江蘇專版高三數(shù)學(xué)備考沖刺140分問題10數(shù)列中整數(shù)解問題含解析【精品】

1、問題10數(shù)列中整數(shù)解問題一、考情分析數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容 ，又是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，在高考中占有極其重要的地位.數(shù)列中整數(shù)解問題 逐漸成為一個新的熱點.本文試圖對與數(shù)列有關(guān)的不定方程的整數(shù)解問題的解法作初步的探討，以期給同學(xué)們的學(xué)習(xí)帶幫助二、經(jīng)驗分享二元不定方程 雙變量的不定方程，在高中階段主要是求出此類不定方程的整數(shù)解，方法較靈活，下面介紹3種常用的方法.方法1.因式分解法：先將不定方程兩邊的數(shù)分解為質(zhì)因數(shù)的乘積，多項式分解為若干個因式的乘積 ，再由題意分類討論求解.方法2.利用整除性質(zhì) ：在二元不定方程中，當(dāng)其中一個變量很好分離時，可分離變量后利用整除性質(zhì)解 決.方法3.不等式估計法：

2、利用不等式工具確定不定方程中某些字母的范圍或等式一邊的范圍，再分別求解.如轉(zhuǎn)化為加j = W(用型，利用g n的上界或下界估計 f m的范圍，通過解不等式得出m的范圍，再一一驗證即可.三、知識拓展1、整數(shù)的基本性質(zhì)：(1)整數(shù)的和，差，積仍為整數(shù)(2)整數(shù)的奇偶性：若-=2無+ M丘刀，則稱n為奇數(shù);若""(無目為，則稱n為偶數(shù),在加，減，乘 法運算中，其結(jié)果有以下規(guī)律：奇數(shù)奇數(shù)偶數(shù)奇數(shù)偶數(shù)奇數(shù)偶數(shù)偶數(shù)偶數(shù)奇數(shù)偶數(shù)偶數(shù)偶數(shù)偶數(shù)偶數(shù)奇數(shù)奇數(shù)奇數(shù)(3)若 a,b Z ,且 a b,則 a b 1 crbw Rq < b(4)已知一'，若n Z ,且n a,b ,則

3、n只能取到有限多個整數(shù)(也有可能無解)(5)若a Z ,稱a能被b整除，則有： bb為a的一個因數(shù)(6)最小數(shù)原理：自然數(shù)集的任何非空子集，均有一個最小的自然數(shù)2、整數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用：(1)若變量屬于整數(shù)，則利用方程與不等式均可求出變量的值：在實數(shù)范圍內(nèi)，若要求得變量的值，通常要依賴方程，而不等式只能解得變量的范圍 .但是在整數(shù)范圍內(nèi)，除了方程，在不等式中也可以利用整數(shù)的離散性求出變量的值(即性質(zhì)(4),例如：若打£*="三(15)，則n的取值只能是3,4.所以在涉及求整數(shù)的值時，思路不要局限于尋找等量關(guān)系 ，構(gòu)造不等關(guān)系依然可以求解.(2)整除問題：若表達式形式較為簡單，可通

4、過對常數(shù)進行因數(shù)分解，進而確定變量的取值；若表達式次數(shù)較高，則可以先利用二項式定理去掉高次的項，再進行處理.(3)多元整數(shù)不定方程：當(dāng)變量的值為整數(shù)時，不定方程的解可能有有限多組解.通常的處理方式有兩個： 通過對表達式進行因式分解，對另一側(cè)的常數(shù)進行因數(shù)分解 ，進而將不定方程拆成多個方程的方程組，進而解出變量將一個字母視為變量(其余視為參數(shù))并進行參變分離，求出含變量函數(shù)的值域，進而將參數(shù)置于一個范圍內(nèi)，再利用整數(shù)離散性求得參數(shù)的值(4)反證法：運用反證法處理整數(shù)問題時，常見的矛盾有以下幾點：所解得變量非整數(shù)，或不符合已知范圍等式兩側(cè)為一奇一偶3、整數(shù)問題通常會與數(shù)列聯(lián)系起 ，其特征就是數(shù)列中

5、項的序數(shù)，以及前n項和的項數(shù)，均為正整數(shù).四、題型分析(一)利用整除性質(zhì)aa 【例1】已知數(shù)列an的通項公式為an2n7,若為數(shù)列an中的項，則m am 2QjiAh+1 (2 冽7) I?用5 >【解析】 V-= 石二 ,an中的項為大于等于 5(45)的奇數(shù)，所以考慮將旦例皿廉ja 八am 2一7)(2m 5)2m 3) 4- Q Im 3) 2 I向奇數(shù)形式變形：88=+ -=2m-9+-,可得應(yīng)該為大于等于 4的偶數(shù)，所以 4或2m 32m 38-58，斛得m 一(舍)或m 22m 32【答案】m 2(2m-7) (2m-5)【點評】（1）本題的亮點在于對13的變形，在有關(guān)整數(shù)的

6、問題里，通?？蓪Ψ质竭M行“分離 常數(shù)”的變形，從而將復(fù)雜的分式簡化 ，并能立刻找到需處理的部分 .例如在本題中通過“分離常數(shù)”可迅 速將目標(biāo)鎖定在一8上.2m 3（2）本題對一8的處理有多個角度，還可以從分母出發(fā)，觀察到2m 3應(yīng)為奇數(shù)，而 一8 Z,而8的2m 32m 3奇因數(shù)只有1和1,同樣可確定m的值.【牛刀小試】【江蘇省清江中學(xué) 2019屆高三第二次教學(xué)質(zhì)量調(diào)研】設(shè)數(shù)列;«的前”項的和為%且r =二后成等比數(shù)列.數(shù)列心滿足比=42且對任意正整數(shù)（1）求數(shù)列如的通項公式.（2）證明數(shù)列a，j為等差數(shù)列.（3）令. 一人2%31問是否存在正整數(shù) 皿”,使得十5A成等比數(shù)列？若存在

