全國(guó)高中數(shù)學(xué)青年教師展評(píng)課向量加法運(yùn)算及其幾何意義教學(xué)設(shè)計(jì)及點(diǎn)評(píng)天津楊村一中王蕊

1、2014年全國(guó)高中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)秀課展示與培訓(xùn)I活勘面向量的線性運(yùn)算向量加法運(yùn)算及其幾何意義（第1課時(shí)）（人教A版高中課標(biāo)教材數(shù)學(xué)必修4）教學(xué)設(shè)計(jì)授課教師：王 蕊天津市武清區(qū)楊村第一中學(xué)指導(dǎo)教師：中鐵天津市中小學(xué)教育教學(xué)研究室梁 棟天津市武清區(qū)楊村第一中學(xué)張永成天津市武清區(qū)教研室2014年12月一、教學(xué)內(nèi)容分析本節(jié)課是普通高中新課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)數(shù)學(xué)（必修4）中第二章平面向量第二節(jié)“平面向量的線性運(yùn)算”的第一課時(shí).向量是近代數(shù)學(xué)中重要和基本的數(shù)學(xué)概念，它是溝通代數(shù)、幾何、三角的一種工具，其工具作用主 要體現(xiàn)在向量的運(yùn)算方面，向量的加法運(yùn)算是向量運(yùn)算的基礎(chǔ).平面向量的加法運(yùn)算是通過(guò)類(lèi)比數(shù)的加 法

2、，以位移的合成、力的合力等兩個(gè)物理模型為背景引入的.向量的加法不同于數(shù)的加法，運(yùn)算中包含 大小與方向兩個(gè)方面，向量加法的法則是通過(guò)畫(huà)圖得到的，從這個(gè)角度來(lái)看，研究向量加法是學(xué)生學(xué)習(xí) 過(guò)程中的一種突破.是學(xué)習(xí)向量的減法、數(shù)乘以及平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算等內(nèi)容的知識(shí)基礎(chǔ)，為進(jìn)一步理 解其他的數(shù)學(xué)運(yùn)算（如函數(shù)、映射、變換、矩陣的運(yùn)算等等）創(chuàng)造了條件，向量的加法在這里起著承上 啟下的作用.通過(guò)不斷與數(shù)進(jìn)行類(lèi)比，學(xué)習(xí)向量加法及其幾何性質(zhì)，充分體現(xiàn)了類(lèi)比思想在研究問(wèn)題過(guò) 程中的重要作用.因此，本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)：向量加法的定義與向量加法的三角形法則與平行四邊形法則及其幾何意 義，以及利用法則作兩個(gè)向量的和向量，體

3、會(huì)類(lèi)比思想在研究問(wèn)題中的重要作用.二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)置1 使學(xué)生經(jīng)歷從物理模型抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程，掌握向量的加法定義，會(huì)用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則作出兩個(gè)向量的和向量；掌握向量加法的運(yùn)算律，并會(huì)用它們進(jìn)行向量計(jì)算；通過(guò)類(lèi)比猜想、作圖驗(yàn)證掌握向量加法的相關(guān)性質(zhì)；通過(guò)數(shù)學(xué)建模解決實(shí)際問(wèn)題.2在學(xué)習(xí)過(guò)程中，使學(xué)生掌握通過(guò)類(lèi)比思想提出猜想，并給予證明的解決問(wèn)題的方法，體會(huì)數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論等數(shù)學(xué)思想方法，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生歸納、類(lèi)比、遷移能力，增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)培養(yǎng)學(xué)3 在數(shù)學(xué)建模過(guò)程中，經(jīng)歷運(yùn)用數(shù)學(xué)來(lái)描述和刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界的過(guò)程，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情生勇于探索、敢于創(chuàng)新的個(gè)性品質(zhì)三、學(xué)

