一元代數(shù)方程求解的歷史

1、一、一、背景背景 一元代數(shù)方程一元代數(shù)方程求解的歷史求解的歷史 可以追溯到可以追溯到公元前公元前3500年年； 古巴比倫人就已經(jīng)知道一元二次方程的求根公式古巴比倫人就已經(jīng)知道一元二次方程的求根公式； 1545年年Cardan的大法的出版使人們知道了三、四的大法的出版使人們知道了三、四次方程的求根公式次方程的求根公式； 自此眾多的數(shù)學(xué)家（自此眾多的數(shù)學(xué)家（Tschirnaus、Euler、Bezout 、Lagrange、Gauss 、Abel、Galois）繼續(xù)）繼續(xù)向向五次及五次以五次及五次以上方程而努力。上方程而努力。LagrangeLagrange置換思想的產(chǎn)生置換思想的產(chǎn)生 報(bào)告人：趙

2、增遜報(bào)告人：趙增遜西北大學(xué)數(shù)學(xué)與科學(xué)技術(shù)史中心西北大學(xué)數(shù)學(xué)與科學(xué)技術(shù)史中心LagrangeLagrange置換思想的產(chǎn)生置換思想的產(chǎn)生一、一、置換置換產(chǎn)生的背景產(chǎn)生的背景二、二、置換置換產(chǎn)生的原因產(chǎn)生的原因三、三、置換置換產(chǎn)生的過程產(chǎn)生的過程 1、對已知解法的思考 2、初次實(shí)踐置換思想 3、驗(yàn)證一 4、驗(yàn)證二 5、分析四、結(jié)論四、結(jié)論一、置換產(chǎn)生的一、置換產(chǎn)生的背景背景 1545年年Cardano的大法的出版使人們知道了三、的大法的出版使人們知道了三、四次方程的求根公式四次方程的求根公式。 自此眾多的數(shù)學(xué)家（自此眾多的數(shù)學(xué)家（Tschirnaus、Euler、Bezout 、Lagrange、

3、Gauss 、Abel、Galois）繼續(xù)）繼續(xù)向向五次及五次以五次及五次以上方程而努力。上方程而努力。第一個(gè)歷史性的第一個(gè)歷史性的臺(tái)階臺(tái)階就是就是Lagrange。 Lagrange對代數(shù)方程求解做出了巨大貢獻(xiàn)：對代數(shù)方程求解做出了巨大貢獻(xiàn)：用置換用置換的思想進(jìn)行代數(shù)方程求解以及因此而得出的代數(shù)方程求的思想進(jìn)行代數(shù)方程求解以及因此而得出的代數(shù)方程求解理論解理論。 一一、徹底改變了人們的思維，使數(shù)學(xué)家們從單純的徹底改變了人們的思維，使數(shù)學(xué)家們從單純的尋找代數(shù)技巧進(jìn)行方程求解轉(zhuǎn)變?yōu)閷ふ乙环N一般的、通尋找代數(shù)技巧進(jìn)行方程求解轉(zhuǎn)變?yōu)閷ふ乙环N一般的、通用的方法，并使他們從繁重的數(shù)學(xué)計(jì)算中解脫出來；用的

4、方法，并使他們從繁重的數(shù)學(xué)計(jì)算中解脫出來； 二二、改變了代數(shù)方程求解的內(nèi)涵改變了代數(shù)方程求解的內(nèi)涵從尋找求根公從尋找求根公式（原方程系數(shù)的表達(dá)式，是一個(gè)結(jié)果）到尋找預(yù)解式式（原方程系數(shù)的表達(dá)式，是一個(gè)結(jié)果）到尋找預(yù)解式（原方程（原方程根根的函數(shù)，是一種結(jié)構(gòu)）；的函數(shù)，是一種結(jié)構(gòu)）； 三三、得出一系列重要的代數(shù)知識(shí)，比如域概念、置得出一系列重要的代數(shù)知識(shí)，比如域概念、置換群概念的雛形，這些知識(shí)被以后的數(shù)學(xué)家換群概念的雛形，這些知識(shí)被以后的數(shù)學(xué)家Ruffini、Gauss、Abel、Galois等恰當(dāng)?shù)倪\(yùn)用使代數(shù)方程求解問題等恰當(dāng)?shù)倪\(yùn)用使代數(shù)方程求解問題最終得以解決，并推動(dòng)了代數(shù)學(xué)本身的發(fā)展。最終

