數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）關(guān)于數(shù)的發(fā)展歷史

1、 2011屆本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 題目：關(guān)于數(shù)的發(fā)展歷史學(xué) 院：數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院專(zhuān)業(yè)班級(jí)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)07-3班學(xué)生姓名： 指導(dǎo)教師：答辯日期：2012年 5 月 6 日 目 錄1 引言32 計(jì)數(shù)法和自然數(shù)32.1 記數(shù)制度32.2 自然數(shù)43 有理數(shù)系83.1有理數(shù)的引入83.2分?jǐn)?shù)和負(fù)數(shù)84 實(shí)數(shù)理論的完善94.1無(wú)理數(shù)的由來(lái)94.2 實(shí)數(shù)的發(fā)展105 復(fù)數(shù)的擴(kuò)張115.1 復(fù)數(shù)的產(chǎn)生115.2 復(fù)數(shù)的歷史意義116 結(jié)論12參考文獻(xiàn)13致 謝14關(guān)于數(shù)的發(fā)展歷史摘要：數(shù)系理論的歷史發(fā)展表明，數(shù)的概念的每一次擴(kuò)張都標(biāo)志著數(shù)學(xué)的進(jìn)步，但是這種進(jìn)步并不是按照數(shù)學(xué)教科書(shū)的邏輯步驟展開(kāi)的。希臘人關(guān)于

2、無(wú)理數(shù)的發(fā)現(xiàn)暴露出有理數(shù)系的缺陷，而實(shí)數(shù)系的完備性一直要到19世紀(jì)才得以完成。負(fù)數(shù)早在九章算術(shù)中就已被中國(guó)數(shù)學(xué)家所認(rèn)識(shí)，然而，15世紀(jì)的歐洲人仍然不愿意承認(rèn)負(fù)數(shù)的意義?！八脑獢?shù)”的發(fā)明，打開(kāi)了通向抽象代數(shù)的大門(mén)，同時(shí)也宣告在保持傳統(tǒng)運(yùn)算定律的意義下，復(fù)數(shù)是數(shù)系擴(kuò)張的終點(diǎn)。關(guān)鍵詞：記數(shù)法；素?cái)?shù)；有理數(shù)；實(shí)數(shù)理論；復(fù)數(shù)擴(kuò)張1 引言數(shù)是數(shù)學(xué)中的基本概念，也是人類(lèi)文明的重要部分。數(shù)的概念的每一次擴(kuò)展都標(biāo)志著數(shù)學(xué)的巨大飛躍。一個(gè)時(shí)代人們對(duì)于數(shù)的認(rèn)識(shí)與應(yīng)用，以及數(shù)系理論的完善程度，反映了當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)發(fā)展的水平。現(xiàn)在，我們所應(yīng)用的數(shù)，已經(jīng)構(gòu)造的如此完備和縝密，以致于在科學(xué)技術(shù)和社會(huì)生活的一切領(lǐng)域中，它都成為基本

3、的語(yǔ)言和不可或缺的工具。在我們得心應(yīng)手地享用這份人類(lèi)文明的共同財(cái)富時(shí)，是否想到在數(shù)的形成和發(fā)展的歷史過(guò)程中，人類(lèi)的智慧所經(jīng)歷的曲折和艱辛呢？2 記數(shù)法和自然數(shù)2.1 記數(shù)制度記數(shù)制度或計(jì)數(shù)法就是記錄或表示數(shù)目的方法，主要指數(shù)字符號(hào)的表現(xiàn)形式以及技術(shù)工具的使用。在文字生產(chǎn)之前，人類(lèi)就已形成數(shù)的概念。那時(shí)數(shù)目是用事物來(lái)記錄的，如小石子,竹片，樹(shù)枝，貝殼之類(lèi)。這些東西容易散亂，自然會(huì)想到用結(jié)繩的辦法來(lái)記錄。我國(guó)周易.系辭下有“上古結(jié)繩而治，后世圣人，易之以書(shū)契”的說(shuō)法。東漢鄭玄稱(chēng)：“事大，大結(jié)其繩；事小，小結(jié)其繩。結(jié)之多少，隨物眾寡”。以結(jié)繩和書(shū)契記數(shù)的方法實(shí)際上遍及世界各地，如希臘、波斯、羅馬、巴

4、勒斯坦、伊斯蘭和中美洲國(guó)家都有文獻(xiàn)記載和實(shí)物標(biāo)本。結(jié)繩畢竟不甚方便，以后再實(shí)物（石，木，骨等）上刻痕以代替結(jié)繩，再進(jìn)一步發(fā)展成為文字。位于西安東郊的半坡村文化遺址（屬新石器時(shí)代的仰韶文化），距今5，6千年前，人們就發(fā)現(xiàn)陶器和陶片上刻著許多標(biāo)志符號(hào)，橫，豎，斜，叉河現(xiàn)代漢字想象，有20多種不同的形狀；埃及前國(guó)王時(shí)期（約從5千年前開(kāi)始)的墓葬和石碑等出項(xiàng)象形文字;兩河流域的蘇美人創(chuàng)造的楔形文字，也開(kāi)始于5，6千年前?，F(xiàn)代則用國(guó)際通用的印度-阿拉伯?dāng)?shù)碼。但古代有些地區(qū)數(shù)字和數(shù)碼是一致的。有了數(shù)字和數(shù)碼，就有一套記數(shù)方法，刻痕記數(shù)，有多少數(shù)刻多少道痕，這是最原始的辦法，但數(shù)目很大就有困難，自然就想到進(jìn)

