人教版八年級數(shù)學上拔高特色講義

1、三角形全等之倍長中線（講義）一、知識點睛1 .輔助線的定義：為了解決幾何問題，在原圖基礎之上另外添加的直線或線段 稱為輔助線.輔助線通常畫成虛線.2 .輔助線的原則：添加輔助線，構造新圖形，形成新關系，建立已知和未知之 間的橋梁，把問題轉(zhuǎn)化成自己已經(jīng)會解的情況.3.輔助線的作用： 把分散的條件轉(zhuǎn)為集中；把復雜的圖形轉(zhuǎn)為基本圖形. 4.添加輔助線的注意事項：明確目的，多次嘗試.5 . “三角形全等”輔助線： 見中線要2 之后6 .倍長中線的作法： AAbZAc BDCBDC延長AD至U E,使DE=AD延長MD至U E,使DE=MD,連接BE連接CE二、精講精練 1.如圖，AD為4ABC的中線.

2、 求證：AB+AC2AD.2.如圖，在 ABC中，AD平分/ BAC 且BD=CD. 求證：AB=AC.AbFD1_E-C延長FE交BC的延長線于點GBBDCABCD3 .如圖，CB是4AEC的中線，CD是 ABC的中線，且 AC=AB. 求證：CE=2CD;CB平分/ DCE4 .如圖，在4ABC中，D是BC邊的中點，E是AD上一點，BE=AC, BE的延長 線交AC于點F.求證：/AEF/EAF5.如圖，在 ABC中，AD交BC于點D,點 的延長線于點 F,交AB于點G, BG=CF. 求證：AD為 ABC的角平分線.E是BC中點，EF/ AD交CA6 .如圖，在正方形ABCD中，E為AB

3、邊的中點，G, F分別為AD, BC邊上的點,GE! EF.求證：GF=AG+BF.7 .如圖，在正方形ABCD的邊CB的延長線上取一點E, 4FEB為等腰直角三角 形，/ FEB=90,連接FD,取FD的中點G,連接EG, CG求證：EG=CG且 EG CG三、回顧與思考【參考答案】【知識點睛】 見中線要倍長，倍長之后證全等.【精講精練】1 .證明略（提示：延長 AD到點E,使DE=AD,連接BE,證明 BE* CAD）2 .證明略（提示：延長 AD到點E,使DE=AD,連接BE,證明 BE* CAD）3 .證明略（提示：延長 CD到點F,使DF=CD,連接BF,證明 BD陷AADC, CB

4、陷 ACBFF4 .證明略（提示：延長AD到點M,使DM=AD,連接BM,證明ADgAMDB）5 .證明略（提示：延長 EF到點M,使EM=EF,連接BM,證明 CF草 BME）6 .證明略（提示：延長 GE交CB延長線于點M,證明 AE& ABEM）7 .證明略（提示：延長 EG交CD延長線于點M,證明 FG草ADGM,再證明三角形EGC是等腰直角三角形） 三角形全等之倍長中線每日一題E是CD的中點.1 .已知：如圖，在梯形 ABCD 中，AD/BC, AB=AD+BC, 求證：AEXBE.2 .已知：如圖，在 ABC中，D為BC邊中點，/BDA=/BAD, E為BD中點, 連接AE.求證：

5、/ C=/BAE.EDC3 .已知：如圖， ABC與4BDE均為等腰直角三角形，BAAC, EDXBD,垂 足分別為點A,點D,連接EC, F為EC中點，連接AF, DF ,猜測AF, DF 的數(shù)量關系和位置關系，并說明理由.4 .已知：如圖，D為線段AB的中點，在AB上任取一點C （不與點A, B, D 重合），分別以AC, BC為斜邊在AB同側(cè)作等腰RQACE與等腰RtABCF, / AEC=/CFB=90 ,連接 DE, DF , EF.求證： DEF為等腰直角三角形.5 .已知：如圖，在四邊形 ABCD中，AB/DC, E為BC邊的中點，/ BAE=/ EAF, AF與DC的延長線相交