5、得以解決，并推動(dòng)了代數(shù)學(xué)本身的發(fā)展。 Lagrange是代數(shù)方程求解的轉(zhuǎn)折者，也是近代代數(shù)是代數(shù)方程求解的轉(zhuǎn)折者，也是近代代數(shù)學(xué)的先驅(qū)。學(xué)的先驅(qū)。二、置換產(chǎn)生的二、置換產(chǎn)生的原因原因 到到Lagrange時(shí)期代數(shù)方程的求解已經(jīng)得到發(fā)展，偉時(shí)期代數(shù)方程的求解已經(jīng)得到發(fā)展，偉大的數(shù)學(xué)先驅(qū)們（大的數(shù)學(xué)先驅(qū)們（Cardan、Ferrari、Tschirnaus、Bezut、Euler）已經(jīng)過不懈的努力解決了三、四次方程的求解）已經(jīng)過不懈的努力解決了三、四次方程的求解; 采用純代數(shù)的方法，采用純代數(shù)的方法，都都是代數(shù)技巧方法的運(yùn)用及復(fù)是代數(shù)技巧方法的運(yùn)用及復(fù)雜冗長的計(jì)算。雜冗長的計(jì)算。 這五個(gè)人對這五個(gè)

6、人對Lagrange的影響最大，雖然他們都采用的影響最大，雖然他們都采用自己的方法進(jìn)行求解，但自己的方法進(jìn)行求解，但Lagrange經(jīng)過嚴(yán)密的驗(yàn)證得出經(jīng)過嚴(yán)密的驗(yàn)證得出其實(shí)他們方法的本質(zhì)都是一樣的，所以最終歸屬也必然其實(shí)他們方法的本質(zhì)都是一樣的，所以最終歸屬也必然一樣。一樣。 Lagrange從這些解法中得到輔助方程的思想，即：從這些解法中得到輔助方程的思想，即：解一元三次方程需要預(yù)解二次輔助方程，解一元四次方解一元三次方程需要預(yù)解二次輔助方程，解一元四次方程需要預(yù)解三次輔助方程；程需要預(yù)解三次輔助方程； 解一元五次方程需要預(yù)解二十四次的輔助方程解一元五次方程需要預(yù)解二十四次的輔助方程 （ T

7、schirnaus、Bezut、Euler也得到同樣的結(jié)果）也得到同樣的結(jié)果）。 代數(shù)方程求解進(jìn)入了困境，尋找特殊技巧進(jìn)行代數(shù)代數(shù)方程求解進(jìn)入了困境，尋找特殊技巧進(jìn)行代數(shù)方程求解似乎是不可行的了方程求解似乎是不可行的了； 此時(shí)不僅是要為代數(shù)方程求解尋找一般的、通用的此時(shí)不僅是要為代數(shù)方程求解尋找一般的、通用的方法，更重要的是得為代數(shù)方程求解謀求出路方法，更重要的是得為代數(shù)方程求解謀求出路。 置換應(yīng)時(shí)代之召喚出現(xiàn)了置換應(yīng)時(shí)代之召喚出現(xiàn)了。置換的產(chǎn)生是必然的。置換的產(chǎn)生是必然的。 置換思想的出現(xiàn)有其自然置換思想的出現(xiàn)有其自然的的過程，是過程，是Lagrange經(jīng)過認(rèn)經(jīng)過認(rèn)真計(jì)算、縝密思考、反復(fù)實(shí)踐

8、而得出的。真計(jì)算、縝密思考、反復(fù)實(shí)踐而得出的。 尋找一種區(qū)別尋找一種區(qū)別于于運(yùn)用代數(shù)技巧進(jìn)行代數(shù)方程求解的運(yùn)用代數(shù)技巧進(jìn)行代數(shù)方程求解的方法勢在必行方法勢在必行。（1、思考思考） Lagrange明白：要解高次方程主要是解它的輔助方明白：要解高次方程主要是解它的輔助方程程； 輔助方程的次數(shù)是至關(guān)重要的，因?yàn)槿绻o助方程輔助方程的次數(shù)是至關(guān)重要的，因?yàn)槿绻o助方程的次數(shù)小于原方程的次數(shù)則原方程就可解，若大于原方的次數(shù)小于原方程的次數(shù)則原方程就可解，若大于原方程的次數(shù)則一般不可解。程的次數(shù)則一般不可解。 Lagrange馬上注意到馬上注意到Cardan解解三次方程三次方程時(shí)時(shí)的輔助方的輔助方程程

