高中數(shù)學(xué)“函數(shù)的概念與性質(zhì)”教學(xué)研究

1、.專題講座高中數(shù)學(xué)“函數(shù)的概念與性質(zhì)”教學(xué)研究李梁北京市西城區(qū)教育研修學(xué)院函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)中的重點(diǎn)內(nèi)容，它是描述變量之間依賴關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型.本專題內(nèi)容由四部分構(gòu)成：關(guān)于函數(shù)內(nèi)容的深層理解；函數(shù)概念與性質(zhì)的教學(xué)建議；學(xué)生學(xué)習(xí)中常見的錯(cuò)誤分析與解決策略；學(xué)生學(xué)習(xí)目標(biāo)檢測(cè)分析.研究函數(shù)問題通常有兩條主線：一是對(duì)函數(shù)性質(zhì)作一般性的研究，二是研究幾種具體的基本初等函數(shù)二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù). 研究函數(shù)的問題主要圍繞以下幾個(gè)方面：函數(shù)的概念，函數(shù)的圖象與性質(zhì)，函數(shù)的有關(guān)應(yīng)用等.一、關(guān)于函數(shù)內(nèi)容的深層理解（一）函數(shù)概念的發(fā)展史簡(jiǎn)述數(shù)學(xué)史角度：早期函數(shù)概念（Descartes ， 1596 1

2、650 引入坐標(biāo)系創(chuàng)立解析幾何，已經(jīng)關(guān)注到一個(gè)變量對(duì)于另一個(gè)變量的依賴關(guān)系） 幾何角度 ； Newton， 16421727，用數(shù)流來定義流量（fluxion）的變化率，用以表示變量間的關(guān)系；Leibniz，16461716 引入常量、變量、參變量等概念；Euler 引入函數(shù)符號(hào)，并稱變量的函數(shù)是一個(gè)解析表達(dá)式 代數(shù)角度 ； Dirichlet， 1805 1859 提出是與之間的一種對(duì)應(yīng)的觀點(diǎn) 對(duì)應(yīng)關(guān)系角度；Hausdorff在集合論綱要中用“序偶”來定義函數(shù) 集合論角度.Dirichlet：認(rèn)為怎樣去建立與之間的關(guān)系無(wú)關(guān)緊要，他拓廣了函數(shù)概念，指出：“對(duì)于在某區(qū)間上的每一個(gè)確定的值，都有一

3、個(gè)確定的值，那么叫做的函數(shù) . ”這種函數(shù)的定義， 避免了以往函數(shù)定義中所有的關(guān)于依賴關(guān)系的描述，簡(jiǎn)明精確 （經(jīng)典函數(shù)定義） .Veblen ， 1880 1960 用“集合”和“對(duì)應(yīng)”的概念給出了近代函數(shù)定義，通過集合概念，把函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系、定義域及值域進(jìn)一步具體化了，且打破了“變量是數(shù)”的限制，變量可以是數(shù)，也可以是其它對(duì)象.（二）初高中函數(shù)概念的區(qū)別與聯(lián)系;.1初中函數(shù)概念：設(shè)在某個(gè)變化過程中有兩個(gè)變量，如果對(duì)于在某個(gè)范圍內(nèi)的每一個(gè)值，都有唯一的值與它對(duì)應(yīng)，我們就說是的函數(shù)，叫自變量，叫的函數(shù) .2高中函數(shù)概念：（1）設(shè) A， B 是兩個(gè)非空集合，如果按照某種對(duì)應(yīng)法則f ，對(duì) A 中的任

4、意一個(gè)元素x，在 B中有一個(gè)且僅有一個(gè)元素y 與 x 對(duì)應(yīng)，則稱 f 是集合 A到集合 B的映射 . 記作，其中叫原象，叫象 .（2）設(shè)集合A是一個(gè)非空的數(shù)集，對(duì)A 中的任意數(shù)x，按照確定的法則f ，都有唯一確定的數(shù) y 與它對(duì)應(yīng)，則這種映射叫做集合A 上的一個(gè)函數(shù) . 記作.其中 x 叫做自變量，自變量取值的范圍（數(shù)集A）叫做這個(gè)函數(shù)的定義域. 所有函數(shù)值構(gòu)成的集合叫做這個(gè)函數(shù)的值域. 函數(shù)的值域由定義域與對(duì)應(yīng)法則完全確定 .（ 3） 函數(shù)是一種特殊的映射 . 其定義域和值域都是非空的數(shù)集， 值域中的每一個(gè)元素都有原象 .構(gòu)成函數(shù)的三要素：定義城，值域和對(duì)應(yīng)法則，其中定義域和對(duì)應(yīng)法則是核心.

5、（三）函數(shù)在整個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)體系中的地位及作用函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)最重要的基本概念之一，其核心內(nèi)涵為從非空數(shù)集到非空數(shù)集的映射；函數(shù)思想也是整個(gè)高中數(shù)學(xué)最重要的數(shù)學(xué)思想之一，而函數(shù)概念是函數(shù)思想的基礎(chǔ)；它不僅對(duì)前面學(xué)習(xí)的集合知識(shí)做了鞏固和發(fā)展，而且它是學(xué)好后繼知識(shí)的基礎(chǔ)和工具；函數(shù)與方程、不等式、數(shù)列、三角函數(shù)、解析幾何、導(dǎo)數(shù)等內(nèi)容的聯(lián)系也非常密切；函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)在現(xiàn)實(shí)生活、 社會(huì)、經(jīng)濟(jì)及其它學(xué)科中有廣泛的應(yīng)用；函數(shù)概念及其反應(yīng)的數(shù)學(xué)思想方法已廣泛滲透到數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ).（四）函數(shù)的概念與性質(zhì)結(jié)構(gòu)框圖;.（五）函數(shù)的概念與性質(zhì)教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：1函數(shù)的概念2函數(shù)的基本性質(zhì)