6、于點F.試探究線段AB與AF, CF之間的數(shù) 量關系，并說明理由.A2.證明：延長AE到F,使得EF=AE,連接DF.【參考答案】1 .證明：延長AE交BC的延長線于點F. AD / BC. ./D=/DCF, /DAE=/F. E是CD的中點 .DE=CE在4ADE和4FCE中2 D = / FCEIDAE =DE =CE.ADEAFCE (AAS) .AD=FC, AE=FE ,.AB=AD+BC .AB=CF+BC=BF在AABE和AFBE中AB = FBBE =BE AE = FE.ABEAFBE (SSS) ./ABE=/FBE=90即 AEXBE.E為BD中點 .BE=ED在4AB

7、E和4FDE中BE = DEBEA = / DEF、AE = FE.ABEAFDE (SAS) .AB=FD, /BAF=/F, /B=/FDE ZBDA=ZBADBD=AB.D為BC邊中點 .CD=BD=AB=FDZBDA=ZBAD ./ADF = /BDA+/FDE, /ADC=/B+ /BAD 即 / ADF = /ADC在AFAD和ACAD中FD =CD上 FDA = / CDA、AD = AD.FADACAD (SAS). ./F=/C. ./C=/BAE3.解：AFXDF, AF=DF,理由如下:延長DF交AC于點P.,. BAXAC, EDXBD ./BAC=/EDA=90 .D

8、E / AC ./DEC=/ECA.F為EC中點 .EF=FC在AEDF和ACPF中DEF =CF EFD =Z CFP EF =CF.EDFACPF (AAS) .DE=CP, DF=PFv ABC與八BDE均為等腰直角三角形 .AB=AC, DE=BD.AB-BD=AB-DE=AC -CP 即 AD=AP在ADAF和APAF中DF = PF AF = AF、AD =AP.DAFAPAF (SSS) ./DFA = /PFA=90 , /DAF = /PAF=45.AFXDF, AF=DF4.證明：延長ED到點G,使得DG=DE,連接BG, FG.D為線段AB的中點 .AD=BD在4EDA和

9、4GDB中ED =GDEDA =/ GDBDA =DB.EDAAGDB (SAS) .EA=GB, /A=/GBDv ACE與八BCF是等腰直角三角形 .AE=CE=BG, CF=FB, Z A=ZECA=Z FCB=ZFBC=45 ./ECF=90 , / FBG=/FBD + /GBD=90在AECF和AGBF中EC =BG! 上 ECF =/ GBFPF =BF.ECFAGBF (SAS) .EF=GF, /EFC=/GFBvZ CFB=/ CFG+ZGFB=90丁. / EFG = / EFC+ZCFG=90在AEFD和AGFD中，EF =GFFD = FDED =GD.EFDAGFD

10、 (SSS) ./EDF = /GDF=90 , Z EFD = ZGFD=45 .ED=DF.DEF為等腰直角三角形5.解：AB=AF+CF,理由如下：延長AE交DF的延長線于點G.E為BC邊的中點 .BE=CE. AB/ DC. ./B=/BCG, /BAG=/GftAABEffiAGCE 中V B=/GCEI /BAE =Z G、BE =CE.ABEAGCE (AAS) .AB=GC ./BAE=/EAF. ./G=/EAF .AF=GF. GC= GF+FC .AB=AF+CF三角形全等之倍長中線（隨堂測試）1 .在 ABC中，AC=5,中線AD=4，則邊AB的取值范圍是2 .已知：如

11、圖，在 ABC中，AB%C, D, E在BC上，且 DE=EC 過D作DF/BA交 AE于點 F, DF=AC.求證：AE平分/ BAC【參考答案】1 . 3ABAC, E為BC邊的中點，AD為/BAC的平分線，過E 作AD的平行線，交 AB于F,交CA的延長線于G.求證：BF=CG.7.如圖，在正方形 的中點G,連接ABCD的邊AB上任取一點E,彳EF AB交BD于點F,取FD EG CG求證：EG=CGH EG CG.8 .已知：如圖，/ ACB=90, AC=BC, D為 AB上一點，連接 CD, AECD于 E,BF CD交CD的延長線于F.求證： BCFi ACAE9 .多項式9x2

