高考數學講義微專題13利用函數解決實際問題(含詳細解析)

1、微專題13 利用數學模型解決實際問題、基礎知識: 1、使用函數模型解決實際問題(1)題目特點：敘述中體現兩個變量之間的關系(涉及的量也許有多個，但均能夠用兩個核心變量進行表示)。以其中一個為自變量，則另一個變量可視為自變量的函數，進而搭建出函數模型，再根據導數，均值不等式等工具求出最值(2)需用到的數學工具與知識點：分段函數：當自變量的不同取值導致解析式不同時，可通過建立分段函數來體現兩個變量之間的關系，在題目中若有多種情況，且不同的情況對應不同的計算方式，則通常要用分段函數進行表示。導數：在求最值的過程中，若函數解析式不是常見的函數(二次函數，對勾函數等)，則可利用導數分析其單調性，進而求得

2、最值均值不等式：在部分解析式中(可構造和為定值或積為定值)可通過均值不等式迅速的找到最值。分式函數的值域問題：可通過分離常數對分式進行變形，并利用換元將其轉化為熟悉的函數求解(3)常見的數量關系: 面積問題：可通過尋底找高進行求解，例如:1平行四邊形面積底高梯形面積 一 (上底 下底) 局2A _1二角形面積一底高2商業(yè)問題：利潤營業(yè)額成本貨物單價數量成本本息總和本金利息本金利率本金總價單價數量利息問題：利息本金利率(4)在解決實際問題時要注意變量的取值范圍應與實際情況相符，例如：涉及到個數時，變 量應取正整數。涉及到錢，速度等問題，變量的取值應該為正數。2、使用線性規(guī)劃模型解決實際問題(1)

3、題目特點：敘述中也有兩個核心變量，但條件多為涉及兩核心變量的不等關系，且所求是關于兩個核心變量的表達式，這類問題通常使用線性規(guī)劃模型來解決問題(2)與函數模型的不同之處函數模型：體現兩核心變量之間的等量關系，根據一個變量的范圍求另一個變量的范圍 (或最值)線性規(guī)劃模型：體現關于兩變量的不等關系，從而可列出不等式組，要解決的是含兩個變量的表達式的最值。(3)解題步驟：根據題目敘述確定未知變量(通常選擇兩個核心變量，其余變量用這兩個進行表示)，并列出約束條件和目標函數，然后利用數形結合的方式進行解決(4)注意事項：在實際問題中，變量的取值有可能為整數，若最優(yōu)解不是整數，則可在最優(yōu)解附近尋找?guī)讓φc

4、，代入到目標函數中并比較大小3、使用三角函數模型解決實際問題(1)題目特點：題目以幾何圖形(主要是三角形)作為基礎，條件多與邊角相關csinC(2)需要用到的數學工具與知識點:一 asin A sinB 正弦定理：設 VABC三邊a,b,c所對的角分別為 A,B,C ,則有 余弦定理(以a和對角A為例)，a2 b2 c 2bccosA三角函數表達式的化簡與變形函數y Asin x 的值域(3)解題技巧與注意事項：在求邊角問題時，應把所求的邊或角放在合適的三角形中在直角三角形里，已知一條邊，則其它邊可用該邊與內角的三角函數值進行表示 在圖形中要注意變量的取值范圍二、典型例題： 例1：如圖所示，將

5、一矩形花壇 ABCD擴建成一個更大的矩形花壇 AMPN ,要求M在AB的B延長線上， N在AD的延長線上，且對角線 MN過C點。已知AB 3米，AD 2米。(1)設AN x (單位：米)，要使花壇 AMPN的面積大于32平方米，求x的取值范圍；(2)若x 3,4)(單位：米)，則當AM ,AN的長度分別是多少時，花壇 AMPN的面積最大？并求出最大面積。(1)思路：根據相似三角形可得線段比例:SampnAN3x2AM x 232 ,解出x的范圍即可解：QVNDC:VNAMND DCAMDCAN DCANANSampn3x232解得:NDANAM3x282，3 U(2)思路：求解：設fAN AD

