滲透數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)文化潤澤心靈

1、滲透數(shù)學(xué)思想 文化潤澤心靈小學(xué)數(shù)學(xué)教材中蘊(yùn)含了豐富的數(shù)學(xué)思想方法,但都沒有明確的寫在教材上。如果說數(shù)學(xué)知識是寫在教材上的一條明線，那么數(shù)學(xué)思想就是隱含其中的一條暗線。明線容易理解，暗線不易看明。因此教師只有掌握好數(shù)學(xué)思想方法，才能從整體上、本質(zhì)上理解教材，只有深入挖掘教材中的數(shù)學(xué)思想，才能科學(xué)、靈活地設(shè)計教學(xué)才能使學(xué)生的思維品質(zhì)得以提高。課標(biāo)（修訂稿）把“雙基”改變“四基”，即改為關(guān)于數(shù)學(xué)的： 基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗。   一、什么是小學(xué)數(shù)學(xué)思想   所謂的數(shù)學(xué)思想，是指人們對數(shù)學(xué)理論與內(nèi)容的本質(zhì)認(rèn)識，是從某些具體數(shù)學(xué)認(rèn)識過程中提煉出

2、的一些觀點，它揭示了數(shù)學(xué)發(fā)展中普遍的規(guī)律，它直接支配著數(shù)學(xué)的實踐活動，這是對數(shù)學(xué)規(guī)律的理性認(rèn)識。   所謂的數(shù)學(xué)方法，就是解決數(shù)學(xué)問題的方法，即解決數(shù)學(xué)具體問題時所采用的方式、途徑和手段，也可以說是解決數(shù)學(xué)問題的策略。數(shù)學(xué)思想是宏觀的，它更具有普遍的指導(dǎo)意義。而數(shù)學(xué)方法是微觀的，它是解決數(shù)學(xué)問題的直接具體的手段。一般來說，前者給出了解決問題的方向，后者給出了解決問題的策略。但由于小學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容比較簡單，知識最為基礎(chǔ)，所以隱藏的思想和方法很難截然分開，更多的反映在聯(lián)系方面，其本質(zhì)往往是一致的。如常用的分類、轉(zhuǎn)化、集合、統(tǒng)計思想和方法，在本質(zhì)上都是相通的。  二、小學(xué)數(shù)

3、學(xué)思想方法有哪些？  (一)、對應(yīng)思想對應(yīng)是人們對兩個集合因素之間的聯(lián)系的一種思想方法，對應(yīng)是人的思維對兩個集合間問題聯(lián)系的把握，是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個最基本的概念。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中主要利用虛線、實線、箭頭、計數(shù)器圖形將元素與元素、實物與實物 、式與式、量與量聯(lián)系起來，滲透對應(yīng)思想。 1、在數(shù)數(shù)中滲透對應(yīng)思想 10以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識的教學(xué)，就是利用了等價集合一一對應(yīng)思想。教學(xué)中采用直觀形象的方式，借助于圖形，由數(shù)數(shù)過渡到認(rèn)識自然數(shù)。滲透了數(shù)與物之間的對應(yīng)關(guān)系。 比大?。和瑯佣嗟牟糠帧耙灰粚?yīng)”；2、在計算教學(xué)中滲透對應(yīng)思想 教材中計算教學(xué)對應(yīng)思想是通過方框圖（或韋恩圖），結(jié)合具體運(yùn)算進(jìn)行

4、滲透的。例如： 有時，數(shù)與數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，還通過列表的方式加以體現(xiàn)。例如： 這樣做，既滲透了數(shù)與算式，算式與算式之間的對應(yīng)關(guān)系，又改變了過去教材中計算題的題型單調(diào)的不足之處。 3、在序數(shù)（數(shù)的順序）教學(xué)以及分?jǐn)?shù)教學(xué)中滲透對應(yīng)思想 這里滲透了整數(shù)、小數(shù)集合中的數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應(yīng)。4、在認(rèn)識圖形中滲透對應(yīng)思想 在一年級“認(rèn)識圖形”中，教材中的“做一做”要求學(xué)生把形狀是長方體、正方體、圓柱和球的物體用線分別與長方體、正方體、圓柱和球的立體圖形連起來。這里是要求學(xué)生把實物和它所對應(yīng)的幾何圖形用線連起來。 5、在應(yīng)用題教學(xué)中滲透對應(yīng)思想 例如，學(xué)校養(yǎng)了12只白兔，7只黑兔，白兔比黑兔多幾只？ 對于低

