關(guān)于小學(xué)數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)味——王尚志教授訪談錄

1、關(guān)于小學(xué)數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)味王尚志教授訪談錄 王尚志：首都師范大學(xué)數(shù)學(xué)系教授、博士生導(dǎo)師。普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)負(fù)責(zé)人之一。 施銀燕：北京第二實(shí)驗(yàn)小學(xué)教師，首都師范大學(xué)數(shù)學(xué)系博士生。 數(shù)學(xué)是多彩的，“數(shù)學(xué)味”的內(nèi)涵也是豐富的 施銀燕（以下簡稱施）：王教授，您好！新課程改革之初，一些熱鬧而又走樣的數(shù)學(xué)課引起了老師們的反思，張奠宙教授曾告誡當(dāng)心“去數(shù)學(xué)化”，這一觀點(diǎn)得到了廣大教師的支持和贊同?！皵?shù)學(xué)課要有數(shù)學(xué)味”成了老師們的共識。隨著實(shí)踐和思考的深入，大家對“數(shù)學(xué)味”的認(rèn)識也發(fā)生了根本的變化：從起初關(guān)注教學(xué)內(nèi)容是數(shù)學(xué)的還是非數(shù)學(xué)的：“不要種了別人的田而荒了自己的地”到如今的關(guān)注數(shù)學(xué)的本質(zhì)：“把握數(shù)學(xué)教學(xué)的根

2、”?？删烤故裁词菙?shù)學(xué)的本質(zhì)呢？ 王尚志（以下簡稱王）：我并不愿意給數(shù)學(xué)的本質(zhì)下定義?？赡苡腥苏J(rèn)為這是可以給定義的，我覺得最好還是不要這么“摳”，說數(shù)學(xué)就是什么，還是從具體的例子來討論問題可能更好。 施：對于這個問題，有些數(shù)學(xué)教育家從不同側(cè)面給出了回答。 史寧中教授曾說“數(shù)學(xué)的本質(zhì)就是分類”，梁貫成先生在一次報告中曾提到數(shù)學(xué)和科學(xué)完全不同。對于專家的觀點(diǎn)，我們應(yīng)該怎么理解？ 王：“數(shù)學(xué)的本質(zhì)是分類”我猜測這句話不是史教授的本意，有可能是很隨口的一句話，在當(dāng)時語境下的有感而發(fā)。脫離了具體的語境談“數(shù)學(xué)的本質(zhì)就是分類”未免有斷章取義之嫌。分類的確是非常重要的研究方法，但不是數(shù)學(xué)的專利。 梁先生說“數(shù)

3、學(xué)不是科學(xué)”可能想強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的嚴(yán)格性。但是因此而斷定操作實(shí)驗(yàn)就不是數(shù)學(xué)的方法，我認(rèn)為并不妥當(dāng)。數(shù)學(xué)尤其是小學(xué)數(shù)學(xué)，可能就是依賴觀察、操作加上一些點(diǎn)到為止的說理得出結(jié)論的。說“數(shù)學(xué)是科學(xué)”或“數(shù)學(xué)不是科學(xué)”，說到底還要看你對數(shù)學(xué)和科學(xué)的定義如何，我想最好還是不要在文字上去做這個游戲。 施：聽了您的話，很受啟發(fā)。原來一直很困惑于羅素關(guān)于數(shù)學(xué)的定義“數(shù)學(xué)是這樣一門學(xué)科，在其中我們永遠(yuǎn)不會知道我們所講的是什么，也不會知道我們所說的是不是真的?！爆F(xiàn)已釋然。大概也是特定情況下表達(dá)的某種特定的情感吧。可以這樣說，數(shù)學(xué)的內(nèi)涵是多彩的，因此，對“數(shù)學(xué)味”的界定也是豐富的，不必在定義上過多糾纏。 數(shù)學(xué)味，重要的是學(xué)

4、生對數(shù)學(xué)的理解 施：說到數(shù)學(xué)，就會提到數(shù)學(xué)語言的嚴(yán)謹(jǐn)性。我在剛參加工作時就知道這是一個不能碰的雷區(qū)：數(shù)學(xué)老師一旦用錯概念說錯話，便是“科學(xué)性錯誤”，因這一點(diǎn)就會“一票否決”。細(xì)細(xì)想來，覺得不少爭論不休的問題似乎沒多大意義。您能就下面例子分析一下嗎？ 例1“描出圖形的周長”是錯的。因?yàn)橹荛L是封閉圖形一周的長度，長度怎能描出來呢？所以某教材在周長一課中呈現(xiàn)的都是描一描（指一指）它的“邊線”。與之類似的有：三角形的高有3條，而平行四邊形的高則有無數(shù)條。因?yàn)槿切胃叩亩x為“一個頂點(diǎn)向它的對邊或者對邊延長線引垂線，頂點(diǎn)到垂足間的線段”；而平行四邊形高的定義為“對邊之間的距離”。前者是線段，位置確定；后

