創(chuàng)設(shè)美的數(shù)學(xué)情境

1、創(chuàng)設(shè)美的數(shù)學(xué)情境，構(gòu)建領(lǐng)悟?qū)W習(xí)模式 福建省福清三中 王欽敏（本文曾獲福建省初等數(shù)學(xué)會教育教學(xué)論文評選一等獎）在基礎(chǔ)教育中，基礎(chǔ)知識和基本技能的教育是首要任務(wù)，但是這種教育不能以時下流行的死記硬背和高強度訓(xùn)練的方式來進(jìn)行，而且，基礎(chǔ)教育無可推托地必須肩負(fù)起培養(yǎng)創(chuàng)新意識和實踐能力這一重要的任務(wù)。在數(shù)學(xué)科的教育教學(xué)活動中，由于學(xué)科本身的高度抽象性使得在培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣方面有著巨大的困難，興趣的缺乏引起好奇心的喪失和對數(shù)學(xué)美的漠視，直接影響了雙基教學(xué)和能力培養(yǎng)的效益，對培養(yǎng)探索創(chuàng)新的精神更是一種無可逾越的障礙。因此，基礎(chǔ)教育中的數(shù)學(xué)課程設(shè)計和教育教學(xué)必須完全實現(xiàn)從“傳授知識和高強度的解題訓(xùn)練”的傳統(tǒng)模

2、式到“以激勵學(xué)習(xí)為特征的，以學(xué)生為中心”的實踐模式的轉(zhuǎn)變。如何激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣強化他們探索研究的動機呢？又如何讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中初步培養(yǎng)他們的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力呢？在歷史上，為數(shù)眾多的數(shù)學(xué)家對自已的數(shù)學(xué)思維活動和研究動機都作出了細(xì)致的文字?jǐn)⑹?，本世紀(jì)初法國數(shù)學(xué)家彭加勒有一段極端而鮮明的文句：“科學(xué)家研究自然，并非因為這樣做有用。他所以研究它，是因為他從中得到樂趣；而他之所以能從中得到樂趣，那是因為它美。如果自然并不美，就不值得去了解它，生命也就沒有存在的價值?！蓖欠▏鴶?shù)學(xué)家的阿達(dá)瑪則對數(shù)學(xué)思維做過精辟的論述：“在我們用下意識所形成的大量組合中，大多數(shù)是乏味的和沒有用的，它們無法作用于我們的美感

3、，它們永遠(yuǎn)不會被我們注意到；其中只有若干組合是和諧的，因此同時是美的和有用的，它們能夠激起我們特殊的幾何直覺，這些幾何直覺把我們的注意力引向這些組合，使它們能夠被我們意識到。”這兩段論述在教育教學(xué)的方法和策略上給了我們重要的啟示：追求數(shù)學(xué)美是研究數(shù)學(xué)中最主要的一種心理動機，數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中扮演著最重要角色的不是邏輯思維而是直覺思維或者說是靈感之類的頓悟式的思維。通過對數(shù)學(xué)美和數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的深入考察，我們認(rèn)為，陶醉在美的數(shù)學(xué)情境中所出現(xiàn)的數(shù)學(xué)美感是我們獲取有價值的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的最主要向?qū)?，而在?shù)學(xué)學(xué)習(xí)中必須倡導(dǎo)由直覺思維和邏輯思維相混合的領(lǐng)悟?qū)W習(xí)模式。 （一）通過對數(shù)學(xué)美的本質(zhì)和審美特性的研究，我們認(rèn)為，數(shù)學(xué)

4、美的本質(zhì)是人的本質(zhì)力量通過宜人的數(shù)學(xué)思維的呈現(xiàn)，數(shù)學(xué)的審美特性是主客體的高度統(tǒng)一。顯然，大自然是使數(shù)學(xué)和美聯(lián)合起來的基礎(chǔ)。“大自然是一切歡樂的源泉，離開了大自然就無所謂美?！痹诖笞匀恢?，萬事萬物在現(xiàn)象上看是雜亂、變易和丑陋的，但是，通過持久的觀察和理性的發(fā)掘，這些雜亂無章變易無常的現(xiàn)象下面卻潛藏著和諧有序的規(guī)律，一些部分的那樣一處秩序和結(jié)構(gòu)，它們由于我們天性的原始組織，或是由于習(xí)慣或是由于愛好，適于使靈魂產(chǎn)生快樂和滿意。在大自然中，有著數(shù)不清的數(shù)學(xué)現(xiàn)象，引導(dǎo)學(xué)生走進(jìn)大自然，他將有可能發(fā)現(xiàn)各種各樣美妙的曲線和直觀的幾何圖形，甚至還有可能發(fā)現(xiàn)一些不易覺察出來的代數(shù)關(guān)系，而這些現(xiàn)象能夠涉及到基礎(chǔ)教育

