高等數(shù)學(xué)數(shù)試題(含解答)

1、08-09-3高數(shù)A（期中）試卷參考答案09.4.17一填空題（本題共5小題，每小題4分，滿分20分） 1交換積分次序0-2dyy+20f(x,y)dx+dy040f(x,y)dx=dx24-x2x-2f(x,y)dy；2設(shè)ez-1=0，則Rez=，Imz=-+2k,k=0,±1,±2, ；3設(shè)z=z(x,y)是由方程y+z=xf(y2-z2)所確定的隱函數(shù)，其中f可微，則全微分dz=f2xyf'-1dx+dy；1+2xzf'1+2xzf'4設(shè)C為由x+y=與x軸,y軸圍成的三角形的邊界,5設(shè)f(x,y)連續(xù)，D=(x,y)0x1,0yxeCx+yd

2、s=e+2)-22，且f(x,y)=xy+f(x,y)dxdyD則Df(x,y)dxdy= 二單項(xiàng)選擇題（本題共4小題，每小題4分，滿分16分）xy,(x,y)(0,0)226函數(shù)f(x,y)=x+y在點(diǎn)(0,0)處 C 0,(x,y)=(0,0)(A)連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在 (B) 連續(xù)但偏導(dǎo)數(shù)不存在(C)不連續(xù)但偏導(dǎo)數(shù)存在 (D) 不連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)不存在7設(shè)D=(x,y)x+y1,D1為D在第一象限部分,則下列各式中不成立的是 B （A）22Dxdy=4xdy （B）xydxdy=4xydxdyD1DD1（C）322332（D）(x+xy)dxdy=0xydxdy=xydxdy DDD8設(shè)f(t)

3、C0,+),I(R)=x2+y2+z2R2f(x2+y2+z2)dv,則當(dāng)R0+時(shí),I(R) D （A）是R的一階無窮小 （B）是R的二階無窮小共 5 頁(yè) 第 1 頁(yè)（C）是R的三階無窮小 （D）至少是R的三階無窮小9設(shè)f(x,y)在原點(diǎn)的某鄰域內(nèi)連續(xù)，且limf(x,y)-f(0,0)=a>0，則 B x0x2+1-xsiny-cos2yy0（A）f(x,y)在原點(diǎn)處取得極大值 （B）f(x,y)在原點(diǎn)處取得極小值（C）不能斷定f(x,y)在原點(diǎn)處是否取得極值 （D）原點(diǎn)一定不是f(x,y)的極值點(diǎn)三.計(jì)算下列各題(本題共5小題，每小題8分，滿分40分)10計(jì)算二重積分2x+3y22D

4、=(x,y)x+y1,x+y1. ，其中d22x+yD12x+3y5x+y552解 2d=d=d(cos+sin)d=5- 12220x+y2Dx+y24cos+sinD11計(jì)算曲面積分的表面. (z+y)dA，其中是由z=0,z=1與z2+1=x2+y2所圍成的立體x2+y21x2+y22x2+y2=1+z21x2+y22解 1:，2:，3:，D: z=0z=10z1z=0(z+y)dA=zdA=zdA+zdA+zdA=2+123Dxdy=2+212求5d= 3 x2dydz+ydzdx222，其中為圓柱體y+zR， xR(R>0)的表面，222x+y+z取外側(cè).222y2+z2R2y

5、2+z2R2y+z=R解 1:取后側(cè)，2:取前側(cè)，3:取外側(cè)，x=-Rx=RxRDzx=(z,x)zR,xR， x2dydz+ydzdxR2dydzR2dydzydzdx =+22222222222x+y+zR+y+z2R+y+zx+R13共 5 頁(yè) 第 2 頁(yè)=0+2DzxR2zdx=x2+R2213求由曲面x2+z=1,y2+z=1和z=0所圍成的質(zhì)量均勻分布的立體的質(zhì)心坐標(biāo). 解 由對(duì)稱性知x=y=0， 質(zhì)量m=810dx(1-x2)dy=2，01-x2x對(duì)xOy平面的靜力矩Mxy=810dxdyxzdz=M21， z=xy= 3m32另解 x=y=0，用切片法z=Mxym=zdz012

6、(1dz1= 314已知解析函數(shù)f(z)的實(shí)部u(x,y)=2xy+和f'(i)x,求f(z)的表達(dá)式（用變量z表示）x2+y2vu12y2y2=2y-2+v=y-+(x)， 解 ，222222x+yyxx+y(x+y)v2xyu2xy2'=+(x)=-=-2x+，(x)=-x-C， 222222x(x+y)y(x+y)f(z)=1-i(z2+C)， f'(i)=3 zy2-x22xy另解：因?yàn)榻馕?，所以f'(z)=ux-iuy=(2y+2)-i(2x-) 22222(x+y)(x+y)從而f'(z)=-11-i2zf(z)=-iz2+C 2zz2222

7、22四（15）（本題滿分8分）求函數(shù)u=x+2y+3z在球面x+y+z=1和平面x+y=0的交線上的最大值與最小值.解 首先根據(jù)條件得u=x+2y+3z=3-y-2x=3-3x3，且在點(diǎn)(0,0,±1)2222221-z233處，umax=3，繼續(xù)由條件得u=3(x+z)=3 +z2=(1+z2)，且在點(diǎn)22222共 5 頁(yè) 第 3 頁(yè)3u=處， min 2x+y-2=0五（16）（本題滿分8分）試求過直線，且與曲面z=x2+y2相切的平x-5y-z-3=0面方程.解 設(shè)過直線x+y-2=0的平面方程為(1+)x+(1-5)y-z-2-3=0， x-5y-z-3=0(1+)x0+(1

8、-5)y0-z0-2-3=0(1)2y012x設(shè)切點(diǎn)為(x0,y0,z0)，則0= =(2)1+1-522(3)z0=x0+y01+1-5(1+)2+(1-5)2,y0=由（2），（3）解得x0=，z0=， 22242代入（1）得7-8+1=0，解得1=1,2=1，從而兩切平面方程分別為 72x-4y-z-5=0和8x+2y-z-17=0。22f2f六（17）（本題滿分8分）設(shè)ab0,f(x,y)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且a+b=0 x2y22,f(ax,bx)=ax，fx(ax,bx)=bx2，求fxx(ax,bx)，fxy(ax,bx)，fyy(ax,bx). 解 對(duì)f(ax,bx)=ax的等號(hào)兩端關(guān)于x求導(dǎo)，得afx+bfy=a，（1）對(duì)fx(ax,bx)=bx2的等號(hào)兩端關(guān)于x求導(dǎo)，得afxx+bfxy=2bx，（2）對(duì)（1）式的等號(hào)兩