12、+1加上一個單項式后，能使它成為一個整式的完全平方式，則可 以加上的單項式共有 個，分別是【參考答案】1 . 1ADAC, /1 = /2, P為AD上任意一點.求證: AB-ACPB-PC.3.已知：如圖，/1 = /2, P 為 BN 上一點，且 PDLBC 于點 D, /A+/C=180.求證：BD=AB+CD.4.ADCE在正方形ABCD中，點E在CB延長線上，點F在DC延長線上，/ EAF=45. 求證：DF=EF+BE.5.如圖，在正方形 ABCD中，E為BC邊上任意一點，AF平分/DAE.求證:AE=BE+DF.【參考答案】1 .證明：如圖，在線段 DC上截取DE,使DE=BD,

13、連接AE. ,.ADXBC ./ADB=/ADE=90ftAABDffiAAED 中AD = ADI2ADB =/ADE、DB =DE.ABDAAED (SAS). B=/1, AB=AE / B=2/C / 1=2/C / 1 MAAEC的一個外角 ./ 1 = /C+/2 C=/2 .AE=CE.CD=CE+ED .CD=AE+BD .CD=AB+BD2.（如果延長DB到點F,使BF=AB,連接AF也可進行證明） 證明：如圖，在線段 AB上截取AE=AC,連接PE.貝U AB-AC=AB-AE=EBftAAEPffiAACP 中AE = AC，4 =22AP = AP .AEP0 ACP

14、(SAS) .PE=PC在APEB 中，PB-PEEB .PB-PCPB-PC(延長AC到點F,使AF=AB,連接PF,也可證明結(jié)論)3 .證明：如圖，在 BC上截取BE=BA,連接PE.ftAABPffiAEBP 中BA = BE I 上1 2BP = BP .ABP0 EBP (SAS) A=/3./A+/C=180 , / 3+/4=180 ./4=/C PDXBC ./ PDE=/PDC=90ftAPDEffiAPDC 中4CI PDE = PDCPD = PD.-.PDEAPDC (AAS) .DE=DC .BD=BE+ED；BD=AB+CD (過點P作PF，BA于F,也可進行證明)

15、4 .證明：如圖，在 DF上截取DG=BE,連接AG.二.四邊形ABCD為正方形 / D= / BAD= / ABC=90, AB=AD ./ABE=/D=90ftAABEffiAADG 中AB = AD2ABE =DBE = DG .ABE0 ADG (SAS) .AG=AE, /1 = /2EAB34DCGv j EAF=45 ,F. / 2+/3=45/ 1 + /3=45 ./ GAF=45 =/EAF在4EAF和4GAF中AE = AGI：ZEAF =/4 AF =AF.EAFAGAF (SAS) .EF=GF .DF=GF+DG .DF=EF+BE5.證明：如圖，延長 EB到點G,

16、使BG=DF,連接AG.二.四邊形ABCD為正方形 .AB=AD, / D=/ABC=/BAD=90 ./ABG=/D=90在AABG和AADF中AB = ADI ABG = ADFBG = DF .ABG0AADF (SAS)/ 1 = /2, / 5=/G. AF 平分 / DAE / 1 = /31 + /5=90. / 3+/G=90 / 1 + /3+/4=90 / 2+/3+/4=90 / 2+/4=/G .AE=EG=BE+BG .AE =BE+DF三角形全等之截長補短隨堂測試題姓名6.已知：如圖，在梯形 ABCD中，AD/BC, / DAB的平分線 AE交CD于E,連接BE,且

17、BE平分/ ABC.求證：AB=AD+BC.【參考答案】證明略提示方法一：在 AB上截取 AF=AD,連接EF,證明 ADEAFE,再證明 BFE BCE;方法二：延長 AE交BC的延長線于點 F,證明ABEFBE,再證明 ADE FCE）三角形全等之截長補短（作業(yè)）1 .如圖，在 ABC中，/ BAC=60, /ABC=80, AD是/BAC的平分線.求證: AC=AB+BD.AE2 .如圖，AC 平分 / BAD, CEL AB, /B+/D=180. 求證：AE=AD+BE3 .如圖，在 ABC中，/A=100, /ABC=40, BD是/ABC的平分線，延長 BD 至 E,使 DE=A