5、中所有的數(shù)學(xué)理論。也就是說，我們可以在大自然這一本大書中運用已知的一些數(shù)學(xué)知識找到許多有趣的數(shù)學(xué)現(xiàn)象，從而充實我們數(shù)學(xué)課堂的研究素材，這是素材收集的一個重要也是極有意思的途徑，在以前，學(xué)校的數(shù)學(xué)教育遠(yuǎn)遠(yuǎn)地脫離了孕育一切科學(xué)知識的母親大自然。收集素材資料有非常多的途徑，在我們的日常生活中，在各種繁復(fù)的社會現(xiàn)象中，在數(shù)學(xué)家們的傳記里，在無數(shù)的資料刊物書籍中，在浩如煙海的互聯(lián)網(wǎng)中，處處可以找到和所要研學(xué)的內(nèi)容相關(guān)的素材，我們還可以通過數(shù)學(xué)自身理論的合情推演和理化生等學(xué)科內(nèi)容獲取新問題的素材。在課堂上，可以通過自由發(fā)言或板書等方式把這些素材有機地組織起來，也可以采用現(xiàn)代教育技術(shù)，使這些素材生動、直觀、

6、清晰地展現(xiàn)在學(xué)生面前，獨運匠心，發(fā)揮學(xué)校教師和眾多學(xué)生的群體力量，我們完全可以使數(shù)學(xué)課堂趣味化、直觀化和歷史化，也就完全有可能創(chuàng)設(shè)出美的因而也是啟人思扉且發(fā)人深思的數(shù)學(xué)問題情境。置身于這樣的情境之中，師生的思維活動必將被迅速地引發(fā)，每個人都會想著這些數(shù)學(xué)現(xiàn)象是和哪些自己已知的知識有聯(lián)系，可以采用哪一個數(shù)學(xué)思想方法來思考它。必須通過回顧與聯(lián)想喚醒學(xué)生的知識技能和思想方法中與問題情境相關(guān)的內(nèi)容。不同的觀察者會聯(lián)想到不同的數(shù)學(xué)內(nèi)容，還可能有一些人有著非常獨特的想法，一定要有一個寬松的氣氛和自由發(fā)表見解的時間，讓想說的人完整地說出他們自已想說的。在這樣的一種氛圍中，學(xué)生腦中存有的知識技能、思想方法和問

7、題素材產(chǎn)生了交互映射式的關(guān)聯(lián)，這種關(guān)聯(lián)是人的思維和外界數(shù)學(xué)素材不斷融合的過程，它是充滿著好奇色彩的，所以同時也是人的主觀思想感情和數(shù)學(xué)抽象物不斷親融的過程，而當(dāng)學(xué)生慢慢地感覺到問題情境內(nèi)在的組織性或秩序，感受到眾多素材里潛伏著的那種統(tǒng)一時，將會體驗到美的滿足感，并將產(chǎn)生出強烈的探究欲望。創(chuàng)設(shè)情境就是一個提出數(shù)學(xué)問題的過程。從當(dāng)前國際數(shù)學(xué)教育發(fā)展的主流來看，“問題解決”已成為大多數(shù)國家數(shù)學(xué)教育的核心內(nèi)容，數(shù)學(xué)問題這個概念的內(nèi)涵也在不斷地變更不斷地豐富。在美國、英國、日本、瑞典和德國的數(shù)學(xué)教學(xué)大綱中，都明確地把能夠數(shù)學(xué)地解決日常生活的實際問題作為數(shù)學(xué)教育的重要目標(biāo)。戴再平教授對數(shù)學(xué)問題有以下的論述

8、：（1）對學(xué)生來說不是常規(guī)的，不能靠簡單的模仿來解決；（2）可以是一種情景，其中隱含的數(shù)學(xué)問題要學(xué)生自己去提出、求解并作出解釋；（3）具有趣味和魅力，能引起學(xué)生的思考和向?qū)W生提出智力挑戰(zhàn)；（4）不一定有終極的答案，各種不同水平的學(xué)生都可以由淺入深地作出回答；（5）解決它往往需伴以個人或小組的數(shù)學(xué)活動。歷史上經(jīng)過實踐已經(jīng)證明了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是不可能完全去重復(fù)數(shù)學(xué)家進(jìn)行數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的全過程，這里提出的創(chuàng)設(shè)問題情境，事實上是在將數(shù)學(xué)家原創(chuàng)性的發(fā)現(xiàn)過程進(jìn)行濃縮，并將數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)所需的契機或機遇無代價地展現(xiàn)。誠然，一個有品味的數(shù)學(xué)問題情境是得來不易的。在有限的幾個學(xué)時數(shù)下，如何能夠開展那些收集素材的工作呢？我們認(rèn)為，

