豐城中學(xué)徐艷紅1998-2012年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題及答案(共131頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上1998年全國初中數(shù)學(xué)競賽試卷豐城中學(xué)徐艷紅傳一、選擇題：（每小題6分，共30分）1、已知a、b、c都是實(shí)數(shù)，并且，那么下列式子中正確的是（）（）（）（）（）2、如果方程的兩根之差是1，那么p的值為（ ）（）2（）4（）（）3、在ABC中，已知BD和CE分別是兩邊上的中線，并且BDCE，BD=4，CE=6，那么ABC的面積等于（ ）（）12（）14（）16（）184、已知，并且，那么直線一定通過第（ ）象限（）一、二（）二、三（）三、四（）一、四5、如果不等式組的整數(shù)解僅為1，2，3，那么適合這個不等式組的整數(shù)a、b的有序數(shù)對（a、b）共有（ ）（）17個（）64個（

2、）72個（）81個二、填空題：（每小題6分，共30分）6、在矩形ABCD中，已知兩鄰邊AD=12，AB=5，P是AD邊上任意一點(diǎn)，PEBD，PFAC，E、F分別是垂足，那么PE+PF=_。7、已知直線與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，那么OAB的面積等于_。8、已知圓環(huán)內(nèi)直徑為acm，外直徑為bcm，將50個這樣的圓環(huán)一個接一個環(huán)套地連成一條鎖鏈，那么這條鎖鏈拉直后的長度為_cm。9、已知方程（其中a是非負(fù)整數(shù)），至少有一個整數(shù)根，那么a=_。10、B船在A船的西偏北450處，兩船相距km，若A船向西航行，B船同時向南航行，且B船的速度為A船速度的2倍，那么A、B兩船的最近距離是_km。

3、三、解答題：（每小題20分，共60分）11、如圖，在等腰三角形ABC中，AB=1，A=900，點(diǎn)E為腰AC中點(diǎn)，點(diǎn)F在底邊BC上，且FEBE，求CEF的面積。12、設(shè)拋物線的圖象與x軸只有一個交點(diǎn)，（1）求a的值；（2）求的值。13、A市、B市和C市有某種機(jī)器10臺、10臺、8臺，現(xiàn)在決定把這些機(jī)器支援給D市18臺，E市10臺。已知：從A市調(diào)運(yùn)一臺機(jī)器到D市、E市的運(yùn)費(fèi)為200元和800元；從B市調(diào)運(yùn)一臺機(jī)器到D市、E市的運(yùn)費(fèi)為300元和700元；從C市調(diào)運(yùn)一臺機(jī)器到D市、E市的運(yùn)費(fèi)為400元和500元。（1）設(shè)從A市、B市各調(diào)x臺到D市，當(dāng)28臺機(jī)器調(diào)運(yùn)完畢后，求總運(yùn)費(fèi)W（元）關(guān)于x（臺）的

4、函數(shù)關(guān)系式，并求W的最大值和最小值。（2）設(shè)從A市調(diào)x臺到D市，B市調(diào)y臺到D市，當(dāng)28臺機(jī)器調(diào)運(yùn)完畢后，用x、y表示總運(yùn)費(fèi)W（元），并求W的最大值和最小值。解 答1根據(jù)不等式性質(zhì)，選B2由=p2-40及p2，設(shè)x1，x2為方程兩根，那么有x1+x2=-p，x1x2=1又由(x1-x2)2=(x1x2)2-4x1x2，3如圖3271，連ED，則又因?yàn)镈E是ABC兩邊中點(diǎn)連線，所以故選C4由條件得三式相加得2(a+b+c)=p(a+b+c)，所以有p=2或a+bc0當(dāng)p=2時，y=2x2，則直線通過第一、二、三象限y=-x-1，則直線通過第二、三、四象限 綜合上述兩種情況，直線一定通過第二、三象

5、限故選B，的可以區(qū)間，如圖3272 +1，3×82，3×83，3×88，共8個，9×8=72(個)故選C6如圖3273，過A作AGBD于G因?yàn)榈妊切蔚走吷系娜我庖稽c(diǎn)到兩腰距離的和等于腰上的高，所以PEPF=AG因?yàn)锳D=12，AB=5，所以BD=13，所 7如圖3-274，直線y=-2x+3與拋物線y=x2的交點(diǎn)坐標(biāo)為A(1，1)，B(-3，9)作AA1，BB1分別垂直于x軸，垂足為A1，B1，所以8如圖3275，當(dāng)圓環(huán)為3個時，鏈長為當(dāng)圓環(huán)為50個時，鏈長為9因?yàn)閍0，解得故a可取1，3或510如圖3276，設(shè)經(jīng)過t小時后，A船、B船分別航行到A1

