數(shù)學分析中的反例問題

1、摘 要數(shù)學分析是一門非常重要的基礎課程,反例對理解數(shù)學分析有關定義和定理的內(nèi)涵和外延有著不可替代的作用,反例的地位在數(shù)學的學習中占有很重要的地位,對培養(yǎng)我們的逆向思維至關重要,恰當?shù)倪\用反例對我們數(shù)學能力的提高起著事半功倍的效果,我們希望定理中的條件是最簡的,在我們一步步削弱條件的時候,反例的作用就越來越明顯,一個特列不能說明一個命題是對的,但一個反例完全可以證明一個命題是錯的.反例的作用和構造也越來越受到重視.本文介紹了數(shù)列,函數(shù),導數(shù),積分,無窮積分,級數(shù)等中的一些典型問題的反例,對一些逆命題的成立與否通過反例做了簡單的論證,通過反例把一些看似相關性很大的定義和定理的區(qū)別又做了進一步的比較

2、和分析,對一些反例的構造過程和思路做了詳細介紹,回答了為什么這樣構造的問題,可以讓讀者在錯綜復雜的關系里得到清晰的邏輯和思路.關鍵詞：命題;反例;構造;數(shù)學分析;體現(xiàn) ABSTRACTMathematical analysis is a very important basic course, counterexample has an irreplaceable role in understanding mathematical analysis about definition and theorem of connotation and denotation , counter exa

3、mple role has a extremely important position in learning mathematics occupies,it is very important to educate our reverse thinking, appropriate mathematical ability for us to use counterexample improve play a extremely important position, we hope that the conditions of the theorem is one of the most

4、 simple, when we weaken conditions step by step, the counter example of the role is more and more obvious, a special example does not justify a question is right, but a counter example can prove that a theorem is wrong. counterexample and structure is becoming more and more important. According to t

5、he general mathematical analysis teaching material order, this paper introduces the sequence, function, derivative,and series of a reverse case of some typical problems, such as, for some of the establishment of the converse proposition, seemingly through counterexamples correlation definition theor

6、em of great difference and do a further comparison and analysis of the construction process of some counter example ,it also made a detailed introduction, why and how structure counterexample get a answer in this paper, reader can get a clear logic in this paper.Key words: proposition; counter examp

7、le;structure;mathematical analysis; reflect目 錄1.引言12.反例在加深理解定義及相關概念中的體現(xiàn)12.1周期函數(shù)12.2復合函數(shù)12.3極值22.4一致連續(xù)22.5導數(shù)33.反例在掌握定理的內(nèi)涵與外延中的體現(xiàn)33.1柯西收斂準則33.2 stolz公式43.3 比式判別法53.4 比較原則53.5 阿貝爾判別法63.6 萊布尼茨判別法74.反例在辨析重要結論的逆命題中的體現(xiàn)75.反例在論證辯證關系中的體現(xiàn)105.1 和的關系105.2 原函數(shù)與可積函數(shù)之間的關系105.3 收斂與=0的關系115.4 可積和絕對可積以及平方可積之間的關系126.結論

8、13參 考 文 獻14致 謝151.引言數(shù)學分析在數(shù)學專業(yè)中占有重要的基礎地位,反例在數(shù)學分析中的應用也越來越受到重視,其實反例的作用不僅僅體現(xiàn)在數(shù)學分析中,像實變函數(shù)中的康托爾三分集就是一個經(jīng)典的例子,也可充當很多命題的反例,第一個無處可微的連續(xù)函數(shù)的例子是由Weierstrass用振動曲線 構造提出的: 13,這使得人們對連續(xù)和可微之間的關系研究又提高到了另一個高度,是理性的結果,打破了長期以來的模糊的錯誤的觀點,從此以后,人們又仿效他做了適當?shù)男薷?構造出越來越多的反例,反例的作用越來越得到人們的肯定和重視,由此可見,能構造出反例來推翻一個命題和證明一個命題的正確性同等重要,構造反例關鍵

9、在于巧妙,反例不是憑空想象的,而是根據(jù)要求和已有的知識經(jīng)過很嚴密的思考得出來的,在運用和構造反例的過程中可以讓我們對知識點理解的更加透徹,使我們的思路更加清晰,對提高我們的數(shù)學思想和數(shù)學能力有著很大的幫助作用. 2. 反例在加深理解定義及相關概念中的體現(xiàn)2.1周期函數(shù)并不是非常數(shù)的周期函數(shù)都有最小正周期,下面我們尋求一個沒有最小正周期的非常數(shù)的周期函數(shù),可以證明非常數(shù)的連續(xù)周期函數(shù)必有最小正周期5,所以我們構造的函數(shù)一定是不連續(xù)的,如狄利克雷函數(shù),它的周期是全體有理數(shù),因而沒有最小正周期.2.2復合函數(shù),已知,若的過程中始終保持有,則復合函數(shù)的極限12.注意這里的容易忽略,但確實又是必不可少的

