卡方檢驗(yàn)及其應(yīng)用

1、卡方檢驗(yàn)及其應(yīng)用一、卡方檢驗(yàn)概述：卡方檢驗(yàn)主要應(yīng)用于計(jì)數(shù)數(shù)據(jù)的分析，對(duì)于總體的分布不作任何假設(shè)，因此它屬于非參數(shù)檢驗(yàn)法中的一種。它由統(tǒng)計(jì)學(xué)家皮爾遜推導(dǎo)。理論證明，實(shí)際觀察次數(shù)（fo）與理論次數(shù)（fe），又稱期望次數(shù)）之差的平方再除以理論次數(shù)所得的統(tǒng)計(jì)量，近似服從卡方分布，可表示為：這是卡方檢驗(yàn)的原始公式，其中當(dāng)fe越大,近似效果越好。顯然fo與fe相差越大，卡方值就越大；fo與fe相差越小，卡方值就越??；因此它能夠用來表示fo與fe相差的程度。根據(jù)這個(gè)公式，可認(rèn)為卡方檢驗(yàn)的一般問題是要檢驗(yàn)名義型變量的實(shí)際觀測(cè)次數(shù)和理論次數(shù)分布之間是否存在顯著差異。一般用卡方檢驗(yàn)方法進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)時(shí)，要求樣本容量

2、不宜太小，理論次數(shù)5，否則需要進(jìn)行校正。如果個(gè)別單元格的理論次數(shù)小于5，處理方法有以下四種：1、單元格合并法；2、增加樣本數(shù)；3、去除樣本法；4、使用校正公式。當(dāng)某一期望次數(shù)小于5時(shí)，應(yīng)該利用校正公式計(jì)算卡方值。公式為：二、卡方檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)原理： 卡方檢驗(yàn)所檢測(cè)的是樣本觀察次數(shù)或百分比與理論或總體次數(shù)或百分比的差異性。 理論或總體的分布狀況，可用統(tǒng)計(jì)的期望值（理論值）來體現(xiàn)。 卡方的統(tǒng)計(jì)原理，是取觀察值與期望值相比較?？ǚ街翟酱螅斫y(tǒng)計(jì)量與理論值的差異越大，一旦卡方值大于某一個(gè)臨界值，即可獲得顯著的統(tǒng)計(jì)結(jié)論。三、卡方檢驗(yàn)的主要應(yīng)用：1、獨(dú)立性檢驗(yàn)獨(dú)立性檢驗(yàn)主要用于兩個(gè)或兩個(gè)以上因素多項(xiàng)分類的計(jì)

3、數(shù)資料分析，也就是研究兩類變量之間的關(guān)聯(lián)性和依存性問題。如果兩變量無關(guān)聯(lián)即相互獨(dú)立，說明對(duì)于其中一個(gè)變量而言，另一變量多項(xiàng)分類次數(shù)上的變化是在無差范圍之內(nèi)；如果兩變量有關(guān)聯(lián)即不獨(dú)立，說明二者之間有交互作用存在。獨(dú)立性檢驗(yàn)一般采用列聯(lián)表的形式記錄觀察數(shù)據(jù), 列聯(lián)表是由兩個(gè)以上的變量進(jìn)行交叉分類的頻數(shù)分布表，是用于提供基本調(diào)查結(jié)果的最常用形式，可以清楚地表示定類變量之間是否相互關(guān)聯(lián)。又可具體分為：（1）四格表的獨(dú)立性檢驗(yàn)：又稱為2*2列聯(lián)表的卡方檢驗(yàn)。四格表資料的獨(dú)立性檢驗(yàn)用于進(jìn)行兩個(gè)率或兩個(gè)構(gòu)成比的比較，是列聯(lián)表的一種最簡(jiǎn)單的形式。a) 專用公式：若四格表資料四個(gè)格子的頻數(shù)分別為a，b，c，d，

4、則四格表資料卡方檢驗(yàn)的卡方值=n*(ad-bc)2/(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，自由度v=（行數(shù)-1）*（列數(shù)-1）b) 應(yīng)用條件：要求樣本含量應(yīng)大于40且每個(gè)格子中的理論頻數(shù)不應(yīng)小于5。當(dāng)樣本含量大于40但理論頻數(shù)有小于5的情況時(shí)卡方值需要校正，即公式，當(dāng)樣本含量小于40時(shí)只能用確切概率法計(jì)算概率。（2）、行*列表資料的獨(dú)立性檢驗(yàn)：又稱為R*C列聯(lián)表的卡方檢驗(yàn)。行*列表資料的獨(dú)立性檢驗(yàn)用于多個(gè)率或多個(gè)構(gòu)成比的比較。a) 專用公式：r行c列表資料卡方檢驗(yàn)的卡方值=n*(A11/n1n1+A12/n1n2+.+Arc/nrnc)-1b) 應(yīng)用條件：要求每個(gè)格子中的理論頻數(shù)T均大于5