5、位,以p個(gè)新單位有組成一個(gè)更高的單位，這叫做p進(jìn)位的基數(shù)。現(xiàn)在同行的印度-阿拉伯?dāng)?shù)碼的基數(shù)是10，即“逢10 進(jìn)1，退1當(dāng)10”，人們已經(jīng)習(xí)以為常，但在歷史上曾使用過(guò)許多非10的基數(shù)，如2，5，6，12，16，20，60等，量角的60進(jìn)制，至今還在使用。為什么選擇這些數(shù)作基數(shù)？這是很有趣的問(wèn)題。5進(jìn)和10進(jìn)顯然和人類(lèi)有10個(gè)指頭有關(guān)，這一點(diǎn)亞里士多德（Aristotle,公元前384-前322）早就注意到。他在問(wèn)題集XV卷中指出各種可能的解釋?zhuān)己彤呥_(dá)哥拉斯學(xué)派有關(guān)這個(gè)學(xué)派認(rèn)為10是一個(gè)完美的數(shù)，并給它披上神秘的外衣。首先，10是最小的4種類(lèi)型的數(shù)之和：1+2+3+4=10，1既非素?cái)?shù)既非合數(shù)

6、，2是偶素?cái)?shù)，3是奇素?cái)?shù)，4是合數(shù)，2代表線（兩點(diǎn)確定一直線），3代表面，4代表立體。10又是不同天體類(lèi)型的數(shù)目：地球，反地球，日，月，五大行星以及恒星。還可以做其他的解釋。亞里士多德最后指出：是否因?yàn)槊總€(gè)人都有10個(gè)手指？事實(shí)上，前集中推測(cè)都是不可信的，因?yàn)檫M(jìn)位的基數(shù)不是某些學(xué)者的發(fā)明或規(guī)定，而是人們?cè)陂L(zhǎng)期實(shí)踐中形成的，而且在畢達(dá)哥拉斯以前，早已有10進(jìn)制，如埃及，中國(guó)等。法國(guó)著名數(shù)學(xué)家拉普拉斯（Laplace,1749 1827）曾經(jīng)寫(xiě)道：用十個(gè)記號(hào)來(lái)表示一切的數(shù)，每個(gè)記號(hào)不但有絕對(duì)的值，而且有位置的值，這種巧妙的方法出自印度。這是一個(gè)深遠(yuǎn)而又重要的思想，它今天看來(lái)如此簡(jiǎn)單，以致我們忽視了

7、它的真正偉績(jī)。但恰恰是它的簡(jiǎn)單性以及對(duì)一切計(jì)算都提供了極大的方便，才使我們的算術(shù)在一切有用的發(fā)明中列在首位；而當(dāng)我們想到它竟逃過(guò)了古代最偉大的兩位人物阿基米德和阿波羅尼斯的天才思想的關(guān)注時(shí)，我們更感到這成就的偉大了。 拉普拉斯的這段評(píng)論十分精彩，只可惜他張冠李戴，把這項(xiàng)發(fā)明歸之于印度?，F(xiàn)已有充分而確鑿的史料證明，10進(jìn)位位置制記數(shù)法最先產(chǎn)生于中國(guó)。這一點(diǎn)也為西方的一些數(shù)學(xué)史家所主張。李約瑟就曾指出“在西方后來(lái)所習(xí)見(jiàn)的印度數(shù)字的背后，位置制已在中國(guó)存在了兩千年?！辈贿^(guò)，10進(jìn)位位置制記數(shù)法的產(chǎn)生不能單純地歸結(jié)為天才的智慧。記數(shù)法的進(jìn)步是與計(jì)算工具的改進(jìn)相聯(lián)系的。研究表明，10進(jìn)位位置制記數(shù)之產(chǎn)生

8、于中國(guó)，是與算籌的使用與籌算制度的演進(jìn)分不開(kāi)的。2.2 自然數(shù)自然數(shù)是人們認(rèn)識(shí)的所有數(shù)中最基本的一類(lèi)，為了使數(shù)的系統(tǒng)有嚴(yán)密的邏輯基礎(chǔ)，19世紀(jì)的數(shù)學(xué)家建立了自然數(shù)的兩種等價(jià)的理論:自然數(shù)的序數(shù)理論和基數(shù)理論，使自然數(shù)的概念、運(yùn)算和有關(guān)性質(zhì)得到嚴(yán)格的論述。 自然數(shù)集N是指滿足以下條件的集合：N中有一個(gè)元素，記作0。N中每一個(gè)元素都能在 N 中找到一個(gè)元素作為它的后繼者。 0不是任何元素的后繼者。 不同元素有不同的后繼者。（歸納公理）N的任一子集M，如果0M，并且只要x在M中就能推出x的后繼者也在M中，那么M=N。 基數(shù)理論則把自然數(shù)定義為有限集的基數(shù)，這種理論提出，兩個(gè)可以在元素之間建立一一對(duì)應(yīng)