6、3基本初等函數(shù)的圖象和性質(zhì)教學(xué)難點(diǎn)：;.1函數(shù)概念的理解2對(duì)函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性實(shí)質(zhì)的把握3運(yùn)用基本初等函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決簡(jiǎn)單問題二、函數(shù)概念與性質(zhì)的教學(xué)建議：（一）如何深入把握函數(shù)的概念？1映射與函數(shù)的教學(xué)建議：教學(xué)中，由于映射與函數(shù)的概念比較抽象，不易把握，故本部分內(nèi)容宜采用教師引導(dǎo)，師生共同研討的方式來學(xué)習(xí) .在教學(xué)中，教師可以類似舉如下的例子進(jìn)行剖析：例 1：設(shè)集合和都是自然數(shù)集合.映射把集合中的元素映射到集合中的元素,則在映射作用下 , 2的象是 _； 20 的原象是 _.分析：由已知，在映射作用下的象為.所以， 2 的象是；設(shè)象 20的原象為，則的象為 20 ，即.由于，

7、隨著的增大而增大，又，所以 20 的原象是4.這個(gè)例子要求學(xué)生理解映射的意義，對(duì)于給出對(duì)應(yīng)關(guān)系的映射會(huì)求映射中指定元素的象與原象 .能夠有效判別學(xué)生對(duì)映射、象、原象這些概念的把握程度. 同時(shí)，題目中兼顧對(duì)于函數(shù)性質(zhì)的探究，具有一定的綜合程度.2函數(shù)的定義域問題：確定函數(shù)的定義域是研究函數(shù)問題的先決條件，因此對(duì)于一個(gè)函數(shù)問題，首先要明確自變量的取值集合 . 教學(xué)中，教師可通過類似下述問題明確求函數(shù)定義域的幾類常見問題：例 2：求下列函數(shù)的定義域：（1）；;.（2）；（3）；（4）；解：（ 1）由，得，所以或，所以或.所以，所求函數(shù)的定義域?yàn)?（2）由得，或.所以，所求函數(shù)的定義域?yàn)?（3）由得，

8、且，所以，所求函數(shù)的定義域?yàn)椋?）由得即所以.所以，所求函數(shù)定義域?yàn)?例 3：如圖，用長(zhǎng)為的鐵絲彎成下部為矩形，上部為半圓形的框架，若矩形的底邊長(zhǎng)為，求此框架圍成的面積與的函數(shù)關(guān)系式，并指出定義域.解: 根據(jù)題意 ,.弧長(zhǎng)為，所以.;.所以，.根據(jù)問題的實(shí)際意義.解得.所以，所求函數(shù)定義域?yàn)?上述求函數(shù)定義域問題涵蓋了確定函數(shù)定義域的兩種類型問題.（1）給出函數(shù)解析式求定義域（如例2），這類問題就是求使解析式有意義的自變量的取值范圍 . 正確的解不等式或不等式組在解決這類問題中是重要的.中學(xué)數(shù)學(xué)中常見的對(duì)變量有限制的運(yùn)算法則有： 分式中分母不為零； 偶次方根下被開方數(shù)非負(fù)； 零次冪的底數(shù)要求不

9、為零； 對(duì)數(shù)中的真數(shù)大于零，底數(shù)大于零且不等于1 ；，則.（2）在實(shí)際問題中求函數(shù)的定義域（如例3 ）.在這類問題中除了考慮解析式對(duì)自變量的限制,還應(yīng)考慮實(shí)際問題對(duì)自變量的限制.另外，在處理函數(shù)問題時(shí)要有一種隨時(shí)關(guān)注定義域的意識(shí)，這是極其重要的. 比如在研究函數(shù)單調(diào)性、奇偶性、最值等問題時(shí)，首先要考慮的就是函數(shù)的定義域.3函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則問題：確定函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則（即求函數(shù)的解析式）是有關(guān)函數(shù)概念中的重要問題，教學(xué)中教師可以設(shè)置如下相關(guān)題組，和學(xué)生共同解決.;.例 4：（ 1）已知，求的解析式；（2）已知，求的值；（3）如果為二次函數(shù)，并且當(dāng)時(shí)，取得最小值，求的解析式；（4）已知函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)

10、于直線對(duì)稱，求的解析式 .分析：（ 1）求函數(shù)的解析式，從映射的角度看就是求對(duì)應(yīng)法則，于是，我們一般有下面兩種方法解決（1）這樣的問題 .方法一：.通過這樣“湊型”的方法，我們可以明確看到法則是“原象對(duì)應(yīng)于原象除以原象的平方減1” . 所以，.方法二：設(shè),則.則，所以.這樣，通過“換元”的方法也可以明確看到法則是什么.（2）用“湊型”的方法，. 所以，.（3）因?yàn)闉槎魏瘮?shù)，并且當(dāng)時(shí)，取得最小值，所以，可設(shè)，又，所以，所以.;.（4）這個(gè)問題相當(dāng)于已知的圖象滿足一定的條件，進(jìn)而求函數(shù)的解析式 .所以，可以類比解析幾何中求軌跡方程的方法求的解析式 .設(shè)的圖象上任意一點(diǎn)坐標(biāo)為，則關(guān)于對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為

11、，由已知，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，所以，點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的解析式，即，所以，.由于已知條件的不同，求函數(shù)的解析式的常見方法有像（1）（ 2）所用到的“湊形”及“換元”的方法；有像（3）所用到的待定系數(shù)法；也有像（4）所用到的解析法.值得注意的是（4）中所用的解析法. 在求函數(shù)解析式或求曲線的軌跡方程時(shí)都可以用這種方法，是一種通法. 同時(shí)也表明函數(shù)和它的圖象與曲線和它的方程之間有必然的取系.（二）教學(xué)中如何突出函數(shù)性質(zhì)的本質(zhì)？函數(shù)的性質(zhì)主要包括函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性與對(duì)稱性等，側(cè)重點(diǎn)在于理解與函數(shù)性質(zhì)有關(guān)的概念， 掌握有關(guān)判斷、 證明的基本方法以及簡(jiǎn)單的應(yīng)用 . 這部分內(nèi)容常用到數(shù)形結(jié)合的思想方法

