高中全程復(fù)習(xí)方略配套二階矩陣與平面向量及幾種常見的平面變換ppt課件

1、第一節(jié) 二階矩陣與平面向量及幾種常見的平面變換高考指數(shù)高考指數(shù): 內(nèi)內(nèi) 容容要要 求求A AB BC C矩陣的概念矩陣的概念二階矩陣與平面向量二階矩陣與平面向量 常見的平面變換常見的平面變換1.1.矩陣的概念矩陣的概念(1)(1)形如形如 , , , , 這樣的矩形數(shù)字這樣的矩形數(shù)字( (或字母或字母) )陣列稱為陣列稱為_._.(2)(2)行矩陣的表達(dá)方式是行矩陣的表達(dá)方式是_(3)(3)列矩陣的表達(dá)方式是列矩陣的表達(dá)方式是_13 80 9060 852 3 m3 2 4矩陣矩陣a11 a12a11 a121121aa(4)2(4)22 2的零矩陣的表達(dá)方式是的零矩陣的表達(dá)方式是_(5)(5

2、)二階單位矩陣二階單位矩陣(E) (E) 的表達(dá)方式是的表達(dá)方式是_(6)(6)由由4 4個(gè)數(shù)個(gè)數(shù)a,b,c,da,b,c,d排成的二階矩陣通常記為排成的二階矩陣通常記為_._.0 00 01 00 1a bc d【即時(shí)運(yùn)用】【即時(shí)運(yùn)用】設(shè)設(shè)A= A= ，B= B= ，假設(shè)，假設(shè)A=BA=B，那么，那么x,y,m,nx,y,m,n的值分別為的值分別為_._.【解析】由條件得【解析】由條件得m+n=2,m-n=3,x=x+y,2x-y=y,m+n=2,m-n=3,x=x+y,2x-y=y,解得解得x=0,y=0,m= ,n= .x=0,y=0,m= ,n= .答案：答案：0,0, ,0,0, ,

3、2 xy 3mn xy2xy mn521252122.2.二階矩陣與平面列向量的乘法二階矩陣與平面列向量的乘法定義：規(guī)定二階矩陣定義：規(guī)定二階矩陣A= A= ，與向量，與向量 = = 的乘積為的乘積為A =A = ，即，即A A _=_. _=_. a bc dxy axbycxdyaxbycxdya bx c dy 【即時(shí)運(yùn)用】【即時(shí)運(yùn)用】知知 = = ，那么，那么 =_. =_.【解析】由條件得【解析】由條件得 , ,解得解得 , ,從而從而 = = . .答案：答案：1 0 x1 2y 1 1xyx1x2y1 x1y1 xy1 11 13.3.常見的平面變換常見的平面變換(1)(1)恒等

4、變換恒等變換: : 對(duì)平面上任何一點(diǎn)對(duì)平面上任何一點(diǎn)( (向量向量) )施以某矩陣變換時(shí)施以某矩陣變換時(shí), ,都把都把本人變本錢人的變換本人變本錢人的變換, ,稱為恒等變換稱為恒等變換, ,其恒等變換矩陣其恒等變換矩陣( (單位單位矩陣矩陣) )是是_._.(2)(2)伸壓變換伸壓變換: :將平面圖形沿將平面圖形沿y y軸方向伸長或緊縮軸方向伸長或緊縮, ,或沿或沿x x軸方向伸軸方向伸長或緊縮的變換長或緊縮的變換, ,稱為伸壓變換稱為伸壓變換, , 其變換矩陣是其變換矩陣是_或或_._.1 00 111 00 k2k 00 1(3)(3)反射變換反射變換: :把平面圖形把平面圖形F F變?yōu)殛P(guān)

5、于定直線或定點(diǎn)對(duì)稱的平面圖變?yōu)殛P(guān)于定直線或定點(diǎn)對(duì)稱的平面圖形的變換形的變換, , 稱為反射變換稱為反射變換, , 其關(guān)于其關(guān)于x x軸、軸、y y軸、原點(diǎn)的變換矩陣軸、原點(diǎn)的變換矩陣分別是分別是_,_,_和和_._. (4) (4)旋轉(zhuǎn)變換旋轉(zhuǎn)變換: : 把平面圖形把平面圖形F F繞某中心點(diǎn)繞某中心點(diǎn)O O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角后得角后得新圖形的變換新圖形的變換, , 稱為旋轉(zhuǎn)變換稱為旋轉(zhuǎn)變換, , 其變換矩陣是其變換矩陣是_._.1 00 11 0 0 11 0 0 1cos sinsin cos(5)(5)投影變換投影變換: : 把平面圖形把平面圖形F F投影到某條直線投影到某條直線( (