5、年級學(xué)生來說，剛接觸應(yīng)用題，為了使學(xué)生明白誰多誰少的含義，可以畫出實物圖。比如，用黑圈表示黑兔，白圈表示白兔，則可進(jìn)行形象、直觀的對比。 使一只黑兔對著一只白兔，一一對應(yīng)的部分是同樣多的部分，學(xué)生會發(fā)現(xiàn)，有5只白兔沒有黑兔與它們對應(yīng)，由此啟發(fā)學(xué)生理解白兔比黑兔多的含義。 對于分?jǐn)?shù)應(yīng)用題，抓準(zhǔn)分率與實際的量的對應(yīng)關(guān)系是解答的關(guān)鍵。通過分析線段圖，明確誰是單位“1”，誰是對應(yīng)分率，它可以幫助學(xué)生在復(fù)雜的條件和問題中，理清思路，找到解題線索，有利于發(fā)展學(xué)生的邏輯思維能力。例如：小青看一本書，第一天看的頁數(shù)比總頁數(shù)的18多16頁，第二天看的頁數(shù)比總頁數(shù)的16少2頁，還余下88頁，這本書共有多少頁？ 審

6、題，畫線段圖，理解題意，進(jìn)行分析： 顯然，分率（11816）對應(yīng)的頁數(shù)為（88+162）。所以，這本書的總頁數(shù)是（88+162）÷（11816）=144（頁） （二）、假設(shè)思想假設(shè)是先對題目中的已知條件或問題作出某種假設(shè)，然后按照題中的已知條件進(jìn)行推算，根據(jù)數(shù)量出現(xiàn)的矛盾，加以適當(dāng)調(diào)整，最后找到正確答案的一種思想方法。案例1：小明和媽媽恰好花100元買了10本書，單價有8元一本的和13元一本的兩種。其中8元一本的和13元一本的各買了幾本？分析：假設(shè)10本書都是買8元一本的，那么才花了80元，比實際少花20元。兩種書的單價相差5元，20里有幾個5，就得出13元的有幾本。20÷

7、（138）4，所以8元的買了6本，13元的買了4本。案例2：水池和菜地組成了一個正方形，水池和林地組成了一個長方形，重疊的部分是水池。水池的面積占長方形1/ ，占正方形的/ 。林地的面積比菜地多200平方米，水池的占地面積是多少？分析：因為水池的面積既與長方形有比例關(guān)系，也與正方形有比例關(guān)系，所以可設(shè)水池的面積為1，那么林地的面積為1÷=5，菜地的面積為1÷=3，那么林地比菜地多（53）個單位面積，1個單位面積是200÷(53)=100（平方米）。所以水池的占地面積為100平方米。（三）、符號化思想數(shù)學(xué)符號是數(shù)學(xué)的語言，數(shù)學(xué)世界是一個符號化的世界，懷特海曾說：“只

8、要細(xì)細(xì)分析，即可發(fā)現(xiàn)符號化給數(shù)學(xué)理論的表述和論證帶來的極大方便，甚至是必不可少的?！睌?shù)學(xué)作為人們進(jìn)行表示、計算、推理和解決問題的工具，符號起到了非常重要的作用；因為數(shù)學(xué)有了符號，才使得數(shù)學(xué)具有簡明、抽象、清晰、準(zhǔn)確等特點，；國際通用的數(shù)學(xué)符號的使用，使數(shù)學(xué)成為國際化的語言。 用符號化的語言（包括字母、數(shù)字、圖形和各種特定的符號）來描述數(shù)學(xué)內(nèi)容，這就是符號思想。符號化思想在數(shù)學(xué)中主要包括兩個方面的內(nèi)容：一是用符號化的語言（包括字母、數(shù)字、圖形和各種特定的符號）來描述數(shù)學(xué)的內(nèi)容。 第二主要指人們有意識地、普遍地運(yùn)用符號去表述研究的對象。 數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)比較重視培養(yǎng)學(xué)生的符號意識，并把符號意識作為數(shù)與

9、代數(shù)的內(nèi)容之一給出了詮釋。小學(xué)階段如何理解這一重要思想：1.在小學(xué)引入了一些數(shù)學(xué)符號。在我們生活中, 有很多大家公認(rèn)的統(tǒng)一標(biāo)志, 比如, 某場地有標(biāo)志“ P”表示可以停車; 某路邊標(biāo)志牌上畫有輪椅, 表示殘疾人的行道: 鐵路、公路、航空都有它們各自的標(biāo)志, 地圖上也有各種標(biāo)識, 這些都是生活中的符號, 從某種意義上說, 我們生活在一個被“符號化”的世界。 小學(xué)教材中大致出現(xiàn)如下幾類符號:( 1) 個體符號: 表示數(shù)的符號, 如 1、2、3、4, 0; a、b、c, 、x 以及表示小數(shù)、分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)的符號。( 2) 數(shù)的運(yùn)算符號: +, , ×,÷。( 3) 關(guān)系符號: =,

