輔助函數(shù)在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

1、第卷第期南通航運(yùn)職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)年月刪礎(chǔ)肛輔助函數(shù)在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用趙彤（南通航運(yùn)職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部，江蘇南通）摘要：文章對(duì)高等教學(xué)中輔助函數(shù)的應(yīng)用作了一定的研究，主要分析了構(gòu)造輔助函數(shù)的方法以覆在證明不等式和中值問(wèn)題方面的重要應(yīng)用關(guān)鍵詞：構(gòu)造；輔助函數(shù)；不等式；中值問(wèn)題中圖分類號(hào)：文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：文章編號(hào)；（）人們?cè)诨顒?dòng)中，遇到妨礙其目的實(shí)現(xiàn)的障礙時(shí)，就會(huì)考慮借助于某種媒介物去克服這個(gè)障礙。解高等數(shù)學(xué)題也一樣，我們常常借助于輔助函數(shù)去克服解題中的困難，往往能達(dá)到意想不到的效果。本文就證明不等式和中值問(wèn)題方面對(duì)輔助函數(shù)的重要應(yīng)用作一些介紹。構(gòu)造輔助函數(shù)證明不等式在高等數(shù)學(xué)中，有關(guān)不等式的習(xí)題占了很

2、大比重。證明不等式的方法也有很多種，其中利用輔助函數(shù)證明不等式是非常重要的手法之一。結(jié)合不等式的特點(diǎn)，構(gòu)造輔助函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性（可以利用一階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來(lái)判斷）證明不等式叫。例證明：當(dāng)一÷號(hào)時(shí)，。卜詈成立。證：構(gòu)造輔助函數(shù)，“，則，（）。（）因?yàn)槭撬愫瘮?shù)，故只需證明在，）上墳）導(dǎo)調(diào)遞減構(gòu)造輔助函數(shù)（）竺一詈，則。竺墮墮堅(jiān)號(hào)筍。一切砷（，這是因?yàn)楫?dāng)時(shí)工等，（）要證廠；一血，先詞擘，詈）上半，爭(zhēng)。，。所以（）在【，爭(zhēng)上單調(diào)遞減，（），（爭(zhēng)，即警爭(zhēng)，半，爭(zhēng)，故有廠。；，因此在，爭(zhēng)上【）單調(diào)遞減。又因?yàn)椤荆┦桥己瘮?shù)，故一詈，）在“）上單調(diào)遞增。綜上，當(dāng)一爭(zhēng)細(xì)叫他墑叫掣，出。詈時(shí)，有【），

3、即。一手成立。倒設(shè)連續(xù)函數(shù)（）不恒為零，【，】且），則涉及到有關(guān)定積分的證明問(wèn)題，一般可以將定積分的積分上限看作變量構(gòu)造輔助函數(shù)。收稿日期：作者簡(jiǎn)介：趙彤（一），男，江蘇南通人，南通航運(yùn)職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部副教授，碩士。萬(wàn)方數(shù)據(jù)第期趙彤：輔助函數(shù)在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用刪腳叫腳洫對(duì)笙鏟一腳司注意到。，（）：，（），（砷。，（）血，（。）。勵(lì)。絲：！÷生一，（）眇（曲出血譬（一們）一。（）攀（；一。）一睡一伽（），（）掣一（一口），。（）一一一口），（因?yàn)?，所以（）。所以心）單調(diào)遞增，礦（，所以靜）單調(diào)遞增，酏）（。于是，）領(lǐng)），所以單調(diào)遞增。綜當(dāng)，有只）珂曲，原不等式得證。構(gòu)造輔助函數(shù)證明中

4、值問(wèn)題微分方程法構(gòu)造輔助函數(shù)翻對(duì)于證明至少存在一點(diǎn)；（，），使得，（）巾（，（），）的中值問(wèn)題，可以通過(guò)構(gòu)造輔助函數(shù)的方法證明。具體的方法是將結(jié)論中的轉(zhuǎn)成，得到一階微分方程，求出該方程的通解，再解出通解中的任意常數(shù)巾（弘）力，則即為要構(gòu)造的輔助函數(shù)。構(gòu)造輔助函數(shù)（）掣一（一口）虹一口），則”：拼：壁一。一酢叫在一點(diǎn)，使存（）一半。魯例設(shè)函數(shù)，）在閉區(qū)間【，】上可微且滿足，（）一礦（）出，求證：在（，）內(nèi)至少存證：將結(jié)論中的轉(zhuǎn)成，得到，（咖七觸），解微分方程得到通解為，因此，構(gòu)造輔助函數(shù)）弧，阿銜）。，由積分中值定理，至少存在一點(diǎn)口，使得礬對(duì)出；礦（功，又，（）一可出。從而壩）欹），即至少存在一