6、，A1C=|10-x|，B1C=|10-2x|，所以11解法1如圖3277，過C作CDCE與EF的延長線交于D因?yàn)锳BEAEB=90°，CEDAEB=90°，所以 ABE=CED于是RtABERtCED，所以又ECF=DCF=45°，所以CF是DCE的平分線，點(diǎn)F到CE和CD的距離相等，所以所以 解法2 如圖3278，作FHCE于H，設(shè)FH=h因?yàn)锳BEAEB90°，F(xiàn)EH+AEB=90°，所以 ABE=FEH，于是RtEHFRtBAE因?yàn)樗?2(1)因?yàn)閽佄锞€與x軸只有一個交點(diǎn)，所以一元二次方程有兩個相等的實(shí)根，于是 (2)由(1)知，a2

7、=a1，反復(fù)利用此式可得a4=(a1)2=a22a+1=3a+2，a8=(3a2)2=9a212a4=21a13，a16=(21a+13)2=441a2546a169987a610，a18(987a610)(a1)987a21597a610=2584a1597又因?yàn)閍2-a-1=0，所以64a2-64a-65=-1，即(8a+5)(8a-13)=-1所以a18323a6=2584a1597323(-8a13)=579613(1)由題設(shè)知，A市、B市、C市發(fā)往D市的機(jī)器臺數(shù)分別為x，x，18-2x，發(fā)往E市的機(jī)器臺數(shù)分別為10-x，10-x，2x-10于是W=200x300x+400(18-2x

8、)800(10-x)+700(10-x)+500(2x-10) =-800x17200W=-800x17200(5x9，x是整數(shù)) 由上式可知，W是隨著x的增加而減少的，所以當(dāng)x=9時，W取到最小值10000元；當(dāng)x=5時，W取到最大值13200元(2)由題設(shè)知，A市、B市、C市發(fā)往D市的機(jī)器臺數(shù)分別為x，y，18-x-y，發(fā)往E市的機(jī)器臺數(shù)分別為10-x，10-y，xy-10于是W=200x+800(10-x)+300y700(10-y)+400(18-x-y)+500(x+y-10) =-500x-300y+17200W=-500x-300y+17200，且W=-200x-300(x+y)

9、+17200 -200×10-300×1817200=9800當(dāng)x=10，y=8時，W=9800，所以W的最小值為9800又W=-200x-300(xy)17200 -200×0-300×10+17200=14200，當(dāng)x=0，y=10時，W=14200，所以W的最大值為142001999年全國初中數(shù)學(xué)競賽試卷 一、選擇題（本題共6小題，每小題5分，滿分30分每小題均給出了代號為A，B， C，D的四個結(jié)論，其中只有一個是正確的請將正確答案的代號填在題后的括號里） 1一個凸n邊形的內(nèi)角和小于1999°，那么n的最大值是（ ） A11 B12 C1

10、3 D14 2某城市按以下規(guī)定收取每月煤氣費(fèi)：用煤氣如果不超過60立方米，按每立方米0.8元收費(fèi)；如果超過60立方米，超過部分按每立方米1.2元收費(fèi)已知某用戶4月份的煤氣費(fèi)平均每立方米0.88元，那么4月份該用戶應(yīng)交煤氣費(fèi)（ ） A60元 B66元 C75元 D78元 3已知，那么代數(shù)式的值為（ ） A B C D 4在三角形ABC中，D是邊BC上的一點(diǎn)，已知AC=5，AD=6，BD=10，CD=5，那么三角形ABC的面積是（ ） A30 B36 C72 D125 5如果拋物線與x軸的交點(diǎn)為A，B，項(xiàng)點(diǎn)為C，那么三角形ABC的面積的最小值是（ ） A1 B2 C3 D4 6在正五邊形ABCDE

11、所在的平面內(nèi)能找到點(diǎn)P，使得PCD與BCD的面積相等，并且ABP為等腰三角形，這樣的不同的點(diǎn)P的個數(shù)為（ ） A2 B3 C4 D5 二、填空題（本題共6小題，每小題5分，滿分30分） 7已知，那么x2 + y2的值為 8如圖1，正方形ABCD的邊長為10cm，點(diǎn)E在邊CB的延長線上，且EB=10cm，點(diǎn)P在邊DC上運(yùn)動，EP與AB的交點(diǎn)為F設(shè)DP=xcm，EFB與四邊形AFPD的面積和為ycm2，那么，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是 （0x10） 9已知ab0，a2 + ab2b2 = 0，那么的值為 10如圖2，已知邊長為1的正方形OABC在直角坐標(biāo)系中，A，B兩點(diǎn)在第象限內(nèi)，OA與x軸的夾角為

12、30°，那么點(diǎn)B的坐標(biāo)是 11設(shè)有一個邊長為1的正三角形，記作A1（如圖3），將A1的每條邊三等分，在中間的線段上向形外作正三角形，去掉中間的線段后所得到的圖形記作A2（如圖4）；將A2的每條邊三等分，并重復(fù)上述過程，所得到的圖形記作A3（如圖5）；再將A3的每條邊三等分，并重復(fù)上述過程，所得到的圖形記作A4，那么A4的周長是 12江堤邊一洼地發(fā)生了管涌，江水不斷地涌出，假定每分鐘涌出的水量相等如果用兩 臺抽水機(jī)抽水，40分鐘可抽完；如果用4臺抽水機(jī)抽水，16分鐘可抽完如果要在10分鐘內(nèi)抽完水，那么至少需要抽水機(jī) 臺 三、解答題（本題共3小題，每小題20分，滿分60分） 13設(shè)實(shí)數(shù)s