10、 , >, <, 等。( 4) 結(jié)合符號:( ) 等以及表示角度的計量單位符號等。當(dāng)然這些符號的引入也不是說是雜亂無章、漫無目的的, 它是根據(jù)小學(xué)生的年齡、思維特點按照一定順序、一定的邏輯, 有計劃、有步驟的引入的。例如, 初入學(xué)兒童在學(xué)習(xí) 15 的認(rèn)識時, 教材并沒有直接呈現(xiàn) 1 到 5 這些數(shù)字讓學(xué)生通過不斷的識記背誦來記住它們, 而是通過實物、畫片, 在具體情境中數(shù)“出 1”頭象“, 2”頭犀?！? 3”只長頸鹿、“4”朵云, 然后呈現(xiàn)數(shù)字, 這樣使學(xué)生能夠很清楚地知道這些數(shù)所表示的意義, 而不是憑空產(chǎn)生的。這對于初入學(xué)的兒童的學(xué)習(xí)是非常有利的, 它能讓學(xué)生充分認(rèn)識到數(shù)學(xué)符號

11、所表示的意義, 為學(xué)生以后學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)奠定了基礎(chǔ)。2.變元思想。小學(xué)數(shù)學(xué)教科書在不同階段, 對變元的思想有不同水平、不同形式的滲透, 以便讓學(xué)生逐步了解變元思想。例如:在一年級有7+（）在+=內(nèi)填上適當(dāng)?shù)臄?shù)等等這樣的題。雖然這樣的題目只要求學(xué)生在“ 空格”中填一個數(shù), 但教師應(yīng)明白, 若將符號、（ ）換成 x, 則上述題目就是一元一次方程。這就是變元思想?？梢哉f變元思想是列方程解應(yīng)用題的基礎(chǔ)。對以后學(xué)習(xí)列方程解應(yīng)用題將有很大的幫助。3.用符號代表數(shù)的思想。從第二學(xué)段開始接觸用字母表示數(shù), 是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)符號的重要一步。從研究一個具體特定的數(shù)到用字母表示一般的數(shù), 是實現(xiàn)認(rèn)識上的一個飛躍。 用具體的數(shù)和

12、運(yùn)算符號所組成的式子只能表示個別具體的數(shù)量之間的關(guān)系, 而用字母表示, 既簡單明了, 又能概括出數(shù)量關(guān)系的一般規(guī)律, 在較大范圍內(nèi)肯定了數(shù)學(xué)規(guī)律的正確性。比如, 四年級下冊第三部分運(yùn)算定律與簡便運(yùn)算, 教材陳述加法、乘法的運(yùn)算定律時, 除運(yùn)用日常語言外,還用了數(shù)學(xué)符號語言, 即字母等式a+b=b+a顯然,它比用具體的數(shù)表示更加概括、明確, 比用日常語言表示更加簡明、易記。4.列方程解應(yīng)用題的思想。用方程來解應(yīng)用題, 解法本身蘊(yùn)含著符號化思想, 它主要體現(xiàn)在如下幾個方面:( 1) 代數(shù)假設(shè), 用字母代替未知數(shù), 與已知數(shù)平等地參與運(yùn)算;( 2) 代數(shù)翻譯, 把題中的自然語言表述的已知條件, 譯成

13、用符號化語言表述的方程。( 3) 解代數(shù)方程。把字母看成已知數(shù), 并進(jìn)行四則運(yùn)算, 進(jìn)而達(dá)到求解的目的。綜觀小學(xué)數(shù)學(xué)教材, 在符號化思想的滲透上, 從最初的數(shù)學(xué)符號的引入, 接著滲透了變元思想, 然后到用字母符號代表數(shù), 最后過渡到列方程解應(yīng)用題思想, 一步一步,有步驟, 有層次的把符號化思想從朦朧狀態(tài)轉(zhuǎn)化到與小學(xué)數(shù)學(xué)的完美融合,。（四）、類比思想類比思想是指依據(jù)兩類數(shù)學(xué)對象的相似性，有可能將已知的一類數(shù)學(xué)對象的性質(zhì)遷移到另一類數(shù)學(xué)對象上去的思想。在教學(xué)中如何對類比思想加以滲透？、 在教學(xué)概念時滲透類比思想對不同的數(shù)學(xué)概念運(yùn)用類比進(jìn)行比較分析，通過異同的比較能使學(xué)生加深對概念內(nèi)涵的理解。學(xué)生剛