5、點(diǎn)口，爿，使得（）顫），又目）弧），（）一等。由羅爾中值定理，至少存在一點(diǎn)（，），使得（即，即，（），（）卸，得到例設(shè)弛）差】上連續(xù)，在（神）內(nèi)可導(dǎo)以由，（）出尋（一），求證在（如）內(nèi)至少存在證：首先構(gòu)造輔助函數(shù)，將結(jié)論中的轉(zhuǎn)成，得到，）妖，解微分方程得到通解為）斗，一點(diǎn)，使得，（）顫）。（年江蘇省第七屆高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）。解得帆“）。因此，構(gòu)造輔助函數(shù)）（肛），“）礦）批）。構(gòu)造輔助函數(shù)舛），出一去一口），易得巾（）擊（），由羅爾中值定理。至少存在一點(diǎn)（，），使得巾（），從而，“）一。萬(wàn)方數(shù)據(jù)南通航運(yùn)職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)年考察函數(shù)）擴(kuò)一），荊，（），由羅爾中值定理，至少存在一點(diǎn)（，），使得（），

6、從而（）一“）一，（）“）一。常數(shù)分離法構(gòu)造輔助函數(shù)】具體方法是將要證明的中值問(wèn)題的結(jié)論中的常數(shù)部分分離出來(lái)，令常數(shù)部分為，作恒等變形，使等式兩端分別為。以曲和，“）的表達(dá)式。若等式兩端關(guān)于端點(diǎn)的表達(dá)式對(duì)稱，則把其中一個(gè)端點(diǎn)設(shè)為，相應(yīng)的函數(shù)值設(shè)為），所得的關(guān)于如）的表達(dá)式即為所需構(gòu)造的輔助函數(shù)。例設(shè)刪始）在【，上連續(xù)，在（，）內(nèi)可導(dǎo)，證明：至少存在一點(diǎn)（。，），使得口，（）（）（）一廠（）。對(duì)稱，們加掣芋掣一。臀恐里常數(shù)翕已經(jīng)分離慌令瑤差鏟吐變形為等生：掣黼兩邊關(guān)于端點(diǎn)證明：構(gòu)造輔助函數(shù)（曲：叢墮一，則。）在。，上連續(xù)，在（。，）內(nèi)可導(dǎo)，且曲：），由羅爾中值定理，至少存在一點(diǎn)（。，），使得（）

7、：，從而，魚(yú)竽一女，即礦（國(guó)一，（毋礦（）一可）結(jié)束語(yǔ)輔助函數(shù)法是高等數(shù)學(xué)中一個(gè)重要的解題方法，應(yīng)用非常廣泛，同時(shí)構(gòu)造輔助函數(shù)的方法和技巧也都很豐富。筆者從事高等數(shù)學(xué)教學(xué)多年，對(duì)輔助函數(shù)應(yīng)用的心得遠(yuǎn)不【：以上這些，限于篇幅，本文就證明不等式和中值問(wèn)題這兩個(gè)方面進(jìn)行了討論。參考文獻(xiàn)：【華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)分析北京：高等教育出版社，【王文?？聘叩葦?shù)學(xué)競(jìng)賽十五講【北京：中國(guó)礦業(yè)大學(xué)出版社，冊(cè)（，叩加陽(yáng)：，）曲也，撕血缸由譏血鈾博印小：芏仕；萬(wàn)方數(shù)據(jù)輔助函數(shù)在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用作者：作者單位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次數(shù)：趙彤， ZHAO Tong南通航運(yùn)職業(yè)技術(shù)學(xué)院,基礎(chǔ)部,江蘇,南通,

8、226006南通航運(yùn)職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)JOURNAL OF NANTONG VOCATIONAL & TECHNICAL SHIPPING COLLEGE2005，4(4)0次參考文獻(xiàn)(2條)1.華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系 數(shù)學(xué)分析 19912.王文 專科高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽十五講 2001相似文獻(xiàn)(10條)1.期刊論文 陳運(yùn)明.Chen Yunming 高等數(shù)學(xué)中輔助函數(shù)的構(gòu)造及應(yīng)用 -長(zhǎng)沙通信職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)2002,1(2)輔助函數(shù)在高等數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用,但是要在具體應(yīng)用中恰到好處引入一個(gè)輔助函數(shù)并不是一件容易的事,特別對(duì)于初學(xué)者來(lái)說(shuō)更是困難,本文從兩個(gè)定理的證明入手定性的分析了在解題時(shí)構(gòu)造輔