13、，t分別滿足19s2 + 99s + 1 = 0，t2 + 99t + 19 = 0，并且st1，求的值 14如圖6，已知四邊形ABCD內(nèi)接于直徑為3的圓O，對角線AC是直徑，對角線AC和BD的交點(diǎn)是P，AB=BD，且PC=0.6，求四邊形ABCD的周長 15有人編了一個程序：從1開始，交錯地做加法或乘法（第一次可以是加法，也可以是乘法）每次加法，將上次的運(yùn)算結(jié)果加2或加3；每次乘法，將上次的運(yùn)算結(jié)果乘2或乘3例如，30可以這樣得到： （1）（10分）證明：可以得到22； （2）（10分）證明：可以得到2100 + 2972 1999年全國初中數(shù)學(xué)競賽答案 一、1C 2B 3D 4B 5A 6

14、D 二、710 8y = 5x + 50 9 10 11126 三、13解：s0，第一個等式可以變形為： 又st1， ，t是一元二次方程x2 + 99x + 19 = 0的兩個不同的實(shí)根，于是，有 即st + 1 =99s，t = 19s 14解：設(shè)圓心為O，連接BO并延長交AD于H AB=BD，O是圓心， BHAD 又ADC=90°， BHCD 從而OPBCPD ， CD=1 于是AD= 又OH=CD=，于是 AB=， BC= 所以，四邊形ABCD的周長為 15證明： （1） 也可以倒過來考慮： （或者） （2） 或倒過來考慮： 注意：加法與乘法必須是交錯的，否則不能得分 2000

15、年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題解答一、選擇題（只有一個結(jié)論正確）1、設(shè)a，b，c的平均數(shù)為M，a，b的平均數(shù)為N，N，c的平均數(shù)為P，若abc，則M與P的大小關(guān)系是（ ）。（A）MP；（B）MP；（C）MP；（D）不確定。答：（B）。M，N，P，MP，abc，即MP0，即MP。2、某人騎車沿直線旅行，先前進(jìn)了a千米，休息了一段時間，又原路返回b千米（ba），再前進(jìn)c千米，則此人離起點(diǎn)的距離S與時間t的關(guān)系示意圖是（ ）。答：（C）。因?yàn)閳D（A）中沒有反映休息所消耗的時間；圖（B）雖表明折返后S的變化，但沒有表示消耗的時間；圖（D）中沒有反映沿原始返回的一段路程，唯圖（C）正確地表述了題意。3、甲是乙現(xiàn)

16、在的年齡時，乙10歲；乙是甲現(xiàn)在的年齡時，甲25歲，那么（ ）。（A）甲比乙大5歲；（B）甲比乙大10歲；（C）乙比甲大10歲；（D）乙比甲大5歲。答：（A）。由題意知3×（甲乙）2510，甲乙5。4、一個一次函數(shù)圖象與直線y=平行，與x軸、y軸的交點(diǎn)分別為A、B，并且過點(diǎn)（1，25），則在線段AB上（包括端點(diǎn)A、B），橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)有（ ）。（A）4個；（B）5個；（C）6個；（D）7個。答：（B）。在直線AB上，橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)的坐標(biāo)是x14N，y255N，（N是整數(shù)）在線段AB上這樣的點(diǎn)應(yīng)滿足14N0，且255N0，N5，即N1，2，3，4，5。5、設(shè)a，b，c分

17、別是ABC的三邊的長，且，則它的內(nèi)角A、B的關(guān)系是（ ）。（A）B2A；（B）B2A；（C）B2A；（D）不確定。答：（B）。由得，延長CB至D，使BDAB，于是CDa+c，在ABC與DAC中，C為公共角，且BC:ACAC:DC，ABCDAC，BACD，BADD，ABCDBAD2D2BAC。6、已知ABC的三邊長分別為a，b，c，面積為S，A1B1C1的三邊長分別為a1，b1,C1面積為S1，且aa1，bb1，cc1則S與S1的大小關(guān)系一定是（ ）。（A）SS1；（B）SS1；（C）SS1；（D）不確定。答：（D）。分別構(gòu)造ABC與A1B1C1如下：作ABCA1B1C1，顯然，即SS1；設(shè)，則

18、，S10，則S1×10010，即SS1；設(shè)，則，S10，則，S110，即SS1；因此，S與S1的大小關(guān)系不確定。二、填空題7、已知：，那么_。答：1。，即。8、如圖，在梯形ABCD中，ABDC，AB8，BC6，BCD45°，BAD120°，則梯形ABCD的面積等于_。答：666（平方單位）。作AE、BF垂直于DC，垂足分別為E、F，由BC6，BCD45°，得AEBFFC6。由BAD120°，得DAE30°，因?yàn)锳E6得DE2，ABEF8，DC286142，。9、已知關(guān)于的方程的根都是整數(shù)，那么符合條件的整數(shù)有_個。答：5。當(dāng)時，；當(dāng)時