5、或1T5的格子數(shù)不超過總格子數(shù)的1/5。當(dāng)有T1或1T5的格子較多時(shí)，可采用并行并列、刪行刪列、增大樣本含量的辦法使其符合行*列表資料卡方檢驗(yàn)的應(yīng)用條件。多個(gè)率的兩兩比較可采用行*列表分割的辦法。獨(dú)立性檢驗(yàn)的理論頻數(shù)的計(jì)算公式為： 公式中，fxi表示橫行各組實(shí)際頻數(shù)的總和； fyi表示縱列各組實(shí)際頻數(shù)的總和； N表示樣本容量的總和；例1：為了解男女在公共場(chǎng)所禁煙上的態(tài)度，隨機(jī)調(diào)查100名男性和80名女性。男性中有58人贊成禁煙，42人不贊成；而女性中則有61人贊成，19人不贊成。那么，男女在公共場(chǎng)所禁煙的問題所持態(tài)度不同？贊成不贊成行總和男性fo11 =58fo12 =42R1100女性fo2

6、1 =62fo22 =18R280列總和C1120C260T180解：(1)提出零假設(shè)Ho：男女對(duì)公共場(chǎng)所禁煙的態(tài)度沒有差異。(2)確定自由度為(2-1)(2-1)=1，選擇顯著水平=0.05。(3)求解男女對(duì)在公共場(chǎng)合抽煙的態(tài)度的期望值，這里采用所在行列的合計(jì)值的乘積除以總計(jì)值來計(jì)算每一個(gè)期望值（如在下表中：66.7=120*100/180）。贊成不贊成行總和男性fo11 =58fo12 =42R1100Fe11 =66.7Fe12 =33.3女性fo21 =62fo22 =18R280Fe21 =53.3Fe22 =26.7列總和C1120C260T180拒絕零假設(shè)，即男女對(duì)公共場(chǎng)所禁煙的

7、態(tài)度有顯著差異。例2：某機(jī)構(gòu)欲了解現(xiàn)在性別與收入是否有關(guān)，他們隨機(jī)抽樣500人，詢問對(duì)此的看法，結(jié)果分為“有關(guān)、無關(guān)、不好說，三種答案，調(diào)查結(jié)果如下表：性別有關(guān)無關(guān)不知道合計(jì)男1206050260女10011060240合計(jì)220170110500解：(1)零假設(shè)Ho：性別與收入無關(guān)。(2)確定自由度為(3-1)(2-1)=2，選擇顯著水平=0.05。 (3)利用卡方統(tǒng)計(jì)量計(jì)算公式計(jì)算統(tǒng)計(jì)量： 故拒絕零假設(shè)，即認(rèn)為性別與收入有關(guān)。2、擬合性檢驗(yàn)：卡方檢驗(yàn)?zāi)軝z驗(yàn)單個(gè)多項(xiàng)分類名義型變量各分類間的實(shí)際觀測(cè)次數(shù)與理論次數(shù)之間是否一致的問題，這里的觀測(cè)次數(shù)是根據(jù)樣本數(shù)據(jù)得多的實(shí)計(jì)數(shù)，理論次數(shù)則是根據(jù)理論

8、或經(jīng)驗(yàn)得到的期望次數(shù)。這一類檢驗(yàn)稱為擬合性檢驗(yàn)。其自由度通常為分類數(shù)減去1，理論次數(shù)通常根據(jù)某種經(jīng)驗(yàn)或理論。例3：隨機(jī)抽取60名高一學(xué)生，問他們文理要不要分科，回答贊成的39人，反對(duì)的21人，問對(duì)分科的意見是否有顯著的差異。解：（1）提出零假設(shè)Ho：學(xué)生們對(duì)文理分科的意見沒有差異；（2）分析：如果沒有顯著的差異，則贊成與反對(duì)的各占一半，因此是一個(gè)無差假設(shè)的檢驗(yàn)，于是理論次數(shù)為60/2=30，代入公式：所以拒絕原假設(shè)，認(rèn)為對(duì)于文理分科，學(xué)生們的態(tài)度是有顯著的差異的。例4：某大學(xué)二年級(jí)的公共體育課是球類課，根據(jù)自己的愛好，學(xué)生只需在籃球、足球和排球三種課程中選擇一種。據(jù)以往的統(tǒng)計(jì)，選擇這三種課程的

9、學(xué)生人數(shù)是相等的。今年開課前對(duì)90名學(xué)生進(jìn)行抽樣調(diào)查，選擇籃球的有39人，選擇足球的28人，選擇排球的23人，那么，今年學(xué)生對(duì)三種課程選擇的人數(shù)比例與以往是否不同？籃球足球排球觀察次數(shù)（fo）392823期望次數(shù)（fe）303030解： 提出零假設(shè)Ho：選擇三種課程的學(xué)生比例與以往沒有差異； 所以接受零假設(shè)，即選擇三種課程的學(xué)生比例與以往相同。四、兩種檢驗(yàn)的異同：從表面上看，擬合性檢驗(yàn)和獨(dú)立性檢驗(yàn)不論在列聯(lián)表的形式上，還是在計(jì)算卡方的公式上都是相同的，所以經(jīng)常被籠統(tǒng)地稱為卡方檢驗(yàn)。但是兩者還是存在差異的。首先，兩種檢驗(yàn)抽取樣本的方法不同。如果抽樣是在各類別中分別進(jìn)行，依照各類別分別計(jì)算其比例，屬于擬合優(yōu)度檢驗(yàn)。如果抽樣時(shí)并未事先分類，抽樣后根據(jù)研究內(nèi)容，把入選單位按兩類變量進(jìn)行分類，形成列聯(lián)表，則是獨(dú)立性檢驗(yàn)。其次，兩