6、AM 3x x-23x 依題息可得:x 232 x 64 0 x 08,AMPN面積的最大值，即求表達式3x2x 3,4)3x23L的最大值,x 2分離常數求解即3xND DC,從而解出 AMAN AM4=3x2x 22,1,2,根據對勾函數可得:1時，y達到最大值，即y27此時t 13,所以AN 3,AM答：當AN3,AM9時，四邊形 AMPN的面積最大，為27m2例2:時下網校教學越來越受到廣大學生的喜愛，它已經成為學生們課外學習的一種趨勢，假 設某網校的套題每日的銷售量 y (單位：千套)與銷售價格：x (單位：元/套)滿足的關系式m2y 4 x 6 ,其中2 x 6,m為常數.已知銷售

7、價格為 4兀/套時，每日可售出x 2套題21千套.(1)求m的值；(2)假設網校的員工工資、辦公等所有開銷折合為每套題2元(只考慮銷售出的套數)，試確定銷售價格x的值，使網校每日銷售套題所獲得的利潤最大.(保留1位小數)m2解：(1)將x 4,y 21代入關系式可得：21m 4 4 6 m 102(2 )思路：依題意可得售出一套，所得利潤為x 2元，所以總的利潤102f x x 20 4x6 ，其中2 x 6,利用導數判定 f x的單調性，進而 x 2可求得最大值點x10斛：依題思所狄利潤 f x x 2 y x 2 4x6x 2化簡可得：f x4x3 56x2f' x 12x2 11

8、2x 240令f x 0 ,即解不等式 3x10Q2 x 6 解得x 310f x在2,10單調遞增，在3240x 278 2 x 64 3x 10 x 610 x 6010,6單調遞減3-10什r例3:某人銷售某種商品,發(fā)現每日的銷售量y (單位：kg)與銷售價格x (單位：元/kg)滿足關系式y150x 6 177x 6a(x 9)2,6 x 9,其中a為常數.已知銷售價格為8元/kg時,x, 9 x 15該日的銷售量是80kg.(1)求a的值;(2)若該商品成本為6元/kg ,求商品銷售價格x為何值時，每日銷售該商品所獲得的利潤最大.一, 1502 . 一解：(1)當 x 8時，80 a

9、 8 9 ,解得：a 5x在x 取得取大值，即x ; 3.3 31505 x 9 ,6 x 9x 6y 177x,9 x 15 x 6(2)思路：依題意可得銷售商品所獲得利潤f x x 6 y,所以f x也是一個分段函數，可以考慮分別求出每段函數值的最大值，然后進行比較即可挑出f x的最大值。解：設商品利潤為 f x ,則有f x x 6 y,由第(1)問可得：150177,915,6x9, 一一，2當 6 x 9時，f x 150 5 x 9 x 62貝 Ufx5x92x6x915 x 7 x 9令f x 0 ,由x 6,9 解得：6x7f x在6,7單調遞增，在 7,單調遞減f x f 7

10、1702當 9 x 15時，f x 177 x2 6x x 3186f x在9,15單調遞減f xf 9 150f 7f 9f x max 170例4:已知某食品廠需要定期購買食品配料，該廠每天需要食品配料200千克，配料的價格為1.8元/千克，每次購買配料需支付運費 236元，每次購買來的配料還需支付保管費用，其標準如下：7天以內(含7天)，無論重量度搜好，均按10元/天支付，超出7天以外的天數，根P是多少元?據實際剩余配料的重量，以每天0.03元/千克支付(1)當9天購買一次配料時，求該廠用于配料的保管費用（2）設該廠x天購買一次配料，求該廠在這 x天中用于配料的總費用 y （元）關于x的

11、函數 關系式，并求出該廠多少天購買一次配料才能使平均每天支付的費用最少?解：（1）第8天剩余配料為2 200 400 （千克）第9天剩余配料為200千克該廠用于配料的保管費為：P 70 0.03 400 0.03 200 88 （元）(2)當 X 7時，y 360x 10x 236236 370x當 x 7時，y 360x 236 70 6 x 73x2 321x 432綜上所述：y236 370x, x 73x2 321x 432,x 7設W為平均每天支付的費用，則 W ?x236 370x ,x 7x3x2 321x 432,x 7 x當x 7時，W236 370x c370x236，當x