19、，易知是方程的一個整數(shù)根，再由且是整數(shù)，知，；由、得符合條件的整數(shù)有5個。10、如圖，工地上豎立著兩根電線桿AB、CD，它們相距15米，分別自兩桿上高出地面4米、6米的A、C處，向兩側(cè)地面上的E、D；B、F點(diǎn)處，用鋼絲繩拉緊，以固定電線桿。那么鋼絲繩AD與BC的交點(diǎn)P離地面的高度為_米。答：2.4米。作PQBD于Q，設(shè)BQ米，QD米，PQ米，由ABPQCD，得及，兩式相加得，由此得米。即點(diǎn)P離地面的高度為2.4米。（注：由上述解法知，AB、CD之間相距多遠(yuǎn)，與題目結(jié)論無關(guān)。）11、如圖，在直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（15，6），直線恰好將矩形OABC分成面積相等的兩部分，那么_

20、。答：。直線通過點(diǎn)D（15，5），故BD1。當(dāng)時，直線通過，兩點(diǎn)，則它恰好將矩形OABC分成面積相等的兩部分。12、某商場經(jīng)銷一種商品，由于進(jìn)貨時價格比原進(jìn)價降低了6.4，使得利潤率增加了8個百分點(diǎn)，那么經(jīng)銷這種商品原來的利潤率是_。（注：×100）答：17。設(shè)原進(jìn)價為元，銷售價為元，那么按原進(jìn)價銷售的利潤率為×100，原進(jìn)價降低6.4后，在銷售時的利潤率為×100，依題意得：×1008×100，解得1.17，故這種商品原來的利潤率為×10017。三、解答題13、設(shè)是不小于的實(shí)數(shù)，使得關(guān)于的方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根。（1）若，求的值。

21、（2）求的最大值。解：因?yàn)榉匠逃袃蓚€不相等的實(shí)數(shù)根，所以，。根據(jù)題設(shè)，有。（1）因?yàn)?，即。由于，故。?）。設(shè)上是遞減的，所以當(dāng)時，取最大值10。故的最大值為10。14、如上圖：已知四邊形ABCD外接圓O的半徑為2，對角線AC與BD的交點(diǎn)為E，AEEC，ABAE，且BD2，求四邊形ABCD的面積。解：由題設(shè)得AB22AE2AE·AC，AB:ACAE:AB，又EABBAC，ABEACB，ABEACB，從而ABAD。連結(jié)AD，交BD于H，則BHHD。OH1，AHOAOH211。，E是AC的中點(diǎn)，。15、一幢33層的大樓有一部電梯停在第一層，它一次最多能容納32人，而且只能在第2層至第33

22、層中的某一層停一次。對于每個人來說，他往下走一層樓梯感到1分不滿意，往上走一層樓梯感到3分不滿意?，F(xiàn)在有32個人在第一層，并且他們分別住在第2至第33層的每一層，問：電梯停在哪一層，可以使得這32個人不滿意的總分達(dá)到最小？最小值是多少？（有些人可以不乘電梯而直接從樓梯上樓）解：易知，這32個人恰好是第2至第33層各住1人。對于每個乘電梯上、下樓的人，他所住的層數(shù)一定大于直接走樓梯上樓的人所住的層數(shù)。事實(shí)上，設(shè)住第s層的人乘電梯，而住第t層的人直接走樓梯上樓，。交換兩人上樓方式，其余的人不變，則不滿意總分不增，現(xiàn)分別考慮如下：設(shè)電梯停在第層。當(dāng)時，若住第s層的人乘電梯，而住第t層的人直接走樓梯上

23、樓，則這兩者不滿意總分為；交換兩人上樓方式，則這兩者不滿意總分也為。當(dāng)時，若住第s層的人乘電梯，而住第t層的人直接走樓梯上樓，則這兩者不滿意總分為；交換兩人上樓方式，則這兩者不滿意總分也為。當(dāng)時，若住第s層的人乘電梯，而住第t層的人直接走樓梯上樓，則這兩者不滿意總分為；交換兩人上樓方式，則這兩者不滿意總分為，前者比后者多。當(dāng)時，若住第層的人乘電梯，而住第層的人直接走樓梯上樓，則這兩者不滿意總分為；交換兩人上樓方式，則這兩者不滿意總分為，前者比后者多。當(dāng)時，若住第層的人乘電梯，而住第層的人直接走樓梯上樓，則這兩者不滿意總分為；交換兩人上樓方式，則這兩者不滿意總分為，前者比后者多。今設(shè)電梯停在第層