6、或某個(gè)點(diǎn)或某個(gè)點(diǎn)) ) 后得后得新圖形的變換新圖形的變換, , 稱為投影變換稱為投影變換, , 其中垂直投影到其中垂直投影到x x軸上或直線軸上或直線y=xy=x上的變換矩陣分別是上的變換矩陣分別是_和和_._.(6) (6) 切變變換切變變換: :將每一點(diǎn)將每一點(diǎn)P(x,y)P(x,y)沿著與沿著與x x軸平行的方向平移軸平行的方向平移|ky|ky|個(gè)單位的變換，稱為平行于個(gè)單位的變換，稱為平行于x x軸的切變變換軸的切變變換. .將每一點(diǎn)將每一點(diǎn)P(x,y)P(x,y)沿沿著與著與y y軸平行的方向平移軸平行的方向平移|kx|kx|個(gè)單位的變換，稱為平行于個(gè)單位的變換，稱為平行于y y軸的

7、軸的切變變換切變變換. .其變換矩陣分別為其變換矩陣分別為_和和_._.1 00 01 01 01 k0 11 0k 1【即時(shí)運(yùn)用】【即時(shí)運(yùn)用】(1)(1)設(shè)矩陣設(shè)矩陣A= A= ，那么點(diǎn)，那么點(diǎn)P(2,2)P(2,2)在在A A所對(duì)應(yīng)的線性變換下所對(duì)應(yīng)的線性變換下的象為的象為_._.(2)(2)試研討函數(shù)試研討函數(shù)y= y= 在旋轉(zhuǎn)變換在旋轉(zhuǎn)變換 作用下得到作用下得到的新曲線的方程為的新曲線的方程為_._.1x22 2222 221 0 0 1【解析】【解析】(1)(1)由由 = = 得所求的象為得所求的象為(-2,2).(-2,2).(2)(2)設(shè)新曲線上恣意點(diǎn)設(shè)新曲線上恣意點(diǎn)(x,y),

8、(x,y),由由= = 得得 , ,從而從而 , ,代入代入y= y= 得得y2-x2=2,y2-x2=2,即新曲線的方程為即新曲線的方程為y2-x2 =2.y2-x2 =2.答案：答案：(1)(-2,2) (2)y2-x2=2 (1)(-2,2) (2)y2-x2=2 1 02 0 12 2 222 x22y22 22 xy22xxy2222yxy22 22xxy2222yxy22 1x 二階矩陣與平面向量二階矩陣與平面向量【方法點(diǎn)睛】【方法點(diǎn)睛】矩陣與向量乘法的意義矩陣與向量乘法的意義矩陣與向量乘法的意義應(yīng)以映射與變換的觀念來認(rèn)識(shí)和了解矩陣與向量乘法的意義應(yīng)以映射與變換的觀念來認(rèn)識(shí)和了解,

9、 ,即即由矩陣由矩陣M M確定的變換確定的變換TM,TM,就是平面內(nèi)點(diǎn)集到其本身的一個(gè)映射就是平面內(nèi)點(diǎn)集到其本身的一個(gè)映射, ,當(dāng)當(dāng) = = 表示某個(gè)平面圖形表示某個(gè)平面圖形F F上的恣意點(diǎn)時(shí)上的恣意點(diǎn)時(shí), ,這些點(diǎn)就組成了圖形這些點(diǎn)就組成了圖形F,F,它在它在TMTM的作用下將得到一個(gè)新的圖形的作用下將得到一個(gè)新的圖形F. F. xy 【例【例1 1】知】知A= A= ， = = ， ，假設(shè)，假設(shè)A A 與與A A 的的夾角為，求夾角為，求x.x.【解題指南】此題經(jīng)過變換矩陣【解題指南】此題經(jīng)過變換矩陣A A將兩向量變?yōu)樾孪蛄亢髮上蛄孔優(yōu)樾孪蛄亢? ,利用利用向量的數(shù)量積公式向量的數(shù)量積公

