【高考數(shù)學大題精做】專題01等差與等比數(shù)列的基本量的計算(第二篇)(解析版)

1、【高考數(shù)學大題精做】第二篇數(shù)列與不等式專題01等差與等比數(shù)列的基本量的計算對應典例利用基本量思想求解等差等比典例1等差等比中項的應用典例2等差等比數(shù)列求和中帶絕對值問題典例3等差等比數(shù)列的和的最值問題典例4等差等比數(shù)列之間的綜合問題典例5等差等比數(shù)列的定義應用典例6【典例1】【內蒙古呼和浩特市 2019屆高三上學期期中調研考試】已知數(shù)列%是等差數(shù)列，且 % 1, S16 24.(I)求數(shù)列an的通項公式an ；(I)若數(shù)列bn是遞增的等比數(shù)列且 n b4 9, b2b3 8,求(a1 b1) b3) (a5 bs)(a2n 1 b2n 1).【思路引導】a17d 1(I)由已知可得,即可求出數(shù)

2、列an的通項公式an；2a115d 3(I)由已知可得 |Cthb4b2b38可得bn=2n 1,再分組求和即可.解:(I)后已知得：a2a27d 115d 3a16,d 1 ,an6 n 11 n7.12 / 15(I)由已知得:又bn是遞增的等比數(shù)列，故解得:bi 1h 8,q 2,bn2naib % ha5 b51b2n 1=ala3 La2n 1hb3 Lb2n 12n 81 4 16 L 4n 1n 6 2n 814n24n 1 n 7n 21 43【典例2】【黑龍江省大慶市2019-2020學年高三年級第二次教學質量檢測】已知等差數(shù)列an的公差d 0,其前n項和為Sn ,若S36,

3、且a1, a2, 1 a3成等比數(shù)列(1)求數(shù)列 an的通項公式；(2)若bn an 2 an ,求數(shù)列bn的前n項和Tn .【思路引導】(1)根據(jù)等差數(shù)列公式得到2a a3 1 a232,計算得到答案& a2 a36n(2) bn n 1 ,利用分組求和法計算得到答案.2解：2ala31a2門口 a1a12d 1(1)依題意，得即1叼&a2a363313d 6a12,整理得d2 d 2 0.d 0, d 1, a1 1.數(shù)列an的通項公式an1即數(shù)列an的通項公式an n .n1（2）bnan 2 ann 2 n n 2TnAb2bnTn1n(n-21)n(n21)n(n21)1)【典例3】

4、【廣東省惠州市2019-2020學年高三第三次調研考試】等差數(shù)列an的前n項和為Sn,已知a17 ,公差d為大于0的整數(shù)，當且僅當n=4時，Sn取得最小值.(1)求公差d及數(shù)列an的通項公式;(2)求數(shù)列【思路引導】an的前20項和.(1)根據(jù)等差數(shù)列性質得a,a50,解不等式得d范圍，再根據(jù)d為大于0的整數(shù)得d的值，最后根據(jù)等 0差數(shù)列通項公式得結果;(2)先根據(jù)項的正負去掉絕對值,再分別根據(jù)對應等差數(shù)列求和公式求和，即得結果解：(1)設an的公差為d ,則由題可知:a4a5a13doa1 4d 03d因為d為整數(shù),d =2an a1 (n4d07.解得一1)d72(n1)2n所以數(shù)列an的

5、通項公式為an 2n 9(2)當 n 4時，an ；當 n 5時，an 0aia2a3a5a2o(ai a? a3 a4)(a5a?。)(ai a4) 4 (a5 a20)16(7 1) 4 (1 31) 16 謝所以數(shù)列an的前20項和為272.【典例4】【陜西省寶雞中學 2019-2020學年高三上學期第一次模擬】已知等差數(shù)列an滿足為a2 4且 加 a20 12 ,等比數(shù)列 bn的首項為2,公比為q.(1)若q 3,問0等于數(shù)列 an中的第幾項?(2)若q= 2,數(shù)列 不和bn的前n項和分別記為 0和T八a的最大值為M，試比較M與T9的大小.【思路引導】(1)根據(jù)等差數(shù)列的通項公式，即可