7、，求出m.匕的值，若不存在，說明理由.【解析】（1）因為數(shù)列叫的前，項的和=/，n if U;當(dāng)力二時，上式也成立，_2所以數(shù)列%的通項公式為%=s + i熊+5.（2）證明：因為對任意正整數(shù) 皆都有aJ也+1成等比數(shù)列,所以4幾+.1=口，即/%,卜】=3，,L +201+ 3）所以， 兩式相除得，對任意正整數(shù)17+2 n + 3當(dāng)力為奇數(shù)時,y,所以%當(dāng)力為偶數(shù)時,= 而比與二券，所以與=：所以：一所以 +】% =海+2)苧11)=?所以數(shù)列4J為等差數(shù)列.因為入嗎”"2（六）-】所以=+ s = 2(m + 5) * 1 = 2m 4- 9G = 2/c-1因此存在正整數(shù)使得匚

8、寸JR十玉門成等比數(shù)列= （2沏 + 9產(chǎn)=（2m 1）（24 - 1）=2"1=經(jīng)業(yè)2m-l50銀招=m + 10 +2m- 1|因為m#都是正整數(shù)，則*1為25 ,即1,3,13時，對應(yīng)的 = 61.23,25.所以存在展言或建言或憶聶使得”勺成等比數(shù)列.（二）不等式估值法【例2】【江蘇省蘇州市2019屆高三上學(xué)期期末】定義：對于任意 m E M' , “ +” + ? 一 /,1仍為數(shù)列4中 的項，則稱數(shù)列（為J為“回歸數(shù)列”.（1）己知廿與=2"（以£寸），判斷數(shù)列1%是否為“回歸數(shù)列”，并說明理由；（2）若數(shù)列 %為“回歸數(shù)列"，%=3

9、,% = %且對于任意"EN,均有與/十成立.求數(shù)列仍小的 V+3S*l-V_通項公式；求所有的正整數(shù)s, t,使得等式 卜7+35二1 成立.【答案】（1） 品不是“回歸數(shù)列”，說明見解析（2）"，使得等式成立的所有的正整數(shù)s, £的值是s= 1, t = 3【分析】（1）假設(shè)同是“回歸數(shù)列”，則對任意 崔不，總存在媚小，使+ i = "成立，列出方程即可求解。因為年九+1,所以A 卜，根據(jù)也為“回歸數(shù)列"，得'、+ "”+尸砌7 ,可得以數(shù)列國）為等差數(shù)列，即可求解；由，二用,求得1 = 123,分類討論，根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性

10、，即可求解。+ 3S- 1【解析】(i)假設(shè)mj是“回歸數(shù)列”則對任意噂際，總存在埃的，使'恤成立,日口*41- 2.刖.如 即3*2宜=*此時等式左邊為奇數(shù).右邊為偶數(shù)，不成立，所以假設(shè)不成立所以%J不是“回歸數(shù)列”；(2)因為"Ch”，所以防+產(chǎn)與+2，所以小且<感”又因為%；為“回歸數(shù)列”，所以與"gL4”，即% + % 2 . 2% + J所以數(shù)列匐為等差數(shù)列.又因為% = $% = %所以n L '.3s +1 + - 1、-Zs2. * )34 4- sJ - 1廬+ 3"一因為.，-=瓦，所以獷+3'1t _ 3 =或口

11、q < (J因為可+興”一，所以1塞？，又因為上整打*,所以£ = 123,當(dāng)t =時，(.；式整理為3彳=0,不成立,當(dāng)1 = 2時，(*；式整理為?制+ i8巳 N *)設(shè)汽飛,因為2ntl -n) + 33n + 1S =s無解時，> +1,因為N饕燈* ,所以s = 1綜合所述，使得等式成立的所有的正整數(shù)s,的值是s=1, t=3.,=2斤+1【牛刀小試】已知 an為等差數(shù)列,前n項和為Sn,若+-(1)求 an（2）對m N ,將4中落入?yún)^(qū)間2m,2 m內(nèi)項的個數(shù)記為bm求bm一 2 二7_ 1記“1 - 產(chǎn)J）. ， cm的前m項和記為Tm,是否存在m,t N

12、 ,使得五二% -771成立？若存在求出m,t的值；若不存在，請說明理由【解析】（1）設(shè)an的公差為d=4 1=4的 +6d =4（2©+d）生£=2& +1=/ +1；打一lid =2| 苗+1.2, 八 二 A = 2m -1解得：ai 1,d2以等式左右邊的符號作為突破口（左邊為正數(shù)），得到4二二1J2）!，則所解方程變形為：r I r = y，可考慮對m,t進行變量分離I，）4十,二”一,， 2/t 0,即t 1,2,3，然后代入t解出符合條件的m即可勺+1>012JQI - >0=4+4->0=1式123)2時，解得:1時,解得:1 1產(chǎn)

