第5章-誤差理論

1、491492什么是誤差誤差（Error)（真誤差）： 觀測(cè)值L與真值X的差值。 = L X真值X：反映一個(gè)量真正大小的絕對(duì)準(zhǔn)確的數(shù)值。一、 測(cè)量誤差產(chǎn)生的原因494495496 鋼尺尺長(zhǎng)誤差 Dk 鋼尺檢定,尺長(zhǎng) 鋼尺溫度誤差 Dt 鋼尺檢定,溫度 水準(zhǔn)儀視準(zhǔn)軸誤差 i 中間法水準(zhǔn),前后視等距 經(jīng)緯儀視準(zhǔn)軸誤差 C 在相同的觀測(cè)條件下，對(duì)某一量進(jìn)行一系列觀測(cè)，誤差出現(xiàn)的符號(hào)和數(shù)值大小都不相同，從表面看沒(méi)有任何規(guī)律性，這種誤差稱(chēng)為“偶然誤差”，是由許多無(wú)法精確估計(jì)的因素綜合造成(人的分辨能力,儀器的極限精度,天氣的無(wú)常變化,以及環(huán)境的干擾等)。 偶然誤差不可避免，但在一定條件下的大量的偶然誤差，

2、在實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)具有統(tǒng)計(jì)學(xué)規(guī)律。 偶然誤差舉例：儀器對(duì)中誤差,氣泡居中判斷、目標(biāo)瞄準(zhǔn)、度盤(pán)讀數(shù)等誤差,氣象變化等外界環(huán)境等影響。497（四）誤差處理原則498系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差 找出發(fā)生規(guī)律，用觀測(cè)方法和 加改正值等方法抵消。iilX 499l1, l2, ln1,2,n4910 4911誤差區(qū)間 d 負(fù)誤差正誤差誤差絕對(duì)值kk/nkk/nkk/n03450.126460.128910.25436400.112410.115810.22669330.092330.092660.184912230.064210.059440.1231215170.047160.045330.0921518130.03

3、6130.036260.073182160.01750.014110.031212440.01120.00660.01724以上0000001810505177049535810004912d= /dkn0+6+12+18+24-6-12-18-24()yx=f0nlimnlimnn21n491322221)(efnnnnlimlim2nnnnn2222212limlim式中參數(shù)稱(chēng)為“標(biāo)準(zhǔn)差”,其平方 2 稱(chēng)為“方差”, 方差為偶然誤差(真差)平方的理論平均值：4914nmn2n2221按觀測(cè)值的改正值計(jì)算中誤差4915m1= 2.7m2= 3.6=xy= f()()f()fm1m1m2m21

4、2m1m2+-22 1149164917二、相對(duì)中誤差demdfpm22221)()(將上式積分，得到偶然誤差在任意大小區(qū)間中出現(xiàn)的概率。設(shè)以k倍中誤差作為區(qū)間,則在此區(qū)間中誤差出現(xiàn)的概率：4918%7 .999973. 0)m3(%4 .959545. 0)m2(%3 .686826. 0)m(PPPd21)km(222 memp4919一、 算術(shù)平均值nllllnlniixnn211x算術(shù)平均值為何是該量最可靠的數(shù)值？可以用偶然誤差的特性來(lái)證明：證明算術(shù)平均值是最或然值nn2211lXlXlX4920Xlim0limnlnnnnlXn根據(jù)偶然誤差特性：Xnlx將上列等式相加，并除以n,得到

5、：二、 觀測(cè)值的改正值最或然值與觀測(cè)值之差稱(chēng)為“觀測(cè)值的改正值”(簡(jiǎn)稱(chēng)改正值) v :4921n)1(ilxvii0lxnvvimin)(2lxvvnlxlx, 0)(上列各式相加：說(shuō)明：一組觀測(cè)值取算術(shù)平均值后，各個(gè)觀測(cè)值的改正值之和恒等于零，此可以作為計(jì)算的檢核。0)(2lxxdxvvd5-4 觀測(cè)值的精度評(píng)定49221112nvvnvmniinmxiiiilxvlX,兩式取總和1nvvn1nvvm4923nllx01nvvm4924 次序觀測(cè)值l(m)l(cm)改正值v(cm)vv (cm2)1120.031+3.1-1.41.96算術(shù)平均值:=120.017 (m)觀測(cè)值中誤差:=3.

