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文檔簡介
1、12011.122 第一篇 概率論部分 第二篇 統(tǒng)計(jì)部分3 2009年8月6日的美國紐約日?qǐng)?bào)有篇文章,題為:對(duì)如今的畢業(yè)生而言,就一個(gè)詞:統(tǒng)計(jì)學(xué). 谷歌的首席經(jīng)濟(jì)學(xué)家哈爾瓦里安說:“我一直都說,在未來10年,最具吸引力的工作將是統(tǒng)計(jì)師.” 統(tǒng)計(jì)師地位的提高是近來電子數(shù)據(jù)爆炸式增長的結(jié)果,到2012年,全球電子數(shù)據(jù)約增長5倍.4 正如麻省理工學(xué)院的埃生克布林約爾松所說,我們正在迅速進(jìn)入一個(gè)每件事都能被監(jiān)控和分析的世界,但問題在于人類利用、分析和解釋數(shù)據(jù)的能力!這正反映了信息時(shí)代對(duì)統(tǒng)計(jì)和統(tǒng)計(jì)人才的強(qiáng)大需求,鮮活客觀的數(shù)據(jù)是解決長期經(jīng)濟(jì)需求問題,以及確定重要政策的優(yōu)先程序的第一步.因而人們只有借助統(tǒng)
2、計(jì)學(xué)這一重要工具,使用計(jì)算機(jī)和縝密的數(shù)學(xué)模型,在大量數(shù)據(jù)中發(fā)掘重要信息,尋求其規(guī)律和決定對(duì)策.56(一)事件的概率(二)條件概率與事件的獨(dú)立性(三)隨機(jī)變量及其分布(四)隨機(jī)變量的數(shù)字特征71.隨機(jī)事件2.概率的概念及性質(zhì)3.古典概型8 在隨機(jī)試驗(yàn)中,對(duì)某些現(xiàn)象的陳述為隨機(jī)事件(也簡稱事件). 對(duì)于指定的一次試驗(yàn),一個(gè)特定的事件可能發(fā)生,也可能不發(fā)生,這就是事件的隨機(jī)性.9 例例1(第一章例1),投擲一枚均勻骰子,觀察朝上面的點(diǎn)數(shù),我們關(guān)注“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)不大于4”這個(gè)事件(記之為A).當(dāng)試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)3點(diǎn)時(shí),事件A發(fā)生;當(dāng)試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)5點(diǎn)時(shí),事件A不發(fā)生.總之,在試驗(yàn)前,無法判斷事件A是否發(fā)生.10
3、(1) (B包含A);(2)A=B(A與B相等);(3)A與B互斥(A,B不能在一次試驗(yàn)中同時(shí)發(fā)生).AB1112 例例2(第一章例7) 有兩門火炮同時(shí)向一架飛機(jī)射擊,考察事件A=擊落飛機(jī),依常識(shí),“擊落飛機(jī)”等價(jià)于“擊中駕駛員”或者“同時(shí)擊中兩個(gè)發(fā)動(dòng)機(jī)”,因此A是一個(gè)較復(fù)雜的事件.如記Bi=擊落第i個(gè)發(fā)動(dòng)機(jī),i1,2,C=擊中駕駛員,相對(duì)A而言,B1、B2及C都較A為簡單.我們可以用B1、B2及C表示AA= B1B2C 這可以簡化復(fù)雜事件A的概率計(jì)算.1314 概率是事件發(fā)生的可能性大小的度量. 概率的統(tǒng)計(jì)定義:概率是頻率的穩(wěn)定值, 常常用于概率的近似計(jì)算,是非常有用的.但要注意,試驗(yàn)次數(shù)要
4、足夠多.15161718 概型的要求有限性:可能結(jié)果只有有限個(gè);等可能性:各個(gè)可能結(jié)果出現(xiàn)是等可能的. 概率的計(jì)算公式( ).kAP An有利于 的樣本點(diǎn)數(shù)樣本點(diǎn)總數(shù)19 例例4(第二章例1)設(shè)有批量為100的同型號(hào)產(chǎn)品,其中次品有30件.現(xiàn)按以下兩種方式隨機(jī)抽取2件產(chǎn)品:(a)有放回抽取,即先任意抽取1件,觀察后放回,再從中任取1件;(b)不放回抽取,即先任意抽取1件,觀察后不放回,從剩下的產(chǎn)品中再任取1件.試分別按這兩種抽樣方式求:(1)兩件都是次品的概率;(2)第1件是次品,第2件是正品的概率.20解解容易驗(yàn)證滿足古典概型的要求 記A=兩件都是次品, B =第1件次品,第2件正品. 只討
5、論有放回情況(不放回情況是類似的),計(jì)算樣本點(diǎn)總數(shù),注意隨機(jī)抽取2件產(chǎn)品的試驗(yàn)可以看成有放回地二次抽取,每次取一件.而每次抽取均有100種可能結(jié)果,依原理,一共有n100 10010,000種可能結(jié)果,此即樣本點(diǎn)總數(shù). 21 而構(gòu)成事件A的樣本點(diǎn)的條件必須每次抽取來自30件次品,因此每次有30種可能結(jié)果,因而有k3030900種可能結(jié)果,于是 同理,可得900()0.09.kPAn10,0003070()0.21.PB1001002223241.條件概率2.全概率公式和貝葉斯公式3.事件的獨(dú)立性2526例例6(第三章例3)一批零件共100件,其中次品有10件,今從中不放回抽取2次,每次取1件,
