北師大版-九年級-數學-上冊-第一章-特殊平行四邊形-同步練習(含答案解析)

1、第一章 特殊平行四邊形 評價檢測(45分鐘100分)一、選擇題(每小題4分,共28分)1.矩形、菱形、正方形都具有的性質是()A.每一條對角線平分一組對角B.對角線相等C.對角線互相平分D.對角線互相垂直【解析】選C.矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四邊形,平行四邊形具有的性質就是矩形,菱形,正方形都具有的性質,矩形、菱形、正方形都具有的性質是對角線互相平分. 【知識歸納】矩形、菱形、正方形對角線性質的區(qū)別(1)矩形的對角線相等但不垂直.(2)菱形的對角線垂直但不相等.(3)正方形的對角線相等而且垂直.2.如圖,矩形ABCD中,E在AD上,且EFEC,EF=EC,DE=2,矩形的周長為16,則

2、AE的長是() A.3B.4C.5D.7【解題指南】解答本題的三個關鍵(1)由矩形的性質和EFEC,EF=EC,得出AEFDCE.(2)由全等得AE=CD,再結合矩形的周長,求出AD.(3)用AD減DE得出AE的長.【解析】選A.矩形ABCD中,EFEC,DEC+DCE=90,DEC+AEF=90,AEF=DCE,又EF=EC,AEFDCE,AE=CD,矩形的周長為16,即2CD+2AD=16,CD+AD=8,AD-2+AD=8,AD=5,AE=AD-DE=5-2=3.3.下列說法正確的是()A.對角線相等且互相垂直的四邊形是菱形B.對角線互相垂直且平分的四邊形是正方形C.對角線互相垂直的四邊

3、形是平行四邊形D.對角線相等且互相平分的四邊形是矩形【解析】選D.對角線相互平分且互相垂直的四邊形是菱形,A,B選項錯誤;對角線互相垂直的四邊形不一定是平行四邊形, C選項錯誤;D選項正確,故選D.4.如圖,在矩形ABCD中,BC=2,AEBD,垂足為E,BAE=30,那么ECD的面積是() A.2B.C.D.【解析】選C.如圖,過點C作CFBD于F.矩形ABCD中,BC=2,AEBD,BAE=30,ABE=CDF=60,AB=CD,AD=BC=2,AEB=CFD=90.ABECDF.AE=CF.ADE=BAE=30,AE=AD=1,DE=,SECD=EDCF=EDAE=.【變式訓練】如圖,在

4、矩形ABCD中,E是BC的中點,BAE=30,AE=2,則矩形ABCD的面積為.【解析】在RtABE中,AE=2,BAE=30,BE=AE=1,AB=.E是BC的中點,BC=2BE=2,矩形ABCD的面積=ABBC=2.答案:25.如圖,已知菱形ABCD與ABE,其中D在BE上.若AB=17,BD=16,AE=25,則DE的長度為()A.8B.9C.11D.12【解析】選D.連接AC,設AC交BD于O點,四邊形ABCD為菱形,ACBD,且BO=DO=8,在AOD中,AOD=90,AO=15,在AOE中,AOE=90,OE=20,又OD=8,DE=OE-OD=20-8=12.6.如圖,在矩形AB

5、CD中,AB=10,BC=5,點E,F分別在AB,CD上,將矩形ABCD沿EF折疊,使點A,D分別落在矩形ABCD外部的點A1,D1處,則陰影部分圖形的周長為()A.15B.20C.25D.30【解析】選D.根據折疊的性質,A1E=AE,A1D1=AD,D1F=DF;所以陰影部分的周長=矩形的周長=2(10+5)=30. 7.如圖,正方形ABCD中,AB=3,點E在邊CD上,且CD=3DE.將ADE沿AE對折至AFE,延長EF交邊BC于點G,連接AG,CF.下列結論: 點G是BC的中點;FG=FC;SFGC=.其中正確的是()A.B.C.D.【解析】選B.正確.理由:正方形ABCD中,AB=3

6、,CD=3DE,ED=CD=1.EC=2.由對折得AFEADE.進而得,AF=AD,EF=ED =1,AFE=D=90.可證ABGAFG.設BG=x,則FG=x,GC=3-x.在RtEGC中,由勾股定理得GC2+ EC2=EG2,即(3-x)2+22=(1+x)2.解得x=,即BG=BC.不正確.理由:GF=,EF=1,點F不是GE的中點.假設FG=FC,則FGC=FCG.由等角的余角相等,得FEC=FCE.EF=FC.FG=EF.這與前面的結論:點F不是GE的中點相矛盾.所以假設不成立. 正確.理由:GFC中,設GC邊上的高為h,則h=EC=.SGFC=GCh=. 二、填空題(每小題5分,共

7、25分)8.等邊三角形、平行四邊形、矩形、正方形四個圖形中,既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是. 【解析】等邊三角形是軸對稱圖形,不是中心對稱圖形;平行四邊形不是軸對稱圖形,是中心對稱圖形;矩形、正方形是軸對稱圖形,也是中心對稱圖形.答案:矩形和正方形【易錯提醒】平行四邊形是中心對稱圖形,但不是軸對稱圖形,本題易誤認為平行四邊形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形. 【知識歸納】特殊平行四邊形的對稱性(1)矩形、菱形、正方形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形.(2)矩形與菱形有兩條對稱軸,正方形有四條對稱軸.(3)對角線的交點是它們的對稱中心,過對稱中心的任一條直線均把原圖形分成面積相等的兩部分.9.如

