利用正交矩陣將對稱矩陣

1、機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 三、小結(jié)三、小結(jié) 思考題思考題二、利用正交矩陣將對稱矩陣二、利用正交矩陣將對稱矩陣 對角化的方法對角化的方法一、對稱矩陣的性質(zhì)一、對稱矩陣的性質(zhì)第四節(jié)第四節(jié) 對稱矩陣的對角化對稱矩陣的對角化第五章 相似矩陣及二次型機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理5 5對稱矩陣的特征值為實數(shù)對稱矩陣的特征值為實數(shù). .證明證明, 對應(yīng)的特征向量對應(yīng)的特征向量為為復向量復向量的特征值的特征值為對稱矩陣為對稱矩陣設(shè)復數(shù)設(shè)復數(shù)xA . 0, xxAx 即即, 的的表示表示用用 共共軛軛復復數(shù)數(shù)xAxA 則則 .xxAx 一、對稱矩陣的性質(zhì)說明說明：本節(jié)所提到的對稱矩陣，

2、除非特別說：本節(jié)所提到的對稱矩陣，除非特別說明，均指明，均指實對稱矩陣實對稱矩陣, 的的表示表示xx共軛復向量共軛復向量一、對稱矩陣的性質(zhì)一、對稱矩陣的性質(zhì)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 于是有于是有AxxTAxxT 及及 AxxT xxT ,xxT xAxTT xxAT xxT .xxT 兩式相減，得兩式相減，得 . 0 xxT , 0 x但因為但因為 , 0 , 即即.是實數(shù)是實數(shù)由此可得由此可得 , 0 121 niiniiiTxxxxx所以所以機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理5 5的意義的意義.,0,0)( , 以以取取實實向向量量從從而而對對應(yīng)應(yīng)的的特特征征向向量量可

3、可系系知知必必有有實實的的基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解由由是是實實系系數(shù)數(shù)方方程程組組線線性性方方程程組組所所以以齊齊次次為為實實數(shù)數(shù)的的特特征征值值由由于于對對稱稱矩矩陣陣 EAxEAAiii 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 證明證明,21222111 AppApp,AAAT 對稱對稱 TTTAppp11111 ,11ApApTTT 于是于是 22121211ppAppppTTT ,212ppT . 0 2121 ppT ,21 .21正交正交與與即即pp. 021 ppT., 221212121正交正交與與則則若若是對應(yīng)的特征向量是對應(yīng)的特征向量的兩個特征值的兩個特征值是對稱矩陣是對稱矩陣設(shè)設(shè)定理定理

4、ppppA 定理定理6機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 證明證明,21s 它們的重數(shù)依次為它們的重數(shù)依次為srrr,21).(21nrrrs 根據(jù)定理根據(jù)定理5（對稱矩陣的特征值為實數(shù)）和定（對稱矩陣的特征值為實數(shù)）和定理理( 如上如上)可得：可得：設(shè)設(shè) 的互不相等的特征值為的互不相等的特征值為A. ,)( , , 3個個線線性性無無關(guān)關(guān)的的特特征征向向量量恰恰有有對對應(yīng)應(yīng)特特征征值值從從而而的的秩秩則則矩矩陣陣重重根根的的特特征征方方程程的的是是階階對對稱稱矩矩陣陣為為設(shè)設(shè)定定理理rrnEAREArAnA 定理定理定理定理7 設(shè)設(shè) A 為為 n 階對稱陣，則必有正交陣階對稱陣，則必有正交陣

5、 P ,使使P1 A P=PTA P= ,其中其中 是以是以 A 的的 n 個特征值為個特征值為對角元的對角陣。對角元的對角陣。機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ,21知知由由nrrrs 由定理由定理6知對應(yīng)于不同特征值的特征向量正交，知對應(yīng)于不同特征值的特征向量正交，., ), 2 , 1( 單位正交的特征向量單位正交的特征向量個個即得即得把它們正交化并單位化把它們正交化并單位化關(guān)的實特征向量關(guān)的實特征向量個線性無個線性無恰有恰有對應(yīng)特征值對應(yīng)特征值rrsiiii PPAPP11.,11個特征值個特征值的的是是恰恰個個個個的對角元素含的對角元素含其中對角矩陣其中對角矩陣nArrss 這樣的