13、冽=1嗝產(chǎn)（舍）3時，解得:Q存在這樣的m 3,滿足所給方程t 3【點評】1、本題中的方程，并沒有在一開始就將Tm代入，否則運算會復(fù)雜的多，所采取的策略為先化簡變形，變形完成之后再代入.可簡化不必要的運算2、本題在解m,t的不定方程所用的方法為變量分離法,將兩個只含某一字母的式子用等號連接，則兩邊式子的范圍應(yīng)當(dāng)一致.以其中一個式子作為突破口（比如-），再結(jié)合變量必須取整數(shù)的條件，便可用不等關(guān)2系將變量所能取的值確定下 （三）反證法【例3】已知數(shù)列an是等差數(shù)列，數(shù)列bn是等比數(shù)列，且對任意的n N ，都有：砧+&也=*產(chǎn),若ai 8,則: （1）求數(shù)列an , bn的通項公式（2）試探

14、究：數(shù)列 bn中是否存在某一項，它可以表示為該數(shù)列中其它1 2）項的和？若存在請求出該項，若不存在，請說明理由（1）【解析】幽+地+L +他=小尹2+他+L +4/如=（內(nèi)-1） 2可得：£3也=>= 5 + L）2 即“（用之 2）人 口嗎4=1-24=6 = 2令n 1,則1令n 2,貝產(chǎn)也=3*=（馬+<|%=相令n 3,則鼻為小?=（2+*"）3* 二 128|2(8 + £/)5 = 45所以有：2(8+2d) g =128，解得:/. ar - 4同 + 4也=2"JI.隕（2 ）【分析】首先要把命題翻譯為等式，將其他r項可設(shè)為b

15、t1,bt2 ,L ,母，設(shè)存在某項bm ,則%=4+%+L +%=產(chǎn)=下+如旦+，設(shè) u工（L1匚，則同除以2t1,就會出現(xiàn)左右兩側(cè)奇 偶不同，從而假設(shè)不成立 解：假設(shè)存在某項bm及數(shù)列中的其他r項鼻心工&（A J" <fJ2="+4+1+=y=+于+L +手，所以2仁于=厘”兩邊同時除以2ti可得：2*' =1 + 2+L +2"',左邊為偶數(shù)，右邊為奇數(shù).所以等式不成立所以不存在這樣的項【點評】（1）通過本題要學(xué)會如何表示數(shù)列中某一串項：如果是相鄰項,則可表不為:，如果不一定相鄰，則可用ti,t2L tr作角標(biāo)，其中1,2,L

16、,r體現(xiàn)出這一串項所成數(shù)列中項的序數(shù)，而ti,t2L tr表示該項在原數(shù)列中的序數(shù)(2)本題還有一個矛盾點：題目中的 r項不一定為相鄰項，但是可通過放縮將右邊的項補全 ，變?yōu)閺?1 直加到2tr ，即2" +2與+L +乃eT+M+L +2則2出工2 + 2,+L +2'=產(chǎn)1一1，由整數(shù)性質(zhì)可得,所以，與矛盾，所以不存在.【牛刀小試】【江蘇省南京市13校2019屆高三12月聯(lián)合調(diào)研】已知數(shù)列為J的前有項和為5把滿足條件的所有數(shù)列%構(gòu)成的集合記為(1)若數(shù)列|回)通項為七 =:，求證： 巨M ;(2)若數(shù)列是等差數(shù)列，且1%+砌曰環(huán)，求2白5-%的取值范圍；(3)若數(shù)列包/的

17、各項均為正數(shù)，且數(shù)列中是否存在無窮多項依次成等差數(shù)列，若存在，給 a出一個數(shù)列1。的通項；若不存在，說明理由.ii 1 - 店 【解析】(1)因為* = J，所以兀=？胭i =】-(/"，所以之1 7+8”=久/一工 V 戒一 1,所以小+ 1<1，即/wM.(2)設(shè)%的公差為d,因為kn+n§EM,所以在+2玄a一i J特別的當(dāng)甘=1時，即d匕一i,d '+ "8"】n" + (ij - - d - -)n aa _ 1 > 0口 ，整理得331,因為上述不等式對一切n e N，恒成立，所以必有 于N %解得d2-1,又所

18、以 4=-1,+ 制-電-1 = °日口+DS-D" 4 7-)即, 所以省+1苴帆即%婚1,crn, -2C<ls-ai) + oi = 8rf+ tEi «-8 +%婚9 所以因此2白5 - %的取值范圍是-%+）.（3）由得一一*空*,所以,'十1娥乂,即手工2,=紅"九乂_K *1 < 20所以寅 為 九一，,而-$葉-x 2B二期m 2H從而有 +,又a-W網(wǎng),所以人”二“工亂1 * 2工 如玄對黑長7缶> 3）,即又/ < Sj = aL x 2=t aj < ij x 2°t所以有/ f 尸&

19、#39;”）,所以染為2、*n i1r<假設(shè)數(shù)列 中存在無窮多項依次成等差數(shù)列，4不妨設(shè)該等差數(shù)列的第 擰項為d» +卜（為常數(shù)），(jTj-Lt 12>AX7m->-K in 則存在m E N, m > n,使得 一附 一 船 即,設(shè)，5)=木于n£N，n>3,rt+ l)z rtz 2 儲1/則2 'J J- -52" "*" *?!+二b fCn + l)<fCn)Sf(3)=<l即33, 于是當(dāng)n主3時，2小a成,d"M + b依 > n2 內(nèi)'-datn -&l