4、生學(xué)情分析（一）學(xué)生程度我所授課的對(duì)象是天津市楊村一中的學(xué)生學(xué)生的水平相對(duì)較高，基礎(chǔ)知識(shí)掌握得較好，學(xué)生的理解能力比較強(qiáng)雖然初中已經(jīng)經(jīng)歷了有理數(shù)加法的學(xué)習(xí)，但是對(duì)向量的學(xué)習(xí)還處于初期階段，一些數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想的掌握還有待進(jìn)一步加強(qiáng)。（二）知識(shí)層面1 學(xué)生初中已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)有理數(shù)加法、減法等運(yùn)算并掌握了它們的運(yùn)算率；2掌握了向量、零向量及其共線向量的定義.（三）能力層面2 具有物理學(xué)習(xí)中的力的合成基礎(chǔ)；2具有一定的數(shù)形結(jié)合和類(lèi)比思想的基礎(chǔ)根據(jù)以上三個(gè)方面的分析，在學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)的條件下，學(xué)生可以自主完成求不共線的兩個(gè)非零向量的和的作圖，部分同學(xué)能夠注意到零向量與數(shù)零的區(qū)別以及共線的兩個(gè)向量的和

5、的求法。但有些學(xué)生對(duì)平移向量依然在原圖上處理，極易造成圖形混亂。在具體操作過(guò)程中，需要老師的引導(dǎo)和幫助。教學(xué)難點(diǎn)：?理解向量的加法法則及其幾何意義，向量加法運(yùn)算律的作圖證明；數(shù)的加法對(duì)向量加法的負(fù)遷移，造成向量加法的意義的理解困難。四、教學(xué)策略分析3 高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)倡導(dǎo)自主探索、動(dòng)手實(shí)踐、合作交流等學(xué)習(xí)方式根據(jù)本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力相對(duì)比較強(qiáng)的特點(diǎn)，以問(wèn)題串驅(qū)動(dòng)整個(gè)課堂的進(jìn)行，采用啟發(fā)、引導(dǎo)、探究相結(jié) 合的教學(xué)方法4 .為了更直觀、形象地突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，借助多媒體或?qū)嵨锿队皟x等信息技術(shù)手段，通過(guò)圖形的動(dòng)態(tài)演示，變抽象為直觀，為學(xué)生的數(shù)學(xué)探究與數(shù)學(xué)思維提供支持3數(shù)學(xué)是一門(mén)培養(yǎng)重

6、要思維的學(xué)科因此本堂課我采取了“開(kāi)放型探究式”教學(xué)模式，體現(xiàn)以學(xué)生發(fā)展為本的精神從問(wèn)題提出到問(wèn)題解決都竭力把探究問(wèn)題的主動(dòng)權(quán)交給學(xué)生，讓學(xué)生操作實(shí)驗(yàn)、直觀感知、自主探索、合作交流，使學(xué)生全面參與、全員參與、全程參與，真正確立其主體地位而教師作為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者、合作者，及時(shí)給予點(diǎn)撥和糾正五、教學(xué)過(guò)程（一 ）創(chuàng)設(shè)情景類(lèi)比導(dǎo)入，引入新知同學(xué)們七年級(jí)學(xué)習(xí)有理數(shù)加法時(shí)探討過(guò)一個(gè)問(wèn)題，小明從原點(diǎn)出發(fā)向東走了 2 米，再向東走了3 米，兩次行走后，相對(duì)于原點(diǎn)他的最后位置在什么地方？假如小明從原點(diǎn)出發(fā)向東走了2 米，再沿著東北方向走了3 米，這時(shí)他兩次行走的路程是多少？師生活動(dòng) ：教師提問(wèn)，學(xué)生思考

7、回答。從數(shù)的加法引入向量的加法。設(shè)計(jì)意圖以一個(gè)貼近學(xué)生生活的實(shí)例，引出課題 “向量的加法運(yùn)算及其幾何意義”激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。從位移入手，幫助學(xué)生清楚認(rèn)識(shí)向量的加法與數(shù)的加法在本質(zhì)上的區(qū)別。（二）合作探究自主探究，講授新知問(wèn)題 1 ：向量的加法如何定義師生活動(dòng)： 教師展示課件，引導(dǎo)學(xué)生將引例中小明的路徑抽象成向量，回顧位移合成知識(shí).學(xué)生總結(jié)向量加法的定義.設(shè)計(jì)意圖：結(jié)合實(shí)例，回憶物理中關(guān)于位移合成的知識(shí)，使學(xué)生對(duì)向量加法運(yùn)算的學(xué)習(xí)建立在學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)之上，并建立兩點(diǎn)共識(shí)：向量可以相加；向量的和仍是一個(gè)向量.使學(xué)生更好的把握向量加法定義及向量加法的特點(diǎn).同時(shí)通過(guò)對(duì)位移合成的觀察，使學(xué)生對(duì)向量加