14、開始接觸比的基本性質(zhì)時，感覺困難，但學(xué)生對于分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)是相當(dāng)熟悉的。根據(jù)這點利用類比遷移來講：對照分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，看比又有什么樣的基本性質(zhì)呢？復(fù)習(xí)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)比的基本性質(zhì)，會發(fā)現(xiàn)學(xué)生很自然的說出比的基本性質(zhì)，既“比的前項和后項都乘以或者都除以相同的數(shù)（零除外），比值不變。”學(xué)生通過這樣的類比不但加深了對概念的理解，同時也有效的提高了解題能力。、 在教學(xué)圖形時滲透類比思想如在教學(xué)圓柱的體積時，我們已經(jīng)知道了長方體、立方體的體積計算公式都可以用底面積×高來計算，凡是柱體都可用底面積×高來計算體積，根據(jù)這點類比到圓柱也是柱體，所以也可用底面積×高來計

15、算圓柱的體積。接下來的環(huán)節(jié)可以引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“類比猜想驗證說明”的探索過程，從而理解圓柱體積的計算方法。學(xué)生通過這樣的類比不但加深了對公式的理解，同時也提高了解題能力。3、在教學(xué)實際應(yīng)用題時滲透類比思想例如：在教學(xué)“一件工程，甲隊單獨做20小時完成，乙隊單獨做30小時可以完成，兩隊合做，幾小時可以完成全工程？”這一工程問題應(yīng)用題中，工作總量可以看作單位“1”，甲隊的工作效率可以看作1/20，乙隊的工作效率可以看作1/30，根據(jù)工作總量÷工作效率和=工作時間，這題的解法是：1÷（1/20+1/30）。在教學(xué)工程問題后，可以出示下面的變式題讓學(xué)生嘗試解答：從A地到B地，甲要行10

16、小時，乙要行15小時，現(xiàn)兩人同時從A、B兩地相向而行，多少小時可以相遇？劉老師帶一部分錢去新華書店買上、下兩集的書，所帶的錢如果只買上集，正好能買20本，如果只買下集，正好能買30本。劉老師的錢最多可買這種書多少套？一批布，做上衣可做20件，做褲子可做30條。這批布可以做多少套衣服？（五）、轉(zhuǎn)化思想    轉(zhuǎn)化思想是由一種形式變換成另一種形式的思想方法，而其本身的大小是不變的。如幾何的等積變換、解方程的同解變換、公式的變形等，在計算中也常用到甲÷乙=甲×1/乙。轉(zhuǎn)化思想是把一個較復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化、歸結(jié)為一個較簡單的問題。也就是說，轉(zhuǎn)化方法的基本思

17、想是在解決數(shù)學(xué)問題時，將待解決的問題甲，通過某種轉(zhuǎn)化過程，歸結(jié)到一類已經(jīng)解決或者比較容易解決的問題乙，然后通過問題乙還原解決復(fù)雜的問題甲。將有待解決或未解決的問題，轉(zhuǎn)化為在已有知識的范圍內(nèi)可解決的問題，是解決數(shù)學(xué)問題的基本思路和途徑之一，是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法。在小學(xué)的教學(xué)內(nèi)容中，很多知識點的教學(xué)都可以滲透轉(zhuǎn)化的思想。如在五年級上冊的小數(shù)乘整數(shù)教學(xué)中，教學(xué)的基準(zhǔn)點就可以定位讓學(xué)生通過“把小數(shù)乘整數(shù)”轉(zhuǎn)化為“整數(shù)乘整數(shù)”，利用知識的遷移作用幫助學(xué)生掌握“小數(shù)乘整數(shù)”的運(yùn)算方法，不僅使學(xué)生理解了算理感受了算法，同時也感受了“轉(zhuǎn)化”的策略對于解決新問題的作用。再比如分?jǐn)?shù)除法的教學(xué)，讓學(xué)生知道分?jǐn)?shù)除