10、,例如：及,這時時,時,但復合后的極限不存在,因為.由此可知是不能去掉的,但是如果外層函數(shù)連續(xù),則,就不必假定在極限過程中了.2.3極值若連續(xù)函數(shù)在點有極大值,則在此點的某一領域內(nèi)一定滿足在此點的左側遞增右側遞減.這個命題初看很正常,感性認識是對的.但是事實并非如此,例如,在=0取得極大值2,而在=0的任意小的領域內(nèi)都時正時負,故在=0的左右兩側任意領域內(nèi)都是震蕩的.2.4一致連續(xù)定義11 設f為定義在區(qū)間I上的函數(shù).若對任給的,存在,使得對任何,I,只要,就有,則稱函數(shù)f在區(qū)間I上一致連續(xù).由一致連續(xù)的定義可以證明,在有限開區(qū)間上一致連續(xù)的兩個函數(shù)之積仍然是一致連續(xù)函數(shù).現(xiàn)在我們來看在有限開

11、區(qū)間上一致連續(xù)的兩個函數(shù)之商和在無窮區(qū)間上一致連續(xù)的兩個函數(shù)之積是否還是一致連續(xù)函數(shù).通過反例我們可以知道這時就不一定成立了,如：1與x在（0,1）上一致連續(xù),但其商在（0,1）上不一致連續(xù).x與x在(0, )上一致連續(xù),但在(0, )上不一致連續(xù).2.5導數(shù)定義21 設函數(shù)在的某鄰域內(nèi)有定義,若極限存在,則稱函數(shù)在點處可導.由定義可知函數(shù)的可導是針對一點而言的,所以存在只在一點可導,在這一點的任何領域內(nèi)都不可導的函數(shù),因為連續(xù)也是針對點而言的,我們知道存在只在單點連續(xù)的函數(shù),在這一點的任何領域內(nèi)都不連續(xù),如黎曼函數(shù),那么是否存在這樣的函數(shù),只在一點可導,在其他任一點都不連續(xù),這樣的函數(shù)是存在

12、的,如=僅在點=0處可導,在其他任意一點都不可導,且不連續(xù),其中是狄利克雷函數(shù).2. 可導函數(shù)在某點滿足,但不能斷定在的某領域內(nèi)單調(diào)遞增,如,則,在=0點,但在原點的任意領域內(nèi)都取正值和負值.3.導函數(shù)不一定連續(xù).例如,則,在點間斷,并且是第二類間斷點,其實這并不是偶然,因為導函數(shù)是沒有第一類間斷點的,并且還可以證明導函數(shù)如果有第二類間斷點一定是振蕩型的第二類間斷點.3. 反例在掌握定理的內(nèi)涵與外延中的體現(xiàn)3.1柯西收斂準則定理3.1.1 1（柯西收斂準則）數(shù)列收斂的充要條件是：對任給的,存在正整數(shù)N,使得當n,mN時有.下面列出兩個命題（1） 數(shù)列收斂的充要條件是5：對任給的,當時,對一切,

13、都有（2） 數(shù)列收斂的充要條件是：對任給的,對,當時,有對于以上兩個命題,再結合柯西收斂準則,我們很難一下子看清楚哪個是對的,看似他們的表述很接近,貌似都對,實則不然,對于命題2,雖然是任意的,但是是在選取前就給定的,可能每一個都會對應著一個不同的,這樣就會使得的選取和的取值有關,從而找不到一個公共的使的對任何一個都成立,這就是命題2和命題1最本質(zhì)的區(qū)別,經(jīng)過初步分析我們還不能斷定命題2是錯誤的,如果能舉一個反例推翻就可以了,而這種反例是存在的,比如令,則,對任意給定的,當充分大時成立,所以是滿足命題2的要求的,但是我們知道是發(fā)散的,所以命題2是不對的.通過這個反例可以看出反例在加深理解定理中

14、的作用是不言而喻的.3.2 stolz公式定理3.1.25 型Stolz公式若嚴格遞增且= ,則（是有限數(shù),或）型Stolz公式若嚴格遞減且,則（是有限數(shù),或）注意上面的可以是有限數(shù),也可以是或,但是,一般推不出,例如令=,=n,這時雖然,但是=,即.要特別注意的是Stolz公式的逆命題是不成立的,現(xiàn)以型Stolz公式為例,即使嚴格遞增且= ,但是推不出,如我們用Stolz公式很容易知道如果,則,但是由此等式反過來我們是推不出的,例如：令=,顯然,但是.針對上例我們還可以得到推不出是因為的極限不存在,如果存在的話,一定成立,所以加上單調(diào)這個條件就可以確定成立,因為如果單調(diào)就可以保證的極限是存在