24、，在第一層有人直接走樓梯上樓，那么不滿意總分為：當(dāng)x27，y6時，s316。所以，當(dāng)電梯停在第27層時，這32個人不滿意的總分達(dá)到最小，最小值為316分。2001年TI杯全國初中數(shù)學(xué)競賽試題B卷 姓名 一、 選擇題（30分）1、化簡，得（ ）（A） (B) (C) (D)2、如果是三個任意整數(shù)，那么 （ ）（A）都不是整數(shù) （B）至少有兩個整數(shù) （C）至少有一個整數(shù) （D）都是整數(shù)3、如果是質(zhì)數(shù)，且那么的值為（ ） （A） （B） （C） （D）4、如圖，若將正方形分成個全等的矩形，其中上、 1 2下各橫排兩個，中間豎排若干個，則的值為（ ） （A）6 （B）8 （C）10 （D）12 3 4

25、5、如圖，若PA=PB，APB=2ACB，AC與PB交于點(diǎn)D,且PB=4，PD=3，則ADDC等于（ ） P （A）6 （B）7 （C）12 （D）16 D C A B 6、若是正數(shù)，且滿足，則之間的大小關(guān)系是（ ） （A） （B） （C） （D）不能確定二、 填空題（30分）7、已知：。那么 8、若則的值為 9、用長為1，4，4，5的線段為邊作梯形，那么這個梯形的面積等于 10、銷售某種商品，如果單價上漲，則售出的數(shù)量就將減少。為了使該商品的銷售總金額最大，那么的值應(yīng)該確定為 11、在直角坐標(biāo)系中，軸上的動點(diǎn)M（x，0）到定點(diǎn)P（5，5）、Q（2，1）的距離分別為MP和MQ，那么當(dāng)MP+MQ

26、取最小值時，點(diǎn)M的橫坐標(biāo) 12、已知實(shí)數(shù)滿足，那么t的取值范圍是 三、 解答題（60分）13、某個學(xué)生參加軍訓(xùn)，進(jìn)行打靶訓(xùn)練，必須射擊10次。在第6、第7、第8、第9次射擊中，分別得了9.0環(huán)、8.4環(huán)、8.1環(huán)、9.3環(huán)。他的前9次射擊所得的平均環(huán)數(shù)高于前5次射擊所得的平均環(huán)數(shù)。如果他要使10次射擊的平均環(huán)數(shù)超過8.8環(huán)。那么他在第10次射擊中至少要得多少環(huán)？（每次射擊所得環(huán)數(shù)都精確到0.1環(huán)）14、如圖，已知點(diǎn)P是O外一點(diǎn)，PS、PT是O的兩條切線，過點(diǎn)P作O的割線PAB，交O于A,B兩點(diǎn)，并交ST于點(diǎn)C。求證：. P S A C O T15、已知：關(guān)于x的方程 有實(shí)根。（1） 求取值范圍

27、；（2） 若原方程的兩個實(shí)數(shù)根為，且，求的值。,2002年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題一、選擇題（每小題5分，共30分）1、設(shè)ab0，a2b24ab，則的值為A、 B、 C、2 D、32、已知a1999x2000，b1999x2001，c1999x2002，則多項(xiàng)式a2b2c2abbcca的值為A、0 B、1 C、2 D、33、如圖，點(diǎn)E、F分別是矩形ABCD的邊AB、BC的中點(diǎn)，連AF、CE交于點(diǎn)G，則等于A、 B、 C、 D、4、設(shè)a、b、c為實(shí)數(shù)，xa22b，yb22c，zc22a，則x、y、z中至少有一個值A(chǔ)、大于0 B、等于0 C、不大于0 D、小于05、設(shè)關(guān)于x的方程ax2(a2)x9a0

28、，有兩個不等的實(shí)數(shù)根x1、x2，且x11x2，那么a的取值范圍是A、a B、a C、a D、a06、A1A2A3A9是一個正九邊形，A1A2a，A1A3b，則A1A5等于A、 B、 C、 D、ab二、填空題（每小題5分，共30分）7、設(shè)x1、x2是關(guān)于x的一元二次方程x2axa2的兩個實(shí)數(shù)根，則(x12x2)(x22x1)的最大值為 。8、已知a、b為拋物線y(xc)(xcd)2與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，ab，則的值為 。9、如圖，在ABC中，ABC600，點(diǎn)P是ABC內(nèi)的一點(diǎn)，使得APBBPCCPA，且PA8，PC6，則PB 。10、如圖，大圓O的直徑ABacm，分別以O(shè)A、OA為直徑作O1、O2

29、，并在O與O1和O2的空隙間作兩個等圓O3和O4，這些圓互相內(nèi)切或外切，則四邊形O1O2O3O4的面積為 cm2。11、滿足(n2n1)n21的整數(shù)n有 _個。12、某商品的標(biāo)價比成本高p%，當(dāng)該商品降價出售時，為了不虧本，售價的折扣（即降價的百分?jǐn)?shù)）不得超過d%，則d可以用p表示為 。三、解答題（每小題20分，共60分）13、某項(xiàng)工程，如果由甲、乙兩隊(duì)承包，天完成，需付元；由乙、丙兩隊(duì)承包，天完成，需付元；由甲、丙兩隊(duì)承包，天完成，需付元。現(xiàn)在工程由一個隊(duì)單獨(dú)承包，在保證一周完成的前提下，哪個隊(duì)的承包費(fèi)用最少？14、如圖，圓內(nèi)接六邊形ABCDEF滿足ABCDEF，且對角線AD、BE、CF交于