6、求得數(shù)列an的通項公式.根據(jù)等比數(shù)列的首項與公比，求得等比數(shù)列bh的通項公式，進而可求得b3.即可求出b3等于數(shù)列an中項.(2)根據(jù)等差數(shù)列的求和公式即可求得等差數(shù)列前n項和的最大值為 M .由等比數(shù)列的前n項和公式求得T9的值，即可比較M與T9的大小.解：(1)因為等差數(shù)列 an滿足a a2即 a2a14,所以等差數(shù)列an的公差又 a8a2012得 a1 17dai 19d 12,代入可得a178所以ana1n 1 d 78 n 144n 82當?shù)缺葦?shù)列bn的首項為2,公比為q.bnb1qn 12 3n 1所以 b3 b1q2 2 32 1 8所以當18 4n 82時解得n 16即q 3時

7、4等于數(shù)列an中的第16項(2)等比數(shù)列bn的首項為2,若q = 2叫1 qn可得丁T92 1 291 2210 2 1022又等差數(shù)列 an中Sn na1n n 1 d ,、-代入可得2Snn n 1478n 22n2 80n22 n 20 2 800所以當n 20時，Sn的最大值為M 800所以M T9【典例5】【2007年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試理科數(shù)學卷(福建 )等差數(shù)列an的前n項和為Sn,a11 亞，S39372.(I )求數(shù)列an的通項an與前n項和Sn ；S(I)設bn (n N ),求證：數(shù)列 n解：bn中任意不同的三項都不可能成為等比數(shù)列.23d1,9 3.2,，三1(

8、I)由已知得3al故 an 2n 1 應，Sn n(n V2). (i)由(i)得 bn Sn n 近.假設數(shù)列bn中存在三項bp,bq,br(P,q,r互不相等)成等比數(shù)列，則b2bpbr.即(q在2 (p衣(r柩.(q2 Pr) (2q P r)、2 0Q p, q, r N ,2q2qpr 0, p r 0,2pr,(p r) 0, p r .r矛盾.所以數(shù)列bn中任意不同的三項都不可能成等比數(shù)列.【典例6】【2020屆湖北省部分重點中學高三第二次聯(lián)考】若an的前n項和為Sn, S2 20 ,數(shù)列S是公差為6的等差數(shù)列n(1)求2口的通項公式;記bnan2彳，求證:bn為等比數(shù)列,并求b

9、n前n項和Mn.【思路引導】(1 )先求出Sn ,再利用BnSiSnSni(n 1),、求出an的通項公式;(n 2)n項和公式求Mbn(2)證明為定值即可得bn為等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的前 bn 1解:(1)依題意：Sn & 6(n 2) 6n 2, n 22從而 Sn 6n 2n ,S (n 1)Sn Sn1 (n 2)4 (n 1)12n 8(n 2)12n 8(nan 12n 8,( n N*)；on ob 一(2)由條件知：bn 2 ，當n 2時，；一 8 , bn 1故bn為公比為8的等比數(shù)列由等比數(shù)列求和公式，Mnb1 8n 12 8n 18 17【針對訓練】1.已知等差數(shù)列a

10、n的公差d 2,且a2 a52, a。的前n項和為Sn.(1)求an的通項公式;(2)若Sm、a9、a15成等比數(shù)列，求 m的值.【思路引導】(1)根據(jù)題意得出a1和d的方程組，解出這兩個量，然后求解等差數(shù)列an的通項公式;(2)求出Sm,利用Sm、a9、a15成等比數(shù)列，列出方程，即可求解正整數(shù)m的值.解：a5 a2 2a1 5d 2 .a14 ,(1)因為，解得，因此，an a1n 1 d 2n 6；d 2d 2(2)Sma1ammm 42m 62m 5m,22又Qa9 12 , a15 24,因為 Sm、aa15成等比數(shù)列，所以2a9Sma15,即12224 m2 5m ,整理得 m25