8、圖所示,平行四邊形ABCD的對角線AC,BD相交于點O,試添加一個條件:,使得平行四邊形ABCD是菱形. 【解析】添加ACBD,則對角線互相垂直的平行四邊形是菱形;添加AD=DC,則一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形. 答案:ACBD(或AD=DC,答案不唯一)10.如圖,在矩形ABCD中,對角線AC,BD相交于點O,點E,F分別是AO,AD的中點,若AB=6cm,BC=8cm,則AEF的周長=.【解析】在RtABC中,AC=10(cm),點E,F分別是AO,AD的中點,EF是AOD的中位線,EF=OD=BD=AC=2.5(cm),AF=AD=BC=4(cm),AE=AO=AC=2.5(cm),A

9、EF的周長=AE+AF+EF=9cm.答案:9cm【變式訓練】如圖,順次連接菱形ABCD的各邊中點E,F,G,H.若AC=a,BD=b,則四邊形EFGH的面積是.【解析】點E,F分別是菱形邊AB,BC的中點,EF是ABC的中位線,EF=AC,且EFAC.同理,HG=AC,且HGAC,EF=HG,且EFHG.四邊形EFGH是平行四邊形,且EHFG,EH=FG=BD.又四邊形ABCD是菱形,ACBD,EFEH,四邊形EFGH的面積=EFEH=ab=ab.答案:ab11.如圖,在矩形ABCD中,AE=AF,過點E作EHEF交DC于點H,過F作FGEF交BC于G,連接GH,當AD,AB滿足時,四邊形E

10、FGH為矩形.【解析】四邊形ABCD是矩形,A=90.AE=AF,AFE=AEF=45.又EHEF,FGEFGFB=HED=45,DHE和BGF都是等腰直角三角形.如果四邊形EFGH是矩形,則EH=FG,ED=FB,又AE=AF,AD=AB.答案:AD=AB12.如圖,四邊形ABCD與AEFG都是菱形,其中點C在AF上,點E,G分別在BC,CD上,若BAD=135,EAG=75,則=.【解析】作EHAB于H,由對稱性知,兩菱形分別關于AF對稱,BAE=DAG=(BAD-EAG)=30,B=180-BAD=45.在RtBHE中,B=BEH=45,設BH=x,則EH=BH=x,在RtEHA中,BA

11、E=30,AE=2HE=2x,AH=x.AB=BH+AH=x+x,故=.答案:三、解答題(共47分)13.(10分)如圖,在四邊形ABFC中,ACB=90,BC的垂直平分線EF交BC于點D,交AB于點E,且CF=AE.(1)求證:四邊形BECF是菱形.(2)若四邊形BECF為正方形,求A的度數.【解析】(1)BC的垂直平分線EF交BC于點D,BF=FC,BE=EC.又ACB=90,EFAC.=.D為BC中點,=,E為AB中點,即BE=AE,CF=AE,CF=BE,CF=FB=BE=CE,四邊形BECF是菱形.(2)四邊形BECF為正方形,BEC=90.又AE=CE,A=45.【互動探究】四邊形

12、BECF的面積與ABC的面積有什么關系?為什么?提示:四邊形BECF的面積與ABC的面積相等,理由如下:四邊形BECF是菱形,CFAB.CF=AE,SCFB=SAEC,SCFB+SCEB=SAEC+SCEB,即:四邊形BECF的面積=ABC的面積.14.(12分)如圖,已知菱形ABCD,AB=AC,E,F分別是BC,AD的中點,連接AE,CF.(1)證明:四邊形AECF是矩形.(2)若AB=8,求菱形的面積.【解析】(1)四邊形ABCD是菱形,AB=BC,又AB=AC,ABC是等邊三角形,E是BC的中點,AEBC,AEC=90,E,F分別是BC,AD的中點,AF=AD,EC=BC,四邊形ABC

13、D是菱形,ADBC且AD=BC,AFEC且AF=EC,四邊形AECF是平行四邊形,又AEC=90,四邊形AECF是矩形.(2)在RtABE中,AE=4,所以,S菱形=84=32.15.(12分)(2014新民市一模)已知:如圖,在四邊形ABCD中,點G在邊BC的延長線上,CE平分BCD,CF平分GCD,EFBC交CD于點O. (1)求證:OE=OF.(2)若點O為CD的中點,求證:四邊形DECF是矩形.【解析】(1)CE平分BCD,CF平分GCD,BCE=DCE,DCF=GCF,EFBC,BCE=FEC,EFC=GCF,DCE=FEC,EFC=DCF,OE=OC,OF=OC,OE=OF.(2)點O為CD的中點,OD=OC,又OE=OF,四邊形DECF是平行四邊形,CE平分BCD,CF平分GCD,DCE=BCD,DCF=DCG,DCE+DCF=90,即ECF=90,四邊形DECF是矩形.16.(13分)(2013青島中考)已知:如圖,在矩形ABCD中,M,N分別是邊AD,BC的中點,E,F分別是線段BM,CM的中點 (1)求證:ABMD