12、.1關(guān)于基本概念的理解：（1）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，如果?duì)于內(nèi)的任意一個(gè)，都有，且，則這個(gè)函數(shù)叫做奇函數(shù).設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，如果?duì)于內(nèi)任意一個(gè)，都有，且，則這個(gè)函數(shù)叫做偶函數(shù).由奇函數(shù)定義可知，對(duì)于奇函數(shù)，點(diǎn)與點(diǎn)都在其圖象上 . 又點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，我們可以得到：奇函數(shù)的圖象是以坐標(biāo)原點(diǎn)為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形；通過同樣的分析可以得到，偶函數(shù)的圖象是以軸為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形.（2）一般地， 設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，區(qū)間. 如果取區(qū)間中的任意兩個(gè)值，改變量，則;.當(dāng)時(shí)，就稱函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，就稱函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù) .如果一個(gè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)或是減函數(shù)，就說這個(gè)函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上具有單調(diào)

13、性，區(qū)間稱為單調(diào)區(qū)間.在單調(diào)區(qū)間上，增函數(shù)的圖象是上升的，減函數(shù)的圖象是下降的.（3）一般地，對(duì)于函數(shù)，如果存在一個(gè)不為零的常數(shù)，使得當(dāng)取定義域中的每一個(gè)值時(shí)，都成立， 那么就把函數(shù)叫做周期函數(shù)， 不為零的常數(shù)叫做這個(gè)函數(shù)的周期.（4）一般地，對(duì)于函數(shù)，如果存在一個(gè)不為零的常數(shù)，使得當(dāng)取定義域中的每一個(gè)值時(shí)，都成立，則函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱 .這四個(gè)概念都比較抽象，建議講述相關(guān)概念時(shí)采用數(shù)形結(jié)合的手段，不斷揭示概念的幾何背景，進(jìn)而完善學(xué)生對(duì)概念的認(rèn)識(shí).2關(guān)于函數(shù)的奇偶性問題：對(duì)于函數(shù)的奇偶性，要求學(xué)生會(huì)判斷及簡(jiǎn)單應(yīng)用. 教學(xué)中可給出如下題組：例 1：判斷下列函數(shù)的奇偶性.（1）； （2）； （

14、3）；（4）； （5）.解：（ 1）解，得到函數(shù)的定義域?yàn)榛?，關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱，所以此函數(shù)為非奇非偶函數(shù).（2）函數(shù)的定義域?yàn)?，但是，由于，即，且，所以此函?shù)為非奇非偶函數(shù).;.（3）函數(shù)的定義域?yàn)?，又，所以此函?shù)為偶函數(shù).（4）解，得，又，所以此函數(shù)為奇函數(shù).（5）函數(shù)的定義域?yàn)?，又，所以此函?shù)為奇函數(shù).通過本例及函數(shù)奇偶性的定義，進(jìn)一步可以得到下面幾個(gè)結(jié)論： 一個(gè)函數(shù)是奇（或偶）函數(shù)的必要不充分條件是定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；是奇函數(shù)，并且在時(shí)有定義，則必有； 既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)，其解析式一定為，等 .判定函數(shù)奇偶性按照其定義可以分為兩個(gè)步驟： 判斷函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱； 考察與的

15、關(guān)系.由此，若以奇偶性為標(biāo)準(zhǔn)可以把函數(shù)分為奇函數(shù)，偶函數(shù)，既奇又偶函數(shù)和非奇非偶函數(shù)四類 .例 2：已知為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，（1）求的值；（2）當(dāng)時(shí)，求的解析式 .;.解：（ 1）因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以.（2）方法一 :當(dāng)時(shí),.所以，.方法二:設(shè)是在時(shí)圖象上一點(diǎn),則一定在在時(shí)的圖象上 .所以，.上述三個(gè)例子分別從具體函數(shù)、抽象函數(shù)、以及奇偶性的應(yīng)用上加深對(duì)概念的理解.3關(guān)于函數(shù)的單調(diào)性問題：例 3：用函數(shù)單調(diào)性定義證明，函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù) .證明：設(shè)，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，所以，函?shù)在區(qū)間上為增函數(shù) .例 4：設(shè)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且它在區(qū)間上是減函數(shù) .;.（1）試比較與的大??；（2）若，且，

16、求證：.解：（ 1）因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，又在區(qū)間上是減函數(shù)，所以，即.（2）因?yàn)?，所以異?hào)，不妨設(shè)，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，在區(qū)間上是減函數(shù)，所以，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，所以，即.總之，函數(shù)的單調(diào)性是我們研究的極為重要的函數(shù)性質(zhì)，其與其它問題的聯(lián)系、自身的應(yīng)用都很廣泛，在教學(xué)中要予以充分注意.（三）怎樣有效提升學(xué)生對(duì)基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)的把握？基本初等函數(shù)包括:二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù).函數(shù)的圖象上直觀地反映著函數(shù)的性質(zhì),學(xué)習(xí)函數(shù)的“捷徑”是熟知函數(shù)的圖象.熟知函數(shù)圖象包括三個(gè)方面：作圖，讀圖，用圖.掌握初等函數(shù)一般包括以下一些內(nèi)容：首先是函數(shù)的定義，之后是函數(shù)的圖象和性質(zhì).函數(shù)的性質(zhì)