18、法應(yīng)轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)乘法進(jìn)行計算；按比例分配應(yīng)用題轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)應(yīng)用題解答；在三角形的面積計算公式推導(dǎo)時，轉(zhuǎn)化為與它等底等高的平行四邊形。同時，轉(zhuǎn)化的思想方法在很多小學(xué)應(yīng)用題目中的解答也派上了重要的用場，例如，修一段公路，已修的米數(shù)是未修的1/3，如果再修10米，這樣已修的米數(shù)是未修的2/5，問這段公路有多少米?在解答這個題目時，若從已知條件出發(fā)不易解決問題，因為題中1/3和2/5這兩個分率的標(biāo)準(zhǔn)量不統(tǒng)一，解答起來比較復(fù)雜。這樣，我們可設(shè)法轉(zhuǎn)換這兩個已知條件，把他們轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)量相同的分率，即把“已修的米數(shù)是未修的1/3”轉(zhuǎn)化成“已修的是全長的1/3÷(1+1/3)=1/4”，同理，把“已修的米

19、數(shù)是未修的2/5”轉(zhuǎn)化成“已修的是全長的2/5÷(1+2/5)=2/7”，這時“1/4”和“2/7”這兩個分率的標(biāo)準(zhǔn)量(全長米數(shù))就相同了，這樣10米所對應(yīng)的分率由未知轉(zhuǎn)化為已知了:(2/7-1/4)，從而問題得解:10÷(2/7-1/4)=280(米)。通過上述分析可以看出，轉(zhuǎn)化的思想方法在小學(xué)教學(xué)實踐中應(yīng)用有一個基本的原則，就是將復(fù)雜的轉(zhuǎn)化為簡單的，將陌生的轉(zhuǎn)化為熟悉的，將未知的轉(zhuǎn)化為已知的。  （六）、分類思想    分類思想不是數(shù)學(xué)獨有的方法，數(shù)學(xué)的分類思想方法體現(xiàn)對數(shù)學(xué)對象的分類及其分類的標(biāo)準(zhǔn)。如自然數(shù)的分類，可以

20、按能否被2整除分奇數(shù)和偶數(shù)；還可以按約數(shù)的個數(shù)分質(zhì)數(shù)和合數(shù)和一。又如三角形可以按邊分，也可以按角分。不同的分類標(biāo)準(zhǔn)就會有不同的分類結(jié)果，從而產(chǎn)生新的概念。對數(shù)學(xué)對象的正確、合理分類取決于分類標(biāo)準(zhǔn)的正確、合理性，數(shù)學(xué)知識的分類有助于學(xué)生對知識的梳理和建構(gòu)。除此以外，分類的思想在小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題的解答中還有著非常重要的應(yīng)用，如有這樣一道題目：一段長方體木料，長、寬、高分別是10厘米 、8厘米和6厘米?，F(xiàn)在把它加工成一個最大的圓柱體模型，加工成的最大圓柱體模型的體積是多少？分析：用這段長方體木料加工一個最大的圓柱體模型，可以有三種不同的加工方法，加工的圓柱體模型體積也不同，因此不能直接求解，可運(yùn)用分類

21、的思想方法來求解。（1）以長方體木料上下面為底，以長方體木料高為圓柱體的高，由此圓柱體底面直徑為8厘米，高為6厘米。這樣加工成的圓柱體模型體積是3.14×（8÷2）×（8÷2）×6=301.44（立方厘米）；（2）以長方體木料左右側(cè)面為底，以長方體木料長為圓柱體高，由此圓柱體底面直徑為6厘米，高為10厘米。這樣加工成的圓柱體模型體積是3.14×（6÷2）×（6÷2）×10=282.6（立方厘米）；（3）以長方體木料前后面為底，以長方體木料寬為圓柱體高，由此圓柱體底面直徑為6厘米，高為8厘米。這樣

22、加工成的圓柱體模型體積是3.14×（6÷2）×（6÷2）×8=226.08（立方厘米）。由此求得加工成的最大圓柱體模型的體積是301.44立方厘米。   （七）、集合思想   集合是指把具有同一屬性的對象看作整體。在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，用封閉曲線圍成的平面部分表示集合。如（韋恩圖）集合思想就是運(yùn)用集合的概念、邏輯語言、運(yùn)算、圖形等來解決數(shù)學(xué)問題或非純數(shù)學(xué)問題的思想。小學(xué)主要通過采用直觀手段，利用圖形和實物滲透集合思想。1、子集思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用教學(xué)數(shù)的大小這一問題時，就可以應(yīng)用子集

23、思想。如二年級(下冊)試一試中,給出一些數(shù)，組成一個數(shù)的集合，元素有387、99、809、 345、1725、4300等。同時給出要求，先把給出的數(shù)分類，再比較大小。這把數(shù)分類就相當(dāng)于是把整個數(shù)的集合中的元素，按要求分別把他們放入三個子集合中。這三個子集是兩位數(shù)、三位數(shù)、四位數(shù)。對于這類問題，應(yīng)用集合思想就能讓學(xué)生非常直觀、容易地理解。2、 交集思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用如有這么一道應(yīng)用題：一個班有48人。班主任在班會上問：“誰做完了數(shù)學(xué)作業(yè)？”這時有42人舉手。又問：“誰做完了語文作業(yè)？”這時有37人舉手。最后又問：“誰語文、數(shù)學(xué)作業(yè)都沒有做完？”沒有人舉手。請問：這個班語文、數(shù)學(xué)作業(yè)都做完

