2018年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)考前專題三三角函數(shù)、解三角形與平面向量第2講三角變換與解三角形講學(xué)

1、2,2解析- sina _2cosasin2a _4sina COs2a +4cosa =52,1 cos222sin 2a +4X1 + cos 25C.4 D 4答案 C第 2 講三角變換與解三角形-考情考向分析-正弦定理、 余弦定理以及解三角形問題是高考的必考內(nèi)容， 主要考查: 1邊和角的計算.2 三角形形狀的判斷.3面積的計算.4.有關(guān)參數(shù)的范圍問題.由于此內(nèi)容應(yīng)用性較強，與實際問題結(jié)合起來進行命題將是今后高考的一個關(guān)注點，不可輕視.熱點分類突破熱點一三角恒等變換1三角求值“三大類型”“給角求值” “給值求值”“給值求角”.2三角函數(shù)恒等變換“四大策略”(1) 常值代換：特別是1的代換

2、21=SWQCOS： =tan 45等.(2) 項的分拆與角的配湊：如sin2a+ 2cos2a= (sin2a2 2+COSa)+COSa, a =(a_p)+3等.(3) 降次與升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次.(4) 弦、切互化：一般是切化弦.(1)(2017 貴陽市第一中學(xué)適應(yīng)性考試)已知 sina_ 2cosa=-210,貝Utan 2a等4-*/A.3B )3_一2化簡得 4sin 2a= 3cos 2a ,三角恒等變換公式的熟記和靈活應(yīng)用，要善于觀察各個角之間的聯(lián)系，恒等變換公式的聯(lián)系，公式的使用過程要注意正確性，要特別注意公式中的符號和函數(shù)名的 變換，防止出現(xiàn)“張冠

3、李戴”的情況.（2）求角問題要注意角的范圍，要根據(jù)已知條件將所求角的范圍盡量縮小，避免產(chǎn)生增解.一7答案tan 2sin 2a3a= cos 2a= 4,故選 C.已知sina =-5,sin(a 3)10，均為銳角，則角3等于（答案解析又 sin(又 sinnB.TD.6因為a,3均為銳角，所以一a3)= 一 ，所以 cos(3_1010 .所以 sina=亠5，所以 cosa= *-553 =sina (a 3)=sinacos(a 3)cosasin(a 3)=並X珂2/n所以3=亍思維升華（1）三角變換的關(guān)鍵在于對兩角和與差的正弦、余弦、正切公式, 二倍角公式,發(fā)現(xiàn)題目所給條件與跟蹤演

4、練1(1)(2017河北省衡水則 sin 2a的值為（171710 2 3解析由 3cos 2a= sin(4-a)，可得 3(cosa sina)=2 (cosa sina),4abcA= 2R, sinB= 2R, sinC=靈a:b:c= sinA: sin B: sin 2.余弦定理：在厶ABC中,a2=b2+c2 2bccosA.2 2 2 222b+ca變形：b+ca= 2bccosAcosA例 2 (2017 全國川)ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知 sinA+. 3cosA=0,a= 2 7,b= 2.(1)求c；設(shè)D為BC邊上一點，且ADL AC求厶ABD的

5、面積.2n解(1)由已知可得 tanA=屯3，所以A=.2即c+ 2c 24= 0，解得c= 6(舍去)或c= 4.所以c= 4.n由題設(shè)可得/CA=n,于是 3(cosa+ sin所以 1 + 2sinacosa118,所以 sin 2a1718故選 C.(2)(2017屆山東省師大附中模擬/ sin7tcos/ sin則 cos j2a + -3 =12sin2熱點二正弦定理、余弦定理1.正弦定理：在厶ABC中,csinAsinBsin=2F(RABC的外接圓半徑)變C形：a= 2RsinA,b= 2RsinB,c= 2RsinC, sinC等.2bc在厶ABC中，由余弦定理，得228=