9、助函數(shù)應(yīng)該考慮的問(wèn)題以及構(gòu)造方式.2.期刊論文 徐禮卡.XU Li-ka 構(gòu)造輔助函數(shù)解決問(wèn)題的個(gè)案及教學(xué)分析 -株洲師范高等?？茖W(xué)校學(xué)報(bào)2007,12(5)通過(guò)對(duì)一個(gè)案例進(jìn)行教學(xué)分析,提出高師數(shù)學(xué)教育應(yīng)該在培養(yǎng)學(xué)生的函數(shù)思想觀念、提高用構(gòu)造輔助函數(shù)法解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的意識(shí)和能力方面體現(xiàn)教育價(jià)值.可以在整個(gè)微積分教學(xué)過(guò)程中抓住契機(jī),通過(guò)設(shè)計(jì)用輔助函數(shù)解決諸如方程、不等式、求值問(wèn)題的情境來(lái)達(dá)到培養(yǎng)的目的.使得作為未來(lái)教師的數(shù)學(xué)教育專業(yè)大學(xué)生能充分認(rèn)識(shí)到函數(shù)思想觀念、構(gòu)造輔助函數(shù)解決相關(guān)問(wèn)題的意識(shí)和能力,應(yīng)從初中、高中、大學(xué)的數(shù)學(xué)教學(xué)中逐步得到深化和提高.輔助函數(shù)在高等數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用,但要在具體

10、應(yīng)用中恰當(dāng)?shù)臉?gòu)造輔助函數(shù)使問(wèn)題得到較好的解決,是學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中經(jīng)常遇到的一個(gè)難題,本文總結(jié)了三種常見(jiàn)的構(gòu)造輔助函數(shù)的技巧.在中值定理的證明中構(gòu)造輔助函數(shù)是關(guān)鍵,怎樣構(gòu)造出輔助函數(shù)是中值定理證明中的難點(diǎn). 本文通過(guò)對(duì)定理?xiàng)l件和結(jié)論的分析,給出了構(gòu)造輔助函數(shù)的規(guī)律和方法.給出以Rolle定理為基礎(chǔ),用不同構(gòu)造輔助函數(shù)的方法來(lái)證明Lagrange定理,強(qiáng)調(diào)了證明Lagrange定理過(guò)程中輔助函數(shù)構(gòu)造的思維過(guò)程.6.期刊論文 聶洪珍.張翠萍 關(guān)于構(gòu)造輔助函數(shù)證明微分中值定理的進(jìn)一步探討 -鞍山師范學(xué)院學(xué)報(bào)2003,5(4)微分中值定理是微分學(xué)的基本理論,其中Lagrange定理和Cauchy定理的證

11、明關(guān)鍵是構(gòu)造輔助函數(shù).文中就如何構(gòu)造輔助函數(shù)、輔助函數(shù)是否惟一等問(wèn)題作進(jìn)一步探討.7.期刊論文 鄧衛(wèi)兵.DENG Wei-bing 利用參數(shù)變導(dǎo)法構(gòu)造輔助函數(shù) -重慶工商大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）2005,22(4)微分學(xué)中有3個(gè)著名的中值定理,其中Lagrange中值定理的證明,引入了輔助函數(shù),然后由Rolle中值定理來(lái)證明Lagrange中值定理,這個(gè)突如其來(lái)的輔助函數(shù)很難理解和接受.利用參數(shù)變異法引入輔助函數(shù),給出了一種輔助函數(shù)的"統(tǒng)一"構(gòu)造法,并利用這種方法解決了一些具體問(wèn)題.8.期刊論文 李延.揚(yáng)秀玲 構(gòu)造輔助函數(shù)的典型方法 -中國(guó)科教創(chuàng)新導(dǎo)刊2010(2)解決微分學(xué)的許多問(wèn)題,涉及輔助函數(shù)的構(gòu)造.本文針對(duì)微分中值等式的證明,提出了三種具有一定規(guī)律可循的構(gòu)造輔助函數(shù)的方法.9.期刊論文 安震 淺析高等數(shù)學(xué)中構(gòu)造輔助函數(shù)的解題思想 -太原城市職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)2008(6)構(gòu)造輔助函數(shù)的解題思想在高等數(shù)學(xué)中應(yīng)用非常廣泛,文章針對(duì)不等式的證明、方程根的論證以及存在性的證明,通過(guò)典例,介紹了幾種構(gòu)