6、特征向量共可得這樣的特征向量共可得 個個.n故這故這 個單位特征向量兩兩正交個單位特征向量兩兩正交.n以它們?yōu)榱邢蛄繕?gòu)成正交矩陣以它們?yōu)榱邢蛄繕?gòu)成正交矩陣 ，則，則P設(shè)設(shè)A為為n階實對稱陣，則必有正交矩陣階實對稱陣，則必有正交矩陣P，使，使P-1AP= ，其中其中 是以是以A的的n個特征值為對角元素的對角陣。個特征值為對角元素的對角陣。機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 根據(jù)上述結(jié)論，利用正交矩陣將對稱矩陣化根據(jù)上述結(jié)論，利用正交矩陣將對稱矩陣化為對角矩陣，其具體步驟為對角矩陣，其具體步驟為：為：二、利用正交矩陣將對稱矩陣對角化的方法將特征向量正交化將特征向量正交化;3.將特征向量單位化將特征

7、向量單位化.4.2. ;, 0的特征向量的特征向量求出求出由由AxEAi 1.;的特征值的特征值求求A二、利用正交矩陣將對稱矩陣二、利用正交矩陣將對稱矩陣對角化的方法對角化的方法機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 解解 20212022EA 214 0 . 2, 1, 4321 得得,020212022)1( A 310130004)2(A例例 對下列各實對稱矩陣，分別求出正交矩陣對下列各實對稱矩陣，分別求出正交矩陣 P ，使使 P-1 A P 為對角陣為對角陣.(1)第一步第一步 求求 的特征值的特征值A(chǔ)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 的的特特征征向向量量求求出出由由第第二二步步AxEA

8、i, 0 得得由由對對, 04, 41 xEA 04202320223232121xxxxxxx解之得基礎(chǔ)解系解之得基礎(chǔ)解系 .1221 得得由由對對, 0, 12 xEA 0202202323121xxxxxx解之得基礎(chǔ)解系解之得基礎(chǔ)解系.2122 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 得得由由對對, 02, 23 xEA 02202320243232121xxxxxxx解之得基礎(chǔ)解系解之得基礎(chǔ)解系.2213 第三步第三步 將特征向量正交化將特征向量正交化.,3, 321321故它們必兩兩正交故它們必兩兩正交的特征向量的特征向量個不同特征值個不同特征值的的是屬于是屬于由于由于 A第四步第四步

9、將特征向量單位化將特征向量單位化. 3 , 2 , 1, iiii 令令機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ,3132321 得得,3231322 .3232313 ,22121212231,321 P作作.200010004 1 APP則則機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 310130004)2(A 310130004EA ,422 . 4, 2321 得特征值得特征值 得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系由由對對, 02, 21 xEA 1101 得得基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解系系由由對對, 04, 432 xEA 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 .110,00132 ,32恰恰好好正正交交與與 .,321兩兩兩

10、兩正正交交所所以以 得得令令單位化單位化再將再將3 , 2 , 1,321 iiii ,212101 ,0012 .212103 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 于是得正交陣于是得正交陣 2102121021010,321 P.400040002 1 APP則則機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1.對稱矩陣的性質(zhì)：對稱矩陣的性質(zhì)：三、小結(jié) (1) (1)特征值為實數(shù)；特征值為實數(shù)； (2)(2)屬于不同特征值的特征向量正交；屬于不同特征值的特征向量正交； (3)(3)特征值的重數(shù)和與之對應(yīng)的線性無關(guān)的特征值的重數(shù)和與之對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量的個數(shù)相等；特征向量的個數(shù)相等； (4)(4)必存在正交矩陣，將其化為對角矩陣，必存在正交矩陣，將其化為對角矩陣，且對角矩陣對角元素即為特征值且對角矩陣對角元素即為特征值2.利用正交矩陣將對稱陣化為對角陣的步驟：利用正交矩陣將對稱陣化為對角陣的步驟： (1)求特征值；求特征值；(2)找特征向量；找特征向量；(3)將特征向?qū)⑻卣飨蛄繂挝换涣繂挝换?4)最后正交化最后正交化三、小三、小 結(jié)結(jié)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 .2det, 2的值的值試求行列式試求行列式的秩為的秩為且且滿足滿足階實對稱矩陣階實對稱矩陣設(shè)設(shè)AErAAAAn 思考題思思 考考 題題機動 目錄 上頁 下頁 返