12、 7時，Wx28267404_ .432當 x 7時，W 3x 321 3 x144144x321 3 2 x 321 393x， x_ ,144等號成立條件：xx 12xWmin 393 (元)例5:甲，乙兩校計劃周末組織學生參加敬老活動，甲校每位同學的往返車費是5元，每人可為3位老人服務，乙校每位同學往返車費是3元，每人可為5位老人服務，兩校都有學生參加，甲校參加活動的學生比乙校至少多1人，且兩校同學往返總車費不超過45元，如何安排 甲，乙兩校參加活動的人數，才能使收到服務的老人最多？此時受到服務的老人最多有多少人？ 思路：本題涉及的變量有兩個：甲校人數與乙校的人數，且所給條件均為關于兩校

13、人數的不等式，所以可聯想到線性規(guī)劃問題?？稍O甲校人數為x,乙校人數為y,所求問題為目標函數z 3x 5y ,列出約束條件后通過數形結合即可求出z的最大值解：設甲校人數為 x,乙校人數為y,依題意，x,y應滿足的條件為:5x 3 y 45x, y目標函數z3x 5y可得。動直線l經過M時,3x -,通過數形結合55z取得最大值5xQ M : x3y 45 y 1求救,6,5如圖,zmax3x5y43某海濱浴場的岸邊可近似地看成直線，位于岸邊A處的救生員發(fā)現海中B處有人救生員沒有直接從 A處游向B處，而是沿岸邊自 A跑到距離B最近的D處，然后游向B處，若救生員在岸邊的行進速度為6米/秒，在海中的行

14、進速度為2 米/秒，BAD 450。(1)分析救生員的選擇是否正確;(2)在AD上找一點C,使救生員從A至ij B的時間為最短，并求出最短時間A解：(1)思路：所謂“選擇是否正確”,是指方案二所用的時間是否比直接游到B處時間短,所以考慮分別求出兩種方案所用的時間,再進行比較即可。解：從圖形可得：AB 300 0 300，2,所以t1sin45o如2 150/(s) 2而 |AD BD| 300，所以 t2 300 300200(s)Qtit2 ,所以救生員的選擇是正確的(2)思路：要求得時間的最值，考慮創(chuàng)設一個變量x ,并構造出時間關于 x的函數f x再求出f x的最小值即可。不妨設CD則BC

15、| V3002x2，所以時間x的最小值即可300 x 3002 x2,再求導求出 f解：設|CD| x,則|BC J3002 x2 ,設所用時間為fx工 300 x,3002 x2f x 62,，1 1 2x3002X2 3xf x -6 2 2.3002 x26,3002 x2令 f' x 0 ,即解不等式 3x J3002 x2 0 3x 53002 x222222 300-,9x2 3002 x2x2 ,解得：x 75V28f x在0,75j2單調遞減，在 75j2,300單調遞增f x min f 75應50 100 72 （秒）答：當|CD| 75應時，救生員所用的時間最短，

16、為 50 100企秒答：甲，乙兩校參加活動的人數分別為6和5時，受到服務的老人最多，最多為 43人2例7:某人有樓房一幢，室內面積共計180m,擬分割成兩類房間作為旅游客房，大房間每間面積為18布，可住游客5名，每名游客每天住宿費 40元；小房間每間面積為 15nt可以住游客3名，每名游客每天住宿費 50元；裝修大房間每間需要 1000元，裝修小房間每間需要 600元.如果他只能籌款 8000元用于裝修，且游客能住滿客房，他應隔出大房間和小房間各多少間，每天能獲得最大的房租收益？（注：設分割大房間為x間，小房間為y間，每天的房租收益為z元），求x,y各為多少時，每天能獲得最大的房租收益？每天能

17、獲得最大的房租收益是多少？思路：本題的主要變量是 x,y,從題目中可發(fā)現對 x,y的約束條件有 3個，一個是房間數必須是非負整數，所以 x,y N ,第二個條件是室內面積為180m2,所以大小房間面積和要不大于180m2 ,第三個條件是裝修費用總和不高于8000元，據此列出約束條件：18x 15y 180200x150y,所1000x 600y 8000,所求收益 z x, y N以該模型為線性規(guī)劃問題，數形結合即可。解：依題意可得對 x, y的約束條件為：18x 15y 1806x5y601000x 600y 80005x3y40,所求目標函數為z 200x 150yx, y Nx, yN作

