數(shù)學(xué)需要“繪畫(huà)”

1、 數(shù)學(xué)需要“繪畫(huà)”談直觀模型在數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用繪畫(huà)一詞，一般用于美術(shù)范疇，古往今來(lái)，人們常用“詩(shī)中有畫(huà)，畫(huà)中有詩(shī)”來(lái)形容詩(shī)畫(huà)的緊密聯(lián)系。其實(shí)，詩(shī)和畫(huà)都是我們認(rèn)識(shí)世界的兩種不同符號(hào)而已。同樣的，我把數(shù)學(xué)中的圖形符號(hào)稱為數(shù)學(xué)“繪畫(huà)”，數(shù)學(xué)圖形符號(hào)較之?dāng)?shù)學(xué)文字符號(hào)更為直觀，容易發(fā)現(xiàn)數(shù)量之間的關(guān)系，揭示問(wèn)題的本質(zhì)。所以，本學(xué)期教學(xué)中，我經(jīng)常采用數(shù)學(xué)“繪畫(huà)”直觀模型，幫助學(xué)生理解題意，溝通聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，提高學(xué)生的解題能力。一、理解困難時(shí)需要?jiǎng)討B(tài)性“繪畫(huà)”小學(xué)生的思維以直觀形象思維為主，面對(duì)數(shù)學(xué)文字信息時(shí)，常會(huì)出現(xiàn)理解困難的情況。比如課堂作業(yè)本中的思考題“甲乙兩輛汽車(chē)都從A地運(yùn)貨到B地，甲車(chē)的速度為

2、65千米/時(shí)，乙車(chē)的速度為85千米/時(shí)，甲車(chē)先行2小時(shí)后乙車(chē)才出發(fā)，當(dāng)乙車(chē)超過(guò)甲車(chē)10千米時(shí)，乙車(chē)行了多少小時(shí)？”學(xué)生只有簡(jiǎn)單的行程問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)追及問(wèn)題比較難理解。于是，我先讓學(xué)生模擬情境分角色扮演，兩位學(xué)生分別扮演甲、乙兩車(chē)，其余學(xué)生當(dāng)觀眾讀信息，觀眾學(xué)生讀一個(gè)信息，角色學(xué)生就表演題意：甲生先跨兩大步，表示先行2小時(shí)，然后乙生跨步和甲生同時(shí)前進(jìn)，在前進(jìn)過(guò)程中，乙生的步子邁得比甲生大，表示速度比甲快，當(dāng)作為導(dǎo)演的我喊“?！睍r(shí)，乙生在距離甲生前一小段停下來(lái)，表示超過(guò)了甲10千米。然后我要求學(xué)生將剛才活動(dòng)的過(guò)程畫(huà)下來(lái)，有了動(dòng)態(tài)表演的經(jīng)歷，學(xué)生畫(huà)起來(lái)得心應(yīng)手。再經(jīng)過(guò)比較討論，形成了下面簡(jiǎn)潔的線段圖

3、。 根據(jù)線段圖，學(xué)生很輕松地找到了多種等量關(guān)系：乙的路程甲的路程=10千米，乙的路程10千米=甲的路程，甲的路程10千米=乙的路程，速度差×行駛時(shí)間=2小時(shí)的路程10千米，（2小時(shí)的路程10千米）÷速度差=行駛時(shí)間等等。 行程問(wèn)題中的相向、相背、追及、同向、同地、相距等概念，都可以在動(dòng)態(tài)的表演中，再借助動(dòng)態(tài)的課件演示，使學(xué)生對(duì)線段圖中的箭頭等符號(hào)理解非常深刻，有效實(shí)現(xiàn)了具體操作思維到具體形象思維再到抽象邏輯思維的過(guò)渡。二、認(rèn)識(shí)混淆時(shí)需要對(duì)比性“繪畫(huà)” 數(shù)學(xué)是一門(mén)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，有時(shí)一字之差意思截然相反。對(duì)那些結(jié)構(gòu)相似只有些許變化的問(wèn)題，小學(xué)生總是容易混淆黑白，導(dǎo)致很多錯(cuò)誤。教學(xué)