20、t; 0從而有：當(dāng)心3時1'，即11,n1 - datn- ba<Q于是當(dāng)也2 3時，關(guān)于H的不等式有無窮多個解，顯然不成立,4"因此數(shù)列:中是不存在無窮多項依次成等差數(shù)列0 ft（四）因式分解法【例4】.已知等爰數(shù)列也的公差d>Q.設(shè)立口的前沙項和為» I 4=1 ,.求，及&求e. Rm、氓M) 的值，使得/+H&Z +=65.【解析】<1)略(2)由(1)得% = ?*】：刈=/(小M)注、士 (2m + 左 _】)6 +1)/樹=s收=4所以(2照+改-1)砧+1) = 65 ,由m, AeN知癡十 #-1之£+1

21、)1Ji 1P2什f +大 1 h 13 k f , 65=13x1x65 ,故5 所以,m,【點評】本題中將不定方程變形為。嘰i)«i)二""，因為分解方式是唯一的，所以可以得到關(guān)于 的二元一次方程組求解.五、遷移運用1 .【江蘇省鎮(zhèn)江市2019屆高三上學(xué)期期末】設(shè)數(shù)列 gj是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，«1 = 2 ,叼兔=八4 .數(shù)列W滿足：對任意的正整數(shù) n,都有 一,b ,'.(1)分別求數(shù)列4與的通項公式；3(1 -)(1 -)噎一(2)若不等式,4 的 工底"3-1對一切正整數(shù)n都成立，求實數(shù)位的取值范圍；(3)已知己N

22、9;,對于數(shù)列bj,若在E與勾口之間插入九個2,得到一個新數(shù)列%.設(shè)數(shù)列的前m項的和為丁小試問：是否存在正整數(shù) m,使得丁州= 2019 ?如果存在，求出m的值；如果不存在，請說明理由.【解析】(1)因為%是等比數(shù)列，且各項均為正數(shù)，所以 % = % = "",解得啊=q,公比 M,所以，因為/ /與+,任u瓦=(用- 1)2 + 2所以一一一一兩式相減，得蛛星=n - 2n(n > 2)因為當(dāng)二I時,L 、 cr,u l d 出入、& 二WN")1%=2,所以% = 1,符合瑪尸H,所以“七 ??；(2)因為冉所以當(dāng)播時，原不等式成立,>+&q

23、uot;1 if 15 ri 1當(dāng)位>Q叱原不等式可化為C",tn 姓程 + 1£1 - )(1 -(1 ).設(shè)XE 4里，則% >0則 MlMQ興一»一? (一泰),%4 1 %/2m + 32n +1 所以,即數(shù)列KJ單調(diào)遞減,所以1用二更，解得位V位 2jL F (co綜上，(3)由題意可知，設(shè) 瓦在數(shù)列(cj中的項為勺，則由題意可知,t = 242工+-+印-1+=/+£ -2m二z +必所以當(dāng)口 = 20,一2J + 1 + 2 十 一+匕=2*上+4一4時， 上 ，當(dāng)上二9時,m = 29+9-2 = 29 + 7，第q2 J.

24、C 2_4 = 106S2019-1065 = 954 = 277所以當(dāng)= 時，T, = 20192 .【江蘇省鹽城市、南京市2019屆高三年級第一次模擬】已知數(shù)列 。力，其中空E*.若(叫滿足質(zhì)陰當(dāng)q = 且電=1時，求%的值;若存在互不相等的正整數(shù) E ,滿足力=十 £,且白廠成等差數(shù)列，求"的值.(2)設(shè)數(shù)歹U |口的前項和為b，數(shù)歹UhJ的前n項和為。%二九十之-3, B E W ,若% =】2,且恒成立，求板的最小值.【解析】(1)由4 -生,里-%, & 一白】1，累加得q -S因,所以4-限r(nóng)，見71,當(dāng)g=i時，4月,滿足題意；rc J-qX r當(dāng)|

25、”1時，累加得外廠的，所以口廣不一國若存在滿足條件，化簡得 時三y T,即士=r V -=2，此時g = l (舍去)綜上所述，符合條件 忖的值為1/ q匚=-3,理已、* 匚1=占14-3 由三小工r/日匕z=%、+b，7.c = l.c.=4(2)由底惶r可知一 ,兩式作差可得：1n,又由. 可知0 = 也='故與=4+外，所以= 'a +限對一切的打亡.恒成立對鼠=K +如，如=%+力兩式進行作差可得'+%】,又由£ = 4也=7可知叼=3=3 ,故屋二喂石 (燈詡又由人小冏一"人+"了一門】Qz +口包)=Qi+%廣-7 (4 +%

26、i)二一%十44*:"左，所以,上廠一%!口1卜鼠；一 口必+J ,所以當(dāng)也“時I s I - %口小二1= 5 ,當(dāng)月=1時"-4"忡：=,故左的最小值為53.【江蘇省揚州中學(xué) 2019屆高三上學(xué)期12月月考】已知數(shù)列 佃口的前打項和為配一且滿足L=Z%-2；數(shù)7 b列的的前|n項和為限,且滿足比=1, % = 2“ 一 =(1)求數(shù)列|14的通項公式；(2)求數(shù)列九的通項公式；% + b收 + 1(3)是否存在正整數(shù)n,使得''恰為數(shù)列%中的一項？若存在，求滿足要求的那幾項；若不存在，% - 即 + L說明理由.【解析】(1)由 S = 2an