30、一點(diǎn)Q，設(shè)AD與CE的交點(diǎn)為P。（1） 求證：（2）求證：15、如果對一切x的整數(shù)值，x的二次三項(xiàng)式ax2bxc的值都是平方數(shù)（即整數(shù)的平方）。證明：（1）2a、2b、c都是整數(shù)；（2）a、b、c都是整數(shù)，并且c是平方數(shù)；反過來，如果（2）成立，是否對一切的x的整數(shù)值，x的二次三項(xiàng)式ax2bxc的值都是平方數(shù)？2003年“TRULY®信利杯”全國初中數(shù)學(xué)競賽試題一、選擇題（共5小題，每小題6分，滿分30分. 以下每道小題均給出了英文代號的四個結(jié)論，其中有且只有一個結(jié)論是正確的. 請將正確結(jié)論的代號填入題后的括號里. 不填、多填或錯填，得零分）1若4x3y6z=0，x+2y7z=0(x

31、yz0)，則的值等于 ( ).(A) (B) (C) (D) 2在本埠投寄平信，每封信質(zhì)量不超過20g時付郵費(fèi)0.80元，超過20g而不超過40g時付郵費(fèi)1.60元，依次類推，每增加20g需增加郵費(fèi)0.80元（信的質(zhì)量在100g以內(nèi)）。如果所寄一封信的質(zhì)量為72.5g，那么應(yīng)付郵費(fèi) ( ).(A) 2.4元 (B) 2.8元 (C) 3元 (D) 3.2元3如下圖所示，A+B+C+D+E+F+G=（ ）. (A)360° (B) 450° (C) 540° (D) 720° （第3題圖）（第4題圖）4四條線段的長分別為9，5，x，1（其中x為正實(shí)數(shù)），用

32、它們拼成兩個直角三角形，且AB與CD是其中的兩條線段（如上圖），則x可取值的個數(shù)為（ ）.(A)2個 (B)3個 (C)4個 (D) 6個5某校初三兩個畢業(yè)班的學(xué)生和教師共100人一起在臺階上拍畢業(yè)照留念，攝影師要將其排列成前多后少的梯形隊(duì)陣（排數(shù)3），且要求各行的人數(shù)必須是連續(xù)的自然數(shù)，這樣才能使后一排的人均站在前一排兩人間的空擋處，那么，滿足上述要求的排法的方案有( ).(A)1種 (B)2種 (C)4種 (D) 0種 二、填空題（共5小題，每小題6分，滿分30分）6已知，那么 .7若實(shí)數(shù)x，y，z滿足，則xyz的值為 . 8觀察下列圖形： 根據(jù)圖、的規(guī)律，圖中三角形的個數(shù)為 . （第9題

33、圖）9如圖所示，已知電線桿AB直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面CD和地面BC上，如果CD與地面成45º，A=60º CD=4m，BC=m，則電線桿AB的長為_m.10已知二次函數(shù)（其中a是正整數(shù)）的圖象經(jīng) 過點(diǎn)A（1，4）與點(diǎn)B（2，1），并且與x軸有兩個不同的交點(diǎn)，則b+c的最大值為 .三、解答題（共4題，每小題15分，滿分60分）11如圖所示，已知AB是O的直徑，BC是O的切線，OC平行于弦AD，過點(diǎn)D作DEAB于點(diǎn)E，連結(jié)AC，與DE交于點(diǎn)P. 問EP與PD是否相等？證明你的結(jié)論.解：(第11題圖)12某人租用一輛汽車由A城前往B城，沿途可能經(jīng)過的城市以及通過

34、兩城市之間所需的時間（單位：小時）如圖所示. 若汽車行駛的平均速度為80千米/小時，而汽車每行駛1千米需要的平均費(fèi)用為1.2元. 試指出此人從A城出發(fā)到B城的最短路線（要有推理過程），并求出所需費(fèi)用最少為多少元？解：(第12題圖)13B如圖所示，在ABC中，ACB=90°.（1）當(dāng)點(diǎn)D在斜邊AB內(nèi)部時，求證：.（2）當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)A重合時，第（1）小題中的等式是否存在？請說明理由.（3）當(dāng)點(diǎn)D在BA的延長線上時，第（1）小題中的等式是否存在？請說明理由.(第13 B題圖)14B已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足：a+b+c=2，abc=4.（1）求a，b，c中的最大者的最小值；（2）求的最小值.注：

35、13B和14B相對于下面的13A和14A是較容易的題. 13B和14B與前面的12個題組成考試卷.后面兩頁 13A和14A兩題可留作考試后的研究題。13A如圖所示，O的直徑的長是關(guān)于x的二次方程（k是整數(shù)）的最大整數(shù)根. P是O外一點(diǎn)，過點(diǎn)P作O的切線PA和割線PBC，其中A為切點(diǎn)，點(diǎn)B，C是直線PBC與O的交點(diǎn).若PA，PB，PC的長都是正整數(shù)，且PB的長不是合數(shù)，求的值. 解：(第13A題圖)14A沿著圓周放著一些數(shù)，如果有依次相連的4個數(shù)a，b，c，d滿足不等式>0，那么就可以交換b，c的位置，這稱為一次操作.（1）若圓周上依次放著數(shù)1，2，3，4，5，6，問：是否能經(jīng)過有限次操作