6、4+c 4c cos2n)已知 sin=1，則7t解析ina cosa=sin7 7 - - 9 9- -6 6+45所以/BAD=/BAC-ZCAD=n61nAB- AD-sin 26故厶ABD的面積與ACD勺面積的比值為=1.1又厶ABC的面積為4X2sin /BAC=23,所以ABM面積為 3.思維升華 關(guān)于解三角形問題， 一般要用到三角形的內(nèi)角和定理, 角形的性質(zhì)，常見的三角變換方法和原則都適用，同時要注意“三統(tǒng)一”函數(shù)、統(tǒng)一結(jié)構(gòu)”，這是使問題獲得解決的突破口.或判斷三角形的形狀.例 3 (2017 屆湖北省穩(wěn)派教育質(zhì)量檢測)已知函數(shù)f(x) = cos3x sin3x專+ .3 co

7、s2x于(30,x R)，且函數(shù)y=f(x)圖象的一個對稱中心到最近的對稱軸的距離為(1)求3的值及f(x)的對稱軸方程;正弦、余弦定理及有關(guān)三* J，即“統(tǒng)一角、統(tǒng)跟蹤演練 2(2017 廣西陸川縣中學(xué)知識競賽)在銳角ABC中，角A,B, C所對的邊分別為a,b,c,且滿足acosC= (2bc)cosA(1)求角A(2)若a= 7,ABC的面積& ABC= 10 3，求b+c的值.解 (1)由acosC= (2bc)cos A,得 sinAcosC= (2sinB sinC)cosA即 sin即 sin(AcosC+ 跡仙C=2sin BcosA,A+C= 2sinBcosA,即

8、sinB= 2sinBcosA/sinBM0,. cosA= 2，而 0A2 , A=*.2、十 23一 1n由 $心10,3，得 2bcsin-3 = 10；：、；3, bc= 40.I 22 #c兀 口 rr 1 2 2 一-a= 7，b+c 2bccos= 49，即b+c= 89,于是(b+c)2= 89 + 2x40 = 169, b+c= 13(舍負).熱點三解三角形與三角函數(shù)的綜合問題解三角形與三角函數(shù)的綜合是近幾年高考的熱點,主要考查三角形的基本量， 三角形的面積6在厶ABC中，角A B, C的對邊分別為a,b,c.若f(A) =-4, sinC=3,a=, 3,求b的解f(X)

9、= COS3x13231=sin3xcos3x+-cos3x=4sin 23x+n、23x=sin j23x+ ,Ar由函數(shù)y=f(x)圖象的一個對稱中心到最近的對稱軸的距離為n,得 4T=nn,盤n,求得3=1.1( n3=1 時，f(x)=2Sinj2x+,n nnkn由2x+ =2+kn(kZ)，求得x= 12+2(kZ).即f(x)的對稱軸方程為x=n2+kn(kZ).(2)由(1)知f(A)=1sin 2A+nn =所以 2A+ = 2kn+ 或 2A+ = 2kn+ -,k Znn解得A=kn或A= +kn,k Z,又A (0 ,n)，所以A= .1 1n由 sinC= 3,C (

10、0 ,n) , sinA=知，C6，所以 sinB=sin(A+C)= sinAcosC+ cosAsinC=，3；2、2,asinB又a= .3,3乂 3 +2、23%63 + 2.、61=32思維升華 解三角形與三角函數(shù)的綜合題,要優(yōu)先考慮角的范圍和角之間的關(guān)系;對最值或范圍問題，可以轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的值域來求.跟蹤演練 3(2017 屆青島市統(tǒng)質(zhì)量檢測)已知函數(shù)f(x) = sin 2x+n+珈3x一3x+. 3cos23x-4+cos 23x) 一41=-sin 23x+47f(x) = sin j2x+ 專 + cos j2x+ + sin 2xnnn=sin 2 xcosT+cos

11、2xsinT+cos 2xcos石-sin 2= 3cos 2x+ sin 2x= 2sin j2x+冗T0Bn ,3 B+3 0,得 sinA= 2sinB根據(jù)正弦定理，得a= 2b.2. (2017 北京)在平面直角坐標系xOy中，角a與角3均以O(shè)x為始邊,1y車由對稱.若 sina= , cos(a3) =_ .3由題意知a+3=n+ 2kn(k Z),2 2=-cosa +sina =2sin17=2x91= 9.3n +2kn a(kZ),又 sin cos(a 3)=cosacos3 +sinasintan解析方法/ tann = _4=1+tanna tan -_ tana 11