6、0 (cm)2120.025+2.5-0.80.643119.983-1.7+3.411.564120.047+4.7-3.09.005120.040+4.0-2.35.296119.976-2.4+4.116.81(lo=120.000)+10.20.045.26 nllx01nvvm一、 已知真值X,進(jìn)行n次觀測(cè)，則計(jì)算觀測(cè)值的真誤差與中誤差：4925iilX nmilxivnlolx1nvvm真誤差5-5 誤差傳播定律4926n21dddD.),(21xxfydD1000nlnlnlnx11121 cosSD4927 aabbababP = b-+-+ababaPdbbPdaaPdPba

7、aPddbdbaabP4928)1(,bPiniabiai nabnannbabbaaPP2b22, 0limnbannannbbaaPPb22222222222,baPbaPmambmmambm49292222222121nnZmxfmxfmxfm ),(21nxxxfZ ixf4930iikxZnnxkxkxkZ 2211按照誤差傳布定律，得到線性函數(shù)的中誤差：2222222121nnZmkmkmkm x22222212111nxmnmnmnm 4931)1(nnvvnmmxnkxZ xkmzm4932m1 .0)mm2 .0(500m35.67mm7 .134500DmDm1 . 0m3

8、5.67D4933yxzyxz222yxzmmm大氣儀器讀數(shù)瞄準(zhǔn)對(duì)中方向22222大氣儀器讀數(shù)瞄準(zhǔn)對(duì)中方向mmmmmm第一步：寫(xiě)出包含各個(gè)自變量(獨(dú)立觀測(cè)值)的函數(shù)式第二步：寫(xiě)出全微分式(計(jì)算對(duì)各個(gè)自變量的偏導(dǎo)數(shù))第三步：按誤差傳播定律寫(xiě)出中誤差關(guān)系式注意：誤差傳播定律只適用于將各個(gè)獨(dú)立觀測(cè)值作 為自變量。如果觀測(cè)值之間是相關(guān)的，則得到 的結(jié)果將是不嚴(yán)格的。4934),(21nxxxfZ 2222222121nnZmxfmxfmxfm 5-6 誤差傳布定律的應(yīng)用493522220NnfCNSffSnnSnfCSddd4d0493622222204fmSnmSmnfCmfnS22)(bSamS4

9、9375 . 8262 mm0 .1225 . 82 mm712212 mm多邊形水平角觀測(cè)角度閉合差的規(guī)定多邊形內(nèi)角(水平角)之和在理論上應(yīng)為(n-2)180,由于水平角觀測(cè)中的偶然誤差，產(chǎn)生角度閉合差：4938180)2(180)2(21 nnfnnmmn2m允f06381232 m4939mm4 . 12 mmhmm22hhmm4940)()()(2211nnbababah nmnmmhh2dLn2LmLdmdLmmh0dmm 0，Lmmh04941Lmmoh水準(zhǔn)測(cè)量等級(jí) 一等一等 二等二等 三等三等 四等四等mo1 mm2 mm6 mm10 mmmm225mm10hm4942sin,c

10、osDyDxcossinsincosdDdyddDdxdDD4943222222222222)(sin)cos()(sin)(cos)sin()(cos mxmmDmmmymmDmmDDyDDx222222utDyxABmmmDmmmM 49442iimCP ioiioiPmmmmP1,224945n,nm()(測(cè)回）測(cè)回nnPm又例如水準(zhǔn)測(cè)量以一公里的高程測(cè)量中誤差mo作為單位權(quán)中誤差，則L(km)高差測(cè)量中誤差及其權(quán)為：LLmmPLmmookmLokmL1,22)()(4946212211ppLpppLpLpLpxnnnPLPLxo4947nnLPPLPPLPPx2211 2222222121nnxmPPmPPmPPm 222210PPPPPPmmnx,PPPmmxox494822ioimmP 2222222112,nnooomPmmPmmPm 取以上各式總和，并處以n，得到:nPmmn