin21cos x.(1)由f()得sin .又