27、2,則當(dāng) n>2 時，S，1 = 2an 1-2,兩式相減得：an= 2an - 2an 1 ,則 an = 2an- 1 ,由 S = 2a1 2,則 a1= 2,.數(shù)列an是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，則 an=2n,(2)由;=7- b b以上各式相乘，=, ，則2Tn= bnbn+1,* n+ 1H + 1% + 2當(dāng) n>2 時，2Tn1= bnibn ,兩式相減得：2bn=bn (加+1- bn-1),即 bn+L 3-1=2,數(shù)列bn的奇數(shù)項，偶數(shù)項分別成等差數(shù)列，J瓦由=一,則 b3= T> = bi+b2= 3, b+b3 = 2b2,72 %數(shù)列bn是

28、以bi= 1為首項，1為公差的等差數(shù)列，數(shù)列bn的通項公式bn=n；"it + 1(3)當(dāng)n= 1時，無意義，an n +1 |12" +n十1設(shè) cn =7= , T，(n>2, nCN*),% - % r2h - ( m + 1 j則 Cn+1-Cn- - - - - -'- . ' 0即 Cn > Cn+1 > 1 ,顯然 2n+n+1>2n ( n+1),則 C2=7>C3= 3>a>>1,存在 n = 2,使得 b7=C2, b3=C3,20 + n + 1下面證明不存在 C2 = 2,否則，Cn=

29、2,即2n=3 (n+1),2H S+ 1)此時右邊為3的倍數(shù)，而2n不可能是3的倍數(shù)，故該不等式成立，綜上，滿足要求的 bn為b3, b7.4 .【江蘇省南通市2019屆高三年級階段性學(xué)情聯(lián)合調(diào)研】已知正項等比數(shù)列4的前門項和為隊包它珅Lr4一. 門",T L瓦=5+ 1)北+士必(齊E評”)且也二口之+ 2,叼11 = 1&。數(shù)列%的刖n|項和為q,且2。 求數(shù)列的通項公式及其前口.項和工；(2)證明數(shù)列 也;為等差數(shù)列，并求出 向)的通項公式；s口占一1(3)設(shè)數(shù)列71乙18千3錨,問是否存在正整數(shù) mtnfl使得加。巴成等差數(shù)列，若存在，求 出所有滿足要求的若不存在，

30、請說明理由。【解析】(1)設(shè)正項等比數(shù)列 的公比為>3,則由的,他=16得舄=16,從而=3 = 4,又由為=的+ 2得的二斗，因此,所以art - 口四2rt(2)方法一：因為n(n + 1)"n -= 5+1)丁并 +2,所以從而數(shù)列是以=1為首項，為公差的等差數(shù)列，故"盧1)尹7Tn =+ 1)當(dāng)1r噱:'時,從而當(dāng)網(wǎng)期時，"-4一1 = 1為常數(shù)，所以，數(shù)列 他J為等差數(shù)列。方法二：因為.：n(n + 1)? ，n(n + 11所以，當(dāng)ME?時，有5丁廣打1+2兩式相減得：又由h=L*+1 = 5 + 1汽+n(n 1)| T得所以，數(shù)列%為

31、等差數(shù)歹U。皿 _ 那 _ 52 _ 12 因為供子以討好初幻-it+2ft + 1 ,所以.一-一 假設(shè)存在存在正整數(shù) m.%1 (m V M C I),使得Cm，。七成等差數(shù)列，則2,即7nfr(3 <7nr <n'< f)2nr R二二曲之 3m m W)2 -一 +令此eL'則原問題等價于存在正整數(shù)，使得.斯 ，丁成立。,1”因為4 產(chǎn)0 1-1次* 1)- - >0n(Ji + 1)(因為也髭?)，故數(shù)列4單調(diào)遞增,若一 三2,即立篦'+ 2,則如之dn,-= d + dfn m I* = ±>2,即+>叫；，而7

32、L>2 3蠟11因此，d這與d，AO恒成立矛盾，故只能有 mm1從而2 2rj + 1募十777，故南._而而,即it (n + i) (*)一普+ 1 上若m為奇數(shù)，則記t =從而再辦-)» + 1 - m網(wǎng)莖 3Mt踞)二加 a 3 n E jV*)r因為數(shù)列單調(diào)遞增，所以數(shù)列 八一,'單調(diào)遞減，故當(dāng)E24時，, 玉旦,211 于132而2.百用3故【楚境，因此，(*)式無正整數(shù)解。序r = U - 2 病 T若丹為偶數(shù)，則記» = -.,即”，同理可得(*)無正整數(shù)解。2« +1 - m綜上，不存在存在正整數(shù)“球(運)，使得c產(chǎn)j成等差數(shù)列，也

33、即不存在正整數(shù)mg使得hM內(nèi)成等差數(shù)列。5.【江蘇省南京市六校聯(lián)合體2019屆高三12月聯(lián)考】已知數(shù)列an各項均不相同，ai=1,定義髓n ' '"此，其中n, e N*.(1)若 K C1) =71,求配；(2)若b+i() = 2bn()對A=L2均成立，數(shù)列an的前n項和為S.(i )求數(shù)列an的通項公式;(ii )若，t C M,且S, S-S, S S成等比數(shù)列，求和t的值.bf- fl) = (Th - =兀【解析】(1)因為"'"，所以1+2+3 + 4=10所以口 5 二-9(2) (i )因為 bn+1() =2bn(),