9、關(guān)系的有限集具有共同的數(shù)量特征，這一特征叫做基數(shù) 。這樣 ，所有單元素集x，y，a，b等具有同一基數(shù) ， 記作1 。類(lèi)似，凡能與兩個(gè)手指頭建立一一對(duì)應(yīng)的集合，它們的基數(shù)相同，記作2，等等 。自然數(shù)的加法 、乘法運(yùn)算可以在序數(shù)或基數(shù)理論中給出定義，并且兩種理論下的運(yùn)算是一致的。下面我們主要討論自然數(shù)內(nèi)的零和素?cái)?shù).2.2.1 零的歷史2.2.1.1 哥倫布雞蛋數(shù)學(xué)史家把0比作“哥倫布雞蛋” （Columbus-egg),這不僅僅是因?yàn)?的形狀像雞蛋，其中還含有深刻的哲理。1492年，哥倫布（Christopher Columbus, 1451-1506）從西班牙出發(fā)，歷盡千辛萬(wàn)苦，終于發(fā)現(xiàn)了美洲新

10、大陸。他于1493年返回西班牙后，受到群眾的歡迎和王室的優(yōu)待，也招致一些貴族，大巨的妒忌。在一次宴會(huì)上，有人大聲宣稱(chēng)：“到那個(gè)地方?jīng)]有什么了不起，只要有船，誰(shuí)都能去?！备鐐惒紱](méi)有正面回答，他手拿一個(gè)熟雞蛋說(shuō)：“誰(shuí)能把雞蛋用小的那一頭豎起來(lái)？”許多人試了又試，都說(shuō)不可能。哥倫布將雞蛋在桌上輕輕敲破了一點(diǎn)殼，就豎了起來(lái)，于是又有人說(shuō)：“這誰(shuí)不會(huì)？”哥倫布說(shuō)：“在別人沒(méi)有做之前，誰(shuí)都不知怎么做，一旦別人做了之后，卻又認(rèn)為誰(shuí)都可以做。”這就是流傳了四百多年的哥倫布雞蛋故事。凡事都是開(kāi)創(chuàng)時(shí)困難，有人開(kāi)了端，仿效是很容易的。0的出現(xiàn)一個(gè)典型的例子，在發(fā)明之前，誰(shuí)都想不到，一旦有了它，人人都會(huì)用簡(jiǎn)單的方法來(lái)

11、記數(shù)。因此哥倫布雞蛋的比喻是很巧妙的?！傲闶钦l(shuí)發(fā)明的？”答案可能不止一種，這是因?yàn)閷?duì)“零”可以有不同的解釋?zhuān)海?）零是一個(gè)概念，它表示“一無(wú)所有”。如5減5等于零；（2）在位值制記數(shù)法中，零表示“空位”，同時(shí)起到指示數(shù)碼所在位置的作用。如阿拉伯?dāng)?shù)碼中零記作0，在304中的0表示十位上沒(méi)有數(shù)，而3是在百位上，表示三百；（3)零本身是一個(gè)數(shù)，可以同其他的數(shù)一起參與運(yùn)算；（4）零是標(biāo)度的起點(diǎn)或分界，如每天的時(shí)間從0時(shí)開(kāi)始，數(shù)軸上0是正負(fù)數(shù)的分界，溫度計(jì)以0º為零上零下的分界等等?？梢?jiàn)至少有上述的四種功能。下面討論零在位值制中的功能。2.2.1.2 楔形文字的零號(hào)所謂位值制，就是一個(gè)數(shù)碼表示

12、什么數(shù)，要看它所在的位置而定。完整的位值制，必須有零號(hào)，否則便無(wú)法表示405，4500這樣的致。零可以說(shuō)是位值制的必然產(chǎn)物，但在歷史上，它的出現(xiàn)往往比位值制思想晚得多。原因值得探討，至少可以說(shuō)明即使是一項(xiàng)簡(jiǎn)單的發(fā)明，也不是一蹴而就的。世界上較早懂得位值制原理的地區(qū)有巴比倫、瑪雅、印度、中國(guó)。巴比倫計(jì)數(shù)法遲遲不創(chuàng)造零號(hào)，原因可能有三個(gè)：一是零出現(xiàn)的頻率較小，10進(jìn)位值記數(shù)法在1100之中有10個(gè)數(shù)要用0來(lái)表示：10，20，100；而60進(jìn)制只有60這個(gè)數(shù)必須用到0；二是60進(jìn)制差一位就差60倍，較易從上下文來(lái)確定究竟表示什么；三是必要時(shí)用留出空擋來(lái)表示空位。總的來(lái)說(shuō)，在巴比倫王國(guó)時(shí)期沒(méi)有發(fā)明零號(hào)

13、，頂多是留出空白，而在塞琉西時(shí)期確實(shí)出現(xiàn)了零號(hào)，中間相隔一千多年。一般說(shuō)，事物的發(fā)明總比它被普遍使用早得多，但究竟早多少，現(xiàn)在還沒(méi)有足夠的證據(jù)來(lái)加以確定。2.2.1.3 亞里士多德的見(jiàn)解最早認(rèn)真考慮以零作除數(shù)的是亞里士多德，他在物理學(xué)一書(shū)4章8節(jié)中指出：物理在一定的力作用下，運(yùn)動(dòng)速度與介質(zhì)的密度成反比，即v=k/d，其中v是速度，d是介質(zhì)密度，k是比例常數(shù)。這法則是錯(cuò)誤的，暫且不去管它，我們要討論的下面的推理。亞里士多德提出這樣的問(wèn)題：假如d=0，也就是在真空中，物體將有怎樣的速度呢？他回答說(shuō)：“一個(gè)數(shù)與零是沒(méi)有比值的，如果把一個(gè)量c分為a與b兩部分，當(dāng)b減少時(shí)，比值就增大，但當(dāng)b變成零的時(shí)候