12、n1+tana6atan -46tana 6=1+tana(tanaH 1)C+ sin(A+C)=它們的終邊關(guān)于3. (2017 江蘇)若 tan146,7t則 tan解析10二 tan方法tana=tan Jtan1 tan1=e+2=7n I n15a7tan716a-扌+tan44. (2017 浙江)已知ABC AB= AC=4,BC=2點D為AB延長線上一點,BD=2,連接CD則厶BDC勺面積是,cos /BD&11答案學(xué)乎解析 依題意作出圖形，如圖所示，則 sin /DBGsin /ABC由題意知AB= AC=4,BC= BD=2,則 sin /ABG5, cos /AB

13、C=4,所以 &BDC=2BC-BD-sin /DBC1因為 cos/DBG-cos/ABC-4BD+BC-CD8-cD=2BD- BC=8所以CD=10.押題預(yù)測I、21.在ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知 cosA=3, sinB= 5cosC,并3且a=yj2，則ABC的面積為.押題依據(jù)三角形的面積求法較多，而在解三角形中主要利用正弦、余弦定理求解，此題很好地體現(xiàn)了綜合性考查的目的，也是高考的重點.答案252解析因為 0A0)的最小正周期為(1)求3的值；在厶ABO中, sinB,sinA,sinC成等比數(shù)列，求此時f(A)的值域.押題依據(jù)三角函數(shù)和解三角形的

14、交匯點命題是近幾年高考命題的趨勢，本題綜合考查了三角變換、余弦定理和三角函數(shù)的值域，還用到數(shù)列、基本不等式等知識，對學(xué)生能力要求較高.因為函數(shù)f(x)的周期為T=233所以3=2( n 1(2)由(1)知f(x) = sin i3x-, +in I1易得f(A) = sini3A 因為 sin B, sin A, sinC成等比數(shù)列,所以 sin2A= sinBsin C,所以a2=bc,因為 0An,所以 OvAw，所以n3A5n36661 fn )所以一 2sin|3A6w1,(n )11所以1sin i3A -w-,由a=及正弦定理a csinAsinC，得c= 3.2n亍.2.已知函數(shù)

15、f(x) = #3sin3x+1)=sinn16廠2,所以 cosA=.2 2 2b+ca2bcb2+c2bc2bc2bcbc2bc1=-(當(dāng)且b=c時取等號).(1)f(x)=3x2(cos22.14所以函數(shù)f(A)的值域為15A 組專題通關(guān)1. （2017 貴陽市第一中學(xué)適應(yīng)性考試）已知在ABC中,A,B,C的對邊分別為a,b,c,1若a= 10,c= 3, cosA= 4,貝 Ub等于(A. .2B. 3C. 2D. 3答案解析2 2 2由余弦定理知，a=b+c 2bccosA10,所以（b 2）（b+ 2）= 0，解得b= 2（舍負）2. tan 70 + tan 503tan 70

16、tan 50的值等于A. 3 B.c.答案解析因為 tan 120tan 701 tan70+ tan 50tan 50 即 tan 70 + tan 503tan 70 tan 50故選 C.sina +COS2可得 10=b+ 9 2 3. （2017 荊、荊、襄宜四地七校聯(lián)考tan ；的值為（)13111J/A-2B.2C-3D.3）已知a為第四象限角,答案解析1 十、sina+ cosa=平方,5得 1 + 2sinacos丄=25?2sinacosa24-怎？(sin(X COS2 .a)=12sinaCOS4925.因為a為第四象限角,所以 sin0,sin(XCOSa75因此 s

17、in35cosa45,1617+acosB= 2，則ABC的外接圓的面積為（）A. 4nB.8nC. 9nD. 36n答案 C解析 /bcosA+acosB= 2,2 2 . 2a+cb2ac2S=n X3 = 9n，故選 C.值是（答案cos 2asin(a + 3)=sin(3 a)+2a=sin(3a)cos 2a +cos(3 a)sin 2asinaacosaa222sina2a2a1+cosacos2cos2tan41+5i3，故選C.4. （2017 合肥一模)ABC勺內(nèi)角A, B, C的對邊分別為a,b,c,右cosC=bcosA2bc由 cosC=得 sinC=2R=汁2C=