24、的有幾人？一看這道題就會想到要用韋恩圖來算比較簡單。完成語文作業(yè)的學(xué)生集合（A），完成數(shù)學(xué)作業(yè)的學(xué)生集合（B），A、B有相交部分因為A內(nèi)的兩部分表示人數(shù)和就是完成語文作業(yè)的人數(shù)（37人），所以A外、B內(nèi)的那部分表示的人數(shù)為48-37=11（人），或者是 完成了數(shù)學(xué)作業(yè)但沒有完成語文作業(yè)的人數(shù)。因此，語文、數(shù)學(xué)兩種作業(yè)都完成了的人數(shù)是42-11=31人。教學(xué)公約數(shù)、公倍數(shù)這一內(nèi)容時，也通常應(yīng)用交集思想。3、并集思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用在小學(xué)一年級的教材中，并集被用于說明加法的意義，如北師大版一年級（上冊）第22頁解決“有幾只鉛筆”這個問題，一幅圖中小朋友左手里拿了兩只鉛筆，右手里拿了三只鉛筆，

25、另一幅圖中小朋友把兩只手合在一起，就是把左手和右手中的鉛筆并在一起。235（只）4、差集思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用在小學(xué)一年級的教材中，差集被用于說明減法的意義。如北師大版一年級（上冊）第26頁“摘果子”樹上原有5個蘋果，被小朋友摘走2個，就剩下樹上（集合）的3個蘋果（元素）：523（個）又比如說還是本頁的“做一做”：圖中總共有5個圓圈，其中4個圓圈用線劃去，表示去掉的，就剩下541（個）了。在教材中一般用線劃去或虛線圈起來的都是要剪掉的部分.5、空集思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用空集表示這個集合沒有元素?？占枷氲膽?yīng)用主要出現(xiàn)在教學(xué)“0”的時候，如一年級（上冊） “小貓釣魚”，每只小貓的袋子表示

26、集合，袋子里的魚表示元素。第一幅圖里，袋子里有三條魚，該集合里有3個元素；第二幅圖里，袋子里有兩條魚，該集合里有2個元素；第三幅圖里，袋子里有一條魚，該集合里有1個元素；第四幅圖里，袋子沒有魚，該集合中沒有元素，也就是空集。  （八）、數(shù)形結(jié)合思想數(shù)形結(jié)合，其實質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形聯(lián)系起來，使抽象思維和形象思維結(jié)合起來，通過對圖形的處理，發(fā)揮直觀對抽象的支柱作用，揭示數(shù)和形之間的內(nèi)在聯(lián)系，實現(xiàn)抽象概念和具體形象、表象之間的轉(zhuǎn)化，發(fā)展學(xué)生的思維。1、在概念教學(xué)中滲透數(shù)形結(jié)合思想例如：二年級數(shù)學(xué)第一冊中乘法的引入用相同的圖像引導(dǎo)學(xué)生列出同數(shù)相加的算式，這樣一方面利用

27、數(shù)形結(jié)合思想直觀、形象、生動的特點展現(xiàn)乘法的初始狀態(tài)，懂得乘法的由來；另一方面借助學(xué)生已有的知識經(jīng)驗看圖列加法算式，加深了圖、式的對應(yīng)思想，無形中也降低了教學(xué)難度。而“數(shù)形結(jié)合”能使比較 抽象的概念轉(zhuǎn)化為清晰、具體的事物，學(xué)生容易掌握和理解。 2、在計算教學(xué)中滲透數(shù)形結(jié)合思想小學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容中，有相當(dāng)部分的內(nèi)容是計算問題，計算教學(xué)要引導(dǎo)學(xué)生理解算理。數(shù)形結(jié)合，是幫助學(xué)生正確理解算理的一種很好的方式。如，在教學(xué)“分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)”時，課始創(chuàng)設(shè)情境：小區(qū)鋪一塊綠地，每小時鋪這塊地的1/2，照這樣計算，1/4小時能鋪這塊地的幾分之幾？在引出算式1/2×1/4后，首先讓學(xué)生獨立思考