34、得%+= 2 f-c 口汽+3 + fln+s = 2 % + 口 葉露=2,由得+得71+1+得%+1=2%,又 = 1丈0,所以數(shù)列K%是以1為首項，2為公比的等比數(shù)歹U,所以4 =L(ii )由(i )可知 $=2n1.因為Si, S- S, S S成等比數(shù)列，所以(S S)2=S(S S),即(22)2= 2t2,所以 2t=(2)23 2+4,即 2t 2= (2 1)2- 3 2 2+ 1(*)由于S- SW0,所以w 1,即2.當(dāng)=2 時，2t = 8,得 t = 3.當(dāng)A3時，由(*),得(2 123 2一2+1為奇數(shù)，所以t2= 0,即t = 2,代入(*)得2"2

35、 3 2 2= 0,即2=3,此時無正整數(shù)解.綜上，=2, t = 3.6.【江蘇省鹽城市2019屆高三第一學(xué)期期中】已知正項數(shù)列的首項片=1 ,前n項和又滿足(1)求數(shù)列叫的通項公式;(2)若數(shù)列幾是公比為4的等比數(shù)列，且卜1-"工，片一%也是等比數(shù)列，若數(shù)列號芋單調(diào)遞增,求實數(shù)位的取值范圍;(3)若數(shù)列也J、%都是等比數(shù)列，且滿足 “ =與-口/，試證明 【解析】(1)4+ %=2刃，故當(dāng):n呢?時期一編7 ,數(shù)列4中只存在三項.兩式做差得IB - 1由S3為正項數(shù)列知，冊，-1 二 1,即為等差數(shù)列，故外二也"d0 =也1)。島廣同(2)由題意，,化簡得所以O(shè)n+A

36、所以.Oh-l+A On-bA n+l+A tttJl口如+工+心7山十國 s e -J'由題意知Sr-1 5t f r wqFT4*1。恒成立，即：犯I - 3位恒成立，所以|1 - 3位< 3 ,解得懂b - /)fl c - cu2。(3)不妨設(shè)伍超過？項，令R尸口 f ,由題意則有 即2(乩+ L *|)=1幾-7 )4傳田-*工)(*),帶入"加工尸仁可得加%一)、中產(chǎn) 若p=4 二1則兀-7 = b-c,即(4為常數(shù)數(shù)列，與條件矛盾；若口手Lq工1,令也=L得如(P- if二/9 TW,令也=乙得bF3T)'4(q T，兩式作商，可得/ = q ,

37、帶入(*)得|b = c,即/為常數(shù)數(shù)列，與條件矛盾，故這樣的，只有3項.7.【江蘇省徐州市2019屆高三上學(xué)期期中】已知數(shù)列 S"各項均為正數(shù)，口1 = 1 ,% = 3 ,且% 4%+廣 i + % + ?對任意尼三西,恒成立.(1)若% =4求女的值；(2)若修=4(i)求證：數(shù)列M”)是等差數(shù)列；(ii )在數(shù)列%)中，對任意范,總存在gltW#*,(其 中使/為盧)構(gòu)成等比數(shù)列，求出符合條件的一組 (印制【解析】(1)令數(shù)列弧為“ ”一4L 十三 +1=%何 + %+/0%+2 = % = 4過曰=2_勺% + / + % = 7,一1，所以九二，n%飪二%mi. = 2

38、n (2k-1)(24 +1),.，+口(2) .'/2rt+1 k 八 ，假設(shè)一奇數(shù)使得：2m -1 = p(2n - 1) 2k - 1 =pi(2n - 1) > 2m - 1.*>m, .-. p2 >p綜合得：可構(gòu)造一組解為(mM=1z + LyF/n? + LqE, p=萬+ 1 , E已"* .8 .【江蘇省蘇州市高三調(diào)研測試】已知各項是正數(shù)的數(shù)列MJ的前n項和為&.£+2個(1)若5“+,7 = (n N*, n>2),且=2.求數(shù)列3,J的通項公式；若.一對任意打翼燈*恒成立，求實數(shù)位:的取值范圍；(2)數(shù)列%1是公

39、比為q (q>0, q 1)的等比數(shù)列，且an的前n項積為“J.若存在正整數(shù)，對任意供十t)Rn N*,使得 下 為定值，求首項0 1的值. kn【解析】（1）當(dāng)力時，由加,4 ；+ 2則.兩式相減得。一一%=；（/： I-吟，即/十詢=3,仃艇?t ,屏 + 2 曰 aj -3u, -10 = 0當(dāng)小二2時，力十四工+勺=,即 - 一,3解得%=5或啊=- 2 （舍）， 所以口2-町=3,即數(shù)列%J為等差數(shù)列，且首項“尸可所以數(shù)列%）的通項公式為% = 3律-1.由知,% = 3n - 1,所以；_ JHZ+W由題意可得"一a"1 一必”對一切rt崟燈*恒成立,、3

40、/+ h3（n-l）3（n- 1）記j二百S，則匚=2，臉?，-3代工十1H-4所以0.%-!=+，曦九當(dāng)力4時，/c,當(dāng)打=4時， = £ 且弋=稱，勺=1 ci lbluU所以當(dāng) =3時，* =取得最大值溫，所以實數(shù)位的取值范圍為言+.?_Ct,支個,工1 flr = 10%（2）由題意，設(shè) =3 口國手1）,-,“，兩邊取常用對數(shù),1 =她¥1眄+甌“工 省/ 訊目4+ 31-M令，則數(shù)列是以4為首項，®q為公差的等m、1 1 片+弋碰鑿EEF一TT依防汽31_ ' .kl®?生來（比 +/士 A+ l）n ，宙 |-trr一二N差數(shù)列，右