36、后，對圓周上任意依次相連的4個數(shù)a，b，c，d，都有0？請說明理由.（2）若圓周上從小到大按順時針方向依次放著2003個正整數(shù)1，2，2003，問：是否能經(jīng)過有限次操作后，對圓周上任意依次相連的4個數(shù)a，b，c，d，都有0？請說明理由.解：（1）（2）2003年“TRULY®信利杯”全國初中數(shù)學(xué)競賽試題參考答案與評分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題（每小題6分，滿分30分）1D由 解得 代入即得.2D因?yàn)?0×3<72.5<20×4，所以根據(jù)題意，可知需付郵費(fèi)0.8×4=3.2（元）.3C如圖所示，B+BMN+E+G=360°，F(xiàn)NM+F+A+C=3

37、60°，而BMN +FNM =D180°，所以A+B+C+D+E+F+G=540°.(第3題圖)(第4題圖)4D顯然AB是四條線段中最長的，故AB=9或AB=x。（1）若AB=9，當(dāng)CD=x時，；當(dāng)CD=5時，；當(dāng)CD=1時，.（2）若AB=x，當(dāng)CD=9時，；當(dāng)CD=5時，；當(dāng)CD=1時，.故x可取值的個數(shù)為6個.5B設(shè)最后一排有k個人，共有n排，那么從后往前各排的人數(shù)分別為k，k+1，k+2，k+（n1），由題意可知，即. 因?yàn)閗，n都是正整數(shù)，且n3，所以n<2k+（n1），且n與2k+（n1）的奇偶性不同. 將200分解質(zhì)因數(shù)，可知n=5或n=8.

38、當(dāng)n=5時，k=18；當(dāng)n=8時，k=9. 共有兩種不同方案. 6.。71.因?yàn)椋?，解?從而，.于是.8161.根據(jù)圖中、的規(guī)律，可知圖中三角形的個數(shù)為1+4+3×4+=1+4+12+36+108=161（個）.9.如圖，延長AD交地面于E，過D作DFCE于F.(第9題圖)因?yàn)镈CF=45°，A=60°，CD=4m，所以CF=DF=m， EF=DFtan60°=（m）.因?yàn)椋裕╩）.10.4.由于二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)A（1，4），點(diǎn)B（2，1），所以解得因?yàn)槎魏瘮?shù)圖象與x軸有兩個不同的交點(diǎn)，所以，即，由于a是正整數(shù)，故，所以2. 又因?yàn)閎+c=

39、3a+24，且當(dāng)a=2，b=3，c=1時，滿足題意，故b+c的最大值為4. 三、解答題（共4題，每小題15分，滿分60分）11如圖所示，已知AB是O的直徑，BC是O的切線，OC平行于弦AD，過點(diǎn)D作DEAB于點(diǎn)E，連結(jié)AC，與DE交于點(diǎn)P. 問EP與PD是否相等？證明你的結(jié)論.解：DP=PE. 證明如下：因?yàn)锳B是O的直徑，BC是切線，所以ABBC.由RtAEPRtABC，得(第11題圖) . （6分）又ADOC，所以DAE=COB，于是RtAEDRtOBC.故 （12分）由，得ED=2EP. 所以DP=PE. （15分）12某人租用一輛汽車由A城前往B城，沿途可能經(jīng)過的城市以及通過兩城市之間

40、所需的時間（單位：小時）如圖所示. 若汽車行駛的平均速度為80千米/小時，而汽車每行駛1千米需要的平均費(fèi)用為1.2元. 試指出此人從A城出發(fā)到B城的最短路線（要有推理過程），并求出所需費(fèi)用最少為多少元？解：從A城出發(fā)到達(dá)B城的路線分成如下兩類：（1）從A城出發(fā)到達(dá)B城，經(jīng)過O城. 因?yàn)閺腁城到O城所需最短時間為26小時，從O城到B城所需最短時間為22小時. 所以，此類路線所需 最短時間為26+22=48（小時）. （5分）（2）從A城出發(fā)到達(dá)B城，不經(jīng)過O城. 這時從A城到達(dá)B城，必定經(jīng)過C，D，E城或F，G，H城，所需時間至少為49小時. （10分）綜上，從A城到達(dá)B城所需的最短時間為48