15、的,要么是有限數(shù),要么是或,而這三種情況恰好在Stolz公式的使用范圍內(nèi),這也是我們構造的反例一定不能是單調(diào)數(shù)列的原因.3.3 比式判別法設為正項級數(shù),且,但不一定收斂,例如：上例對理解比式判別法有重要作用,我們知道,如果為正項級數(shù),且存在某正整數(shù)及常數(shù)q（0<q<1）, 若對一切n>,成立不等式,則級數(shù)收斂.這說明了0<q<1的重要性以及對理解<1和兩者這間的區(qū)別都有很大幫助.3.4 比較原則收斂,且(),這時不一定收斂,由于如果,是兩個正項級數(shù),若(),這時和一定是同斂態(tài)的,所以和不能同時為正項級數(shù),令=,=+,這時即使,但=+還是發(fā)散的,這就說明比較法

16、一定不要忘記使用的范圍是正項級數(shù)之間的比較.3.5 阿貝爾判別法若為單調(diào)有界數(shù)列,且級數(shù)收斂,則級數(shù)收斂.如果把單調(diào)這個條件去掉,命題是否還成立呢,例如,收斂,=1,那么一定收斂嗎,要構造反例說明這個命題的錯誤的性,要清楚的知道所構造的反例中不能單調(diào),且不能為正項級數(shù),因為如果是正項級數(shù),則當n足夠大時,也是正項級數(shù),又因=1,由比較法可得和同斂態(tài),綜上分析可令=,=+,顯然收斂且=1,但是是發(fā)散的,說明單調(diào)這個條件是必不可少的.3.6 萊布尼茨判別法萊布尼茨判別法要滿足的三個條件下面通過反例來說明這三個條件缺一不可,缺條件1時,滿足條件2和3,但是發(fā)散缺條件2時,=,滿足條件1和3,但是=發(fā)

17、散,即發(fā)散.缺條件3時,滿足條件1和2,但是是發(fā)散的.所以在運用萊布尼茨判別法時,一定要驗證這三個條件,特別是第二個容易遺漏.4. 反例在辨析重要結論的逆命題中的體現(xiàn)1. .有界變差數(shù)列都是收斂數(shù)列6.逆命題不真.（為常數(shù)）,則稱數(shù)列為有界變差數(shù)列1.可以證明有界變差數(shù)列都是收斂數(shù)列,但是收斂數(shù)列卻不一定是有界變差數(shù)列,例如：,顯然=0,但是2.若,則.逆命題不對.例如：=,但是,故不存在.這就是在級數(shù)收斂判別法中能用比式判別的一定可以用根式判別法來判定,而在有些題目中能用根式判別法卻不能用比式判別法的原因,這也說明根式判別法比比式判別法應用的范圍更大一些.3. 眾所周知,若的導函數(shù)在I上有界

18、,則一定一致連續(xù)8.我們的問題是逆命題是否成立呢？答案是否定的,因為在（0,1）上一致連續(xù),但在（0,1）上是無界的.這里還有個重要的結論,若在上連續(xù)且處處可導,且（有限或無限）,則當且僅當A為有限時,在一致連續(xù).證 因為A有限,=|M,由Lipschitz條件可得一致連續(xù). 反證法：假如A=,令=1,=b>0, =b+,對,b充分大時,有=|=1,故非一致連續(xù).4. 若在內(nèi)可導,并且,則.9這由推廣的洛必達法則很容易得到,但是此命題的逆命題不真.如 ,=0,但是不存在.5. 若可積,則在一定有界5.反之不真.例如狄利克雷函數(shù),在內(nèi)有界,但是是不可積的.6. 若可積,則|和都可積11,但

19、逆命題不真.例如,|,在內(nèi)都可積,但是在內(nèi)是不可積的.7. 我們知道如果收斂,>0且單調(diào)遞減,則,3即遞減的正項級數(shù)如果收斂,其通項一定是比高階的無窮小量.我們考察此命題的逆命題正確與否,即如果,>0且單調(diào)遞減,是否一定有收斂.下面給出反例的構造過程,是比高階的無窮小量,如果只是單純的構造比高階的無窮小量=（i>1）,則一定收斂,所以不妥,我們要找一個比任何（i>0）增長速度要慢的函數(shù),這樣才有可能構造出恰當?shù)姆蠢?自然會想到lnn,即令=,則滿足,>0且單調(diào)遞減,但是=卻是發(fā)散的.（=,令t=）注意,還可以用反例說明此命題中單調(diào)遞減是必不可少的,即存在>0