6、求第一次為次品,第二次為正品的概率.解解 記A第一次為次品, B 第二次為正品, 要求P(AB),由乘法公式,先求P(BlA)及P(A) 已知P(A)=0.1,而P(BlA)90/99, 因此 P(AB) P(A)P(BlA) 0.190/990.091.272829原因A1原因A2原因An結(jié)果B 全概率公式是已知“原因”發(fā)生概率,求“結(jié)果”發(fā)生概率.30 貝葉斯公式是已知“結(jié)果”,推斷該“結(jié)果”由某“原因”發(fā)生的概率。原因A1原因A2原因An結(jié)果B 3132 例例8(第三章例6) 血液化驗(yàn) 一項(xiàng)血液化驗(yàn)以概率0.95將帶菌病人檢出陽性,但也有1的概率誤將健康人檢出陽性.設(shè)已知該種疾病的發(fā)病率
7、為0.5,求已知一個(gè)個(gè)體被此項(xiàng)血液化驗(yàn)檢出陽性條件下,該個(gè)體確實(shí)患有此種疾病的概率.33 解解 此例的“結(jié)果”是血液化驗(yàn)檢出是陽性,產(chǎn)生此結(jié)果的兩個(gè)可能“原因”是:一、帶菌;二、健康人.問題是求從已知“結(jié)果”為陽性條件下,而事實(shí)上是“帶菌”的條件概率:P(帶菌l陽性) 記B陽性,A1帶菌, A2不帶菌. 已知 由貝葉斯公式得到1()0.005,P A 1()0.95,P B A2()0.01,P B A10.0050.95()0.323.0.0050.950.9950.01P A B1().P A B要求34 帶菌 不帶菌總和陽性 0.95 1.99 2.94非陽性 0.05 197.01 1
8、97.06總和 1 199 200其中數(shù)字0.95,1.99是由假設(shè)條件及公式 0.951 0.95 1.99199 0.01算出.因此已檢出陽性條件下(總共2.94人),帶菌(只有0.95人)的條件概率為 為什么驗(yàn)出是“陽性”,而事實(shí)上為“帶菌”的概率如此???以下是平均總數(shù)為200人的分類表:195()0.323.294P A B 3536373839404142431.隨機(jī)變量的分布函數(shù)2.離散型隨機(jī)變量的分布3.連續(xù)型隨機(jī)變量的分布4.二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布與邊緣分布5.隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布4445分布函數(shù)的圖像,分布函數(shù)的圖像,y0及及y1是兩條漸近線是兩條漸近線y0y1464748
9、49 例例1212(第四章例5)袋中有5個(gè)球,分別編號(hào)1,2,3,4,5.從中同時(shí)取出3個(gè)球,以X表示取出的球的最小號(hào)碼,求X的分布律與分布函數(shù). 解解 由于X表示取出的3個(gè)球中的最小號(hào)碼, 因此X的所有可能取值為1,2,3,X1表示3個(gè)球中的最小號(hào)碼為1,那么另外兩個(gè)球可在2,3,4,5中任取2個(gè),這樣的可能取法有 種;而在5個(gè)球中取3個(gè)球的可能取法共有 種.4253505152535455565758 dbaP aXbf xx5960612221xey6263646566676869707172737475767778798081821. 數(shù)學(xué)期望2. 方差和標(biāo)準(zhǔn)差3. 協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)4
10、. 大數(shù)定律和中心極限定理8384858687 例例24(第七章例5)分賭本問題(point problem) 甲乙二人各有賭本a元,約定誰先勝三局贏得全部賭本2a元,假定甲、乙二人每一局的取勝概率相等現(xiàn)已賭三局結(jié)果是:甲二勝一負(fù)由于某種原因賭博中止,問如何分2a元賭本才合理? 提示提示如果甲乙兩人平均分,對(duì)甲是不合理的;能否依據(jù)現(xiàn)在的勝負(fù)結(jié)果2:1來分呢?但仔細(xì)推算也是不合理的,當(dāng)時(shí)著名數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家帕斯卡提出一個(gè)合理的分法是:如果賭局繼續(xù)下去,他們各自的期望所得就是他們應(yīng)該分得的8889 例例25(第七章例11)把n個(gè)球放進(jìn)M只盒子,假定每只球落入各個(gè)盒子是等可能的,求有球的盒子數(shù)X的數(shù)
11、學(xué)期望.9091 設(shè)有兩批鋼筋(每批10根)它們的抗拉強(qiáng)度為: 第一批 110,120,120,125,125,125,130,130,135,140, 第二批 90,100,120,125,125,130,135,145,145,145. 可計(jì)算出兩批數(shù)據(jù)的平均數(shù)都是126,但直觀上第二批數(shù)據(jù)比第一批數(shù)據(jù)與平均值126有較大的偏離.因此,欲描述一組數(shù)據(jù)的分布單單有中心位置的指標(biāo)示不夠的,尚需有一個(gè)描述相對(duì)于中心位置的偏離程度的指標(biāo),對(duì)于隨機(jī)變量也有相同的問題,除了使用期望描述分布的中心位置以外,尚需一個(gè)描述相對(duì)于期望的分散程度的指標(biāo).9293949596解解 記該公司生產(chǎn)的產(chǎn)品的合格率為p,依假設(shè)有P=0.96+0.040.750.8=0.984
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