41、為7E值，令 =消,則用。叫十一：1 口%Th即一-二0對rr嬖燈*恒成立,(0t+ I)1 - jzft3 = 0因為q > &,q豐i ,問題等價于1<A + 1) 一世上二。且E J二q皆1 =博代入 因為L里上J,所以必0包于1,an的前n項和為Sn,且滿足a1 a (其 bn滿足4三得盧).所以uj = q,又>0,故 =出9 .【江蘇省常州高三上學(xué)期期末】已知各項均為正數(shù)的無窮數(shù)列 於j=5 + 1電+小+1)中a為常數(shù))，nN.數(shù)列*.中總存在兩個不同的項bs, bts,t N 使(1)證明數(shù)列 an是等差數(shù)列，并求出an的通項公式；(2)若無窮等比數(shù)列

42、g滿足：對任意的n N*,數(shù)列bn得bs Cn bt,求cn的公比q .【解析】(i)方法一：因為 咚小+1)，所以(升1)% =("331)("2)，由-得，(/甫+2葭-,+1電+ 2 (秣+1),即("1)$一=(%+2)$4-1"1電斗乂”1),又1 0,則*一二工$田2 ,即喂二%十？.廣電7 =(符+ 1電+畀(存+】)小人 “曰口甘竹二加十2在a1 1 ，制 1 j中令n 1得，即a2 a1 2.綜上，對任意n N*,都有一一% = 2 ,故數(shù)列 an是以2為公差的等差數(shù)列.=2月一 2 + 口 又a1 a ,則軍方法二：因為，所以也+ 1

43、1"，又§a1 a,S則數(shù)列 是以a為首項，1為公差的等差數(shù)列， n因此*=弱-1+口，即 Z = " +(。-1)匕 n,a =S Sr T = 2w-2+a-,當(dāng)n 2時，1 Qi，又a1 a也符合上式，= 2打一2 +加打wN= 故對任意n N*,都有 z * 一 ，即數(shù)列an是以2為公差的等差數(shù)列.e+ <1+-(2)令“ q 2打一二*口，則數(shù)列en是遞減數(shù)列，所以 聽 立考察函數(shù)k"不工 >】)，因為工1 一1，所以y x 1在1, 上遞增，因此x2<er + <244/口 (口 十二)，從而-.因為對任意n N*,總

44、存在數(shù)列bn中的兩個不同項bs, bt,使得bsCnbt,所以對任意的n N都有4a( a+2)，明顯q 0.若q 1,當(dāng)履之"I啊卜4Al時,有一一 .,：二,舍去;若0 q 1,當(dāng)打之1+1.a' +2u t/+2i + 2 時,，十斗a(a+2)丁 0 ,不符合題意,舍去;10 .【江蘇省鎮(zhèn)江市高三上學(xué)期期末】已知數(shù)列an的前n項和Sn,對任意正整數(shù)n，總存在正數(shù)p,q, r使n 1n得an p , Sn q r恒成立:數(shù)列 bn的前n項和Tn ,且對任意正整數(shù)n , 2Tn nbn恒成立.(1)求常數(shù)p,q,r的值;(2)證明數(shù)列 bn為等差數(shù)列;n 2n+ b. 2

45、町 + & 2n2m 4-2篦+瓦F L +* +2. +e工 +±(3)若b12,記”-%204%3% 產(chǎn)豆，是否存在正整數(shù)k,使得對任意正整數(shù)n , Pnk恒成立，若存在，求正整數(shù)k的最小值，若不存在，請說明理由.【解析】(1) Sn qn r-得：SjS-LgM-g即4 =/-g： n 2又an pP =? -5n 2時，p q2 q； n 3時， 一 . p,q為正數(shù) p q 2.又, a1 1, S| q r , JU a G r 1.（2） 2Tn nbn.Tn 2 時，。&=（"一1）如，-得：地=也-（”1）如，即（."2也=伊-1

46、）如，又.S-l也A=叫+得（a-2）瓦=（"1）岫+5-1）5即陶=如+如 bn為等差數(shù)列.（3） 匕0, b2 2,由（2）知bn為等差數(shù)列.bn 2n 2.又由（1）知an 2n 1,_ _2n4 24«-4 4n-2. 一_ 一，一一 _ 一 一 一 , 2n + 2 寸 4n- 4 4m-2 4n4M+ 2又 -2154jt4n+212ji + 2-4r. 6n M 今1,2亡.=3 +二M4,解得n 1,InPn04*2 P,1 n 2時，2n 4， 3 4 2n6 片+1 即5+ 2 4*220 上 > 于 + =,2« In此時 Pni Pn

47、,即 PCyL,若存在正整數(shù)k ,使得對任意正整數(shù)n, Pn k恒成立，則k之心拉=3， ，正整數(shù)k的最小值為4.11 .【江蘇省南通市高三上學(xué)期第一次調(diào)研】 若數(shù)列an同時滿足：對于任意的正整數(shù) n, aa i an恒成 立；對于給定的正整數(shù) k, 1 F"=況對于任意白正整數(shù)n(n k)恒成立，則稱數(shù)列an是“ R k 數(shù)列”.知-2,欣)奇數(shù)(1)已知“ 7 2%制為偶數(shù)二 判斷數(shù)列an是否為“ R 2數(shù)列”，并說明理由；(2)已知數(shù)列bn是“R3數(shù)列”，且存在整數(shù)p(p 1),使得b3P 3, b3p 1 , b3p 1, b3p 3成等差數(shù)列，證明：bn是等差數(shù)列.【解析】