9、為什么是六次的呢為什么是六次的呢？（可按二次方程求（可按二次方程求解）解）027npyy336三、置換產(chǎn)生的三、置換產(chǎn)生的過程過程rnrxrnrxrnrxixrrrnypyynyxpxnxmxxCardancbapnxmxx3,3,3)23101,(,02730,3,032336323則易得：也為其根的根為和則令其根為有令則原方程變?yōu)榈姆椒?，令為使用的根為設(shè)一般三次方程srmcsrmbsrmasrmsrmsrmxsrnmxx3333,3,3,33故有的三個(gè)值有，令由于(*)(1()(1()1)(1 (1)(1)(1)(1)()(1 ()(1 (cbrcabarsrcasrbasrcasrba即

10、上兩式聯(lián)立得：即易得的值。的值即為即）有將上三式代入（有令對上式兩端求導(dǎo)得：由于yrcbarcbarxxxxxxxxxxxx3333*)(1(3)(1(3)1)(1 (3, 1)(1()(1()(3)()(1(2223 對于根對于根 y的表達(dá)式的表達(dá)式 可以任意交換可以任意交換a,b,c的位置，即的位置，即 y的值有的值有 3!=32=6個(gè)，那么關(guān)于個(gè)，那么關(guān)于y的結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)輔助方輔助方程一定是六次的。程一定是六次的。 正如正如Lagrange本人所說：本人所說：y 的結(jié)構(gòu)為什么是六次的，的結(jié)構(gòu)為什么是六次的，因?yàn)橐驗(yàn)樗灰蕾嚥灰蕾嘺, b, c 的值，也不依賴系數(shù)的值，也不依賴系數(shù)m, n

11、, p的值，而的值，而是依賴是依賴r的結(jié)構(gòu)在原方程根下置換出的結(jié)構(gòu)在原方程根下置換出的的不同值的個(gè)數(shù)。不同值的個(gè)數(shù)。3cbary3,3,33,3,3abcybacyacbycabybcaycbay（2、實(shí)踐實(shí)踐） 置換的想法已正式的在置換的想法已正式的在Lagrange的腦海中形成的腦海中形成； 正像我們前面所講的，既然輔助方程的次數(shù)是解方正像我們前面所講的，既然輔助方程的次數(shù)是解方程的關(guān)鍵，而程的關(guān)鍵，而它又它又依賴于一個(gè)根的表達(dá)式依賴于一個(gè)根的表達(dá)式預(yù)解式預(yù)解式（就像上面（就像上面 )在原方程根的置換出不同值在原方程根的置換出不同值的個(gè)數(shù)，那么我們只需要找到這個(gè)表達(dá)式就可以了的個(gè)數(shù)，那么我

12、們只需要找到這個(gè)表達(dá)式就可以了； 只要有了預(yù)解式，那么很容易得到只要有了預(yù)解式，那么很容易得到它它在原方程在原方程根根下下置換出不同值的個(gè)數(shù)，那么輔助方程的次數(shù)就確定了。置換出不同值的個(gè)數(shù)，那么輔助方程的次數(shù)就確定了。3cbar 為證明自己的想法，為證明自己的想法，Lagrange做了如下的工作：做了如下的工作：CaBbAcCbBaAcCaBcAbCcBaAbCbBcAaCcBbAacbacbaCBACcBbAacbacbapnxmxx下的一切排列此式在原方程根做的系數(shù)為不依賴于的函數(shù)。如：；假設(shè)預(yù)解式為根設(shè)其根為：例如解三次方程,),(,02333233222222322)()(, 1,sy

13、sayasysyryrayaryrysaassraarrybcascbarCBAAAABACCaBcAbrrCcBbAarCcBbAarrrr）（）易知（；的輔助方程的根為則關(guān)于若令：則為簡化，令）比較可得與（若個(gè)中的其中一個(gè)，一定等于上面除去第一則）（則若也是為其根，則令次的，故輔助方程的次數(shù)為六的二次方程此實(shí)際為關(guān)于的輔助方程為故關(guān)于可得又由根與系數(shù)關(guān)系知故有)(0)3()2792()3(27920)(332336333333333336yzznmypmnmyynmsrpmnmsrpabcnbcacabmcbasrysry3330)3()2792(322313231232313223123