17、一般包括定義域，值域，圖象特征，單調(diào)性，奇偶性，周期性，零點(diǎn)、最值以及值的變化特點(diǎn)等，研究和記憶函數(shù)性質(zhì)的時(shí)候應(yīng)全面考慮.函數(shù)的定義 （通常情況下是解析式）決定著函數(shù)的性質(zhì)，我們可以通過解析式研究函數(shù)的性質(zhì)，也可以通過解析式畫出函數(shù)的圖象，進(jìn)而直觀的發(fā)現(xiàn)函數(shù)的性質(zhì).1關(guān)于二次函數(shù)的處理：對(duì)于二次函數(shù)，初中已有研究，但高中階段處理二次函數(shù)的視角又和初中有所不同.;.例如：設(shè)是實(shí)數(shù)，證明關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解. （初中、高中的不同處理方法）教學(xué)中可以參考如下的題目：例 1：（ 1）如果二次函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則的取值范圍是 _.（2）二次函數(shù)的最大值恒為負(fù)，則的取值范圍是_.（3）函數(shù)對(duì)

18、于任意均有，則，的大小關(guān)系是_.解：（ 1）由于此拋物線開口向上，且在上是增函數(shù)，畫簡(jiǎn)圖可知此拋物線對(duì)稱軸或與直線重合，或位于直線的左側(cè)，于是有，解之得.（2）分析二次函數(shù)圖象可知，二次函數(shù)最大值恒為負(fù)的充要條件是“二次項(xiàng)系數(shù)，且判別式”，即解得.（3）因?yàn)閷?duì)于任意均有，所以拋物線對(duì)稱軸為.又拋物線開口向上，做出函數(shù)圖象簡(jiǎn)圖可得.例 2、已知二次函數(shù)的對(duì)稱軸為，且圖象在軸上的截距為，被軸截得的線段長(zhǎng)為，求的解析式 .解：解法一：設(shè)，由的對(duì)稱軸為，可得；;.由圖象在軸上的截距為，可得；由圖象被軸截得的線段長(zhǎng)為，可得均為方程的根 .所以，即，所以.解法二：因?yàn)閳D象被軸截得的線段長(zhǎng)為，可得均為方程的

19、根.所以，設(shè)，又圖象在軸上的截距為，即函數(shù)圖象過點(diǎn) .即.所以.二次函數(shù)是非常常見的一種函數(shù)模型，在高中數(shù)學(xué)中地位很重.二次函數(shù)的解析式有三種形式：一般式；頂點(diǎn)式，其中為頂點(diǎn)坐標(biāo)；雙根式，其中為函數(shù)圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即二次函數(shù)所對(duì)應(yīng)的一元二次方程的兩個(gè)根.例 1、 2 兩個(gè)題目充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想及運(yùn)動(dòng)變化思想的運(yùn)用. 這兩種數(shù)學(xué)思想在函數(shù)問題的解決中被普遍使用.2關(guān)于指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的處理：這三種基本初等函數(shù)是在研究一般函數(shù)基礎(chǔ)上的重要模型，教學(xué)中建議采用如下問題突出相關(guān)函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用 .例 3、比較下列各小題中各數(shù)的大?。海?）與；（2）；（3）與；;.（4）與； （5）與

20、； （6）.分析：（ 1）是減函數(shù) ,.（2）函數(shù)在區(qū)間 (0, +) 上是增函數(shù)，所以，函數(shù)在區(qū)間 (0, +) 上是減函數(shù)，所以，所以.（3）由于, 所以.（4）利用冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)單調(diào)性.（5）因?yàn)?. 根據(jù)不等式的性質(zhì)有.（6）因?yàn)?，所以，即；比較與，只需比較與，因?yàn)槭窃龊瘮?shù)，所以只需比較與的大小，因?yàn)?，所以，所以，綜上，.例 4：已知，比較的大小 .分析：方法一（作商比較法）;.，又，所以，所以，所以.方法二（作差比較法），因?yàn)椋?，所以，?方法三（構(gòu)造函數(shù)）令，將看作是關(guān)于的一次函數(shù)，因?yàn)椋源撕瘮?shù)為減函數(shù)，又，所以，即.兩個(gè)數(shù)比較大小的基本思路：如果直接比較，可以考慮用比較

21、法（包括“作差比較”與“作商比較”，如例4 的方法一與方法二），或者利用函數(shù)的單調(diào)性來比較（如例3（1）（2）（ 3），例 4 的方法三） .如果用間接的方法可以嘗試對(duì)要比較的兩數(shù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃危D(zhuǎn)化成對(duì)另兩個(gè)數(shù)的比較，也可以考慮借助中間量來比較（如例3（ 4）（ 5）（ 6） .三、學(xué)生學(xué)習(xí)中常見的錯(cuò)誤分析與解決策略例 1：下列四組函數(shù)中，表示同一個(gè)函數(shù)的是（）（A）,（B）,（C）,（D）,;.易錯(cuò)點(diǎn)：定義域；對(duì)應(yīng)法則；函數(shù)的概念 .錯(cuò)因分析：忽視函數(shù)的定義域；不清楚函數(shù)概念的實(shí)質(zhì)，如（B）中表示自變量的字母不同，就誤認(rèn)為不會(huì)是同一個(gè)函數(shù).解題策略：判斷兩個(gè)函數(shù)是否為同一函數(shù)，就是要看兩個(gè)

22、函數(shù)的定義域與對(duì)應(yīng)法則是否完全相同 .一般有兩個(gè)步驟： （ 1）在不對(duì)解析式進(jìn)行變形的情況下求定義域，看定義域是否一致.（2）對(duì)解析式進(jìn)行合理變形的情況下，看對(duì)應(yīng)法則是否一致.分析：（ A）（ C）（ D）中兩個(gè)函數(shù)的定義域均不同，所以不是同一函數(shù). （ B）中兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，化簡(jiǎn)后為及，對(duì)應(yīng)法則也相同，所以選（B）.這個(gè)例子可以有效檢測(cè)學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的把握，同時(shí)突出映射與函數(shù)概念的聯(lián)系.例 2：已知函數(shù)的定義域?yàn)椋蠛瘮?shù)及的定義域 .易錯(cuò)點(diǎn)：對(duì)應(yīng)法則定義域；定義域的概念 .錯(cuò)因分析：對(duì)對(duì)應(yīng)法則的符號(hào)不理解；不清楚定義域的含義.解題策略： 此題的題設(shè)條件中未給出函數(shù)的解析式， 這就要求我