48、(1)當(dāng)n為奇數(shù)時，吁1)= 3>° ,所以an 1隊aA-2 十口計二21 打一2|-1+工(訂+ 2 -1= 2 2也- 11 = 24 .當(dāng)n為偶數(shù)時，見廠4=(%+ 1)一而=1>°,所以an 1 an.口虎一工十 口計二 2 (內(nèi)一 2)+ 2 (川 + 2)= 4內(nèi)=2ar所以，數(shù)列an是“ R 2數(shù)列”.(2)由題意可得：如十%二地，則數(shù)列b，b4, b7,是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d1,數(shù)列b2, b3, b8,是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d2,數(shù)列b3, b6, b9,是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d3.因為bn bn i,所以務(wù)畔1 "瓦"

49、T ,所以：,所以心L汕-與,以心-辦）工dF+%. 一 一bi b2 . _ .右d2 di 0,則當(dāng)n ;-時，不成立；d2 d1片下 出色1色若d2 di 0,則當(dāng)*時，不成立；若d2 di 0,則和都成立，所以di d2.同理得：di d3,所以di d2 d3,記4=心 = 4-*.設(shè)二：一 一、，.- 一 一 一 ,則 -'.'-'-1二可串一飛-i+d = &一汽 .同理可得：限-& = %- % = d-大，所以晨4 =一丈.所以bn是等差數(shù)列.【另解二.二二 二i 一一冗-4戶= 4+pd-b2 +（p_i）aj =一十壯 ,人=區(qū)大三

50、一方汕口=& +廣,一也+pd J = & _ 4 ,以上三式相加可得：3 2d ,所以 2d,3所以,， 一 一一-，.3蒞小=% +（產(chǎn)- 1）目=慶 + 4一木+（mT），=iT+（3n-l-l） ,與久=& + m-I）d =瓦+鼻+（卸-1）4=4+（沏_）g ,dd所以4 = 4+值-1）工，所以1-4=，JJ所以，數(shù)列bn是等差數(shù)列. 312 .【江蘇省南通市如皋中學(xué)2019-2020學(xué)年第一學(xué)期高三第二次階段測試】已知數(shù)列an的首項a1 -51為等比數(shù)列;求證：數(shù)列 一 1an(2)、Z = IhL記十£若Sn<100,求最大正整數(shù)n；(

51、3)是否存在互不相等的正整數(shù)m s,n,使ms, n成等差數(shù)列，且am1,as 1,an 1成等比數(shù)列？如果存在請給以證明；如果不存在，請說明理由.一，*(1)因為=+，所以；.又因為一一1w0,所以一一1w0( nC N).Jrt科所以數(shù)列為等比數(shù)列.由可得'146)”1,所以>2£)+1.Sn= -1- -F + = n+ 2 癡 癡獨若S<100，則n+1 ,<100,因為函數(shù)y= n +1上單調(diào)增，所以最大正整數(shù) n的值為99.假設(shè)存在，則 m4 n = 2s,( ami 1)( an 1) = ( as 1),因為an=H；-7,所以qJ T4 V

52、J P化簡得 3m+ 3n=2 3 s,因為 3m+ 3n>2 =2 3 s,當(dāng)且僅當(dāng)m= n時等號，又m s, n互不相等，所以不存在.13 .【江蘇省徐州市銅山中學(xué)高三第一學(xué)期期中】已知數(shù)列an的前n項和為Sn,滿足Sn 2an 1 ,*, 件匕。一X +1)4=對沖+11n N ,數(shù)列bn滿足 I ,1，n N，且bi1.(1)求數(shù)列 an和bn的通項公式; 若 W五,數(shù)列Cn的前n項和為Tn,對任意的，都有Tn nSn a,求實數(shù)a的取值范圍.若不存在（3）是否存在正正數(shù) m,n,使馬 46 = 1）成等差數(shù)列？若存在，求出所有滿足條件的 m,n； 請說明理由.【解析】（1）當(dāng)n

53、=1時，W-E,所以a=1.Q = % -1當(dāng) n 2 時，Sn 2an 1, 近一 餐皿,an兩式相減得an 2ani,又ai=1,所以2,an 1從而數(shù)列 an為首項a1 = 1,公比q=2的等比數(shù)列n 1從而數(shù)列 an的通項公式為an 2.由見1-|>1地=小-1）兩邊同除以n n 1，得如一%=1, 總+1 nbb從而數(shù)列 為首項bi 1,公差d 1的等差數(shù)列，所以二n ,nn2從而數(shù)列bn的通項公式為bnn(2)由(1)得 J = %匹=小2+1于是. 一 一-,2r =1x2-2x2;+3x2- +L +5-1)黑2*二千”2 月 所以 工./口 -71 = 12 + 2" +L _21_”2'二_程工2人兩式相減得_ .所以一 一二，由（1）得一，4,*因為對 n N，都有TnnSn a,即'） 恒成立，ii 2 M 1所以恒成立，4 = 2比-網(wǎng)-1記.，所以adn min因為弘4應(yīng)=23-（劉+1）-1-（三-總-1）2n 1 0,從而數(shù)列dn為遞增數(shù)列所以當(dāng)n=1時，dn取最小值di=0，于是a 0.（3）假設(shè)