初二數(shù)學(xué).秋.直升班.教師版.第5講幾何變換之平移

1、第五講幾何變換之平移初二數(shù)學(xué).秋第5講目標(biāo)名校直升班教師版 71平移的性質(zhì)：1 .經(jīng)過平移，對應(yīng)點的連線平行且相等，對應(yīng)邊平行或在一條邊上且相等，對應(yīng) 角度相等.2 .平移前后，所對應(yīng)的圖形全等.模塊一平行多邊形和平移的構(gòu)造1 .平行四邊形與平移變換由于在平移變換下，與平移方向不平行的線段變?yōu)榕c原線段平行且相等的線段， 因此，對于已知條件中有平行四邊形的平面幾何問題，我們就可以考慮用平移變換處 理.平移沿平行四邊形的某條邊進(jìn)行.2 .平行六邊形和平移變換因為在平移變換下，平面上任意一點與其像點的連線總是平行于平移方向的，所 以對于條件中有平行線（或平行線段）的平面幾何問題當(dāng)然也可以考慮用平移變

2、換處 理，平移方向平行于平行線（或平行線段），平移距離則要視具體情況（特別是所要證明的結(jié)論）而定.這種平移方式經(jīng)常用來對分散圖形進(jìn)行集中.AB 和 BC.如圖所示，P為平行四邊形 ABCD內(nèi)一點，求證：以 AP、BP、CP、DP為邊可以構(gòu)成一個四邊形，并且所構(gòu)成的四邊形的對角線的長度恰好分別等于如圖所示，將4PAB平移至4QDC的位置，易證DQ = AP , CQ = BP ,則四邊形DPCQ 恰好是一個以AP、BP、CP、DP為邊的四邊形，并且它的對角線恰好等于平行四邊形ABCD的兩條鄰邊.例2如圖2-1,四邊形EFGH中，若N1=/2,則N3必然等于N4 .請運用結(jié)論證明下述問題: 求證：

3、/7=/8.E如圖2-2,在平行四邊形 ABCD中取一點P,使得/5=/6,4HFCG 圖2-1【分析】此題為信息題，難點在于如何理解已知條件,圖2-2經(jīng)觀察我們發(fā)現(xiàn)，若21和22,位置為區(qū)時，可得出N3和/4相等（本質(zhì)為四點共圓），圖（2）中，N5與26關(guān)系并不像條件所示， 因此，需要改變角位置，而這點可以通過構(gòu)造平行四邊形來解決.而構(gòu)造平行四邊形， 恰可以達(dá)到改變角位置作用，為使/5與/6成豈形，我們可有如下四種方法.解析A，一分別過點B、P作BK II AP , PK II AB,交于點K,連接CK .BK/AP, PK/AB, BK=AP, PK=AB, /5=/BKP, /7=/BP

4、KAB=CD, AB II CD , PK II CD , PK =CD，四邊形PKCD為平行四邊形，PD =CK , . AD =BC. ADPABCK ,，/8=2BCK在四邊形 BKCP 中，/BKP=/5=/6 ,，/BPK=/BCK ,，/7=/8AD8DK（25不動移N6 ）AD6CBZK（26不動移/5 ）K【教師備課提示】 老師們可以讓學(xué)生自由發(fā)揮，體味構(gòu)造平行四邊形帶來的快樂.BC為一邊，分別向三角形的外側(cè)作正方形EF、DN、GM為邊能否構(gòu)成三角形？為什么?ABDE、正如圖，以4ABC的邊AB、AC、方形ACGF、正方形 BCMN .以過點E作PE II DN ,過點N作PN

5、 II DE , PE與PN交于點P,連結(jié)PM、PF.PE/DN, DE / PN ,，DE=PN, PE =DN AB II DE , PN II DE , .AB II PN , . BC II MN ,/ABC=/PNM ,AB=DE=PN, BC=NM , ABCAPNMAC =PM =FG , NACB=/PMN , AC II FG II PM ,四邊形FGMP是平行四邊形， .MG =PF.PEF就是以EF、DN、GM的長為邊的三角形.【教師備課提示】 這道題還可以給學(xué)生拓展 4PEF的面積為 ABC的3倍.2,則該（方法1）:如圖所示，由于六邊形的內(nèi)角都是如圖所示，一個六邊形的