14、，便不再存在，因?yàn)椴荒苷f(shuō)b是c的一部分。同樣，直線與點(diǎn)也是沒(méi)有比值的?！苯又终f(shuō)：“物體在正空中的運(yùn)動(dòng)速度超過(guò)任何的比值?！眮喞锸慷嗟碌恼撌龇浅＝咏F(xiàn)代的思想，它可以歸結(jié)為兩點(diǎn)：（1）a/0是不存在的；（2）。 在這里亞里士多德似乎已經(jīng)意識(shí)到零（空虛）可以看作一個(gè)數(shù)來(lái)參與運(yùn)算，但沒(méi)有更多的證據(jù)來(lái)肯定這一點(diǎn)。在以后的希臘著作中，包括亞里士多德的在內(nèi)，很少把零看作一個(gè)數(shù)來(lái)加以運(yùn)算。即使在古希臘最重要的算術(shù)著作尼科馬霍斯 算術(shù)入門(mén)里也沒(méi)有將零納入數(shù)的系數(shù)之中，只是在一處偶然提到“一無(wú)所有加上一無(wú)所有還是一無(wú)所有?！?.2.2 素?cái)?shù)2.2.2.1 素?cái)?shù)有多少？我們?cè)诔醯葦?shù)論課中學(xué)習(xí)了素?cái)?shù)，素?cái)?shù)是整個(gè)數(shù)

15、論的靈魂，因此我以素?cái)?shù)為主要內(nèi)容來(lái)介紹。一個(gè)素?cái)?shù)是指這樣一種正整數(shù):除了1和它本身之外，其它任何正整數(shù)都不可能整除它。我們也可以這樣定義素?cái)?shù)：它不能寫(xiě)成兩個(gè)大于1的正整數(shù)的乘積。有時(shí)我們也將素?cái)?shù)稱(chēng)作質(zhì)數(shù)。通常我們不承認(rèn)1是素?cái)?shù)。下面來(lái)介紹這樣做的好處。最初的幾個(gè)素?cái)?shù)是2，3，5，7，11，。顯然6不是素?cái)?shù)，因?yàn)?，所有的素?cái)?shù)中只有2是偶數(shù)！這件事看似平凡的事，其實(shí)很重要。在許多數(shù)學(xué)研究中，2和其他素?cái)?shù)會(huì)對(duì)我們所考慮的問(wèn)題產(chǎn)生不同的影響。很多人會(huì)問(wèn)：為什么我們把這樣的數(shù)名為“素?cái)?shù)”呢？這來(lái)自于素?cái)?shù)最基本的結(jié)論算術(shù)基本定理：任何大于1的正整數(shù)都可以唯一地分解成一些素?cái)?shù)和乘積，這里都是素?cái)?shù)（允許相同）

16、。究竟有多少個(gè)素?cái)?shù)？無(wú)限多個(gè)還是僅有有限個(gè)？這個(gè)問(wèn)題的答案早由歐幾里得在兩千多年前解決了。他用初等方法技巧地證明：存在無(wú)限多個(gè)素?cái)?shù)！具體言之，我們假設(shè)所有正整數(shù)中只有有限個(gè)素?cái)?shù)，那么可以構(gòu)造一個(gè)正整數(shù) 很容易發(fā)現(xiàn)，左邊的分解成素?cái)?shù)的乘積的話，不可能包含任何素?cái)?shù)，因此它的分解式中必定含有這些之外的新的素?cái)?shù)，這就和我們的假設(shè)矛盾。根據(jù)歐幾里得的證明，我們可以輕松斷言：所有被4除余數(shù)為3的素?cái)?shù)有無(wú)限個(gè)！換言之，等差數(shù)列3，7，11，15，19，中包含無(wú)窮多個(gè)素?cái)?shù)這就產(chǎn)生了有趣的問(wèn)題：一個(gè)等差數(shù)列，中是否包含無(wú)限多個(gè)素?cái)?shù)？數(shù)學(xué)家狄利克雷回答了這個(gè)問(wèn)題：假如和是互素的（就是說(shuō)它們不能同時(shí)被一個(gè)大于1的正

17、整數(shù)整除），那么答案是肯定的！不要以為歐幾里得的方法來(lái)輕松的解決這一問(wèn)題。事實(shí)上，除了少數(shù)情形之外，這個(gè)問(wèn)題不可能由它來(lái)簡(jiǎn)單的解決。如果我們把等差數(shù)列換成其他數(shù)列，結(jié)果會(huì)怎樣呢？比如考慮數(shù)列：2，5，10，17，26， 其中是否有無(wú)限多個(gè)素?cái)?shù)呢？讓人失望的是，這到至今仍是一個(gè)未解決的難題。2.2.2.2 素?cái)?shù)的分布我們知道了“素?cái)?shù)有無(wú)限多個(gè)”后還想知道更多！比如，素?cái)?shù)在所有自然數(shù)中所占的比率多大？我們首先要說(shuō)明“比率”在這里意味著什么。對(duì)任何正實(shí)數(shù)，我們用（）表示不超過(guò)的素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)。比如等等。我們用來(lái)反映所有不超過(guò)的正整數(shù)中，素?cái)?shù)所占的比率也稱(chēng)作平均分布密度。一個(gè)簡(jiǎn)單的結(jié)論告訴我們：當(dāng)非常非常