28、后用圖來表示出1/2×1/4這個算式。小組同學(xué)相互交流，以展示自己畫的圖形，交流自己的想法，更好地理解1/2×1/4這個算式所表示的意義。3、在解決問題的過程中，滲透數(shù)形結(jié)合思想。學(xué)習(xí)“植樹問題”時，先與學(xué)生們一起玩手指游戲。即出示兩個手指，接著出示三個手指，從而得出手指數(shù)和間隔數(shù)之間的關(guān)系是：手指數(shù)間隔數(shù)1。情境引入后，出示例題：“同學(xué)們要在長30米的小路一邊植樹，每隔5米種一棵，兩端也要種。一共需要多少棵樹苗？”然后讓學(xué)生分組討論，根據(jù)自己的理解列式解答，并設(shè)法驗證。匯報時，有些學(xué)生是通過畫示意圖，進(jìn)行“實地”植樹來驗證；更多的學(xué)生是通過畫線段圖來說明。大家均驗證出：在

29、兩端都種的情況下，植樹的總棵數(shù)間隔數(shù)1像這樣，把算式形象化，學(xué)生看到算式就聯(lián)想到圖形，看到圖形能聯(lián)想到算式，更加有效地理解了算理。(九)、統(tǒng)計思想在生產(chǎn)、生活和科學(xué)研究時，人們通常需要有目的地調(diào)查和分析一些問題，就要把收集的一些原始數(shù)據(jù)加以歸類整理，從而推理研究對象的整體特征，這就是統(tǒng)計的思想和方法。其實質(zhì)是，每當(dāng)遇到問題時，通過事實來分析，用數(shù)據(jù)來說話，因而必須調(diào)查研究、收集數(shù)據(jù)，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行推斷。只有這樣，才有可能客觀地反映實際情況，進(jìn)而解決問題。學(xué)習(xí)統(tǒng)計有利于養(yǎng)成數(shù)據(jù)意識，即通過數(shù)據(jù)來分析問題的潛在意識和自覺習(xí)慣。小學(xué)數(shù)學(xué)中的統(tǒng)計圖表是一些基本的統(tǒng)計方法。平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)都是反映

30、一組數(shù)據(jù)集中趨勢的量數(shù)，代表一般水平。平均數(shù)能反映全體數(shù)據(jù)的信息，任何一個數(shù)據(jù)的改變都會引起平均數(shù)的改變，比較敏感，因而應(yīng)用比較普遍；缺點是易受極端值的影響。日常生活和研究領(lǐng)域的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，多數(shù)都選擇平均數(shù)作為代表值。如我們國家和地方統(tǒng)計部門經(jīng)常公布的人均產(chǎn)值、人均收入、物價指數(shù)等等，都是應(yīng)用平均數(shù)作為代表值。中位數(shù)處于中間水平，不受極端值的影響，運(yùn)算簡單，在一組數(shù)據(jù)中起分水嶺的作用；缺點是不能反映全體數(shù)據(jù)的情況，可靠性較差。眾數(shù)不受極端數(shù)據(jù)的影響，運(yùn)算簡單，當(dāng)要找出適應(yīng)多數(shù)需要的數(shù)值時，常用眾數(shù)；缺點是不能反映全體數(shù)據(jù)的情況，可靠性較差。眾數(shù)可能不唯一，甚至有時沒有。這三個統(tǒng)計量有著各自的特點

31、和適用的條件，可以根據(jù)研究和解決問題的需要來選擇；他們?nèi)齻€并不是一種完全排斥的關(guān)系，特殊情況下這三個統(tǒng)計量或者其中的兩個統(tǒng)計量都有可能成為一組數(shù)據(jù)一般水平的代表。如學(xué)生的考試成績往往服從正態(tài)或者近似正態(tài)分布，那么這三個統(tǒng)計量很可能相等或者非常接近；這時用三個統(tǒng)計量中的任何一個作為該數(shù)據(jù)一般水平的代表都是可以的。有時把平均數(shù)和中位數(shù)結(jié)合使用，會了解更多的信息。如某次數(shù)學(xué)考試全班49人平均分?jǐn)?shù)為92分，中位數(shù)是93分、小林考了93分、排名第25、小明的成績比小林高2分?？梢园l(fā)現(xiàn)，小明的成績處于中上等水平，平均分低于中位數(shù)，說明可能有極端的低分?jǐn)?shù)。   (十)、極限思想