23、們根據(jù)函數(shù)三要素之間的相互制約關(guān)系明確兩件事情：定義域是指的取值范圍；受對(duì)應(yīng)法則制約的量的取值范圍在“已知”和“求”當(dāng)中是一致的. 那么由的定義域是可知法則制約的量的取值范圍是，而在函數(shù)中，受直接制約的是，而定義域是指的范圍，因此通過解不等式得，即的定義域是.同理可得的定義域?yàn)?例 3：設(shè)函數(shù)在上有定義，的值不恒為零，對(duì)于任意的，恒有成立，則函數(shù)的奇偶性為 _.易錯(cuò)點(diǎn)：抽象函數(shù)；對(duì)“恒成立”的理解.錯(cuò)因分析： 抽象函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)； 對(duì)“恒成立”的理解不清晰，不能將其轉(zhuǎn)化為所需求的結(jié)構(gòu) .解題策略：關(guān)于對(duì)抽象函數(shù)“”的使用一般有以下兩個(gè)思路：;.令為某些特殊的值，如本題解法中，令得到了. 當(dāng)然，

24、如果令則可以得到，等等 .令具有某種特殊的關(guān)系，如本題解法中，令. 得到，在某些情況下也可令，等等 .總之，函數(shù)方程的使用比較靈活，要根據(jù)具體情況作適當(dāng)處理. 在不是很熟悉的時(shí)候，要有試一試看的勇氣.解：令，則，所以，再令，則，所以，又的值不恒為零，故是奇函數(shù)而非偶函數(shù).例 4：已知函數(shù)是定義域?yàn)榈膯握{(diào)增函數(shù).（1）比較與的大小；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍 .易錯(cuò)點(diǎn)：函數(shù)概念；增函數(shù) .錯(cuò)因分析：對(duì)函數(shù)概念中的對(duì)應(yīng)法則的理解不清楚；沒有理解增函數(shù)概念的實(shí)質(zhì)，不會(huì)將其應(yīng)用于解決問題.解題策略：回顧單調(diào)增函數(shù)的定義，在，為區(qū)間任意兩個(gè)值的前提下，有三個(gè)重要的問題：的符號(hào)；的符號(hào)；函數(shù)在區(qū)間上是增還

25、是減 .由定義可知：對(duì)于任取的，若，且，則函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)；不僅如此，若，且函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則；若，且函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則；于是，我們可以清晰地看到，函數(shù)的單調(diào)性與不等式有著自然的聯(lián)系，請(qǐng)結(jié)合例4 加以體會(huì) .;.解：（ 1）因?yàn)?，所以，由已知，是單調(diào)增函數(shù)，所以.（2）因?yàn)槭菃握{(diào)增函數(shù)，且，所以，解得或.四、學(xué)生學(xué)習(xí)目標(biāo)檢測(cè)分析（一）課程標(biāo)準(zhǔn)中的相關(guān)要求1函數(shù) 通過豐富實(shí)例，進(jìn)一步體會(huì)函數(shù)是描述變量之間的依賴關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型，在此基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)用集合與對(duì)應(yīng)的語(yǔ)言來刻畫函數(shù)，體會(huì)對(duì)應(yīng)關(guān)系在刻畫函數(shù)概念中的作用；了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會(huì)求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域和值域；了解映射的概念。 在

26、實(shí)際情境中， 會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ǎㄈ?，圖像法、 列表法、 解析法）表示函數(shù)。 通過具體實(shí)例，了解簡(jiǎn)單的分段函數(shù)，并能簡(jiǎn)單應(yīng)用。 通過已學(xué)過的函數(shù)特別是二次函數(shù)，理解函數(shù)的單調(diào)性、最大（?。┲导捌鋷缀我饬x；結(jié)合具體函數(shù)，了解奇偶性的含義。 學(xué)會(huì)運(yùn)用函數(shù)圖像理解和研究函數(shù)的性質(zhì)。2指數(shù)函數(shù) 通過具體實(shí)例（如，細(xì)胞的分裂，考古中所用的14C的衰減，藥物在人體內(nèi)殘留量的變化等），了解指數(shù)函數(shù)模型的實(shí)際背景。 理解有理指數(shù)冪的含義，通過具體實(shí)例了解實(shí)數(shù)指數(shù)冪的意義，掌握冪的運(yùn)算。 理解指數(shù)函數(shù)的概念和意義，能借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)畫出具體指數(shù)函數(shù)的圖像，探索并理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)。 在解

27、決簡(jiǎn)單實(shí)際問題的過程中，體會(huì)指數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型。;.3對(duì)數(shù)函數(shù) 理解對(duì)數(shù)的概念及其運(yùn)算性質(zhì)， 知道用換底公式能將一般對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對(duì)數(shù)或常用對(duì)數(shù)；通過閱讀材料，了解對(duì)數(shù)的發(fā)現(xiàn)歷史以及對(duì)簡(jiǎn)化運(yùn)算的作用。 通過具體實(shí)例， 直觀了解對(duì)數(shù)函數(shù)模型所刻畫的數(shù)量關(guān)系，初步理解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念，體會(huì)對(duì)數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型； 能借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)畫出具體對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像，探索并了解對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)。 知道指數(shù)函數(shù)y=ax 與對(duì)數(shù)函數(shù)y=log a x 互為反函數(shù)。（a 0,a 1） 4 冪函數(shù)通過實(shí)例，了解冪函數(shù)的概念；結(jié)合函數(shù)y=x, y=x 2, y=x 3, y =, y=的圖像，了