18、D.求證：BOAB+CE4 .如圖，在等邊三角形 ABC中，點E, F分別在AB, AC上，/ EDF=60, DB=DC, .BDC=120.求證：EF=BE+CF.5 .多項式16x2+4加上一個單項式后，能使它成為一個整式的完全平方式，則可以加上的單項式共有 個，分別是6 .如圖，在 ABC中，ADLBC于點 D, BE=ED=DC, /1=/2,則：AD是4ABC的邊上的高，也是的邊BD上的高，還是 ABE的邊上的高；AD既是的邊上的中線,又是邊上的高，還是 的角平分線.7 .已知：如圖，AD/EF, BF/DG, / A=/B= / G=35.求/ EFG的度數(shù).8.計算下列各式：(

19、1) -(3a3b-2ab3)+ab)(q-2b)(a+2b)(2a)2;1 A0 ,J 2 2 1 0 1 _22(一2)5一3 3 )3 【參考答案】1 .證明略提示：方法一：在AC上截取AE=AB,連接DE,證明4AB廬 AAED,再證明CE=BD;方法二:延長 AB至ij E,使BE=BD,證明AADAADC2 .證明略提示：在AE上截取AF=AD,證明 CDAzCFA再證明BE=FE3 .證明略提示：在BC上截取BF=BA,連接DF,證明 AB廬 FBD,再證明 DF8 DEC4 .證明略提示：延長 FC到 G,使 CG=BE,證明 BE* CGD 彳導 ED=GD, / BDE=Z

20、CDG 再證明 EFDAGFL 彳3 EF=GF5 . 5;16x4, 16, -4, 16x2;6 . BC, AABD, BE;AAEC EC, EC / EAC7 .略；一，、_ 2 _ 288 . (1) 2a2+2b2;(2) -119動點問題(講義)一、知識點睛由點()的運動產(chǎn)生的幾何問題稱為動點問題.動點問題的解決方法：1 .研究,;2 .分析3 .表達,建等式.二、精講精練1 .已知：如圖，線段AB的長為12cm,動點P從點A出發(fā)，沿AB以每秒2cm 的速度運動，動點Q從點B出發(fā)，沿BA以每秒1cm的速度運動.P, Q兩 點同時出發(fā)，當點P到達點B時，點P, Q同時停止運動.設

21、點P運動的時 間為t秒.(1)求出t的取值范圍；(2)請用t分別表示P, Q相遇前，相遇后線段PQ的長度；(3)若某時刻線段PQ的長度為9cm,求此時t的值.A PQ B2 .已知：如圖，在矩形ABCD中，AB=4, AD=10,點E為邊AD上一點，且AE=7.動 點P從點B出發(fā)，沿BC向點C以每秒2個單位的速度運動，連接AP, DP.設 點P運動時間為t秒.(1)當t=1.5時， ABP與4CDE是否全等，請說明理由；(2)當t為何值時， DC國ACDE3 .已知：如圖，在梯形 ABCD 中，AD/BC, / ABC=90 , AD=12, BC=24,動 點P從點A出發(fā)沿AD向點D以每秒1

22、個單位的速度運動，動點Q從點C出 發(fā)沿CB向點B以每秒2個單位的速度運動，P, Q同時出發(fā)，當點P停止運 動時，點Q也隨之停止，連接PQ, DQ.設點P運動時間為x秒，當x為何 值時， PDCACQD.4 .已知：如圖，在 ABC中，AB=AC=10cm, BC=8cm,點D為AB的中點.點P 在線段BC上以每秒3cm的速度由點B向點C運動，同時點Q在線段CA上 由點C向點A運動.設點P運動時間為t秒，若某一時刻 BPD與4CQP全 等，求此時t的值及點Q的運動速度.5 .已知：如圖，正方形 ABCD的邊長為10cm,點E在邊AB上，且AE=4cm, 如果點P在線段BC上以每秒2cm的速度由點B向點C運動，同時，點Q在線段CD上由點C向點D運動.設點P運動時間為t秒，若某一時刻 BPE與4CQP全等，求此時t的值及點Q的運動速度.