6、六個內(nèi)角都是120°,六邊形的周長是多少？連續(xù)四邊的長依次是1、3、3、120口,易知 CD II AF , AB II ED , BC II FE .CEACE1MP AFQ其邊長 C1E1 =CE1 -CC1 =DE BA=1 .在此基礎(chǔ)上可求得 EF、AF的長， 進(jìn)而求得六邊形的周長：EF =AA1 =AC1 C1A1 =BC -1 =3 -1 =2 , AF =A1E = AE1 +E1E =1 +CD =1 +3 =4 , 故六邊形的周長是 1 +3+3+2 +2 +4=15.（方法2）：如圖所示，將六邊形補(bǔ)全為等邊 易得 PQR的邊長為1 +3 +3 =7, 貝U EF

7、=7 3 -2 =2 , FA=712=4, 故六邊形的周長是 1 +3+3+2 +2 +4=15.在六邊形 ABCDEF 中，AB/ DE, BC II EF , CD II AF ,對邊之差 BC EF = ED AB=AF -CD >0 .求證：六邊形 ABCDEF的各內(nèi)角均相等.EDA B濠解析平移線段DE到CR,平移線段BC到AQ,平移線段FA易知 PQ =AQ -AP =BC -EF ,到EP,如圖所示，得到4PQR.RQ =RC -QC =ED -AB ,PR=PE RE=AF -CD .由于 BC -EF =ED -AB = AF -CD ,.PQ =RQ =PR ,即

8、PQR是等邊三角形，/PQR =/QRP =/RPQ =60°.故 ZDEF =/DER +/REF =/QRP +/RPQ =60o+60°=120°./CDE =/CRE =180 J/QRP =180 °-60 °=120 °,同理，/DCB =/CBA=/BAF =/AFE =120°,六邊形ABCDEF的各內(nèi)角均相等.如圖所示，在六邊形 ABCDEF 中，AB/ ED, AF II CD , BC/ FE , AB = ED ,AF=CD, BC=FE.又知對角線 FD _L BD , FD =24厘米，BD=18

9、厘米.請你回 答：六邊形 ABCDEF的面積是多少平方厘米？將 DEF平移到 BAG的位置；將4BCD平移到4GAF的位置，則長方形BDFG的面積等于六邊形 ABCDEF的面積.易知長方形BDFG的面積等于24x18=432 （平方厘米）， ，六邊形ABCDEF的面積是432平方厘米.設(shè)凸六邊形 ABCDEF的三組對邊分別平行.求證: ACE的面積與 4BDF的面積相記六邊形ABCDEF的面積為S, RD"'的面積為同樣，如果我們作另外三個平移變換將六邊形用類似的方式剖分為三個平行四邊形與瀚解析如圖，將B、D、F分別沿CD、EF、AB 平移至B'、D'、F&#

10、39;,則F'在BB'上，B 在 DD '上， D'在 FF '上，且 dF'=AB-DE , fB'=CD-FA ,BD '=|EF -BC .T.因四邊形 FABF'、BCDB'、DEFD一個三角形 ACE',則有 ACq AB-DE |, C'EHCDFA|, eA'=|EF-BC|.1因而AAC E的面積也為T,于是也有SA ace =-（S +T）,故SA bdf =Sa ace .2模塊二共端點的平移構(gòu)造如果兩條相等線段既不平行也不共線，則其中一條線段不可能是另一條線段在某 個平