18、大時(shí)，幾乎就等于0.換句話說(shuō)，素?cái)?shù)在所有正整數(shù)中極為罕見(jiàn)，可以說(shuō)少得幾乎沒(méi)有盡管我們知道它們有無(wú)窮多個(gè)！對(duì)一般人來(lái)說(shuō)，這個(gè)結(jié)論似乎已經(jīng)讓我們走到了問(wèn)題的盡頭。但是天才數(shù)學(xué)家高斯卻不這么認(rèn)為。在那個(gè)沒(méi)有計(jì)算機(jī)的年代（1792-1793年間），他通過(guò)大量的手工計(jì)算，單憑超人的直覺(jué)，竟然得到了一個(gè)讓人吃驚的猜測(cè)：當(dāng)非常時(shí)，素?cái)?shù)出現(xiàn)的比率約等于。換言之約等于1，這里是的對(duì)數(shù)函數(shù)。高斯的原始猜測(cè)要比上面的表述式更為精確。在高斯之后，數(shù)學(xué)家勒讓德也通過(guò)數(shù)值計(jì)算得到過(guò)類(lèi)似的猜測(cè)公式（1800年左右），但沒(méi)有高斯的精確。證明這一結(jié)論是極其困難的工作。到19 世紀(jì)中葉，俄國(guó)數(shù)學(xué)家切比雪夫才有了突破性進(jìn)展，他證明

19、了： 這里和是確定的常數(shù)。這個(gè)猜想大約到19世紀(jì)末，才由法國(guó)學(xué)家阿達(dá)瑪和Paussin幾乎同時(shí)獨(dú)立證明。人們將它稱(chēng)作素?cái)?shù)定理。這個(gè)定理只是在大樣本范圍內(nèi)描述了一種統(tǒng)計(jì)規(guī)律。素?cái)?shù)本身的分布位置極不規(guī)則。當(dāng)我們確定一個(gè)素?cái)?shù)之后，很難預(yù)測(cè)在它之后的下一個(gè)素?cái)?shù)是多少。盡管如此，我們?nèi)杂幸恍┎聹y(cè)和結(jié)論來(lái)描繪素?cái)?shù)在整數(shù)集中分布形態(tài)。有趣的是，猜測(cè)要比結(jié)論多得多。雖然我們無(wú)法徹底證實(shí)那些猜想，但是卻可以推導(dǎo)出，用所謂的密率方法得到的有趣結(jié)論：任何大于1的整數(shù)必可以寫(xiě)成不超過(guò)26個(gè)素?cái)?shù)之和。 3 有理數(shù)3.1 有理數(shù)的引入 位置制記數(shù)法的出現(xiàn)，標(biāo)志著人們掌握的數(shù)的語(yǔ)言，已從少量的文字個(gè)體，發(fā)展到了一個(gè)具有完善

20、運(yùn)算規(guī)則的數(shù)系。人類(lèi)第一個(gè)認(rèn)識(shí)的數(shù)系，就是常說(shuō)的“自然數(shù)系”。但是，隨著人類(lèi)認(rèn)識(shí)的發(fā)展，自然數(shù)的缺陷也就逐漸顯露出來(lái)。自然數(shù)是人們認(rèn)識(shí)的所有數(shù)中最基本的一類(lèi)，為了使數(shù)的系統(tǒng)有嚴(yán)密的邏輯基礎(chǔ)，19世紀(jì)的數(shù)學(xué)家建立了自然數(shù)的兩種等價(jià)的理論:自然數(shù)的序數(shù)理論和基數(shù)理論，使自然數(shù)的概念、運(yùn)算和有關(guān)性質(zhì)得到嚴(yán)格的論述。自然數(shù)的減法和除法可以由類(lèi)似加法和乘法的逆的方式定義。但相減和相除的結(jié)果未必都是自然數(shù)，所以減法和除法運(yùn)算在自然數(shù)集中并不是總能成立的?？芍?，自然數(shù)是一個(gè)離散的、而不是稠密的數(shù) ，因此，作為量的表征，它只能限于去表示一個(gè)單位量的整數(shù)倍，而無(wú)法表示它的部分。同時(shí)，作為運(yùn)算的手段，在自然數(shù)中只

21、能施行加法和乘法，而不能自由地施行它們的逆運(yùn)算。這些缺陷，由于分?jǐn)?shù)和負(fù)數(shù)的出現(xiàn)而得以彌補(bǔ)。3.2 分?jǐn)?shù)和負(fù)數(shù)有趣的是分?jǐn)?shù)來(lái)領(lǐng)也都有強(qiáng)烈的地域特征。如，巴比倫的分?jǐn)?shù)是60進(jìn)位的，埃及采用的是單分?jǐn)?shù)(unit fraction)，阿拉伯的分?jǐn)?shù)更加復(fù)雜：?jiǎn)畏謹(jǐn)?shù)、主分?jǐn)?shù)和復(fù)合分?jǐn)?shù)。這種繁復(fù)的分?jǐn)?shù)表示必然導(dǎo)致分?jǐn)?shù)運(yùn)算方法的繁雜，所以歐洲分?jǐn)?shù)理論長(zhǎng)期停滯不前，直到15世紀(jì)以后才逐步形成現(xiàn)代的分?jǐn)?shù)算法。與之形成鮮明對(duì)照的是中國(guó)古代在分?jǐn)?shù)理論上的卓越貢獻(xiàn)。原始的分?jǐn)?shù)概念來(lái)源于對(duì)量的分割。如說(shuō)文·八部對(duì)“分”的解釋?zhuān)骸胺?，別也。從八從刀，刀以分別物也。”但是，九章算術(shù)中的分?jǐn)?shù)是從除法運(yùn)算引入的。其“合