9、這些工作完全可以在寒暑假和周末時段里進(jìn)行合理的安排，而且，針對各章節(jié)內(nèi)容的不同特點可以在教師的適當(dāng)指導(dǎo)下進(jìn)行一次或兩次的收集，而不必在上每節(jié)課之前都安排這些工作。所創(chuàng)設(shè)的數(shù)學(xué)情境最重要的是具有很強的啟發(fā)性，它能使相當(dāng)多的學(xué)生在感知的過程中自然地在腦海直覺到要研究的某種數(shù)學(xué)概念的輪廓，能讓學(xué)生提出各種各樣的數(shù)學(xué)問題。在學(xué)習(xí)、研究和創(chuàng)造過程中，概念的產(chǎn)生和問題的發(fā)現(xiàn)都是極為重要的，是一個數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的過程。新的數(shù)學(xué)概念和知識還沒有被學(xué)生掌握之前，它已潛伏于所展示的數(shù)學(xué)素材之中，當(dāng)學(xué)生腦中已掌握的知識技能和思想方法被適時地激活后，他們的數(shù)學(xué)思維活動將圍繞著這些素材而展開，持續(xù)的觀察、比較、分析和判斷，大

10、膽的嘗試、聯(lián)想、想象和猜想，使得認(rèn)識由此及彼由表及里地不斷積聚不斷深化，最終出現(xiàn)了“恍然大悟”或者說是“豁然開朗”的心理狀態(tài)，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中我們把它稱之為“數(shù)學(xué)領(lǐng)悟”。數(shù)學(xué)理論的創(chuàng)建有其異常獨特的一面，那就是一旦在公理化體系框架確立之后，其內(nèi)部的發(fā)展往往會暫時和現(xiàn)實世界斷開聯(lián)系，而僅憑著其自身內(nèi)部的約定自由地演繹推廣，一直到理論發(fā)展到比較成熟的時候，才回到現(xiàn)實世界里通過實踐加以驗證和應(yīng)用，所以無論是在整個理論演繹過程中，還是在具體的解題過程中，也都必須在已知結(jié)論的基礎(chǔ)上不斷地感悟，不斷地創(chuàng)新。數(shù)學(xué)領(lǐng)悟的實質(zhì)是數(shù)學(xué)邏輯思維和數(shù)學(xué)直覺思維交互辯證運動的過程，眾所周知，數(shù)學(xué)直覺思維是人腦對數(shù)學(xué)對象、結(jié)

11、構(gòu)以及關(guān)系的敏銳的想象和迅速的判斷，在一定程度上，它是邏輯思維的凝結(jié)或簡縮。由于數(shù)學(xué)知識的嚴(yán)謹(jǐn)性、抽象性和系統(tǒng)性的特點，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中人們常常認(rèn)為只有嚴(yán)格的邏輯思維才是最有用的，事實上，由于直覺思維是數(shù)學(xué)研究和數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的最主要的工具，在任何一種有實效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中都是不應(yīng)被忽視的，法國科學(xué)院院士狄多涅認(rèn)為：“任何水平的數(shù)學(xué)教學(xué)的最終目的，無疑是使學(xué)生對他所要處理的數(shù)學(xué)對象有一個可靠的直覺”。雖然說直到現(xiàn)在直覺思維的產(chǎn)生機制還未被研究清楚，但是每一個有過數(shù)學(xué)沉思的人都會或多或少地體驗到直覺思維的存在，它也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中學(xué)生發(fā)現(xiàn)活動的最重要、最有實際意義的發(fā)現(xiàn)形式。我們這里所提出的領(lǐng)悟的概念，則是一