18、 136,R= 3,5.若 sin 2a= -z5, sin(5)=罟且a 3n2，則a7nA.一49nB.5nC.-4或74n45nD.解析/ sin 2a7t又 sin(3 a)=童,3 |n ,3n2cos(3-a)=甘,18COS（a + 3）=COS（3 a）+2a=COS（3 a）COS 2a sin（3 a）sin 2a-嘟X攀晉=7n3=，故選 A答案 3=需X3 10_210X5 =2，6.（2017n2 , tana= 2,貝 UCOS答案3 1010解析COS=COSaCOSn+ sin4a +Sina）.又由0,n,tana= 2 知，sina2 5,COSa5，=運5

19、，COS7. （2017 屆湖南省百所重點中學(xué)階段性診斷九章卷五“田域類”里有一個題目:）我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶在他的著作數(shù)書“問有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里里法三百步欲知為田幾何.”這道題講的是有一個三角形沙田, V三邊分別為 13 里，14 里，15 里，假設(shè) 1 里按 500 米計算，則該沙田的面積為平方千米.答案 21解析 設(shè)厶ABC的對應(yīng)邊邊長分別為a= 13 里，b= 14 里，C= 15 里,132+ 142 1525COSC=2X13X14，13=21（平方千米）.=伯? sinC=12?S=2X13X14X1|X250 000 = 21X1

20、06（平方米）8.（2017 河南省息縣第一高級中學(xué)階段測試）如圖，在平面四邊形ABC中,AD= 1,CD=2,AC=羽,COS/BAD= 誓,sin /，貝 UBC的長為. n aSin4na 419在厶ADC中運用余弦定理，可得cos /CAD=則 sin /CA=1 罕2=弓，所以 sin /BAC=sin( /BAD-/CAD=3 回逆更y2i 6 擊+V3=3=14X 7 +t4X T =14= T，在厶ABC中運用正弦定理，可得(1)求 cos B;若a+c= 6,ABC面積為 2,求b.2B解 由題設(shè)及A+ B+C=n，得 sinB= 8sin ?,故 sinB= 4(1 cos

21、B).上式兩邊平方，整理得17COS2B32cosB+ 15= 0,解析因為 cos / BAD= 工14，故 sin /BAD=雖=3 曲14 = 14解得 cosB=1(舍去)或 cosB=15故 cosB=1517.(2)由 cosB=譽，得 sin8B=喬故Sx ABC=1acsin4B= =ac.又ABC= 2,則17ac=.9. （2017 全國n） ABO的內(nèi)角 A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知 sin(A+C=8sin 當(dāng)BC=邁= sin /BACsin /CBABC=20由余弦定理及a+c= 6,得b2=a2+c2-2accosB=(a+c)2-2ac(1 + cos

22、B)17f15、=362X yx1+17=4,所以b= 2.10 . (2017 浙江省“超級全能生”聯(lián)考)已知fx+n = f(x)，若其圖象向左平移nn個單位長度后得到的函數(shù)為奇函數(shù).(1)求f(x)的解析式；在銳角ABC中，角A,B, C的對邊分別為a,b,c,且滿足(2ca)cosB=bcos 代求f(A)的取值范圍.(2)v(2ca)cos B=bcos A,由正弦定理得 2sinCcosB= sin(A+E) = sinCp r-Y又 C i0, , sin o 0,1n cosB=2, B=3.ABC是銳角三角形，C= 亍Av,nnA0,| $ | 2 滿足解 fx+nnf(x)

23、, - f(x+ n)= fn ix+2 =f(x),二T= n ,. 3 =2,n則f(x)的圖象向左平移石個單位長度后得到的函數(shù)為6I弋$ =(n2x+p+ $，而g(x)為02A- y從而f(x) = sin2111. （2017 屆合肥教學(xué)質(zhì)量檢測）在銳角ABC中，內(nèi)角A,B, C的對邊分別為a,b,c,且6 B.(3, 5)C.(5, 6 D. 5, 6答案0Bnn 1 n n2B+-3，又_6B2,可得b2+c2 (5,6.故選 C.)已知 2sin0= 1 cos0，則 tan0等于(0亠0 0 0亠 sin $ = 0 或 2cosy = sin , tan 3 = 0 或 2,02tan 一2 又 tan0=201 tan