數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)及碎形維度於X光醫(yī)學(xué)影像分析

1、國(guó)立臺(tái)灣大學(xué)土木工程學(xué)研究所民國(guó)95年博士學(xué)位論文摘要數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)及碎形維度於X光醫(yī)學(xué)影像分析研 究 生:林啟豪指導(dǎo)教授:呂良正第一章 諸論 近年來(lái)，隨著電腦計(jì)算能力的提升，電腦影像處理技術(shù)及應(yīng)用有著迅速的發(fā)展，並在各個(gè)科學(xué)研究及應(yīng)用領(lǐng)域中得到廣泛的應(yīng)用。例如在生物醫(yī)學(xué)工程領(lǐng)域中，癌細(xì)胞的識(shí)別、白血球分類、紅血球統(tǒng)計(jì)及手術(shù)方案的電腦影像確定等等。這些課題都涉及到影像處理中一個(gè)主要分支-影像分割(Segmentation)及描述(Description)。 影像分割的主要目的，在於將觀察者有興趣的區(qū)域自影像中分割出來(lái)。有別於傳統(tǒng)影像分割的方法，數(shù)學(xué)形態(tài)法是以一結(jié)構(gòu)元素去度量和萃取影像中對(duì)應(yīng)的特徵，

2、適合用於X光醫(yī)學(xué)影像的紋理特徵擷取。 影像描述是指以特徵資訊來(lái)代表影像特性，如在形容一個(gè)圓形時(shí)，半徑大小即為最佳的描述方法。有別於傳統(tǒng)歐氏幾何學(xué)之整數(shù)維度，碎形可具有分?jǐn)?shù)維度，常用以表徵某些不規(guī)則的幾何形體。X光醫(yī)學(xué)影像紋理特徵形態(tài)複雜，有著與碎形結(jié)構(gòu)類似的特性，非常適合以碎形維度來(lái)描述之。 數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)及碎形維度為影像分割及描述的新方法。研究分為以下三個(gè)部份來(lái)評(píng)估數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)及碎形維度於X光醫(yī)學(xué)影像分析時(shí)之可行性及限制性。第一部份:利用豬脊骨試體之Micro CT數(shù)位影像，模擬X光照射時(shí)可能產(chǎn)生的變異。討論照射角度、影像對(duì)比及幾何誤差的變異對(duì)分析結(jié)果所產(chǎn)生的影響。第二部份:以材料試驗(yàn)機(jī)求得試體的

3、材料性質(zhì)(楊氏系數(shù)及極限強(qiáng)度)，探討影像特徵之碎形維度與楊氏系數(shù)及極限強(qiáng)度之相關(guān)性。第三部份以臨床根管治療為例，以數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)擷取影像特徵，並配合碎形維度評(píng)估根管治療前後影像特徵的差異，以期做為早期根管治療成效的評(píng)估。另外，碎形維度常見(jiàn)的評(píng)估方法-方格計(jì)數(shù)法，於非整數(shù)分割時(shí)，所產(chǎn)生的平臺(tái)效應(yīng)，本研究亦提出修正公式來(lái)解決此一問(wèn)題。第二章 數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué) 以數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的方法來(lái)描述及求取骨架時(shí)，設(shè)為歐幾里德空間上的集合，的骨架記為，為骨架的子集，即為中最大內(nèi)切圓半徑為時(shí)所對(duì)應(yīng)之骨架，以數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的表示如下: (2.1) (2.1)式中指半徑為的圓，為具有微小半徑值的圓。在歐幾里德空間中，圓可近似為一個(gè)小的

4、結(jié)構(gòu)元素B。而圓則可近似為離散半徑的圓，其中(次)。由此可得出另一種數(shù)學(xué)形態(tài)對(duì)骨架的定義形式: (2.2)Original Imagen=0n=1n=2n=15n=3n=4n=5圖2.1灰階影像的骨架分析(特徵擷取)第三章 碎形維度表3.1歐氏幾何與碎形幾何的比較盒子維度 對(duì)於一個(gè)複雜的幾何圖形，我們無(wú)法知道其局部與整體之間的相似比時(shí)，可以採(cǎi)用大小不同的方塊分別去覆蓋(或填充)被測(cè)對(duì)象，依方格大小統(tǒng)計(jì)覆蓋所需的方格數(shù)來(lái)計(jì)算其維度，這種方法稱為盒子計(jì)數(shù)法(Box Counting)又稱方格計(jì)數(shù)法( Majumdar, Weinstein and Prasad 1993)。用這種方法計(jì)算出的維度稱