5、者是距離，位置不定所以有無數(shù)條。 例2“萬級的數(shù)位有萬、十萬、百萬、千萬”是錯的。因?yàn)椤叭f、十萬、百萬、千萬”是計數(shù)單位，“萬位、十萬位、”才是數(shù)位的名稱，二者不能混淆。（某地教研室編制的測試卷） 例3“等式兩邊同乘一個實(shí)數(shù)仍然相等”是錯的。因?yàn)榈仁叫再|(zhì)是“等式兩邊乘同一個實(shí)數(shù)仍然相等”，“乘同”和“同乘”含義是不一樣的。（中學(xué)數(shù)學(xué)教與學(xué).人大復(fù)印 2009/1 P3） 王：我的想法還是不要過多地在抽象的問題上讓學(xué)生去做這些區(qū)別，應(yīng)關(guān)注對具體問題的理解。線段和長度，某種意義上說本就是一回事。數(shù)位和計數(shù)單位之間有著密切的聯(lián)系，在遇到具體的問題學(xué)生也不會混淆。而在字面上進(jìn)行機(jī)械的區(qū)分為難學(xué)生沒有多

6、大意義。比如給一個多位數(shù)，十萬位上是3，這個3表示3個什么？學(xué)生能理解這樣的問題就可以了?！俺送薄ⅰ巴恕辈⒉皇菙?shù)學(xué)上的什么概念。說“同乘一個實(shí)數(shù)”即“同時乘一個實(shí)數(shù)”，乘的自然是相同的數(shù)，不至于認(rèn)為左邊乘2右邊乘3去。在這些問題上較真，會讓孩子腦子里充斥著與樸素認(rèn)識相矛盾的東西，反而不利于他們對數(shù)學(xué)的理解。 施：不應(yīng)拘泥于表面的文字，而應(yīng)關(guān)注學(xué)生真正的理解！ 王：對，要學(xué)會聽懂孩子們的“數(shù)學(xué)普通話”！學(xué)生沒有系統(tǒng)學(xué)過數(shù)學(xué)，也正因?yàn)槿绱?，他們思考問題時也就少了一些條條框框，有時反而更容易接近數(shù)學(xué)的本質(zhì)。拋開一些名詞、概念，重要的思想往往是相通的。我一直有個想法，就是孩子的想法，原則上一定是有

7、道理的。不管在你眼里他是聰明的還是愚笨的，他可能沒我們看得那么遠(yuǎn)，但是最近的一步往往是有道理的。能理解孩子樸素想法里可能蘊(yùn)藏著的數(shù)學(xué)本質(zhì)，在此基礎(chǔ)上逐步引導(dǎo)他學(xué)會講道理，這一點(diǎn)很重要。 “數(shù)學(xué)味”不能靠簡單下放，而需要深度思考 施：課改賦予教師更多的“教什么”的自主權(quán)。實(shí)際教學(xué)中，我們還常看到不少課擁有十分華麗的尾巴把一些中學(xué)甚至大學(xué)的數(shù)學(xué)知識或方法下放。比如小學(xué)里就講實(shí)數(shù)的連續(xù)性和有理數(shù)的稠密性，教學(xué)平行時談到黎曼幾何，往往這樣的課也因?yàn)椤坝袛?shù)學(xué)味”得到大家的肯定。對于這一點(diǎn)，您怎么看？ 王：有一點(diǎn)我們應(yīng)該清楚，就是不見得老師知道的一定要讓學(xué)生知道。前不久我剛和老師們討論過小學(xué)的確定位置一課

8、，老師們都舍不得放棄研究一條直線上各點(diǎn)或一個三角形各定點(diǎn)數(shù)對的特點(diǎn)這個環(huán)節(jié)，甚至還有老師提要滲透直線的斜率等，我想說，就一個特殊圖形做文章這是以后會處理的事，沒有必要在剛接觸坐標(biāo)時蜻蜓點(diǎn)水地做。確定位置最重要的是什么？應(yīng)該是對參照點(diǎn)、方向、單位的體會！用數(shù)對刻畫位置，是實(shí)現(xiàn)空間有序化結(jié)構(gòu)化的基礎(chǔ)。這是我們要重點(diǎn)做的文章。我們的認(rèn)識可能有一些誤區(qū)，我們往往崇拜高深的、欣賞簡潔巧妙的。其實(shí)重要的思想方法往往能以極其樸素的形式表達(dá)出來。 施：蜻蜓點(diǎn)水般把中學(xué)數(shù)學(xué)中的某些知識在小學(xué)課堂中走一朝不是路子，要下的功夫應(yīng)該是怎樣簡單中顯深刻，淺顯中見經(jīng)典。您能再舉一些例子具體談?wù)剢幔?王：最近幾年我和小學(xué)老