12、個綜合意義上的數(shù)學(xué)思維活動，它有邏輯，也有直覺，可以使用觀察、比較、分析、綜合、抽象和概括等基本思維方法，可以運用歸納、演繹和類比進(jìn)行推理，同時它也非常注重使用聯(lián)想、想象、靈感、猜想等諸多自由的帶發(fā)散性質(zhì)的思維方式，它可以是分層漸進(jìn)的，也可以是頓悟的。在過去，我們將數(shù)學(xué)思維過程分離成各種獨立的思維形式，有助于對他們進(jìn)行單獨深入的研究，也有助于使教育教學(xué)的目標(biāo)明確化，但是，實際中的數(shù)學(xué)思維具有綜合性多樣性，許多時候還有著成功的或然性和不可解釋性。它是憑著對基礎(chǔ)知識邏輯結(jié)構(gòu)高度純熟而培養(yǎng)出的一種精細(xì)的感覺將計劃多方位整體地推進(jìn)，疑團(tuán)往往是在長久的努力思考后于不經(jīng)意間象閃電一樣迅速地被解開了，一些毫

13、不相干的概念被神奇地撮合在一起的時候，呈現(xiàn)在大腦中的金色關(guān)系網(wǎng)就象一幅完全被展開的新美的圖案，所以，“領(lǐng)悟”一詞最好地概括了有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中思維的整體特征，是一個值得加以深入詳盡研究的模式概念。領(lǐng)悟是在學(xué)習(xí)者內(nèi)心深處進(jìn)行的，是個體的思維體悟。領(lǐng)悟?qū)W習(xí)模式在強調(diào)學(xué)生是學(xué)習(xí)主體的同時，非常重視課堂上的數(shù)學(xué)交流，認(rèn)為師生間和同學(xué)間的交流有啟發(fā)、引導(dǎo)和促進(jìn)的作用，數(shù)學(xué)交流主要包括三個方面：（1）數(shù)學(xué)思想的表達(dá)。把自已的思想通過直觀的或非直觀的、口頭的或書面的、普通語言的或數(shù)學(xué)語言的形式表達(dá)出來；（2）數(shù)學(xué)思想的接受。以聽、讀、看、摸等方式接受來自他人的思想；（3）數(shù)學(xué)思想載體的轉(zhuǎn)換。把數(shù)學(xué)思想從一

14、種表達(dá)方式轉(zhuǎn)換成另一種表達(dá)方式。由于領(lǐng)悟的過程有著明顯的層次性，所以我們有可能通過相互間的交流達(dá)到分層領(lǐng)悟的目的，讓每個學(xué)生都能充分發(fā)揮自已的潛能，循序漸進(jìn)地學(xué)習(xí)而不至于負(fù)擔(dān)過重。課堂上的自由發(fā)言將成為一種習(xí)慣，每個學(xué)生都能隨時地發(fā)表自已的看法和自已的領(lǐng)悟結(jié)果，共同學(xué)習(xí)共同進(jìn)步，既發(fā)揮了群體學(xué)習(xí)的優(yōu)勢，又能讓他們的思想在交流中成熟。各個學(xué)生領(lǐng)悟出的道理是從不同的角度與層次進(jìn)行，因而結(jié)果也將是多樣化的甚至是五花八門的，讓他們自由地展示，數(shù)學(xué)的魅力也正是在這種豐富多樣的思維中得以體現(xiàn)，我們大力提倡創(chuàng)新式的發(fā)散思維，也恰可發(fā)揮群體學(xué)習(xí)的最重要的好處，眾所周知，大多數(shù)人認(rèn)為課堂授課制的一個致命缺陷正是

15、在于學(xué)生太多，但是，有一個缺陷就會產(chǎn)生一個優(yōu)勢。 （二）以赫爾巴特、凱洛夫為代表的“傳統(tǒng)學(xué)習(xí)”模式注重師講生聽，堅持知識傳授強調(diào)技能訓(xùn)練；以布盧姆為代表的“掌握學(xué)習(xí)”模式注重教學(xué)目標(biāo)為中心的知識掌握，強調(diào)以教學(xué)評價為導(dǎo)向的反饋矯正；以布魯納為代表的“發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)”模式強調(diào)知識的發(fā)現(xiàn)過程。但總起來看，這些教學(xué)模式仍是一種以學(xué)習(xí)基礎(chǔ)知識為宗旨的靜態(tài)式的知識型教學(xué)策略。以傳授和掌握知識為目的、以范例為模仿對象進(jìn)行大量的習(xí)題訓(xùn)練為手段是這一漫長歷史時期的主要教學(xué)特征。如果說在20世紀(jì)我們呼喚知識“知識就是力量”，那么，在21世紀(jì)我們將呼喚悟性“悟性就是財富”。在數(shù)學(xué)教育史上，從20世紀(jì)50年代的“新數(shù)”運