20、且收斂,但是,即不是高階的無窮小量.例如：,=所以收斂,但是顯然.5. 反例在論證辯證關系中的體現(xiàn)5.1和的關系由推廣的洛必達法則我們還可以知道,設在內(nèi)可導,若 ,都存在,則=0.現(xiàn)在我們來進一步探討在在內(nèi)可導的前提下 和之間的關系.下面的兩個反例告訴我們他們是無關條件,即在內(nèi)有界可導,且有存在,但不一定存在,例如,則,顯然但是不存在.反之如果在內(nèi)有界可導,且存在,但不一定存在,例如：,它在上有界且可微,且,所以=0,但是不存在.5.2原函數(shù)與可積函數(shù)之間的關系1可積但不一定存在原函數(shù).例如黎曼函數(shù),但是是沒有原函數(shù)的,因為導函數(shù)沒有第一類間斷點且具有介值性,而黎曼函數(shù)在無理點連續(xù),在有理點間

21、斷,并且是第一類間斷點,況且沒有介值性,因為取不到無理數(shù),所以是沒有原函數(shù)的.從這個例子中也可以看出有無數(shù)個間斷點的函數(shù)也可能可積,進一步我們會知道黎曼可積的一個充要條件是幾乎處處連續(xù),因為有理點可列,顯然黎曼函數(shù)符合要求.2.有原函數(shù)但不一定可積.例如,在區(qū)間上有原函數(shù),但是在上不可積,（因為在上無界）.5.3 收斂與=0的關系1.無窮積分收斂,未必就有=0. 例如收斂,但是上例中我們看到在的過程中的取值有正有負,現(xiàn)在我們來加強約束條件.2. 收斂,且是連續(xù)函數(shù),未必就有=0. 例如此時,=1,所以收斂,是連續(xù)函數(shù),但是0.我們可以看到上面構造的函數(shù)既不是單調(diào)函數(shù)也不是一致連續(xù)函數(shù)且都不存在

22、,這并不是偶然,因為如果滿足單調(diào),一致連續(xù),極限存在中的任何一條,那么一定有=0.再加強約束將上述條件改為>0,依然不能肯定=0.這時我們只要考慮函數(shù)=max,其中按上式中同樣的方式定義.5.4可積和絕對可積以及平方可積之間的關系1. 絕對可積必可積9,反之不然. 例如=在上可積,但|=|在上不可積.2.可積未必平方可積. 例如收斂,但不收斂.這個結論的直觀體現(xiàn)也很明顯,因為條件可積很可能是因為正負項相消造成的,而一旦平方后就不存在正負項相消的現(xiàn)象,并且函數(shù)值增長的速度還會加快,最終導致不在收斂.3對瑕積分,平方可積必可積14;對無窮積分,平方可積未必可積. 例如=,顯然在上可積,但在上

23、不可積.要知道瑕積分和無窮積分的最大區(qū)別是,對瑕積分而言,當自變量趨于瑕點時,函數(shù)值一定是趨于無窮的,而平方會加快趨于無窮的速度,既然快速的都收斂了,慢速度的一定會收斂,這是對瑕積分平方可積必可積的一種直觀解釋.對于無窮積分而言,當=0時,平方會加快趨于零的速度,導致本來不收斂但是平方后就會收斂的現(xiàn)象,這是對無窮積分平方可積未必可積的一種直觀解釋.4對瑕積分,平方可積必絕對可積10,反之不然;對無窮積分,絕對可積與平方可積沒有必然聯(lián)系.例如：=,顯然和|在上可積,但=在上不可積.平方可積未必絕對可積的例子在3中已給出.現(xiàn)舉例說明對于無窮積分來說,絕對可積未必平方可積,很多書中為此列的例子是=,

24、|在上可積,但在上不可積,我們會發(fā)現(xiàn),在上不可積是因為瑕積分引起的,而不是無窮積分的原因,因為=+,發(fā)散,收斂,下面我們尋找一個只是無窮積分的例子,如：則=1,但是=,所以發(fā)散.在這里要注意和級數(shù)的區(qū)別,我們知道對于級數(shù)來說,絕對收斂平方必定收斂,因為就級數(shù)而言,如果收斂,通項一定趨于零,平方后最后趨于零的速度一定更快,所以必頂收斂,但是無窮積分不一樣,對積分而言,只要最后面積趨于零的速度夠快就可以,和函數(shù)值沒有必然的聯(lián)系,所以就會導致平方后面積趨于零的速度變慢,最終發(fā)散.從這也可以看出級數(shù)和無窮積分雖然存在很大聯(lián)系,但是區(qū)別也是很大的.6.結論通過本文一些經(jīng)典反例在數(shù)學分析中的應用,我們清楚的看到了反例構造的巧妙性和邏輯性,通過列舉的這些反例,使我們對數(shù)學分析中容易混淆的概念更加清晰,反例在說明逆命題的成立與否的作用是不言而喻的,本文列舉的逆命題不真的反例使我們在另一個方面對定理或命題有了更全面的認識.