28、解它們的變化情況。（二）高考考試內(nèi)容與要求1函數(shù)了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會(huì)求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域和值域；了解映射的概念.在實(shí)際情境中，會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ǎㄈ鐖D像法、列表法、解析法）表示函數(shù) .了解簡(jiǎn)單的分段函數(shù)，并能簡(jiǎn)單應(yīng)用.理解函數(shù)的單調(diào)性、最大（小）值及其幾何意義；結(jié)合具體函數(shù)，了解函數(shù)奇偶性的含義 .會(huì)運(yùn)用函數(shù)圖像理解和研究函數(shù)的性質(zhì).2指數(shù)函數(shù)了解指數(shù)函數(shù)模型的實(shí)際背景 .理解有理指數(shù)冪的含義，了解實(shí)數(shù)指數(shù)冪的意義，掌握冪的運(yùn)算.理解指數(shù)函數(shù)的概念，理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，掌握函數(shù)圖像通過的特殊點(diǎn).知道指數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型.;.3對(duì)數(shù)函數(shù) 理解對(duì)數(shù)的概念及其運(yùn)算性質(zhì)，知道

29、用換底公式能將一般對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對(duì)數(shù)或常用對(duì)數(shù)；了解對(duì)數(shù)在簡(jiǎn)化運(yùn)算中的作用. 理解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念；理解對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，掌握函數(shù)圖像通過的特殊點(diǎn). 知道對(duì)數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型； 了解指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)（） .（三）兩個(gè)典型高考題目剖析：例 1（ 2010 年全國(guó)卷理 8）已知函數(shù). 若，且，則的取值范圍是（）（A）（ B）（C）（ D）分析：本題的知識(shí)涉及對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，函數(shù)圖象的變換，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，不等式中的均值定理等內(nèi)容；涉及到數(shù)形結(jié)合與等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，有一定的綜合性.思路一：因?yàn)?，即，所?因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，由，得，不合題意；由，得.又因?yàn)?，所以，?

30、從而，其中.令，則，當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增 . 由此可知，故的取值范圍是，正確選項(xiàng)是（ C） .思路二：函數(shù)的圖象如右圖所示. 因?yàn)?，且，從而有，?以下同解法一 .;.本題頗有些“綿里藏針”，如果未注意到的隱含條件，而直接利用均值定理，從而得出的選A 或 B 的錯(cuò)誤結(jié)論 . 本題對(duì)于函數(shù)與導(dǎo)數(shù)考查的深刻性與靈活性可見一斑.例 2（ 2010 年北京卷文14） 如圖放置的邊長(zhǎng)為1 的正方形沿軸滾動(dòng)，設(shè)頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系是，則的最小正周期為；在其兩個(gè)相鄰零點(diǎn)間的圖象與軸所圍成區(qū)域的面積為_.說明：“正方形沿軸滾動(dòng)”包括沿軸正方向和沿軸負(fù)方向滾動(dòng).沿軸正方向滾動(dòng)指的是先以頂點(diǎn)為

31、中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)頂點(diǎn)落在軸上時(shí)，再以頂點(diǎn)為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，如此繼續(xù). 類似地，正方形可以沿軸負(fù)方向滾動(dòng) .分析：不難想象， 從某一個(gè)頂點(diǎn) （比如）落在軸上的時(shí)候開始計(jì)算，倒下一次點(diǎn)落在軸上，在倒下一次點(diǎn)落在軸上，. 這個(gè)過程中四個(gè)頂點(diǎn)依次落在了軸上，而每?jī)蓚€(gè)頂點(diǎn)間距離為正方形的邊長(zhǎng)1，因此該函數(shù)的周期為.下面考察點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，不妨考察正方形向右滾動(dòng)，點(diǎn)從原點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)的時(shí)候， 首先是以點(diǎn)為圓心，為半徑作圓周運(yùn)動(dòng)（圓弧）；當(dāng)點(diǎn)落在軸上后，再以點(diǎn)為圓心，為半徑作圓周運(yùn)動(dòng)（圓?。?；當(dāng)點(diǎn)落在軸上后，再以點(diǎn)為圓心，為半徑作圓周運(yùn)動(dòng)（圓弧）；最終當(dāng)點(diǎn)落在軸上后，以點(diǎn)為圓心作圓，點(diǎn)在軸上保持不動(dòng)，因此在其兩

32、個(gè)相鄰零點(diǎn)間的圖象如下：所以，在其兩個(gè)相鄰零點(diǎn)間的圖象與軸所圍成區(qū)域的面積為.數(shù)與形的運(yùn)動(dòng)變化是近幾年數(shù)學(xué)高考的熱點(diǎn)問題，如何認(rèn)識(shí)和刻畫圖形的運(yùn)動(dòng)，并揭示相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系，是分析和解決這類問題的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn).;.互動(dòng)對(duì)話【參與人員】黃煒：北京八中陳龍清：北京師大二附中李梁：北京市西城區(qū)教育研修學(xué)院【互動(dòng)話題】1初中已經(jīng)有函數(shù)概念了，在高中階段為什么重新加以定義？主要內(nèi)容：教師將結(jié)合具體教學(xué)案例，對(duì)高中函數(shù)概念的建立以及初、高中函數(shù)概念的區(qū)別與聯(lián)系，對(duì)教師的教學(xué)提供合理化建議。2反函數(shù)的要求變化后怎樣處理這部分教學(xué)？主要內(nèi)容：課程標(biāo)準(zhǔn)削弱了反函數(shù)的概念，只要求知道指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)(，) 互為反函數(shù)