8、法運(yùn)算的“三角形法則”產(chǎn)生充分感知，為三角形法 則知識(shí)的建構(gòu)，奠定了良好的基礎(chǔ)，進(jìn)而提出向量加法及向量加法三角形法則的定義.如圖，已知向量a , b在平面內(nèi)任取一點(diǎn) A ,作AB = a , BC” = b ,則向量AC叫做a與b的和，記作3 + 6,即a + b AB BC AC .這種求向量和的方法，稱(chēng)為向量加法的三角形法則.向量的加法：求兩個(gè)向量和的運(yùn)算，叫做向量的加法問(wèn)題2 :兩個(gè)向量吵向董加吵而確定? AB師生活動(dòng)：教師提問(wèn)，學(xué)生歸納總結(jié)三角形法則的重點(diǎn)：“首尾相接，起點(diǎn)指向終點(diǎn)”設(shè)計(jì)意圖：使學(xué)生親身參與探究過(guò)程，通過(guò)圖形觀察概括總結(jié)定義，能夠激發(fā)學(xué)生的求知欲，有利于學(xué)生對(duì)知識(shí)的建構(gòu)

9、。通過(guò)問(wèn)題討論使學(xué)生深入思考，并且會(huì)用類(lèi)比的思想來(lái)提出定義問(wèn)題3:對(duì)任意的兩個(gè)向量a , b, |a+b|與|a|, | b |之間具有怎樣的大小關(guān)系？師生活動(dòng)：教師提問(wèn)，學(xué)生作圖思考，最后師生在合作探究中共同得出結(jié)論：T-fi11（1）當(dāng) a與b 同向時(shí)，則 a+b、a、b同向，且 |a+b|=|a|+|b|；b-k-fc-feb-fc-ffc-rr f-k-fc-k-b-（2）當(dāng)a與b反向時(shí)，若|a|b |,則a+b的方向與a相同，且|a + b|=|a|-|b|；若|a|b|,則a+b * * T 的方向與b相同，且| a b|=| b |-|a|（3）當(dāng)向量 a與 b不共線時(shí)，|a|

10、|b|a + b|a|+| b |所以，綜合以上結(jié)論有：|a| |b| |a+b| |a|+|b |設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)對(duì)有關(guān)向量加法中模的大小關(guān)系的探究,使學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)的加法與向量加法的聯(lián)系與區(qū)別,強(qiáng)化數(shù)形結(jié)合思想，自主探究中完成知識(shí)的建構(gòu)合作探究，鞏固新知探究一：零向量例1：已知向量a、b,求代蚊量OOB+b炭C師生活動(dòng)：、教師展示問(wèn)題;、,學(xué)生“同桌”間合作探究，教師深入學(xué)生中與他們交流，了解學(xué)生思考問(wèn)題的進(jìn)展過(guò) 程，投影學(xué)生的解試過(guò)蛋糾正出現(xiàn)的錯(cuò)誤,“規(guī)范手寫(xiě)的格式.施過(guò)強(qiáng)調(diào)三角形法則“首尾相連”這一 特點(diǎn)，進(jìn)行適當(dāng)點(diǎn)撥，幫助他們突破思維的障礙.在第（2）題中，啟發(fā)學(xué)生探討兩個(gè)相反方向的向量

11、當(dāng)-1f長(zhǎng)度相同時(shí)求和，得出 0,引導(dǎo)學(xué)生區(qū)別數(shù) 0與0,引申出規(guī)定：a 0 0 a a。設(shè)計(jì)意圖：熟悉運(yùn)用三角形法則求兩個(gè)向量的和向量的幾何作圖技能.鞏固三角形法則求和步驟 .探究二：平行四邊形法則求向量的加法思考：力的合成與向量的加法有著怎樣的關(guān)系？師生活動(dòng)：學(xué)生閱讀教科書(shū)探究，類(lèi)比三角形法則得出平行四邊形法則。力的合成也可以看做是向量加法的一個(gè)物理模型。向量的物理模型是位移，向量加法的定義是由三角形法則、平行四邊形法則這樣的作圖語(yǔ)言描述出來(lái)的，同時(shí)，這也恰恰體現(xiàn)了向量加法的幾何意義。C探究三：向量加法的運(yùn)算律,使學(xué)生的知識(shí)融會(huì)貫通，更好的理解掌握教1、向量加法的交換律a+b=b+a思考：