4、中，我們可以引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)畫(huà)圖避免認(rèn)識(shí)上的混淆。比如五年級(jí)是學(xué)生首次接觸代數(shù)知識(shí)，教材中編排了幾倍多幾或幾倍少幾求一倍量的逆向問(wèn)題，讓學(xué)生通過(guò)解決體會(huì)列方程解決問(wèn)題的優(yōu)越性。但由于以前過(guò)于強(qiáng)調(diào)算術(shù)方法，所以這時(shí)扭轉(zhuǎn)學(xué)生的思維習(xí)慣相當(dāng)困難。這時(shí)，我采用對(duì)比的方式，引導(dǎo)學(xué)生畫(huà)出示意圖進(jìn)行比較。比如 “（1）老鷹每小時(shí)飛行4.25千米，鴿子比老鷹的2倍還多0.2千米，鴿子每小時(shí)飛行多少千米？（2）鴿子每小時(shí)飛行8.7千米，比老鷹的2倍還多0.2千米，老鷹每小時(shí)行多少千米？”，轉(zhuǎn)化為圖形語(yǔ)言，分別為：通過(guò)線段圖的比較，學(xué)生非常直觀地看出兩個(gè)問(wèn)題的異同：前者是一倍量已知求幾倍量，后者是幾倍量未知求一倍量。

5、數(shù)量關(guān)系都是“老鷹飛行的速度×20.2=鴿子飛行的速度”，不管一倍量已知還是未知，當(dāng)一倍量已知時(shí)，列出的算式，當(dāng)一倍量未知時(shí)，列出的是方程。三、信息紛雜時(shí)需要分解性“繪畫(huà)” 在學(xué)習(xí)多邊形的面積這一單元時(shí)，經(jīng)常遇到一些比較復(fù)雜的圖形，過(guò)多的線段往往會(huì)干擾學(xué)生的觀察和分析。這時(shí)，我們可以將圖形信息分步呈現(xiàn)，幫助學(xué)生有序思維。比如，五年級(jí)數(shù)學(xué)課堂作業(yè)本第57頁(yè)：下圖中，AB與CD平行，E是CD的中點(diǎn)。哪些 三角形的面積相等？學(xué)生的錯(cuò)誤率非常高，出乎我的意料，原本我以為學(xué)生知道了等底等高的三角形面積相同的知識(shí)后，解決此題不會(huì)有困難。但結(jié)果并不是這樣，再加上課堂作業(yè)本誤畫(huà)成了右邊的圖形，更讓學(xué)

6、生錯(cuò)誤地認(rèn)為三角形ABE等于BED，ACE等于ABE。部分中下學(xué)生面對(duì)這個(gè)圖形中的線段無(wú)從下手，胡亂寫(xiě)幾個(gè)三角形交差了事。為了幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律，掌握判斷的方法，我將左上圖進(jìn)行了分解，分小步子呈現(xiàn)，從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，層層深入，取得了很好的效果。具體做法：（1）在平行線內(nèi)畫(huà)出面積相等的三角形。這做法叫“退到原點(diǎn)，攻破難點(diǎn)”，學(xué)生會(huì)畫(huà)出面積相等的三角形，當(dāng)然就會(huì)找面積相等的三角形。（2）找出圖中面積相等的三角形。 （3）找出圖中面積相等的三角形。（4）找出圖中面積相等的三角形。在每一個(gè)尋找的過(guò)程中，學(xué)生的識(shí)圖能力得到了有效地訓(xùn)練：學(xué)生在作圖過(guò)程中對(duì)“等底等高的三角形面積相等”這一規(guī)律體會(huì)更加深刻；從反例

7、理解“等底等高的三角形面積相等。”；根據(jù)等底等高面積相等，學(xué)生找出了兩組：三角形ABC與ABD，ACD與BCD。并推理得出三角形AOC與三菜形BOC的面積相等，面積相等的三角形減去重疊部分，剩下的面積也相等。（AD與BC的交叉點(diǎn)為O）。學(xué)生已經(jīng)積累了一定的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，在圖中找到面積相等的三角形就更多了。最后，我引導(dǎo)學(xué)生思考：如何快速尋找面積相等的三角形？使經(jīng)驗(yàn)上升到數(shù)學(xué)方法。四、構(gòu)建模型時(shí)需要過(guò)程性“繪畫(huà)”人教版新增了一些奧數(shù)問(wèn)題編排在數(shù)學(xué)廣角單元里，為滿足學(xué)有余力的學(xué)生的思維需求，體現(xiàn)讓不同的人學(xué)不同的數(shù)學(xué)的理念。但是把原本屬于課外“奧數(shù)”的學(xué)習(xí)內(nèi)容，現(xiàn)在要面向全體學(xué)生進(jìn)行教學(xué)，這就要求我們?cè)O(shè)