11、移變換下的像.但我們可以通過平移變換移動其中的一條線段，使兩條線段有一 個公共端點，然后通過等腰三角形的性質(zhì)再加上其他相關(guān)條件使問題得到解決.如圖所示，兩條長度為 1的線段AB和CD相交于O點，且/AOC=600,求證:AC+BD>1.諼）解析考慮將AC、BD和AB集中到同一個三角形中，以便運用三角形的不等關(guān)系.作CB'/ AB且CB'=AB,則四邊形 ABBC是平行四邊形，從而 AC = BB'.在 ABBU 中可得 BB+ BD 'B D （當(dāng) AC/ BD寸，BB+ B D 'B D 即 AC +BD> BD ,由于 CD=AB=CB&

12、#39;=1, /BCD =/AOC =60。，所以 4BCD 是等 邊三角形，故BD =1 ,所以AC +BD > 1 .求證：2DEABC.如圖， ABC 中，AB = AC , D、E 是 AB、AC 上的點且 AD=CE.A方法一：通過構(gòu)造平行四邊形把DE和1BC平移成共頂點的線段（如下圖，作中位線2利用斜邊大于直角邊）方法二：通過構(gòu)造平行四邊形平移DE,使得DE和BC共頂點.下面寫出方法二的解析：(如下圖2)過點 B 作 BF II DE ,且 BF =DE ,連接 EF、FC .Z DAE =/ CEF , AE=BD=EF又AD=EC -A ADEECF ,，DE=CFBF

13、 +CF > BC即2DE > BC ,當(dāng)且僅當(dāng)DE為ABC的中位線時，取到等號.另外，此題還可以如圖 1, 3, 4那樣平移，每次均產(chǎn)生一個平行四邊形、一對全等三角形，和一個新的等腰三角形.A圖3圖1A圖4D、E 是 AB、(1)如果 AB = AC組相等的線段；(2)如果 ABaACAC上的點，若AD=AE,請你寫出此圖中的另D、E 是 AB、AC上的點，若BD=CE,請你確定 DE與BC的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.(1) DB=EC;(2)結(jié)論：BODE .過E點作EF II AB ,截取EF =DB ,連結(jié)BF,作NCEF的平分線EN交BC于N,連結(jié) NF.力8=£

14、;尸，又 DB = EC , ，EF=EC.EN 平分 /CEF，/FEN =/CEN .在 ENF 和 AENC 中，EF =EC , /FEN =/CEN , EN 為公共邊，. .ENF ENC .MMFBsMCHMiDBi* EF BisEFHiMUDEiiiAMAUiMMEBsAiM在 BFN 中，BN +FN >BF ，即 BN +CN >DE ,所以 BC >DE .MIMI1復(fù)習(xí)鞏固模塊平行多邊形和平移的構(gòu)造演練1CM2二 BMDMA已知：矩形 ABCD內(nèi)有定點M,試證：AM2+CM2AC解析連接CE, ME, BC交ME于點F.過點B、點M分另1J作AM、A

15、B的平行線，交于點E,. AB II EMAM II BE .AM =BEAB =EM AB =CD ,AB II CD .EM II CDEM =CDECDM為平行四邊形，CE=DM. EM _BC.222- BM =BF FM一 2.22CM =CF FMCE2 =EF2 +CF2 , BE2 = BF2 EF22_2.AMCM =BM盒演練2 . 如圖所示，設(shè)ABCD是矩形，K為矩形所在平面上的一點，連接 KA與KD均與BC相 交.由點B向直線DK引垂線，由點 C向直線AK引垂線，兩垂線相交于 M,求證MK _LAD .檢解析如圖，過點 K作KP / AB,且KP =AB .連接 PB,

16、 PC, KM .PK/BA, PK=BA四邊形PKAB為平行四邊形. BP/ KA又 CF_LAK, CF_LPB又在矩形 ABCD 中，AB/CD, AB=CD. PK II CD , PK =CD四邊形PKDC為平行四邊形. PC II KD又 BE_LKD , . BE _LPC .M為PBC的重心 .PM _BC又 AB _L BC , AB II PK , . PK _L AB .P , K , M三點共線且 KM _BC又AD II BC , .KM _LAD .模塊二共端點的平移構(gòu)造演練3 »»如圖A、B兩地在一條河的兩岸， 現(xiàn)要在河上造一座橋 MN。橋造在何處才能使從B的路徑