12、三角形法則與平行四邊形法，它們求向量和的結(jié)果是否一樣?師生活動(dòng)：學(xué)生在教師的引導(dǎo)下觀察圖形，通過(guò)動(dòng)手畫(huà)圖，探究交換律的證明的過(guò)程 設(shè)計(jì)意圖：用畫(huà)圖檢驗(yàn)向量的交換律。從實(shí)數(shù)運(yùn)算律類(lèi)比向量的結(jié)合律，學(xué)生自主 探索.2、向量加法的結(jié)合律D生思考問(wèn)題的進(jìn)展(a + b) + c=a+( b+c)思考：類(lèi)比有理數(shù)加法的結(jié)合律，猜想證明向量加法的結(jié)合律師生活動(dòng)：教師提問(wèn)，前后 4人一組，分組交流，了解學(xué) 過(guò)程，鼓勵(lì)學(xué)生在學(xué)習(xí)了兩種求和方法的認(rèn)知基礎(chǔ)上、通過(guò)作圖展示突破思維的障礙，學(xué)習(xí)小組展示成果，學(xué)生在合作探究中得出結(jié)論：(& + 6) +c=a+ (b+c)0教師讓學(xué)生明確探究途徑是使用加法法則作圖研究

13、，并且作圖需要設(shè)計(jì)，選擇理想的方法，清晰表述證明過(guò)程，學(xué)生通過(guò)合作交流、自主探究，通過(guò)畫(huà)圖動(dòng)手驗(yàn)證，完成對(duì)相關(guān)運(yùn)算律的證明.設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)與數(shù)的運(yùn)算律進(jìn)行類(lèi)比，自然提出“向量加法是否也有運(yùn)算律”的問(wèn)題，通過(guò)設(shè)計(jì)“探究”活動(dòng),作圖驗(yàn)證，在合作交流中完成知識(shí)的建構(gòu) 向量建模學(xué)以致用例2.長(zhǎng)江兩岸之間沒(méi)有大橋的地方，常常通過(guò)輪渡進(jìn)行運(yùn)輸.如圖所示，一艘船從長(zhǎng)江南岸A點(diǎn)出發(fā)，以2%/3km/h的速度向垂直于對(duì)岸的方向行駛，同時(shí)江水的速度為向 東 2km/h.(1)試用向量表示江水速度、船速以及船的實(shí)際航行的速度；(2)求船實(shí)際航行速度的大小與方向.(用與江水速度間的夾角表示)uuuuur解：(1)如圖

14、所示.AD表示船速，AB表示水速，以AD、AB為鄰邊作平行四邊形 示船實(shí)際航行的速度.(2)在 Rt ABC 中，|AB| 2,|BC| 2J3,所以答：船實(shí)際航行速度的大小約為4km/h,方向與水的流速間的夾角為600.師生活動(dòng)：教師提問(wèn)，學(xué)生討論回答.設(shè)計(jì)意圖:培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力，以及數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí).(三)、總結(jié)提煉(1)本節(jié)課你都有哪些收獲?(2)給你印象最深的是什么？(3)課后，你還想進(jìn)行什么探究 師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)，學(xué)生回答 設(shè)計(jì)意圖:uuuABCD ,則 AC 表提高學(xué)生探究意識(shí)對(duì)所學(xué)內(nèi)容進(jìn)行小結(jié)， 為實(shí)際應(yīng)用打下基礎(chǔ). 通過(guò)開(kāi)放型問(wèn)題，拓展學(xué)生的視野, (四)、反饋訓(xùn)練1 .根