10、式, ,求未知數(shù)求未知數(shù)x x的值的值. .【規(guī)范解答】由條件得【規(guī)范解答】由條件得A = = ,A = = ,A =A = = , = ,從而由從而由(A )(A )=(A )(A )=|A |A |cos|A |A |cos得得x-3(2-x)= x-3(2-x)= 解得解得x1= ,x2=4,x1= ,x2=4,經(jīng)檢驗(yàn)經(jīng)檢驗(yàn), x= , x= 是所列方程的根是所列方程的根, ,故故x= .x= .1 01 2 11x11 0 11 21 131 0 x1 2 1 x2x22210 x(2x)(),2232323 【反思【反思感悟】感悟】1.1.根據(jù)此題可知根據(jù)此題可知, ,兩向量間的夾角

11、經(jīng)矩陣變換兩向量間的夾角經(jīng)矩陣變換后后, ,通常會(huì)改動(dòng)通常會(huì)改動(dòng). .2.2.有關(guān)無理方程的求解有關(guān)無理方程的求解, ,經(jīng)過平方運(yùn)算化去根號(hào)后經(jīng)過平方運(yùn)算化去根號(hào)后, ,與原方程并與原方程并不一定同解不一定同解, ,必需檢驗(yàn)所得解能否是原方程的根必需檢驗(yàn)所得解能否是原方程的根. .【變式訓(xùn)練】向量【變式訓(xùn)練】向量 在矩陣在矩陣A= A= 的作用下變?yōu)榕c向量的作用下變?yōu)榕c向量平行的向量且向量的模為平行的向量且向量的模為1 1，求，求 . .【解析】設(shè)【解析】設(shè) = , = ,那么由條件得那么由條件得 (0), (0),解得解得sin=cos,sin=cos,從而所求向量為從而所求向量為 = =

12、或或 = . = .1 20 1 11cossincos2sinsin 22222222 【變式備選】知【變式備選】知A= A= ，a a ，b b ，設(shè)，設(shè) =a+b =a+b， =a-b =a-b，求，求A ,A .A ,A .【解析】由條件得【解析】由條件得 = , = , = , = ,從而從而A = = ,A = = ,A = A = = . = .15 2 3 41 234 26 42125 26 3 4 718145 22 3 4 194 幾種常見的平面變換問題幾種常見的平面變換問題1.1.線性變換的含義線性變換的含義在矩陣在矩陣M M作用下作用下, ,直線直線 變成直線變成直線

13、 這種把直這種把直線變?yōu)橹本€的變換線變?yōu)橹本€的變換, ,通常叫做線性變換通常叫做線性變換, ,我們?cè)诳键c(diǎn)梳理中我們?cè)诳键c(diǎn)梳理中寫出的六種變換都是線性變換寫出的六種變換都是線性變換, , 線性變換與二階矩陣是對(duì)應(yīng)的，線性變換與二階矩陣是對(duì)應(yīng)的，既可以經(jīng)過二階矩陣來研討對(duì)應(yīng)的線性變換，又可以經(jīng)過線性既可以經(jīng)過二階矩陣來研討對(duì)應(yīng)的線性變換，又可以經(jīng)過線性變換來研討對(duì)應(yīng)的二階矩陣變換來研討對(duì)應(yīng)的二階矩陣. .另外另外, ,必需闡明的是投影變換不是必需闡明的是投影變換不是一一映射的一一映射的. .1212MM， 2.2.經(jīng)過二階矩陣與平面向量的乘法可建立平面變換前后坐標(biāo)之間經(jīng)過二階矩陣與平面向量的乘法可

14、建立平面變換前后坐標(biāo)之間的關(guān)系，利用知的曲線方程可求出變換前或后的曲線方程，其本的關(guān)系，利用知的曲線方程可求出變換前或后的曲線方程，其本質(zhì)就是相關(guān)點(diǎn)法求曲線的軌跡方程質(zhì)就是相關(guān)點(diǎn)法求曲線的軌跡方程. .【例【例2 2】(2021(2021福建高考福建高考) )設(shè)矩陣設(shè)矩陣M= (M= (其中其中a a0 0，b b0).0).假設(shè)曲線假設(shè)曲線C C：x2+y2=1x2+y2=1在矩陣在矩陣M M所對(duì)應(yīng)的線性變換作用下得到曲線所對(duì)應(yīng)的線性變換作用下得到曲線CC： =1 =1，求，求a a，b b的值的值. .【解題指南】此題變換矩陣符合伸壓變換的特征，求解的關(guān)鍵是【解題指南】此題變換矩陣符合伸壓