16、動到70年代提出“回到基礎(chǔ)”的口號，再到80年代的“問題解決”和當(dāng)前我國的數(shù)學(xué)教學(xué)實際，都嚴(yán)重地忽視了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、學(xué)習(xí)心理動機和對學(xué)習(xí)的價值判斷，而這些問題在數(shù)學(xué)的教與學(xué)中因為數(shù)學(xué)科學(xué)表面上的抽象和枯燥其重要性是其它任何學(xué)科的教學(xué)所不能比擬的。一直到90年代，人們才漸漸地在“問題解決”的課題中加入了更深的內(nèi)涵，開始強調(diào)運用數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)的應(yīng)用，也開始重視數(shù)學(xué)的交流和數(shù)學(xué)的思想方法，能注意到學(xué)生學(xué)習(xí)的信心問題等。提倡“創(chuàng)設(shè)美的數(shù)學(xué)情境，構(gòu)建領(lǐng)悟?qū)W習(xí)模式”在某種角度上是基于這個思路的一種充實和發(fā)展。建構(gòu)主義認(rèn)為，人的認(rèn)識本質(zhì)是主體“構(gòu)造”的過程，所有的知識都是我們自已的認(rèn)識活動的過程，我們通過自已

17、的經(jīng)驗來構(gòu)造自已的理解，而我們的經(jīng)驗又受到自已認(rèn)知結(jié)構(gòu)的影響。在數(shù)學(xué)中，“是我們自已的注意、選擇與構(gòu)造為現(xiàn)實提供了結(jié)構(gòu)?！碑?dāng)前這種能動反映論的觀點受到人們極大的重視，而我們所提出的“領(lǐng)悟?qū)W習(xí)模式”與此不謀而合。“悟”是東方思維方式的基本概念，雖然佛家空宗的“空無理論”和道家“玄之又玄”的思辨哲學(xué)里的許多內(nèi)容我們現(xiàn)在已無法明確解讀，但是印度禪學(xué)的直覺體驗以及莊子對“道”的心靈體悟的思維方式在近現(xiàn)代卻得到了人們更多的研究和詮釋。而在數(shù)學(xué)家對自身的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)過程的記述中，在對數(shù)學(xué)直覺思維的研究中，同樣也有關(guān)于靈感、頓悟和直覺的內(nèi)容?？梢哉f，西方思維強調(diào)具體分析，而東方思維強調(diào)整體感悟，但二者相資以用，

18、分析然后有綜合，感悟然后有細(xì)化，并不能將某一方完全丟棄。這里領(lǐng)悟概念的界定是對東西思維方式融合的一個嘗試。不能否認(rèn)基礎(chǔ)教育中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有其獨特的一面，這就是學(xué)習(xí)者必須要建立起一個比較系統(tǒng)的知識體系結(jié)構(gòu)，但是，它不是最重要的目標(biāo)，不是最終的目標(biāo)，更不能是唯一的目標(biāo)。當(dāng)我們的教育把升學(xué)率做為評估時的一個最重要指標(biāo)的時候，師生唯一關(guān)注的是如何答對高考試卷上的一個個問題，在數(shù)學(xué)教學(xué)中實現(xiàn)這個目的完全可以通過死記硬背和高強度解題訓(xùn)練來完成，而且，成績的好與壞在很大程度上與訓(xùn)練的強度正相關(guān)。這是一種簡便的可操作性很強的教育方式，然而，這種教育方式是悖謬的，一方面，在人類所掌握的知識量極速膨脹的今天，知識搜尋

19、也越來越方便越多樣化，這個強烈的時代特征使得在基礎(chǔ)教育中培養(yǎng)學(xué)生的資料搜索能力要比記憶能力更重要；另一方面，在科學(xué)的學(xué)習(xí)和研究中，發(fā)現(xiàn)問題要比解決問題更重要更困難，對人的實踐能力和創(chuàng)新能力也都提出了更深層次的要求。在紛繁復(fù)雜的現(xiàn)實世界里，許多時候是問題和結(jié)論都不能明確下來，20世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家希爾伯特對提出數(shù)學(xué)問題的重要性的體會比任何人都強烈，我們都知道由他在20世紀(jì)初著手提出的23個數(shù)學(xué)問題至今仍在影響著數(shù)學(xué)的發(fā)展。在創(chuàng)設(shè)情境的環(huán)節(jié)中，學(xué)生要運用已掌握的數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)思想方法去觀察自然界和社會中和數(shù)學(xué)相關(guān)的現(xiàn)象，去收集大量的資料，并學(xué)會從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)和提出問題，這將大大有益于學(xué)生的實踐能力和創(chuàng)新意識、創(chuàng)新能力的培養(yǎng)。我們強