22、分術(shù)”有云：“實(shí)如法而一。不滿法者，以法命之?！边@句話的今譯是：被除數(shù)除以除數(shù)。如果不能除盡，便定義了一個(gè)分?jǐn)?shù)。中國(guó)古代分?jǐn)?shù)理論的高明之處是它借助于“齊同術(shù)”把握住了分?jǐn)?shù)算法的精髓：通分?？梢宰C明，分?jǐn)?shù)是一個(gè)稠密的數(shù)，它對(duì)于加、乘、除三種運(yùn)算是封閉的。為了使得減法運(yùn)算在數(shù)系內(nèi)也同行無(wú)阻，負(fù)數(shù)的出現(xiàn)就是必然的了。收入與支出、盈余與不足、增加與減少是負(fù)數(shù)概念在生活中的實(shí)例，教科書(shū)在向?qū)W生講授負(fù)數(shù)是也多循此途。這就是一種誤解：似乎人類(lèi)正是從這種具有相反意義的量的認(rèn)識(shí)而引進(jìn)了負(fù)數(shù)的。歷史表明：負(fù)數(shù)最早為中算家所引進(jìn)，這是由中國(guó)古代傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中，籌算機(jī)械化和算法高度發(fā)達(dá)的特點(diǎn)所決定的。負(fù)數(shù)的概念和算法首先

23、出現(xiàn)在九章算術(shù)“方程”章，因?yàn)閷?duì)“方程”進(jìn)行兩行之間的加減消元時(shí)，就必須引入負(fù)數(shù)和建立正負(fù)數(shù)的運(yùn)算法則。 負(fù)數(shù)雖然從阿拉伯人的著作傳到了歐洲，但16世紀(jì)和17世紀(jì)的大多數(shù)數(shù)學(xué)家并不承認(rèn)色一點(diǎn)，或者即使承認(rèn)了也并不認(rèn)為它們是方程的根。如丘凱（Nicolas Chuquet ，1445-1500）和斯蒂費(fèi)爾（Stifel ,1486-1567）把負(fù)數(shù)說(shuō)成是荒謬的數(shù)，是“無(wú)稽之零下”；卡丹(Cardan,1501- 1576) 把負(fù)數(shù)作為方程的根，但認(rèn)為它們是不可能的解，僅僅是一些記號(hào)，他把負(fù)根稱(chēng)作是虛有的；韋達(dá)(Vieta, 1540- 1630) 完全不要負(fù)數(shù)；巴斯卡（Pascal,1623-

24、1662） 則認(rèn)為從0減去4純粹是胡說(shuō)。 負(fù)數(shù)是人類(lèi)第一次越過(guò)正數(shù)域的范圍，前此種種的經(jīng)驗(yàn)，在負(fù)數(shù)面前全然無(wú)用。在數(shù)的發(fā)展歷史進(jìn)程中，現(xiàn)實(shí)經(jīng)驗(yàn)有時(shí)不僅無(wú)用，反而會(huì)成為一種阻礙。4 實(shí)數(shù)理論的完善4.1 無(wú)理數(shù)的由來(lái)公元前500年，古希臘畢達(dá)哥拉斯(Pythagoras)學(xué)派的弟(Hippasus)發(fā)現(xiàn)了一個(gè)驚人的事實(shí)，一個(gè)正方形的對(duì)角線與其一邊的長(zhǎng)度是不可子希勃索斯公度的(若正方形邊長(zhǎng)是1，則對(duì)角線的長(zhǎng)不是一個(gè)有理數(shù))這一不可公度性與畢氏學(xué)派“萬(wàn)物皆為數(shù)”(指有理數(shù))的哲理大相徑庭。這一發(fā)現(xiàn)使該學(xué)派領(lǐng)導(dǎo)人惶恐、惱怒，認(rèn)為這將動(dòng)搖他們?cè)趯W(xué)術(shù)界的統(tǒng)治地位。希勃索斯因此被囚禁，受到百般折磨，最后竟遭

25、到沉舟身亡的懲處。 畢氏弟子的發(fā)現(xiàn)，第一次向人們揭示了有理數(shù)系的缺陷，證明它不能同連續(xù)的無(wú)限直線同等看待，有理數(shù)并沒(méi)有布滿數(shù)軸上的點(diǎn)，在數(shù)軸上存在著不能用有理數(shù)表示的“孔隙”。而這種“孔隙”經(jīng)后人證明簡(jiǎn)直多得“不可勝數(shù)”。于是，古希臘人把有理數(shù)視為連續(xù)銜接的那種算術(shù)連續(xù)統(tǒng)的設(shè)想徹底地破滅了。不可公度量的發(fā)現(xiàn)連同著名的芝諾悖論一同被稱(chēng)為數(shù)學(xué)史上的第一次危機(jī)，對(duì)以后2000多年數(shù)學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響，促使人們從依靠直覺(jué)、經(jīng)驗(yàn)而轉(zhuǎn)向依靠證明，推動(dòng)了公理幾何學(xué)與邏輯學(xué)的發(fā)展，并且孕育了微積分的思想萌芽。 不可通約的本質(zhì)是什么？長(zhǎng)期以來(lái)眾說(shuō)紛壇，得不到正確的解釋?zhuān)瑑蓚€(gè)不可通約的比值也一直被認(rèn)為是不可