9、師有些接觸，我們會討論一些具體問題，挺有意思。 比如估計，它是本次課程改革特別加強(qiáng)的內(nèi)容。小學(xué)階段，大家比較認(rèn)同的把“估計”分為三種類型：計算“估計”（簡稱為估算）、測量“估計”（簡稱為估測）和數(shù)量“估計”（簡稱為估數(shù)）。我們可以看出，它們是依據(jù)“估計”對象和內(nèi)容的不同劃分的。但是從數(shù)學(xué)的角度看，這三種“估計”類型擁有共同的特點(diǎn)，例如：都需要首先確定數(shù)量級(或單位)；結(jié)果的正確與否都需要評價者給定誤差范圍才能確定；結(jié)果的正確與否與實(shí)際情境密切相關(guān)等。所以這樣的分類對估計的數(shù)學(xué)內(nèi)涵的認(rèn)識沒什么實(shí)質(zhì)的幫助。在“估計”的數(shù)學(xué)本質(zhì)沒有闡述清楚之前，就想討論估計的策略、技巧等可能意義不大。我們不妨結(jié)合實(shí)

10、際案例來分析：如我們常常見到這樣的題目：估算24.82 48的結(jié)果。但是這樣的估算題目并沒有對結(jié)果的誤差范圍作要求，所以我們可以進(jìn)行以下幾種“估計”：一是利用四舍五入法取近似數(shù)，把原算式變?yōu)?0 50，從而估計出結(jié)果的數(shù)量級為103；二是將24.82和48都往大估，把原算式變?yōu)?0 50確定出1500是原計算結(jié)果的一個上界，再將24.82和48都往小估，把原算式變?yōu)?0 40確定出800是原計算結(jié)果的一個下界，這樣就確定出原計算結(jié)果在800到1500這個區(qū)間中。我們還可以在此基礎(chǔ)上，不斷縮小誤差范圍，求得更佳近似值。再如要估計一座15層樓的高度約是多少米，可以以自己的身高為基準(zhǔn)量，估計出每一層

11、的樓高約是多少倍的身高，再推測整個樓的高。這里最重要的是選定“估計”的單位，這些單位可以是科學(xué)中已經(jīng)規(guī)定好的單位，如“厘米、千克”等，也可以是自己規(guī)定的單位，如剛才我們把自己的身高當(dāng)做基準(zhǔn)量。從上面分析可以看出，“估計”中包含的數(shù)學(xué)內(nèi)涵有“界、單位、數(shù)量級、誤差與近似”，而“界、單位、數(shù)量級、誤差與近似”則是我們從小學(xué)到大學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中反復(fù)出現(xiàn)，貫穿始終的數(shù)學(xué)思想和方法。顯然從這四個不同維度再去審視估計，比“估數(shù)、估算、估測”更能反映數(shù)學(xué)的本質(zhì)。 施：您的分析讓我們很受啟發(fā)！很多時候由于我們自身數(shù)學(xué)修養(yǎng)的欠缺，不能站在更高的層次來審視小學(xué)數(shù)學(xué)。可能我們最急需的還是加強(qiáng)學(xué)習(xí)，您能給我們提些建議嗎

12、？ 王：我覺得單純的學(xué)習(xí)不一定有效。不少老師有這樣的經(jīng)驗(yàn)：上大學(xué)學(xué)了高等數(shù)學(xué)，忘了中小學(xué)數(shù)學(xué)，回到中小學(xué)又徹底忘了高等數(shù)學(xué)。關(guān)鍵還在于深度的思考，從整體上去把握數(shù)學(xué)課程。我讓我的學(xué)生思考，在小學(xué)（或中學(xué)）數(shù)學(xué)里，最重要的是什么？有哪些主線？我和學(xué)生有這樣的共識：凡是反復(fù)出現(xiàn)的必然是重要的！我們要清楚，教材呈現(xiàn)的是線性序，但孩子的認(rèn)識不一定是線性序。比如，四則運(yùn)算，教材呈現(xiàn)的是加減乘除的順序，但是一定要學(xué)了加法后才能學(xué)減法嗎？減法也可以由“倒著數(shù)數(shù)”過來。多一些這樣基礎(chǔ)性的思考，就多了講道理的可能。再如，教材都是先安排字母表示數(shù)，然后才有方程。但是不學(xué)字母表示數(shù)就不能學(xué)方程嗎？說得極端一些，如果中國在歷史上足夠強(qiáng)大的話方程中的符號都用漢字也不一定呢。我并非要抹殺字母符號的作用，或說教材必須調(diào)整順序，我想如果能換一個角度思考，你可能更容易發(fā)現(xiàn)孩子代數(shù)思維的萌芽并加以適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)。 再有，我不贊成把“數(shù)學(xué)味”和“