32、：    事物是從量變到質(zhì)變的，極限方法的實質(zhì)正是通過量變的無限過程達(dá)到質(zhì)變。小學(xué)數(shù)學(xué)教材中有許多“從有限中認(rèn)識無限，從近似中認(rèn)識精確，從量變中認(rèn)識質(zhì)變”的極限思想。在解決數(shù)學(xué)問題中有時需要把“線”看成“點”(如把三角形看成是上底為零的梯形)，把“弧線”看成“直線”(如圓面職公式的推導(dǎo))等，這些都是極限思想的應(yīng)用。如講“圓的面積知識”時，就以極限為“關(guān)鍵點”，制作圓形教具，把它們分別等分成許多份數(shù)不同的扇形，如把圓平均分成8份，拼成的圖形近似于平行四邊形，邊的形狀呈波浪形；把圓平均分成16份，拼成的圖形更接近于平行四邊形，邊的形狀是較直的；繼續(xù)把圓平均分成32份拼

33、出的圖形的邊越來越直，圖形越來越接近平行四邊形了；把拼成的圖形加以比較，使學(xué)生直觀地看到等分成的扇形的份數(shù)越多拼成的圖形就越接近平行四邊形，如果繼續(xù)等分下去，如分成64等份、128等份拼成的圖形就與長方形沒什么差異，在觀察有限分割的基礎(chǔ)上想象它們的極限狀態(tài)。這樣，學(xué)生在觀察比較過程中不僅理解了拼成的長方形的面積與原來圓的面積相等，還能從曲與直的矛盾轉(zhuǎn)化中萌發(fā)了無限逼近的極限思想。而且初步接觸量變到質(zhì)變、有限到無限的辯證思想，培養(yǎng)了學(xué)生的空間觀念，發(fā)展了學(xué)生的思維能力。(十一)、推理思想推理是從一個或幾個判斷得到一個新的判斷的思維形式。推理的種類很多，根據(jù)推理所表現(xiàn)出來的思維的方向性，可分為演繹

34、推理、歸納推理、類比推理。1、歸納推理歸納推理 從個別事例中概況出一般原理的思維方法。例1:直角三角形內(nèi)角和是180度；銳角三角形內(nèi)角和是180度；鈍角三角形內(nèi)角和是180度；直角三角形，銳角三角形和鈍角三角形是全部的三角形；所以，一切三角形內(nèi)角和都是180度。（完全歸納推理）例2、以加法交換律為例，通過40+56=56+40、12+5=5+12、78+87=87=78諸多例子，概況出了加法交換律 a+b=b+a。（不完全歸納推理）2、演繹推理演繹推理是從一般到特殊的推理方法。同樣以加法交換律為例，上面用了歸納推理概括出了加法交換律。接下來就用演繹推理的思想方法解決問題8 5+ 2 3=

35、60; 2 3  +（   ）、    101 + 10=（  ） + 101、300+ 600=（   ）+（   ）、  （  ）+ 65=（  ） + 35。例：偶數(shù)都能被2整除，8是偶數(shù)，8一定能被2整除。(三段論)3、類比推理類比推理是根據(jù)兩個(或兩類)不同的對象之間在某些方面有相同或相似之處，猜測它們在其他方面也可能相同或相似，是由此及彼的過程。比如在乘法交換律的學(xué)習(xí)中就可以運(yùn)用類比推理的思想方法。之前已經(jīng)學(xué)習(xí)過加法交換律a+b=b+

36、a。通過類比我們推理：a×b=b×a 。再對a×b=b×a用歸納法進(jìn)行驗證。這樣就比較容易的得出乘法交換律了。從以上的三種推理方法及其例子不難看出它們在解題過程中的運(yùn)用不是孤立存在的，而是相輔相成的。綜合的運(yùn)用推理方法不但可以拓寬知識面，也強(qiáng)化解題技巧，而且培養(yǎng)了學(xué)生的發(fā)散思維能力。（十二）、變中抓不變思想：一個數(shù)量的變化，往往會引起另一個數(shù)量的變化，但在諸多變化的條件中，常常會有一些不變的數(shù)量。因此，在解決問題時，我們可以抓住這些不變量，尋找解決問題的突破口，這就是“變中抓不變思想”。（總量不變、部分量不變、差量不變。）數(shù)學(xué)思想:可逆思想、有序思想、數(shù)學(xué)模型思想等等 數(shù)學(xué)思想需要教師滲透，而數(shù)學(xué)方法需要教師提煉、總結(jié)、教給學(xué)生。蘇教版教材通過設(shè)置解決問題的策略這一板塊內(nèi)容教給學(xué)生解決問題的方法和策略。數(shù)學(xué)方法：綜合法、分析法、列表法、倒推法、假設(shè)法、列舉法、歸納法、類比法、統(tǒng)計推斷法、觀