11、m6 0, Qm N ,解得m 6.2.12020屆安徽省皖東縣中聯(lián)盟上學期高三期末考試】2.等差數(shù)列an中，公差d 0 , a22,且a1,a3, a成等比數(shù)列(1)求數(shù)列 an的通項公式;一 、一an(2)設g ,求數(shù)列l(wèi)n cn的前n項和Sn.an 1【思路引導】(1)利用等差數(shù)列、等比中項的通項公式即可求解(2)利用裂項求和法即可求解2斛：(1)由題設a1，a3, a9成等比數(shù)列知：a3a1a92即：a2 da2 d a27d，又 a2 2 ,解得 d 1 或 d 0 (舍去)，故an的通項公式為an n ；(2)由(1)知 cn n,則 ln cn In n In n In n 1

12、, n 1n 1則數(shù)列 lncn 的前 n 項和 Sn ln1 ln2 ln 2 ln3 ln n ln n 1 In n 1 .3.【2020屆湖北省荊州中學、宜昌一中等荊、荊、襄、宜四地七校高三上學期期末】已知等差數(shù)列an的首項為6,公差為d ,且a1，a3 2,2a4成等比數(shù)列.(1)求an的通項公式；(2)若 d 0,求 |aj |a21 同| .冏| 的值.【思路引導】(1)由通項公式寫出a3,a4,利用仇3 2,2包成等比數(shù)列可求得d ,從而得數(shù)列的通項公式;(2)由(1)得an的表達式，確定an中哪些項為正，哪些項為負，然后分類求和.解：(1)Qa1 6,公差為 d, a3 6

13、2d, a46 3d.2. 一.又Qa1，a3 2,2a4成等差數(shù)列，a1 2a4a3 2 ，解得d 1或d 2當 d 1 時，an 7 n ；當 d 2 時，an 2n 4 ,故 an 7 n 或 an 2n 4 .(2). d 0,d =-1,此時 an 7n.當n 7時，Cn2 13nan 0, a1 a2 . an a1 a2 . an .22當n 7時,an(0, al7(0 6)2故a1a2a2. an | &a2.n 71 7 nn2ann2 13n22n2 13n22a?a8a913n - 42.242, n 74.【云南省昆明市2019-2020學年高三下學期1月月考】設等差

14、數(shù)列(1)求數(shù)列(2)記 Cn【思路引導】anan公差為d ,等比數(shù)列bn公比為q,已知a1an , bn的通項公式;an bn ,求數(shù)列Cn的前n項和Sn.(1)將條件均用基本量表示，列方程求解即可;(2)寫出&和4Sn,作差，禾IJ用等比數(shù)列的求和公式整理即可.解：(1)bb25 , bi5,a1bi，.二 a11 2d5,bi，a32d .解得:2d5,2dd12,bnbiqn12d5,d22d4n 1(2) Cnan bn_24Sn 4 3 42,若d4 ，二 b12n 1 4n5 43 La32d2d0 (舍去)，2n,anai24 5 42L4n 1n2n 1 42n 12n 1,

15、3Sn 12 4 214 / 154 416n 5 n 51 2 2n 1 4n4.4 133c 6n 5 八 5Sn 4 二.995.【陜西省寶雞市金臺區(qū) 2019-2020學年高三教學質量檢測數(shù)學】在等差數(shù)列 an中，a a617, a? a723.(1)求數(shù)列 an的通項公式；(2)設數(shù)列2an bn是首項為1,公比為2的等比數(shù)列，求數(shù)列 bn的前n項和Sn.【思路引導】(1)根據(jù)條件列關于首項與公差的方程，解得結果代入等差數(shù)列通項公式得結果；n 1.(2)先根據(jù)等比數(shù)列通項公式得2an bn 2 ,解得bn通項公式，再根據(jù)分組求和公式得結果.解：(1)設等差數(shù)列 an的公差為d ,則a