15、據(jù)圖示填空rr(1) ab;ru(2) cdrrir(3) abd ;rur(4) cde 一 ；2 .化簡(jiǎn):uur uur uuur(1) AB BC CD uuLur uuuiruuujur(2) AA A2AAniAn (五)、作業(yè)布置：(1)作業(yè)：P91 習(xí)題 2. 2 的 1 . 2. 3.(2)拓展探究：數(shù)有減法，向量是否有減法呢？結(jié)合本節(jié)課的探究方法，請(qǐng)大膽的提出猜想，并結(jié)合三角形法則與平行四邊形法則進(jìn)行探究.設(shè)計(jì)意圖：在布置作業(yè)環(huán)節(jié)中，設(shè)置了兩組練習(xí)，一組必做題，一組探究題，這樣可以使學(xué)生在完成基本學(xué)習(xí)任 務(wù)的同時(shí)，讓每一個(gè)學(xué)生都得到符合自身實(shí)踐的感悟，使不同層次的學(xué)生都可以獲

16、得成功的喜悅，看到 自己的潛能，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.教學(xué)點(diǎn)評(píng)向量加法運(yùn)算及其幾何意義(第1課時(shí))作課 武清區(qū)楊村一中 王蕊點(diǎn)評(píng)武清區(qū)教研室張永成王蕊老師是天津市武清區(qū)楊村第一中學(xué)的青年教師.向量加法運(yùn)算及其幾何意義 這節(jié)課是人教A版必修4第2章第2單元的第一課時(shí).這節(jié)課有很多亮點(diǎn)，主要表現(xiàn) 在以下幾方面：1. 正確地確立了教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)重點(diǎn)教學(xué)目標(biāo)是教學(xué)活動(dòng)的出發(fā)點(diǎn)和歸宿，對(duì)一節(jié)課起著定向、定位的作用.一節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)應(yīng)是學(xué)科目標(biāo)、章節(jié)目標(biāo)的具體化，與章節(jié)、學(xué)科目標(biāo)構(gòu)成系列.向量加法是學(xué)習(xí)平面向量基本概念之后首先要掌握的最基本、最重要的運(yùn)算.一方面，通過(guò)類(lèi)比實(shí)數(shù)的運(yùn)算，研究向量的運(yùn)算及運(yùn)算

17、律，滲透數(shù)學(xué)建模思想，加深對(duì)向量概念的認(rèn)識(shí)；另一方面，其他平面向量的線性運(yùn)算如減法運(yùn)算、 向量數(shù)乘運(yùn)算，都可以歸結(jié)為加法運(yùn)算，向量加法也為后續(xù)學(xué)習(xí)起到鋪墊作用.因此，本節(jié)課將向量加法運(yùn)算及其幾何意義定位為理解與掌握是恰當(dāng)?shù)牧硗猓?通過(guò)例題和實(shí)際問(wèn)題的解決，讓學(xué)生經(jīng)歷和體驗(yàn)數(shù)學(xué)知 識(shí)發(fā)生、發(fā)展的過(guò)程，提高了數(shù)學(xué)建模能力教學(xué)重點(diǎn)一般是指知識(shí)結(jié)構(gòu)中起基礎(chǔ)和紐帶作用的內(nèi)容本節(jié)課的重點(diǎn)是向量加法的三角形法則和平行四邊形法則這兩種運(yùn)算法則是向量作為數(shù)學(xué)工具初步應(yīng)用的依據(jù)，因此是本節(jié)課乃至以后學(xué)習(xí)的關(guān)鍵2. 引入自然，直奔主題本節(jié)課通過(guò)一個(gè)學(xué)生熟悉的實(shí)例引入課題，使學(xué)生感到親切、自然 通過(guò)類(lèi)比實(shí)數(shù)運(yùn)算，直接切入向量加法運(yùn)算的主題，干凈利落3. 結(jié)構(gòu)合理，內(nèi)容處理得當(dāng)結(jié)構(gòu)確定功能，一個(gè)好的課堂結(jié)構(gòu)應(yīng)該是知識(shí)結(jié)構(gòu)和學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)能夠有機(jī)融合 本節(jié)課先講三角形法則，然后引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)平行四邊形法則；在學(xué)習(xí)向量運(yùn)算律時(shí)，又緊緊依據(jù)向量的兩種運(yùn)算法則獲得有關(guān)運(yùn)算律；在處理零向量的運(yùn)算時(shí)，并沒(méi)有直接硬性規(guī)定，而是根據(jù)零向量的幾何特性，盡可能說(shuō)明規(guī)定的合理性整節(jié)課知識(shí)層層遞進(jìn)，體現(xiàn)了用教材的課改理念4. 活動(dòng)設(shè)計(jì)有序有效新課程改