26、理喻的數(shù)。15世紀(jì)意大利著名畫(huà)家達(dá).芬奇稱(chēng)之為“無(wú)理的數(shù)”，17世紀(jì)德國(guó)天文學(xué)家開(kāi)普勒稱(chēng)之為“不可名狀”的數(shù)。 然而，真理畢竟是淹沒(méi)不了的，畢氏學(xué)派抹殺真理才是“無(wú)理”。人們?yōu)榱思o(jì)念希勃索斯這位為真理而獻(xiàn)身的可敬學(xué)者，就把不可通約的量取名為“無(wú)理數(shù)”。無(wú)理數(shù)的發(fā)現(xiàn)，擊碎了Pythagoras學(xué)派“萬(wàn)物皆數(shù)”的美夢(mèng)。同時(shí)暴露出有理數(shù)系的缺陷：一條直線上的有理數(shù)盡管是“稠密”，但是它卻漏出了許多“孔隙”，而且這種“孔隙”多的“不可勝數(shù)”。這樣，古希臘人把有理數(shù)視為是連續(xù)銜接的那種算術(shù)連續(xù)統(tǒng)的設(shè)想，就徹底的破滅了。它的破滅，在以后兩千多年時(shí)間內(nèi)，對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展，起到了深遠(yuǎn)的影響。不可通約的本質(zhì)是什么？

27、長(zhǎng)期以來(lái)眾說(shuō)紛紜。兩個(gè)不可通約量的比值也因其得不到正確的解釋?zhuān)徽J(rèn)為是不可理喻的數(shù)。15世紀(jì)達(dá)芬奇（Leonardo da Vinci, 1452- 1519） 把它們稱(chēng)為是“無(wú)理的數(shù)”（irrational number），開(kāi)普勒（J. Kepler, 1571- 1630）稱(chēng)它們是“不可名狀”的數(shù)。這些“無(wú)理”而又“不可名狀”的數(shù)，找到雖然在后來(lái)的運(yùn)算中漸漸被使用，但是它們究竟是不是實(shí)實(shí)在在的數(shù)，卻一直是個(gè)困擾人的問(wèn)題。4.2 實(shí)數(shù)的發(fā)展1872年，是近代數(shù)學(xué)史上最值得紀(jì)念的一年。這一年，克萊（F.Kline,1849- 1925）提出了著名的“埃爾朗根綱領(lǐng)”（Erlanger Prog

28、ramm），維爾斯特拉斯給出了處處連續(xù)但處處不可微函數(shù)的著名例子。也正是在這一年，實(shí)數(shù)的三大派理論：戴德金“分割”理論；康托的“基本序列”理論，以及維爾斯特拉斯的“有界單調(diào)序列”理論，同時(shí)在德國(guó)出現(xiàn)了。努力建立實(shí)數(shù)的目的，是為了給出一個(gè)形式化的邏輯定義，它既不依賴(lài)幾何的含義，又避免用極限來(lái)定義無(wú)理數(shù)的邏輯錯(cuò)誤。有了這些定義做基礎(chǔ)，微積分中關(guān)于極限的基本定理的推導(dǎo)，才不會(huì)有理論上的循環(huán)。導(dǎo)數(shù)和積分從而可以直接在這些定義上建立起來(lái)，免去任何與感性認(rèn)識(shí)聯(lián)系的性質(zhì)。幾何概念是不能給出充分明白和精確的，這在微積分發(fā)展的漫長(zhǎng)歲月的過(guò)程中已經(jīng)被證明。因此，必要的嚴(yán)格性只有通過(guò)數(shù)的概念，并且在割斷數(shù)的概念與幾

29、何量觀念的聯(lián)系之后才能完全達(dá)到。這里，戴德金的工作受到了崇高的評(píng)價(jià)，這是因?yàn)?，由“戴德金分割”定義的實(shí)數(shù)，是完全不依賴(lài)于空間與時(shí)間直觀的人類(lèi)智慧的創(chuàng)造物。實(shí)數(shù)的三大派理論本質(zhì)上是對(duì)無(wú)理數(shù)給出嚴(yán)格定義，從而建立了完備的實(shí)數(shù)域。實(shí)數(shù)域的構(gòu)造成功，使得兩千多年來(lái)存在于算術(shù)與幾何之間的鴻溝得以完全填平，無(wú)理數(shù)不再是“無(wú)理的數(shù)”了，古希臘人的算術(shù)連續(xù)統(tǒng)的設(shè)想，也終于在嚴(yán)格的科學(xué)意義下得以實(shí)現(xiàn)。5 復(fù)數(shù)的擴(kuò)張5.1 復(fù)數(shù)的產(chǎn)生復(fù)數(shù)（虛數(shù)）的產(chǎn)生在數(shù)學(xué)發(fā)展歷史是一個(gè)重大的事件，由于它誕生于“荒謬的矛盾”中，因此復(fù)數(shù)一開(kāi)始就給自己披上了一層“虛無(wú)縹緲”而有神秘的外衣。經(jīng)過(guò)許多年的艱苦探索，走了近三百年的漫長(zhǎng)歷

