2021年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽競(jìng)賽大綱(修訂稿)及全部定理內(nèi)容

1、2021.03.07*歐陽(yáng)光明*創(chuàng)編全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽競(jìng)賽大綱及全部定理內(nèi)容歐陽(yáng)光明(2021.03.07)一、平面幾何1、數(shù)學(xué)競(jìng)賽大綱所確定的所有內(nèi)容。補(bǔ)充要求：面積和面積方法。2、幾個(gè)重要定理：梅涅勞斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。3、幾個(gè)重要的極值：到三角形三頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)-費(fèi)馬點(diǎn)。到三角形三頂 點(diǎn)距離的平方和最小的點(diǎn)-重心。三角形內(nèi)到三邊距離之積最大的點(diǎn)-重心。4、幾何不等式。5、簡(jiǎn)單的等周問(wèn)題。了解下述定理：在周長(zhǎng)一定的n邊形的集合中，正n邊形的面積最大。在周長(zhǎng)一定的簡(jiǎn)單閉曲線 的集合中，圓的面積最大。在面積一定的n邊形的集合中，正n邊形的周長(zhǎng)最小。在面積一定的簡(jiǎn)單閉曲

2、線 的集合中，圓的周長(zhǎng)最小。6、幾何中的運(yùn)動(dòng)：反射、平移、旋轉(zhuǎn)。7、復(fù)數(shù)方法、向量方法。平面凸集、凸包及應(yīng)用。二、代數(shù)1、在一試大綱的基礎(chǔ)上另外要求的內(nèi)容：周期函數(shù)與周期，帶絕對(duì)值的函數(shù)的圖像。三倍角公式，三角形的一些簡(jiǎn)單的恒等式，三角不等式。*歐陽(yáng)光明*創(chuàng)編2021.03.072、第二數(shù)學(xué)歸納法。遞歸，一階、二階遞歸，特征方程法。國(guó)數(shù)迭代，求n次迭代，簡(jiǎn)單的函數(shù)方 程。3、n個(gè)變?cè)钠骄坏仁剑挛鞑坏仁?，排序不等式及?yīng)用。4、復(fù)數(shù)的指數(shù)形式，歐拉公式，棣美弗定理，單位根，單位根的應(yīng)用。5、圓排列，有重復(fù)的排列與組合，簡(jiǎn)單的組合恒等式。6、一元n次方程（多項(xiàng)式）根的個(gè)數(shù)，根與系數(shù)的關(guān)系，實(shí)系

3、數(shù)方程虛根成對(duì)定 理。7、簡(jiǎn)單的初等數(shù)論問(wèn)題，除初中大綱中所包括的內(nèi)容外，還應(yīng)包括無(wú)窮遞降法， 同余，歐幾里得除法，非負(fù)最小完全剩余類(lèi)，高斯函數(shù)，費(fèi)馬小定理，歐拉函 數(shù)，孫子定理，格點(diǎn)及其性質(zhì)。二、立體幾何1、多面角，多面角的性質(zhì)。三面角、直三面角的基本性質(zhì)。2、正多面體，歐拉定理。3、體積證法。4、面，會(huì)作截面、表面展開(kāi)圖。四、平面解析幾何1、直線的法線式，直線的極坐標(biāo)方程，直線束及其應(yīng)用。2、二元一次不等式表示的區(qū)域。3、三角形的面積公式。4、圓錐曲線的切線和法線。5、圓的嘉和根軸。五、其它抽屜原理。容斤原理。極端原理。集合的劃分。覆蓋。數(shù)學(xué)競(jìng)賽中涉及的重要定理1、 第二數(shù)學(xué)歸納法：*歐陽(yáng)

4、光明*創(chuàng)編2021.03.07有一個(gè)與自然數(shù)n有關(guān)的命題，如果：(1)當(dāng)n=l時(shí)，命題成立；(2)假設(shè)當(dāng)n<k時(shí)命題成立，由此可推得當(dāng)n = k+l時(shí)，命題也成立。那么，命 題對(duì)于一切自然數(shù)n來(lái)說(shuō)都成立。2、 棣美弗定理：設(shè)復(fù)數(shù) z=r(cosO+isin0),其 n 次方 zAn = rAn (cos(n0)+isin(n6),其中 n 為正整數(shù)。3、 無(wú)窮速降法：證明方程無(wú)解的一種方法。其步驟為：假設(shè)方程有解，并設(shè)X為最小的解。從X推出一個(gè)更小的解Y。從而與X的最小 性相矛盾。所以，方程無(wú)解。4、同余：兩個(gè)整數(shù)a, b,若它們除以整數(shù)m所得的余數(shù)相等，則稱(chēng)a, b對(duì)于模m同余， 記作

5、a三b (mod m),讀作a同余于b模m,或讀作a與b關(guān)于模m同余。比如26三14 (mod 12)【定義】設(shè)m是大于1的正整數(shù)，a,b是整數(shù)，如果ml(a-b),則稱(chēng)a與b關(guān)于模m同余，記作a三b(modm),讀作a同余于b模m.。有如下事實(shí)：(1)若a=0(mod m),則mla; (2)a=b(mod m)等價(jià)于a與b分別用m去除，余數(shù)相 同.5、歐幾里得除法：即輾轉(zhuǎn)相除法。詳見(jiàn)高中數(shù)學(xué)課標(biāo)人教B版必修三6、完全剩余類(lèi):*歐陽(yáng)光明*創(chuàng)編2021.03.07從模n的每個(gè)剩余類(lèi)中各取一個(gè)數(shù)，得到一個(gè)由n個(gè)數(shù)組成的集合，叫做模 n的一個(gè)完全剩余系。例如，一個(gè)數(shù)除以4的余數(shù)只能是0, 1, 2