18、出可行域，依圖可得：直線過 M 3,8或M 0,12時，z最大，即zmax 18000答：當大房間為3間，小房間為8間；或者不設大房間，小房間為12間時，收益最大，最大 值為18000元例8:某棚戶區(qū)改造建筑用地平面示意圖如圖所示，經規(guī)劃調研確定，棚改規(guī)劃建筑用地區(qū)域近似地為半徑是R的圓面，該圓面的內接四邊形ABCD是原棚戶建筑用地，測量可知邊界AB AD 4萬米,BC 6萬米，CD 2萬米(1)請計算原棚戶區(qū)建筑用地 ABCD的面積及圓面半徑 R的值(2)因地理條件的限制，邊界AD,CD不能變更，而邊界 AB, BC可以調整，為了提高棚戶區(qū)改造建筑用地的利用率，請在圓弧ABC上設計一點 P,

19、使得棚戶區(qū)改造的新建筑用地APCD的面積最大，并求最大值解：（1）在VABC中，由余弦定理可得： _ 22_ 2_AC AB BC 2AB BC cosB 在VADC中，由余弦定理可得： _ 22_ 2_AC AD DC 2AD DC cosD 因為四邊形ABCD內接于圓 B D 180o cosB cosD所以由可得：42 62 2 4 6cosB 42 2 2 2 4 2cos B1解得：cosB B 60D 12021 1SABCD SVABC SVADCAB BC sin B AD DC sin DABCD V ABCV ADC2 214 6 sin60o 12 4 sin120o 8

20、« （萬平方米）22由余弦定理可得：AC2 AB2 BC2 2AB BC cosB 28AC 2 .7AC 2 72R sin B 、3"2"4 2132.2iR 3(2)設 APx,CPSAPCDSVAPCSVADC由(1)可知SVADC若要APCD面積最大，只需 SVAPC取大SVAPC-AP CPsin P -AP3 CPsinB xy4在VAPC中，由余弦定理可得:AC2_22 _AP2 PC2 2AP PC cosP即28o2xy cos60xy 28Q x22xy28xy 2xy xy ,即 xy28當且僅當xy時，等號成立Sapcd2 .39:3所以

21、四邊形APCD的最大面積為例9:如圖是一塊平行四邊形園地ABCD ,經測量，AB20m,BC 10m, ABC 1200,(1)當點F與點C重合時，試確定點 E的位置ABCD的邊上，不計路的寬度)擬過線段 AB上一點E設計一條直路 EF (點F在四邊形 將該園地分為面積比為 3:1的左，右兩部分，分別種植不同的花卉，設 EB x,EF y (單 位：m)(2)求y關于x的函數表達式(3)試確定點E,F的位置，使得直路 EF長度最短解：(1)當F與C重合時，SVBEFBE h (設h為平行四邊形的高)SabcdAB hBE1h - AB h41 一 rr 1依也忌可信：SVBEF-SABCD即二

22、42一 1-一BE AB即E為AB的中點 2(2) Q E在線段AB上0 x 20當 x 10,20 時,可得F在線段BC上Q AB 20m, BC10m, ABC120oSyabcdABBC sin ABC20100.31SVEBF-SYABCD425 V3 Q SVEBF1 BE2BFsin120o ABF100在VBEF中EF2SEBE2EFBF2 2BE BFcosEBFx20,10 時,BCFCF 10 x當BECF時,100c 100 o2x cos120 x當BECF時,100002 100x點F在線段CD上,此時四邊形EBCF為梯形或平行四邊形CFEFEF2x2 5x 25綜上所述可得:(3)即求y的最小值當 x 10,20 時，y10 sin60o，由 Sebcf1 _一 一一二 &ABCD25>/3 信:41022x 10 2 2 1 0 2x 10 cos120o10210 2x 2 22 10000x2100,102. x2 5x 25,0 x等號成立條件：x2 10000 x 10 x當 x 0,10 時，y 22 x2 5x 25一_ _o1010 2x cos602 x2 5x 25x 20102 10000x一210010000一2100 10