5、為容量維度。 設(shè)想我們用一長(zhǎng)度為的線去量測(cè)長(zhǎng)度為的線段時(shí)，測(cè)得與之比值為。顯然值的大小與的長(zhǎng)短有關(guān)，越小越大，即: (3.1) 如我們用一邊長(zhǎng)為的正方塊去覆蓋面積為的平面時(shí)，測(cè)得與之比值為。顯然值的大小與正方塊的面積有關(guān)，越小越大，即: (3.2) 上述(3.1)、(3.2)式中的指數(shù)部份1及2分別為直線與平面的維度。將上述的討論加以推廣，對(duì)於容量維度為的物件用邊長(zhǎng)為r的方塊去覆蓋時(shí)，可得到的個(gè)數(shù)為: (3.3) 一般來(lái)說(shuō)，為了精確測(cè)量一個(gè)不規(guī)則物體，所用的尺度越小越精確，在極限情況下: (3.4) 對(duì)式(3.4)取對(duì)數(shù)得容量維度： (3.5) 由於在實(shí)際計(jì)算碎形體的容量維度時(shí)，我們不可能取長(zhǎng)

6、度的比例尺去測(cè)量，常用的方法是用幾個(gè)有限長(zhǎng)度的比例尺多次量測(cè)，並將測(cè)量結(jié)果作雙對(duì)數(shù)圖。如果測(cè)量物件的確是碎形體，便會(huì)得到一條負(fù)斜率的直線，其斜率絕對(duì)值即為該物件的容量維度。第四章 修正修正型方格計(jì)數(shù)法1.直線的非整數(shù)分割 以方格計(jì)數(shù)法評(píng)估線寬為1 pixel直線之碎形維度時(shí)，因不當(dāng)選取方格大小所產(chǎn)生非整數(shù)分割情形(圖4.1)。由方格計(jì)數(shù)法基本定義(直線D=1)，經(jīng)由移項(xiàng)可得(為常數(shù))，此時(shí)所代表意義為直線之總長(zhǎng)。在此情況下我們可知C=9，。2.平面的非整數(shù)分割 以方格計(jì)數(shù)法評(píng)估平面之碎形維度時(shí)，因不當(dāng)選取方格大小所產(chǎn)生非整數(shù)分割情形(圖4.1)。由方格計(jì)數(shù)法基本定義(平面D=2)，經(jīng)由移項(xiàng)可得

7、 (為常數(shù))，此時(shí)所代表意義為平面之總面積。在此情況下我們可知C=81，。 直線 平面圖4.1於非整數(shù)分割下評(píng)估直線、平面之碎形維度3修正公式推導(dǎo) 觀察直線及平面的理論解，我們發(fā)現(xiàn)可將理論解分成二部分: (4.1) (:完整方格區(qū)塊 , :非完整方格區(qū)塊) 完整方格區(qū)塊與傳統(tǒng)方格計(jì)數(shù)法計(jì)算方式完全相同，方格中若包含物件不論是一點(diǎn)或是填滿整個(gè)方格，則方格總數(shù)加1。在非完整方格區(qū)塊部份則以下列公式計(jì)算之:直線: (4.2) 平面: (4.3) (:有效長(zhǎng)度 , :方格邊長(zhǎng) , :有效面積 , :方格面積) 觀察(2.2)、(2.3)式並將碎形維度導(dǎo)入，可將其改寫(xiě)成:直線: (4.4) 平面: (4