15、變換的特征，求解的關(guān)鍵是準(zhǔn)確把握變換前后點(diǎn)的坐標(biāo)間的關(guān)系，運(yùn)用待定系數(shù)法列出方程準(zhǔn)確把握變換前后點(diǎn)的坐標(biāo)間的關(guān)系，運(yùn)用待定系數(shù)法列出方程組，即可獲解組，即可獲解. .a 00 b22xy4【規(guī)范解答】設(shè)曲線【規(guī)范解答】設(shè)曲線C C上恣意一點(diǎn)上恣意一點(diǎn)P(x,y)P(x,y)，它在矩陣，它在矩陣M M所對(duì)應(yīng)的所對(duì)應(yīng)的線性變換作用下得到點(diǎn)線性變換作用下得到點(diǎn)P(x,y).P(x,y).那么那么 = ,= ,即即 又點(diǎn)又點(diǎn)P(x,y)P(x,y)在曲線在曲線CC上，所以上，所以 =1. =1.那么那么 =1 =1為曲線為曲線C C的的方程方程. .又知曲線又知曲線C C的方程為的方程為x2+y2=1

16、x2+y2=1，故，故 ，又，又a a0,b0,b0 0，所，所以以 . .a 0 x0 by xyaxxbyy 22xy4 2222a xb y422a4b1a2b1【互動(dòng)探求】在平面直角坐標(biāo)系【互動(dòng)探求】在平面直角坐標(biāo)系xOyxOy中，設(shè)橢圓中，設(shè)橢圓4x2+y2=14x2+y2=1在本例在本例中矩陣中矩陣M M對(duì)應(yīng)的變換作用下得到曲線對(duì)應(yīng)的變換作用下得到曲線F F，求，求F F的方程的方程. .【解析】由本例解析知【解析】由本例解析知M= M= , ,設(shè)設(shè)P(x0,y0)P(x0,y0)是橢圓上恣意一是橢圓上恣意一點(diǎn)，點(diǎn)點(diǎn)，點(diǎn)P(x0,y0)P(x0,y0)在矩陣對(duì)應(yīng)的變換下變?yōu)辄c(diǎn)在矩陣

17、對(duì)應(yīng)的變換下變?yōu)辄c(diǎn)P(x0,y0),P(x0,y0),那那么么有有 = = ，即，即 ，所以，所以 . .又由于點(diǎn)又由于點(diǎn)P P在橢圓上，故在橢圓上，故 =1 =1，從而，從而(x0)2+(y0)2=1,(x0)2+(y0)2=1,所以，曲線所以，曲線F F的方程是的方程是x2+y2=1.x2+y2=1.2 00 100 xy00 x2 00 1y0000 x2xyy 0000 xx2yy 22004xy【反思【反思感悟】此題是知變換之前和變換之后的曲線方程，求感悟】此題是知變換之前和變換之后的曲線方程，求變換矩陣的問題求解的方法是設(shè)出變換之前和變換之后的坐變換矩陣的問題求解的方法是設(shè)出變換之前和變換之后的坐標(biāo)，利用矩陣乘法建立關(guān)系，再利用變換前后的曲線方程建立標(biāo)，利用矩陣乘法建立關(guān)系，再利用變換前后的曲線方程建立方程組方程組. .【變式備選】知二階矩陣【變式備選】知二階矩陣M M ，矩陣，矩陣M M對(duì)應(yīng)的變換將點(diǎn)對(duì)應(yīng)的變換將點(diǎn)(2,1)(2,1)變換成點(diǎn)變換成點(diǎn)(4(4，1).1).求矩陣求矩陣M M將圓將圓x2x2y2y21 1變換后的曲線方程變換后的曲線方程. .【解析】由知得【解析】由知得M M ，即，即 ， 解得解得 .M .M . .設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)P(xP(x