備戰(zhàn)2018年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)(熱點(diǎn)難點(diǎn))專題08函數(shù)的最值與值域的妙解

1、專題 08 函數(shù)的最值與值域的妙解考綱要求：1、 考查求函數(shù)單調(diào)性和最值的基本方法；求函數(shù)值域或最值常用方法有：單調(diào)性法、圖象 法、基本不等式法、導(dǎo)數(shù)法、換元法.2、 會求一些簡單函數(shù)的定義域和值域.基礎(chǔ)知識回顧函數(shù)的最值前提設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)?，如果存在實(shí)數(shù)M滿足條件對于任意x1，都有f(x)wM對于任意xI，都有f(x) m存在X01,使得f(X0)=M存在X。1，使得f(X。) =m結(jié)論M為最大值m為最小值應(yīng)用舉例：招數(shù)一：換元法與配方法【例 1】2017 山東省棗莊八中高三月 考】函數(shù)f(x) =logA/XTog運(yùn)(2X)的最小值為 _1【答案】4【解析】依題意得隔 1(

2、(2+2如卅)=(宓兀)：+如天=(紳+甘-詩-右當(dāng)且僅當(dāng)-p即戶號鈿等號成 N 因此函數(shù)&的最小值為總【例2】【2017 浙江省寧波市高三入學(xué)考試】求函數(shù)y=x- 1 2X的值域。1【答案】y|y0,于是-1=-如 + 1）2+ 1,-2 -【答案】C【解析】令 y 或吟化一1,1,則原式變?yōu)?(/) =?-4/+5/(/)-/-2/+1在1遞贏/(-1) = 101/1)=2值域?yàn)?,10本題選擇廠選項(xiàng)”招數(shù)二：圖像法【例 4】.【2017 屆山西省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三 3 月聯(lián)考】h x =min：f x , g x的最小值為h怡，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()Aa 2 Ba蘭一2 G a v 1D.

3、a蘭一1【答案】A可得f(x )的最小值為 0,最大值為 2；g (x )= x+丄+a(x a 0)蘭2x丄+a = 2+ a，xV x當(dāng)且僅當(dāng)x=1取得最小值2 a，由存在唯一的x0，使得h x二min丫f x , g x；的值 為h x0，可得2 a：0，解得a：-2，故選A.【例 5】【2017 福建省福州市高三模擬考試】設(shè)函數(shù)g(x) =x2 2(xR),設(shè)函數(shù)nx _1 +cos ,x1 x = 2x , 0：x二1,1函數(shù)g X = X一- a x0),若存在唯一的Xo，X使得nxf x Jcos2x4的圖象,【解析】作出函數(shù)-3 -g(x) +x +4,x 2，由xg(x)，即

4、一K x2X2X-2, x 引-1,2199時，f(x) 2;當(dāng)一1xW2時，f( ) vf(x) f(2) ?wf(x) 0，所以f(x)的域?yàn)?0244x9A,0 U(1,+4【答【解 f(x)【例6】【2017 浙江省金華、麗水、衢州市十二校聯(lián)考】設(shè)min、x, y?二V, X丄y，若定義域x, x V2x為R的函數(shù)則min f (x),g(x)的最大值為【答案】8【解析】設(shè)min：f x , g x，m, m f (x)=Img(x)x2m空f(x) g(x)二m-，顯x +82.，x：Q僅-4 -然，當(dāng)m取到最大值時，x0, x +8-5 -f (X) =g(x)當(dāng)x =8時等號成立

5、，即m的最大值是昱，故填：V2.| x88x 0【名師點(diǎn)睛】一是在使用不等式時，一定要搞清它們成立的前提條件，不可強(qiáng)化或弱化成立的條件，如同向不等式”才可相加、同向且兩邊同正的不等式”才可相乘【例 7】【2017 河北省武安一中高三月考】求函數(shù)y二log3x logx3 _1的值域.【答案】(一汽一 3U1 ,+).【解析】函數(shù)定義域?yàn)殚_圧出且和.當(dāng) 4 時，血宀于是尸血卄盅-住2推曲礙當(dāng)1 時，J( (73jr0；當(dāng)x (1 ,e時,f (x)v0,所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,1)，單調(diào)遞減區(qū)間是(1 ,e，所以當(dāng)x= 1 時，f(x)取得最大值ln1 1 = 1.【例10】【2017