33、， 不要求一般地討論形式化的反函數(shù)定義，也不要求求已知函數(shù)的反函數(shù)。教師介紹教學(xué)實(shí)踐中的經(jīng)驗(yàn)，以及一些靈活處理。3冪函數(shù)的教學(xué)實(shí)踐主要內(nèi)容：課程標(biāo)準(zhǔn)要求結(jié)合函數(shù)的圖象，了解冪函數(shù)的變化情況。 由于冪函數(shù)圖象的復(fù)雜性， 這一具體要求如何在課堂教學(xué)中加以落實(shí)？話題 3 將圍繞教學(xué)中的靈活處理給教師一些參考意見。（二附中陳龍清案例）話題 4：函數(shù)的單調(diào)性是教學(xué)難點(diǎn)，新課程背景下如何實(shí)現(xiàn)突破？主要內(nèi)容：函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用是教學(xué)難點(diǎn)，教學(xué)過程中如何把握其本質(zhì)特征，掌握好這一核心性質(zhì)，本話題將通過一個(gè)教學(xué)案例加以分析，為教師提供教學(xué)建議。案例評(píng)析;.【案例信息】案例名稱：冪函數(shù)授課教師：陳龍清（北京師大

34、二附中）評(píng)課教師：李梁（北京市西城區(qū)教育研修學(xué)院）【課堂實(shí)錄】【案例評(píng)析】一、總體構(gòu)思：本節(jié)課內(nèi)容選自人教B 版必修 1 第三章第3.3 節(jié)課程標(biāo)準(zhǔn)中對(duì)本部分內(nèi)容的要求是：了解冪函數(shù)的概念，結(jié)合函數(shù)的圖象，了解它們的變化情況 本節(jié)課注重在函數(shù)的圖象與性質(zhì)的學(xué)習(xí)中，培養(yǎng)學(xué)生的探究能力，滲透科學(xué)的研究問題的方法（研究函數(shù)性質(zhì)與圖象的一般方法），努力使學(xué)生由“學(xué)會(huì)”向“會(huì)學(xué)”轉(zhuǎn)變同時(shí)借助信息技術(shù)（圖形計(jì)算器）輔助學(xué)生探究，幫助學(xué)生揭示規(guī)律這與新課標(biāo)倡導(dǎo)“積極主動(dòng)、勇于探索”的學(xué)習(xí)方式，注重提高數(shù)學(xué)思維能力，注重信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的整合等精神相吻合此外，課堂上注重體現(xiàn)以人為本的原則，結(jié)合學(xué)生的能力基礎(chǔ)

35、（建構(gòu)理論）、結(jié)合教材的特點(diǎn)（難易度），在教師引導(dǎo)的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)了“必選”和“自選”環(huán)節(jié)，這樣既突出重點(diǎn)，又照顧到不同層次的學(xué)生，對(duì)提高學(xué)生思維能力大有好處二、本節(jié)課的教學(xué)框架：1、類比指數(shù)函數(shù)的概念引導(dǎo)學(xué)生觀察歸納得出冪函數(shù)的概念；2、通過設(shè)問啟發(fā)學(xué)生思考如何研究一類未知的函數(shù)；3、讓學(xué)生從熟悉的5 個(gè)具體冪函數(shù)出發(fā)，結(jié)合圖象來觀察、歸納冪函數(shù)的性質(zhì)；4、讓學(xué)生繼續(xù)取的其它數(shù)值進(jìn)行研究，抓住學(xué)生展示的結(jié)果進(jìn)一步歸納冪函數(shù)的性質(zhì)；;.5、演示冪函數(shù)的圖象隨著冪指數(shù)的變化而變化的情況，使學(xué)生對(duì)冪函數(shù)有一個(gè)整體的認(rèn)識(shí)；6、通過例題鞏固對(duì)知識(shí)的理解與掌握，同時(shí)體驗(yàn)成功的喜悅；7、師生共同小結(jié)，歸納思想

36、方法。新課程倡導(dǎo)積極主動(dòng)、勇于探索的學(xué)習(xí)方式，注重提高數(shù)學(xué)思維能力，注重信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的整合等理念在本節(jié)課中得到了比較充分的體現(xiàn)三、本節(jié)課的主要特色：1、敢于放手讓學(xué)生自主探究，舍得花時(shí)間課堂上留給學(xué)生充分的時(shí)間加以探究，讓學(xué)生動(dòng)手操作、 相互討論，共同研究當(dāng)學(xué)生充分參與到教學(xué)過程中時(shí)，對(duì)知識(shí)的理解才會(huì)達(dá)到一定的深度2、恰到好處地應(yīng)用現(xiàn)代信息技術(shù)：（ 1）通過實(shí)物投影展示學(xué)生作品能及時(shí)反饋學(xué)生的情況；課堂上教師及時(shí)展示學(xué)生的探究結(jié)果， 及時(shí)反饋教學(xué)情況， 并通過對(duì)典型錯(cuò)誤的糾正使學(xué)生對(duì)于知識(shí)的理解達(dá)到一定深度（ 2）教師演示課件雖然簡(jiǎn)單，但正好與學(xué)生的歸納形成很好的對(duì)照，對(duì)突破難點(diǎn)起到了很

37、好的作用，同時(shí)對(duì)學(xué)生課后繼續(xù)研究提供引導(dǎo)3、除運(yùn)用技術(shù)輔助，從圖象角度觀察歸納以外，也關(guān)注從函數(shù)解析式或函數(shù)性質(zhì)本身進(jìn)行研究，分別從形、數(shù)兩個(gè)角度加以印證，更好地揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)4、課堂上教師靈活應(yīng)變，變現(xiàn)了較好的基本素質(zhì)。在歸納的過程中，不僅不怕學(xué)生提出問題，反而靈活地抓住這些問題展開教學(xué)，如學(xué)生提出的奇偶性問題，教師迅速“捕捉”這一信息，注意到其普遍性，因勢(shì)利導(dǎo)，引發(fā)學(xué)生集體關(guān)注，產(chǎn)生良好的教學(xué)效果5、教學(xué)體現(xiàn)對(duì)不同學(xué)生的不同要求：（ 1）熟悉圖象的學(xué)生自己描點(diǎn)畫圖， 不熟悉的借助圖形計(jì)算器畫出圖象， 不強(qiáng)求一致，能使學(xué)生較快地觀察圖象歸納性質(zhì)，體現(xiàn)對(duì)不同學(xué)生有不同的要求;.（ 2）根據(jù)學(xué)生層