8、置合理的教學(xué)目標(biāo)。比如，在小學(xué)階段，不要求學(xué)生對(duì)涉及“抽屜原理”的相關(guān)現(xiàn)象給出嚴(yán)格的、形式化的證明，只要能用直觀的方式對(duì)某一具體現(xiàn)象進(jìn)行“就事論事”式的解釋就可以了，并且要允許學(xué)生借助實(shí)物操作或畫(huà)圖等直觀方式進(jìn)行猜測(cè)和驗(yàn)證。因此，在這節(jié)課中，我采用操作和畫(huà)圖相結(jié)合的方式展現(xiàn)“抽屜原理”的建模過(guò)程，取得了很好的效果，獲得了聽(tīng)課教師的高度評(píng)價(jià)。660000500064200064110063300063210063111062220062211062111177000007610000752000075110007430000742100074111007331000732200073211007

9、3111107222100722111072111115000541005320053110522105211154004310422042114教學(xué)時(shí)，我引導(dǎo)學(xué)生將探究的過(guò)程畫(huà)下來(lái)，面對(duì)多種分法的示意圖進(jìn)行橫向與縱向的比較，橫向比較可以從每一種分法里面發(fā)現(xiàn)至少數(shù)，縱向比較可以發(fā)現(xiàn)至少數(shù)的本質(zhì)就是平均分。如圖所示： 上好“抽屜原理”這一課并不容易，原因有：1、理解“至少”不容易。抽屜原理中的“至少”的理解，它不同于一般語(yǔ)境中的含義。它既要有物體數(shù)不少于抽屜數(shù)的前提，又是一種在最多中找最少的全新思維方式，還要保證是一定沒(méi)有意外的極端情況（已知至少數(shù)求物體數(shù)的時(shí)候），因而弄清其含義對(duì)小學(xué)生來(lái)說(shuō)是有

10、難度的。2、構(gòu)建模型不容易。當(dāng)我們面對(duì)一個(gè)具體問(wèn)題時(shí)，能否將這個(gè)具體問(wèn)題和“抽屜問(wèn)題”聯(lián)系起來(lái)，能否找到該問(wèn)題中什么是“待分的東西”，什么是“抽屜”，是影響能否解決問(wèn)題的關(guān)鍵。3、溝通聯(lián)系不容易。教材鼓勵(lì)學(xué)生借助實(shí)物操作、畫(huà)草圖和假設(shè)法兩種思考方式進(jìn)行說(shuō)理。動(dòng)手操作、畫(huà)草圖也就是列舉法，那么如何溝通列舉法和假設(shè)法之間的聯(lián)系呢？我發(fā)現(xiàn)：假設(shè)法最核心的思路是把物體盡量多地“平均分”給各個(gè)抽屜，看每個(gè)抽屜能分到多少物體，剩下的物體不管放到哪個(gè)抽屜，總有一個(gè)抽屜比平均分得的物體數(shù)多1。這個(gè)核心思路是用“有余數(shù)除法”這一數(shù)學(xué)形式表示出來(lái)的，需要學(xué)生借助直觀，逐步理解并掌握。列舉法在羅列出所有分法之后，最后一種情況也是平均分，其中一份比平均分得的物體數(shù)多1。列舉法是學(xué)生可觸摸到的，而假設(shè)法學(xué)生不容易想到，所以我引導(dǎo)學(xué)生從列舉情況中比較最后一種情況，即平均分進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)要想得到至少數(shù)，只要把物體盡量平均分，這樣就把列舉法和假設(shè)法溝通起來(lái)，形成了動(dòng)手操作、畫(huà)圖比較、溝通聯(lián)系、歸納原理的探索思路，使不同的方法形成了一條鏈。通過(guò)畫(huà)圖，幫助學(xué)生找到問(wèn)題的本質(zhì)。如下圖：621111721111121115211461111171111111111511141111平均分4÷3=11 11=2至少數(shù)5÷4=11 11=26÷