6、, 3, 0, 1, 2, 3和4, 5, -2, 11是模4的完全剩余系。可以看出。和4, 1和5, 2和-2, 3和 11關(guān)于模4同余，這4組數(shù)分別屬于4個(gè)剩余類(lèi)。7、高斯函爹f(x)=ae-(x-b)A2/cA2 其中 a、b 與 c 為實(shí)數(shù)常數(shù)，且 a > 0.8、費(fèi)馬小定理：假如P是質(zhì)數(shù)，fi(a,p)=l,那么aA(p-l)三1 (mod p)假如p是質(zhì)數(shù)，目a,p互 質(zhì)，那么a的(p-l)次方除以p的余數(shù)恒等。(P 函數(shù)的值：通式：(p(xhx(l-l/pl)(l-l/p2)(l-l/p3)(l-l/p4)(l-1/pn),其中 pl, p2.pn為x的所有質(zhì)因數(shù)，x是不為

7、。的整數(shù)。(p(l)=l (唯一和1互質(zhì)的數(shù)就是1 本身)。若n是質(zhì)數(shù)p的k次累，(p(n)=pAk-pA(k-1 )=(p-1 )pA(k-1),因?yàn)槌?p的倍數(shù) 外，其他數(shù)都跟n互質(zhì)。歐拉沃I數(shù)是積性函數(shù)若m,n互質(zhì)，(p(mn)=(p(m)(p(n)。特殊性質(zhì)：當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，(p(2n)=(p(n),證明于上述類(lèi)似。10、孫子定J此定理的一般形式是設(shè)m = ml , mk為兩兩互素的正整數(shù)，m =ml, .mk , m = miMi, i = 1, 2, . , k o 則同余式組 x=bl(modml), x 三 bk(modmk)的解為 x 三 M'lMlbl + + M&

8、#39;kMkbk ( modm ) o 式中 M'iMi 三 12021.03.07*歐陽(yáng)光明*創(chuàng)編(modmi) , i= 1, 2,k o11、裴蜀定理:對(duì)任何整數(shù)a、b和它們的最大公約數(shù)d,關(guān)于未知數(shù)x和y的線性丟番圖方程(稱(chēng)為裴蜀等式)：若a,b是整數(shù)，目*歐陽(yáng)光明*創(chuàng)編2021.03.07(a,b)=d,那么對(duì)于任意的整數(shù)x,y,ax+by都一定是d的倍數(shù)，特別地,一定存在整數(shù)x,y,使ax+by=d成立。它的一個(gè)重要推論是：即b互質(zhì)的充要條件是存在整數(shù)x,y使axby=l.11、梅涅勞斯定理：如果在AABC的三邊BC、CA、AB或其延長(zhǎng)線上有點(diǎn)D, BD CE AFE、F

9、且D、E、F三點(diǎn)共線，則灰百百二112、梅涅勞斯定理的逆定理：如果在AABC的三邊BC、CA、AB或其延長(zhǎng)線上BD CE AFM13、瓦定理:有點(diǎn)D、E、F,且滿足皮直屈=1,則D、E、F三點(diǎn)共線。設(shè)。是AABC內(nèi)任意一點(diǎn)，AO、BO、CO分別交對(duì)邊于N：AM .BN 產(chǎn)、M, 貝莉麗西一14、塞瓦定理的逆定理:設(shè)M、N、P分別在AABC的AM BN CP邊AB、BC、CA上，目滿足加兩無(wú)二,貝JAN、BP、CM相交于一點(diǎn)。15、廣勾股定理的兩個(gè)推論：推論1:平行四邊形對(duì)角線的平方和等于四邊平方和。推論2:設(shè)AABC三邊長(zhǎng)分別為a、b、c,對(duì)應(yīng)邊上中線長(zhǎng)分別為ma、mb、men . -yllb

10、2 +2c2 -a2)J2a2 +2.2 f?貝：ma=2; mb=216、三角形內(nèi)、外角平分線定理：*歐陽(yáng)光明*創(chuàng)編2021.03.07BD _ AB 內(nèi)角平分線定理：如圖：如果/1=/2,貝幅麗=就外角平分線定理：如圖，AD是AABC中/A的外角平分線交BC卑）延長(zhǎng)線與D,則有 DC=ACD17、托勒密定理：口上二四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，則有AB CD+AD BC=AC18、三角形位似心定理：如圖，若4ABC與ADEF位似，則通過(guò)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的三直線AD、BE、CF共點(diǎn)于P19、正弦定理、在AABC中有sin力一 sin 8 - sin C - - （R為ABC外接圓半徑）余弦定理：a、b、c為AABC的邊，則有：a2=b2+c2-2bc cosA; b2=a2+c2-2ac cosB; c2=a2+b2-2ab cosC;20、西姆松定理：點(diǎn)P是AABC外接圓周上任意一點(diǎn)，PD±BC, PE±AC, PF±A