8、.5) 經(jīng)由以上整理我們可發(fā)現(xiàn)不論是直線或是平面，在非完整方格區(qū)塊部份所應(yīng)貢獻(xiàn)的方格數(shù)都可看成是其特徵長(zhǎng)度的碎形維度次方。當(dāng)碎形物件維度介於12間時(shí)，配合線性內(nèi)插公式可得下列近似公式: (4.6) (其中 , ) 當(dāng)D=1時(shí)，=與式4.4相同。 當(dāng)D=2時(shí)，=與式4.5相同。4.結(jié)果表4.1整數(shù)分割、非整數(shù)分割於四種圖紋之碎形維度值 *格線採(cǎi)180方格大小進(jìn)行回歸分析第五章 照射條件之影響1.研究流程圖5.1研究流程圖2.結(jié)果 由表5.1可知，不論是相減法或是碎形維度法，分析區(qū)域越接近病變大小越能成功判讀病變之發(fā)生。所有因素中，病變大小影響判讀成功機(jī)率最大，於病變大小40 pixel及分析區(qū)域

9、80×80 pixel下相減法有70%以上成功判讀機(jī)率，而碎形維度法有著高逹95%以上的成功機(jī)率。然而在病變大小20 pixel及分析區(qū)域80×80 pixel下相減法有55%左右的成功判讀機(jī)率，而碎形維度法也僅有75%左右的成功機(jī)率。在三種不同照射條件變異中，相減法對(duì)幾何誤差最敏感而投影角度的影響最小，而碎形維度法則受投影角度的影響最大而影像對(duì)比的影響最小。然而不論是哪種照射條件之變異，碎形維度法均較相減法有著更高的判讀成功率。表5.1照射條件、分析區(qū)域及病變大小於相減法及碎形維度法之影響第六章 碎形維度與其材料性質(zhì)之研究 由極限強(qiáng)度與楊氏模數(shù)的關(guān)係圖可知二者有中度的正相

10、關(guān)(R2=0.676)，對(duì)於醫(yī)療診斷上而言，極限強(qiáng)度的描述比楊氏模數(shù)更有其代表意義。從前、後面(AP View)及側(cè)面(Lateral View)所求得的碎形維度(D1、D2)，可知二者有中度正相關(guān)(R2=0.450)(圖6.10)。這也代表如果碎形維度與材料性質(zhì)(極限強(qiáng)度與楊氏模數(shù))相關(guān)的話，不同角度所產(chǎn)生的X光投影影像僅能部份解釋同一試體的材料性質(zhì)，也代表著若能收集更多的投影資料則其預(yù)測(cè)能力將可提高。由碎形維度與極限強(qiáng)度的關(guān)係圖(圖6.1、6.2)可發(fā)現(xiàn)二者有中度的負(fù)相關(guān)性(R2=0.517、R2=0.623)。以變數(shù)D1及D2乘積對(duì)極限強(qiáng)度與楊氏模數(shù)做線性回歸，則碎形維度與極限強(qiáng)度的相關(guān)

11、性，可由中度相關(guān)提升至高度相關(guān)(R2=0.738)，而與楊氏模數(shù)的相關(guān)性則差異不大仍屬於中度相關(guān) (R2=0.505)。回歸公式如表6.1所示。圖6.1 D1 V.S.極限強(qiáng)度圖6.2 D2 V.S.極限強(qiáng)度表6.1單、雙變數(shù)線性回歸Regression RelationshipR2 Value Maximum Stress VS. D1×D2 VS. D1 VS. D2 Youngs Modulus VS. D1×D2 VS. D1 VS. D2Y=-154.551X+460.960Y=-407.396X+712.633Y=-396.755X+687.169Y=-4378

12、.00X+13292.46Y=-17009.71X+29735.18Y=-10426.24X+18350.220.7380.5170.6230.5050.5470.371圖6.8研究流程圖第七章 應(yīng)用實(shí)例 根管治療一般俗稱抽神經(jīng)，正確說(shuō)來(lái)抽神經(jīng)只是根管治療中的一部份。完整的根管治療包括牙髓腔的開(kāi)擴(kuò)、牙髓去除(抽神經(jīng))、根管的開(kāi)創(chuàng)、消毒及充填。成功的根管治療可以撲滅根管內(nèi)的病菌及毒素，治療牙根尖周圍組織的創(chuàng)傷，促使牙根周圍組織的修補(bǔ)及癒合(圖7.1) 使牙齒仍能以一種良好的健康狀態(tài)處?kù)端闹С纸M織中。 (a) (b)圖7.1根管治療前後牙根尖週圍組織變化情形(a)根管治療前 (b)根管治療後結(jié)果