38、次差異較大，設(shè)置必選環(huán)節(jié)和自選環(huán)節(jié)，調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，滿足不同層次學(xué)生的需求思考與活動(dòng)1請(qǐng)嘗試構(gòu)建函數(shù)的概念與性質(zhì)的知識(shí)結(jié)構(gòu)框圖，可參考教科書中的分章結(jié)構(gòu)圖，明確函數(shù)的概念與性質(zhì)的結(jié)構(gòu)體系.2思考下述問題：已知實(shí)數(shù)滿足等式，下列五個(gè)關(guān)系式：；.其中不可能成立的關(guān)系式的序號(hào)為_ .參考答案：、思考：本題考查的知識(shí)點(diǎn)有哪些？解答本題的過程中用到哪些數(shù)學(xué)思想？用到哪些具體方法？對(duì)于本題給出一般性的結(jié)論 .3針對(duì)“函數(shù)的概念”這節(jié)課寫一份教學(xué)設(shè)計(jì)， 并完成教學(xué)實(shí)錄 . 學(xué)員分組進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)的交流與反思， 并對(duì)教學(xué)實(shí)錄中的各重要教學(xué)環(huán)節(jié)展開評(píng)述， 重點(diǎn)放在對(duì)教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成以及教學(xué)方法的選擇上 . 最后分

39、別完成本節(jié)課的教學(xué)反思 .參考資料【相關(guān)資源】1. 從單調(diào)性概念教學(xué)片段看數(shù)學(xué)語(yǔ)言轉(zhuǎn)換的教學(xué)(PDF)2. 函數(shù)概念的發(fā)展與比較3. 數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的一般理論;.【參考文獻(xiàn)】1參考書目：新專題教程：集合與函數(shù)（高中數(shù)學(xué)1）陳德燕，華東師范大學(xué)出版社，2009 4 12網(wǎng)上文章：為什么“函數(shù)思想”是高中數(shù)學(xué)課程的主線之一？作者：王尚志，張怡慈文章來源：整體把握與實(shí)踐高中數(shù)學(xué)新課程3網(wǎng)上文章： 函數(shù)與方程的思想在解題中的應(yīng)用中學(xué)數(shù)學(xué)研究2008 年第 2 期文章作者：羅建宇函數(shù)概念的發(fā)展與比較摘要： 函數(shù)概念是中學(xué)數(shù)學(xué)重要概念之一，從常量數(shù)學(xué)到變量數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)變，是從函數(shù)概念的系統(tǒng)學(xué)習(xí)開始的。本文從自1

40、7 世紀(jì)下半葉到現(xiàn)在300 年來函數(shù)概念的縱向歷史研究，以及中西方幾種不同課程觀下函數(shù)概念的橫向比較入手， 對(duì)函數(shù)概念的教學(xué)方面提出一些觀點(diǎn)與看法。關(guān)鍵詞： 函數(shù)函數(shù)概念數(shù)學(xué)教學(xué)函數(shù)概念是全部數(shù)學(xué)概念中最重要的概念之一，縱觀300 年來函數(shù)概念的發(fā)展，眾多數(shù)學(xué)家從集合、 代數(shù)、直至對(duì)應(yīng)、集合的角度不斷賦予函數(shù)概念以新的思想，從而推動(dòng)了整個(gè)數(shù)學(xué)的發(fā)展。 但正是由于函數(shù)概念的抽象性與層次性，學(xué)生往往不習(xí)慣用集合、對(duì)應(yīng)的觀點(diǎn)去解釋函數(shù)關(guān)系，缺乏用函數(shù)思想分析問題和解決問題的能力。本文擬通過對(duì)函數(shù)概念的發(fā)展與比較的研究，對(duì)函數(shù)概念的教學(xué)進(jìn)行一些探索。1、函數(shù)概念的縱向發(fā)展1 1 早期函數(shù)概念幾何觀念下

41、的函數(shù)十七世紀(jì)伽俐略(GGalileo，意， 1564 1642) 在兩門新科學(xué)一書中，幾乎從頭到尾包含著函數(shù)或稱為變量的關(guān)系這一概念，用文字和比例的語(yǔ)言表達(dá)函數(shù)的關(guān)系。1673年前后笛卡爾 (Descartes，法， 1596 1650) 在他的解析幾何中，已經(jīng)注意到了一個(gè)變量對(duì)于另一個(gè)變量的依賴關(guān)系，但由于當(dāng)時(shí)尚未意識(shí)到需要提煉一般的函數(shù)概念，因此直到17世紀(jì)后期牛頓、 萊布尼茲建立微積分的時(shí)候，數(shù)學(xué)家還沒有明確函數(shù)的一般意義，絕大部分函數(shù)是被當(dāng)作曲線來研究的。1 2 十八世紀(jì)函數(shù)概念代數(shù)觀念下的函數(shù);.1718 年約翰 貝努利 (BernoulliJohann，瑞， 16671748) 才在萊布尼茲函數(shù)概念的基礎(chǔ)上， 對(duì)函數(shù)概念進(jìn)行了明確定義：由任一變量和常數(shù)的任一形式所構(gòu)成的量，貝努利把變量 x 和常量按任何方式構(gòu)成的量叫“ x 的函數(shù)”，表