6、 山東煙臺市高三摸底考試】已知定義在區(qū)間(0 ,)上的函數(shù)f(x)滿足f x=f(X1)f(X2)，且當(dāng)x1 時，f(x)X2，則1,由于當(dāng)x1 時，f(x)0 ,X2lOgsJT招數(shù)四: 單調(diào)性法【例8】 設(shè)X_2,則函數(shù)一X 2 X 5x 1的最小值是【答283【解析】令X +1 =t,貝y y =t+纟+5,t W b,母).該函數(shù)是tf(x) =lnxx在區(qū)間(0 ,e上的最大值為(3, V上的增函數(shù),則ymin283【例9】函數(shù)A1 eB.1C.eD.0-6 -7 -，即f(xj -f(X2)0，因此f(xJ0,x0),a x【解析】證明：任取則 fg) 丄一丄一丄+a Xi 8JC

7、iJtgfJTiJTa0?二/(航)一 fg) 0,即 f(jn)(舫), 二吃)在 ftb +8)上是増函數(shù).為増函數(shù)八)二牛一 2=扌，f*二牛一扌二 2,解得 a=|.招數(shù)五：導(dǎo)數(shù)法【例 12】函數(shù)f(x) =x3 3x 1,若對于區(qū)間3,2上的任意X1,X2,都有|f(x f(X2)| t, 則實(shí)數(shù)t的最小值是()A. 20B. 18C. 3D. 0【答案】A【解析】因?yàn)閒(x) = 3x2 3 = 3(x 1)(x+ 1)，令f(x) = 0,得x= 1,所以一 1,1 為函 數(shù)的極值點(diǎn).又f( 3) = 19,f( 1) = 1,f(1) = 3,f(2) = 1,所以在區(qū)間3,2

8、上f(X)max=1,f(x)min= 19.又由題設(shè)知在區(qū)間3,2上f(x)maxf(X)min 20,所以t的 最小值是 20.【例 13】【三湘名校教育聯(lián)盟.2017 屆高三第三次大聯(lián)考】 已知函數(shù)f X二ax3 3-a x在-1,1上的最大值為 3,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A|33B.I-312IC1-3,3】DI-3,12】_ 2,3_ 2【答案】B【解析】f x二ax3 3-a x在I -1,1上的最大值為3= f x -3對x 1-1,1恒成立且所以f(1)求證：f(x)在(0,+s)上是增函數(shù);2【答案】(1)略；(2)a=g.5若f(x)在 g, 2 上的值域是|2, 2 I

9、，求a的值.-l-2_-8 -取到等號，因?yàn)閒1=3,所以只需考慮fx空3對x 1-1,1恒成立，33f x乞3：= ax亠3 -a x遼3二a x -x乞3 1 -x：= ax x W:3,1 x x 1 = 0即x = 0,-1時，f x _ 3恒成立；3綜上：實(shí)數(shù)口的取值范圍罡 弓12 點(diǎn)晴：本題主要考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)與不等式，恒成立問題本題的關(guān)鍵是f 1 =3，所以f x二af 3 - a在-1,1】上的最大值為 3 二f x 3對x -1,11恒成立，利用變量分離，分x(x+1)=0，x(x + 1)0,x(x + 1)0三種情況討論，然后根據(jù) -3在不同x x 1情況下對應(yīng)的值域求得a的

10、取值范圍，最后取交集即可.方法、規(guī)律歸納：1、函數(shù)的定義域是使函數(shù)有意義的自變量取值的集合，它是函數(shù)不可缺少的組成部分，研究函數(shù)問題必須樹立“定義域優(yōu)先”的觀念求給定函數(shù)的定義域往往轉(zhuǎn)化為解不等式(組)的問題，在解不等式(組)取交集時可借助于數(shù)軸.2、函數(shù)的值域是由其對應(yīng)關(guān)系和定義域共同決定的常用的求解方法有：(1) 基本不等式法，此時要注意其應(yīng)用的條件；(2) 配方法，主要適用于可化為二次函數(shù)的函數(shù)，此時要特別注意自變量的范圍；2 x x 1 | s 0即0：x：1時,ax x 1討：一3：二a -3x x 1-3x x 11 (仃1 x1.240 . x : 1時單調(diào)遞增,_3訂嚴(yán)_丁,所