30、史時(shí)期，最后才逐漸被人們承認(rèn)和接受。今天復(fù)數(shù)已經(jīng)在數(shù)學(xué)的許多分支及其他學(xué)科中得到廣泛的應(yīng)用。復(fù)數(shù)是怎樣產(chǎn)生的？它是不是象有些書(shū)上所敘述的那樣：在求一元二次方程 的過(guò)程中，實(shí)數(shù)集不夠用了需要進(jìn)行擴(kuò)張，擴(kuò)張后的數(shù)集，使得一元二次方程 有解，從而得到復(fù)數(shù)，可是在歷史上復(fù)數(shù)卻不是這樣產(chǎn)生的，它不是生產(chǎn)與一元二次方程的求解過(guò)程中，這就更增加了復(fù)數(shù)神秘而虛無(wú)的色彩。因此恩格斯說(shuō)：“復(fù)數(shù)就其本身來(lái)說(shuō)，它們純粹是虛構(gòu)的”。 本來(lái)，由于一元二次方程 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)沒(méi)有解，為了使這個(gè)方程求得解，自然會(huì)想到將實(shí)數(shù)進(jìn)行擴(kuò)張，而引入 ，從而得到方程的根 ，復(fù)數(shù)就是自然而然地產(chǎn)生，這一過(guò)程表面上看似乎也符合人們的認(rèn)識(shí)，也能

31、為人們，特別是中學(xué)生所接受。如果復(fù)數(shù)真是這樣產(chǎn)生，那它不就成了純粹的自由創(chuàng)造物和相像物了？5.2 復(fù)數(shù)的歷史意義和發(fā)展歷史并非如此，我們不妨來(lái)看看歷史吧！最近在考古中發(fā)現(xiàn)，公元前兩千多年前的古代巴比倫時(shí)代，就已經(jīng)出現(xiàn)了二次，三次方程的例子，當(dāng)時(shí)的古代巴比倫人已經(jīng)具有處理一元二次方程的技巧。公元三年紀(jì)希臘數(shù)學(xué)家丟番圖能熟練的解一元二次方程，但他還沒(méi)有得到一元二次方程的求解公式。直到公元七世紀(jì)，印度數(shù)學(xué)家巴拉瑪古他才較明確地得到求解一元二次方程的公式，雖然復(fù)數(shù)在阿拉伯人就已經(jīng)知道，但在歐洲不承認(rèn)復(fù)數(shù)是數(shù)，17世紀(jì)有名的數(shù)學(xué)家巴斯葛認(rèn)為：“0減4純粹是胡說(shuō)”。很多著名數(shù)學(xué)家都不承認(rèn)方程有負(fù)數(shù)根，例如

32、17世紀(jì)法國(guó)著名的數(shù)學(xué)家偉達(dá)只承認(rèn)方程有正跟，而拒絕承認(rèn)一元二次方程有負(fù)數(shù)根，更談不上承認(rèn)一元二次方程有虛根了。 1500年法國(guó)人舒開(kāi)在接一元二次方程時(shí)，就得到過(guò) 這樣一個(gè)具有負(fù)數(shù)開(kāi)平方的事實(shí)，但他認(rèn)為這是不可能的。他之所以得出這樣的結(jié)論，是因?yàn)椴怀姓J(rèn)負(fù)數(shù)是開(kāi)放數(shù)這個(gè)事實(shí)，不論在理論上還是邏輯上不會(huì)出現(xiàn)什么困難和矛盾，在當(dāng)時(shí)無(wú)論在理論上，還是實(shí)際需要都沒(méi)有什么動(dòng)力促使人們?cè)谝辉畏匠糖蠼庵腥ヌ角筮@類(lèi)問(wèn)題，因此復(fù)數(shù)在歷史上產(chǎn)生于一元二次方程的求解過(guò)程中也就沒(méi)有什么奇怪了。復(fù)數(shù)還是太“虛無(wú)縹緲”了，不容易為大家所接受，人你們努力去尋找求它的應(yīng)用。令人奇怪的是復(fù)數(shù)的幾何表示并不是出自數(shù)學(xué)家單位著作

33、。1799年丹麥的測(cè)量員維塞爾在他的“方向的解析表示”的著作中，第一次給出了復(fù)數(shù)的幾何解釋?zhuān)@也許是他從測(cè)量的實(shí)踐中想到用平面上的點(diǎn)來(lái)表示復(fù)數(shù)，不久，日內(nèi)瓦的會(huì)計(jì)師阿爾岡在1806年出版的“一種表示虛量和幾何作圖”的著作中，第一次給出了復(fù)數(shù)模的概念，他也用平面上的點(diǎn)來(lái)表示復(fù)數(shù)，但由于他倆都不是正統(tǒng)的數(shù)學(xué)家，又沒(méi)有系統(tǒng)地上升到理論高度，因此他們的成果沒(méi)有引起人們的凝視。從上可以看出復(fù)數(shù)的產(chǎn)生對(duì)于數(shù)學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生了巨大的影響，由它出發(fā)不僅創(chuàng)立了有重大突破的四元數(shù)理輪，后來(lái)還出現(xiàn)了超復(fù)數(shù)的概念，甚至到了1972年蘇聯(lián)一位學(xué)者還是提出了雙復(fù)數(shù)的概念，它們?cè)谖锢韺W(xué)中都找到應(yīng)用。即使是復(fù)數(shù)本身，在愛(ài)因斯坦的相對(duì)論中也用i代替閔可夫斯思維空間的時(shí)間t，最近還有人將復(fù)數(shù)應(yīng)用于系統(tǒng)論的控制論。復(fù)數(shù)理論的創(chuàng)立，在數(shù)學(xué)本身已經(jīng)得到廣泛的擔(dān)任應(yīng)用，而受復(fù)數(shù)啟示而誕生的四元數(shù)理論不僅給數(shù)學(xué)帶來(lái)觀念的更新，而且導(dǎo)致了許多的數(shù)學(xué)理論的建立。直到