16、2 a7 a a62d 6,d 3.a2 a7 2a1 7d 23,解得 a11，數(shù)列an的通項公式為an3n 2 ；(2) 數(shù)列 2an bn是首項為1,公比為2的等比數(shù)列， 2an bn 2n 1,即 6n 4 bn 2n 1.bn 6n 4 2n 1.2n 1 Sn2 8 14 L 6n 41 2 2 L 2n 3n 11 2 22 L2n 1 .1 2nnSn n 3n 1 n 3n 121.1 26.已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn,等比數(shù)列bn的前n項和為Tn,且a11,b,1,a2b24.(1)若a3 b3 7 ,求bn的通項公式；(2)若 T3 13,求 S5.【思路引導】(1

17、)設等差數(shù)列 an公差為d ,等比數(shù)列bn公比為q q 0 ,由已知條件求出q,再寫出通項公式;(2)由t13 13 ,求出q的值，再求出d的值，求出S5.解：設等差數(shù)列an公差為d ,等比數(shù)列bn公比為q q 0有1 d2(1)1 2d q7 ,結合d q 3得q 2, bn2n3m22 ,整理得k2m 117 / 152(2) T3 1 q q 13,解得 q 4 或 3,.5 4當q 4時，d 7,此時S5 57 75 2當 q 3時，d 0,此時 S5 5al 5.7.【山東省泰安市2019-2020學年高三上學期期末】 已知等差數(shù)列 an的前n項和為Sn,a2 a5 12,S4 16

18、.(1)求an的通項公式;m, k 1 m k ,使得 1(2)數(shù)列bn滿足bn ；，Tn為數(shù)列bn的前n項和，是否存在正整數(shù) 4Sn 12Tk 3Tm ?右存在，求出m, k的值；右不存在，請說明理由.【思路引導】(1)設等差數(shù)列an的公差為d,由等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式得2al2al5d3d12，解得8ai d從而求出an 2n 1 ；(2)由(1)得 Snn n n 12 n2,由 bn214n2 112n 112n 1,利用裂項相消法得Tn2n 1，若Tk3T,一3m2,由 k m 1 得1 m 1 , 4m 1 2m2從而可求出答案.解：（1）設等差數(shù)列an的公差為d,由 a

19、2a5S412得162al2a15d3d12,解得8a1 dan2n1,n（2）Snbn14n2 11 _J2 2n12n 1Tnb1b2bn2 112n 312n 1112n 1 2n 111，2 2n 1若Tk3Tm2,k則2k 1c 23m2m 123m2-2，4m 1 2m解得13m24m 1 2 m2m 12m m 1 小204m 1 2m2,m 1-，又 m N*, 212, 存在 m 2,k12滿足題意.8.【山西省運城市2019-2020學年高三上學期期末】設Sn為等差數(shù)列an的前n項和，且a? 15 , S565.（D求數(shù)列 an的通項公式;（I）設數(shù)列 bn的前n項和為Tn

20、,且Tn Sn 10,求數(shù)列bn的前n項和Rn .【思路引導】（I）將a2和S5利用a1和d來表示，構造方程組解得a1和d ,根據(jù)等差數(shù)列通項公式求得結果；（I）由等差數(shù)列前n項和公式求得Sn ,可得到工，根據(jù)b1T1和bnTn Tn 1可得bn ；根據(jù)通項公式可知當24 / 1510n09 時，bn0；當 n10 時，bn0,從而可得：1 w n 0 9 時RnTn；n10 時 RnTn2T9,從而求得結果解:a2a1d 15(I)設等差數(shù)列an的公差為d ,則:S55a15 4d 65解得:17ana1nd 172n19(i)(I)得:Snn a1an22n 18nTn2n 18n101 時，bi T1 7時，bnTnTn 12n19經驗證b 17bn7, n2n 19,n當1 0 n0 9時,bnn10 時，bn當1 0 n09時,Rnb2bnbn18n 10當n10時,Rnb2bnb2b9bwbnbib2b9b10bi1bnTn 2T9n2 18n152綜上所述：Rn2 n2 n18n18n10,1 n ! 152,n 109.【廣東省潮州市2019-2020學年高三上學期期末】已知等差數(shù)列an滿足 a a210, ada32.(1)求an的通項