11、以_2；x(x+1) I 2丿2(3)%(x+1)0 艮卩一 1 JCC0H 寸亦(x+1)二一303x(x+l)jx(x + l)遞減，在上遞増,-3x(x+l)E12”七 o),所以a A工歸一乜出王2.【重慶市 2017 屆高三 4 月調(diào)研測試】設(shè)函數(shù)lOg2f X =1 2+42-X X _ , X *1333，若f X在-11 -1242r當(dāng)x -1時，函數(shù)f xx -X在-1,2上單調(diào)遞增，在2, *上單調(diào)遞減,333【解析】由題意，可以考慮采用數(shù)形結(jié)合法，作出函數(shù)f x的圖象，當(dāng)x乞-1時，函數(shù)f X =log2:單調(diào)遞減，且最小值為一：卜2，解得8，-12 -結(jié)合法等有關(guān)方面的

12、知識，屬于中高檔題型，也是高頻考點(diǎn)用數(shù)形結(jié)合的方法解決解析幾何問題時，一方面要發(fā)揮圖形的直觀、形象的作用；另一方面則要注意畫圖的準(zhǔn)確性，完整性和對圖形觀察的細(xì)致，并注意結(jié)合數(shù)學(xué)運(yùn)算來完成3.【河南省息縣第一高級中學(xué) 2017 屆高三下學(xué)期第一次適應(yīng)性測試】【答案】22分子在英=T 處取的最大值：故/ （刃在兀=2處取得最大值為f （-2=2 + 4 4 【四川省遂寧市 2017 屆高三三診】函數(shù)f X = 2X，X -1的值域是【答案】1-2, -【解析】因?yàn)楹瘮?shù)y=2x, y=；$x二1在區(qū)間H, :上都是單調(diào)遞增函數(shù)，所以函數(shù)f x=2xx-1在區(qū)間上也是單調(diào)遞增函數(shù)，f x - f 1

13、=2,即函數(shù)f x =2xx-1的值域是2 r，應(yīng)填答案9,7。已知函數(shù)2-cosk(1- X Jf X二-_兀12x 4x 5(_4xE0),貝U f(x )的最大值為T（切齊擊百我,由于分子分母都罡正數(shù)，且分母在x = -2處取得最小值-13 -5 【2017 年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)浙江卷】已知a R,函數(shù)f (x)=x+-a在區(qū)間1,4上的最大值是 5，貝 y a 的取值范圍是 _x【解析】4環(huán)分類討論：441當(dāng)日寸，f(x)-af(x)-ax-x- + + a a = = 2a2ax x, ,x xx x9函數(shù)的最大值2口4 =乂二口 = 一，舍去；2442當(dāng)日寸，/(%)

14、 = %+-+ =x+- 5a a+a4 4a a+a=5+a=5或|4 a 5a a十 a5 5a a+o=59 .9a a 一或垃 2 2【答-14 -若對任意的xX2 J【1,a+1】，總有|f(為)f(X2(乞4，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】a =2；(2)1：a乞3【解析】試題分析：(1)先將函數(shù)進(jìn)行配方得到對稱軸，判定出函數(shù)f(x)在1 ,a上的單-15 -調(diào)性，然后根據(jù) 定義域和值域均為1 ,a建立方程組，解之即可；(2)將a與 2 進(jìn)行比較， 將條件對任意的xi，X2 1 ,a+1，總有|f(xi) -f(X2)| 1)；二fx)fx)在山引上是減函數(shù),又定義域和值域均為仏a a、e 1 知 +5=0r叫2_2 = 1解W(2)若又jc = al+ l,(a+l)-aa-l(a+l)-aa-l? ? f f(X)M=才(1) = 6-2a ,=f(a)=5-a=f(a)=5-a2 2, ,T對任意的坷，花e 1衛(wèi)+1總有|/(巧)/(無)|蘭4 ,0)込一/Ok，m(6-2)-(5-2)4?解得-a3,-a若lca f(a=5-af(a=5-a2 2, ,/(力 BN -/(或加*4顯然成立，綜上，1a3a/（力為偶國數(shù)則、fr20，函數(shù)f（x）=“a 2，其中e是自然對數(shù)的ex+ x一（a+1