13、 從二十六例根管治療前後X光影像特徵之碎形維度變化可知，根管治療前牙根病灶處其影像特徵之碎形維度平均值為1.619，而成功的根管治療三個(gè)月後其碎形維度平均值提升至1.639。在二十六個(gè)病例中，有三個(gè)病例治療後之碎形維度值低於治療前。以無(wú)母數(shù)成對(duì)樣本W(wǎng)ilcoxon Signed Rank Test統(tǒng)計(jì)分析可知，治療前後牙根尖病灶處影像特徵之碎形維度值有顯著的變化(P<0.05)。圖7.4根管治療前後碎形維度之變化:(D1)治療前(D2)治療後之碎形維度第八章 結(jié)論 影像特徵擷取的正確與否，對(duì)於最終分析結(jié)果有著絕對(duì)的影響。以數(shù)學(xué)形態(tài)法擷取影像特徵時(shí)需先決定1.結(jié)構(gòu)元素大小及形態(tài)2. 疊合影

14、像的處理次數(shù)。這兩項(xiàng)因素對(duì)於影像特徵擷取的正確與否有著重大的影響。文章中建議以5x5 pixel的圓形結(jié)構(gòu)元素為擷取X光影像的基本結(jié)構(gòu)元素單元，再視其影像特徵及處理上需求，調(diào)整疊合影像的處理次數(shù)。影像特徵較基本結(jié)構(gòu)元素單元大時(shí)，取較高的處理次數(shù)影像疊合，而影像特徵接近於基本結(jié)構(gòu)元素單元時(shí)，取較低的處理次數(shù)影像疊合，然而至少取n=1以上的處理影像疊合，以避免過(guò)多的高頻雜訊被引入。 在碎形維度計(jì)算方面，方格計(jì)數(shù)法為各種碎形維度的評(píng)估方法中，最常見(jiàn)也最易理解的計(jì)算方法。在眾多影響方格計(jì)數(shù)法結(jié)果之各種參數(shù)中，以方格大小範(fàn)圍的選定最為重要(Chen, Keller and Crownover 1993;

15、 Chung et al. 1994; Nezádal, Zmeskal and Buchnícek 2001; Foroutan-pour, Dutilleul and Smith 2000)。以往在選定方格大小時(shí)，常受限於影像本身的大小及長(zhǎng)寛比，合適的方格尺寸往往不能整數(shù)分割分析區(qū)域。有鑑於此本研究透過(guò)對(duì)直線及平面特殊碎形物件的觀察，提出【修正型方格計(jì)數(shù)法】。利用直線及平面所歸納出的結(jié)果，發(fā)現(xiàn)不論是直線或是平面，在非完整方格區(qū)塊部份所應(yīng)貢獻(xiàn)的方格數(shù)都可看成是其特徵長(zhǎng)度的碎形維度次方。配合線性內(nèi)差可正確的推估碎形維度介於12間的任意碎形物件，於所選定之方格大小無(wú)法整數(shù)分割

16、分析區(qū)域時(shí)，無(wú)法完整覆蓋區(qū)域所應(yīng)貢獻(xiàn)之方格數(shù)。 在結(jié)合數(shù)學(xué)形態(tài)法及碎形維度於X光影分析部份，數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的主要功能在於影像特徵之?dāng)X取，能有效的減少影像冗餘的訊息量，當(dāng)影像受到干擾時(shí)(如投影角度不同)，其主要特徵所受的影響較少。從擷取出的影像特徵來(lái)看，病變處所擷取出的紋理明顯少於其它正常部位。這個(gè)特點(diǎn)在照射條件變異時(shí)依然保留著，使得數(shù)學(xué)形態(tài)法在照射條件變異時(shí)能保有較高的診斷機(jī)率。相對(duì)於像素對(duì)像素、灰階值對(duì)灰階值的相減法(Subtraction) 使用了影像全部的訊息，使得影像中主要特徵之重要性相對(duì)地被降低。當(dāng)照射條件擾動(dòng)時(shí)這些次要特徵帶來(lái)大量的雜訊，致使在照射條件變異下大大的影響其病變之診斷。 從碎形維度與材料性質(zhì)之研究中，可發(fā)現(xiàn)碎形維度與我們所較關(guān)心的材料極限強(qiáng)度有著較高的相關(guān)性。此外，從不同角度投影特徵之