41、小時，所走的路線為：AFOEB. （12分）所需的費(fèi)用最少為：80×48×1.2=4608（元）（14分）答：此人從A城到B城最短路線是AFOEB，所需的費(fèi)用最少為4608元 （15分）(第12題圖)13B如圖所示，在ABC中，ACB=90°.（1）當(dāng)點(diǎn)D在斜邊AB內(nèi)部時，求證：.（2）當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)A重合時，第（1）小題中的等式是否存在？請說明理由.（3）當(dāng)點(diǎn)D在BA的延長線上時，第（1）小題中的等式是否存在？請說明理由.解：（1）作DEBC，垂足為E. 由勾股定理得所以.因?yàn)镈EAC，所以.故. （10分）（2）當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)A重合時，第（1）小題中的等式仍然成立。此

42、時有AD=0，CD=AC，BD=AB. 所以，.從而第（1）小題中的等式成立. （13分）（3）當(dāng)點(diǎn)D在BA的延長線上時，第（1）小題中的等式不成立.作DEBC，交BC的延長線于點(diǎn)E，則而,所以. （15分）說明第（3）小題只要回答等式不成立即可（不成立的理由表述不甚清者不扣分）.14B已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足：a+b+c=2，abc=4.（1）求a，b，c中的最大者的最小值；（2）求的最小值. 解：（1）不妨設(shè)a是a，b，c中的最大者，即ab，ac，由題設(shè)知a>0，且b+c=2-a，.于是b，c是一元二次方程的兩實(shí)根，0，0，0. 所以a4. （8分）又當(dāng)a=4，b=c=-1時，滿足題意

43、. 故a，b，c中最大者的最小值為4.（10分）（2）因?yàn)閍bc>0，所以a，b，c為全大于0或一正二負(fù).1） 若a，b，c均大于0，則由（1）知，a，b，c中的最大者不小于4，這與a+b+c=2矛盾.2）若a，b，c為或一正二負(fù)，設(shè)a>0，b<0，c<0，則，由（1）知a4，故2a-26，當(dāng)a=4，b=c=-1時，滿足題設(shè)條件且使得不等式等號成立。故的最小值為6. （15分）13A如圖所示，O的直徑的長是關(guān)于x的二次方程（k是整數(shù)）的最大整數(shù)根. P是O外一點(diǎn)，過點(diǎn)P作O的切線PA和割線PBC，其中A為切點(diǎn)，點(diǎn)B，C是直線PBC與O的交點(diǎn). 若PA，PB，PC的長都是

44、正整數(shù)，且PB的長不是合數(shù)，求 的值.解：設(shè)方程的兩個根為，.由根與系數(shù)的關(guān)系得(第13A圖)， . 由題設(shè)及知，都是整數(shù). 從，消去k，得，.由上式知，且當(dāng)k=0時，故最大的整數(shù)根為4.于是O的直徑為4，所以BC4.因?yàn)锽C=PCPB為正整數(shù)，所以BC=1，2，3或4. （6分）連結(jié)AB，AC，因?yàn)镻AB=PCA，所以PABPCA，。故 （10分）（1）當(dāng)BC=1時，由得，于是，矛盾?。?）當(dāng)BC=2時，由得，于是，矛盾！（3）當(dāng)BC=3時，由得，于是，由于PB不是合數(shù)，結(jié)合，故只可能 解得此時.（4）當(dāng)BC=4，由得，于是，矛盾.綜上所述. （15分）14A沿著圓周放著一些數(shù)，如果有依次相

45、連的4個數(shù)a，b，c，d滿足不等式>0，那么就可以交換b，c的位置，這稱為一次操作.（1）若圓周上依次放著數(shù)1，2，3，4，5，6，問：是否能經(jīng)過有限次操作后，對圓周上任意依次相連的4個數(shù)a，b，c，d，都有0？請說明理由.（2）若圓周上從小到大按順時針方向依次放著2003個正整數(shù)1，2，2003，問：是否能經(jīng)過有限次操作后，對圓周上任意依次相連的4個數(shù)a，b，c，d，都有0？請說明理由.解：（1）答案是肯定的. 具體操作如下：(14)(23)>0交換2，3(12)(34)>0交換3，4(36)(25)>0交換2，5(35)(24)>0交換2，4（5分）（2）答案

46、是肯定的. 考慮這2003個數(shù)的相鄰兩數(shù)乘積之和為P. （7分）開始時，=1×2+2×3+3×4+2002×2003+2003×1，經(jīng)過k（k0）次操作后，這2003個數(shù)的相鄰兩數(shù)乘積之和為，此時若圓周上依次相連的4個數(shù)a，b，c，d滿足不等式>0，即ab+cd>ac+bd，交換b，c的位置后，這2003個數(shù)的相鄰兩數(shù)乘積之和為，有.所以，即每一次操作，相鄰兩數(shù)乘積的和至少減少1，由于相鄰兩數(shù)乘積總大于0，故經(jīng)過有限次操作后，對任意依次相連的4個數(shù)a，b，c，d，一定有0. 2004年“TRULY®信利杯”全國初中數(shù)學(xué)競賽試題參考答案和評分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題（共5小題，每小題6分，滿分30分. 以下每道小題均給出了代號為A，B，C，D的四個選項(xiàng)，其中有且只有一個選項(xiàng)是正確的. 請將正確選項(xiàng)的代號填入題后的括號里. 不填、多填