14、231213232zzmczzmbzzmacbamcbazbcazcbazyzyzznmzpmnmz，的根聯(lián)立，即可得到原方程與即：和有和假設(shè)次方程的根為即： Lagrange首次采用置換的方法取得三次方程求解首次采用置換的方法取得三次方程求解的成功，這無疑給的成功，這無疑給Lagrange增添許多的信心，使他增添許多的信心，使他相相信信這種方法是有效的。這種方法是有效的。就是解輔輔助助方方程程解解方方程程關(guān)鍵是輔輔助助方方程程的的次次數(shù)數(shù)尋找合適預(yù)預(yù)解解式式 圖表圖表 解方程關(guān)鍵是解方程關(guān)鍵是解解輔助方程，輔助方程，解解輔助方程關(guān)鍵是弄輔助方程關(guān)鍵是弄清楚清楚它它的次數(shù)，弄清楚次數(shù)關(guān)鍵是找預(yù)

15、解式（比如的次數(shù)，弄清楚次數(shù)關(guān)鍵是找預(yù)解式（比如像上式中的像上式中的 ）cbar2（3、驗(yàn)證驗(yàn)證1 1） 首次的勝利之后首次的勝利之后Lagrange立刻用置換的方法對四次方立刻用置換的方法對四次方程進(jìn)行求解。程進(jìn)行求解。qabcdpbcdacdabdabcncdbdbcadacabmdcbaCBuAuuucbadbdaccdabdcbauyFerarricdabdcbaqpxnxmxx由根與系數(shù)關(guān)系，設(shè)為的輔助方程必為三次的故關(guān)于，即的置換下只有三種在原方程根很明顯的值未知數(shù)求解四次方程方法中的為取預(yù)解式的根為設(shè)方程0,)u2(u,023234。的根聯(lián)立，即可求得原方程與即解為此三次方程可解

16、，設(shè)其）（的方程為故關(guān)于可得dcbamdcbaucbadubdacucdabuuupqnmuqmpnuuupqnmcbadbdaccdabCqmpcbadbdaccbadcdabbdaccdabBncbadbdaccdabA,0)4(4)4()()(4)()()()()()(321321222322 在在四次方程四次方程求解求解成功后成功后Lagrange更加相信更加相信用置換的用置換的方法去解代數(shù)方程是一種正確的、有效的處理方法方法去解代數(shù)方程是一種正確的、有效的處理方法； 為證明這種方法的一般性為證明這種方法的一般性Lagrange在解四次方程時(shí)在解四次方程時(shí)對預(yù)解式的選對預(yù)解式的選取稍作

17、取稍作改變。改變。qabcdpbcdacdabdabcncdbdbcadacabmdcbattttttCBtAttttsxzzsbadcsdcbaqpxnxmxx由根與系數(shù)關(guān)系）（，）（，）（，設(shè)其根為：；的三次方程則輔助方程變?yōu)殛P(guān)于故令為相反數(shù)，但發(fā)現(xiàn)這六個(gè)根兩兩互顯然方程應(yīng)為六次的，此即為輔助方程的根，換為在原方程根下的一切置做的系數(shù)端求解四次方程方法中右為取的根為設(shè)方程23222132123222234c-b-da d-b-ca d-c-ba 0,d-a-cb c-a-db b-a-dcc-b-da d-b-ca d-c-bas)Ferrari,2(,04 4、驗(yàn)證、驗(yàn)證2 2. dcb

18、ac-b-dad-b-cad-c-ba 0)84()641616163()83()84(6416161638332132123224223233212243231212321，即可得原方程的根聯(lián)立故有、易得三個(gè)根的方程為故關(guān)于可得mdcbattttttpmnmtqmpnnmmtnmttpmnmtttCqmpnnmmttttttBnmtttA 對四次方程求解的對四次方程求解的又一次又一次成功使成功使Lagrange堅(jiān)信這種方堅(jiān)信這種方法法用置換思想進(jìn)行代數(shù)方程求解是可行的用置換思想進(jìn)行代數(shù)方程求解是可行的。（5、分析、分析） 解三次方程時(shí)輔助方程實(shí)際為二次的，即是說我們解三次方程時(shí)輔助方程實(shí)際為

19、二次的，即是說我們只需只需要找一個(gè)預(yù)解式（為原方程根的函數(shù)）使其在原方要找一個(gè)預(yù)解式（為原方程根的函數(shù)）使其在原方程根的置換下只能取兩個(gè)值；而解四次方程時(shí)輔助方程程根的置換下只能取兩個(gè)值；而解四次方程時(shí)輔助方程實(shí)際為三次的，即是說我們實(shí)際為三次的，即是說我們只需只需要找一個(gè)預(yù)解式（為原要找一個(gè)預(yù)解式（為原方程根的函數(shù)）使其在原方程根的置換下只能取三個(gè)值。方程根的函數(shù)）使其在原方程根的置換下只能取三個(gè)值。 Lagrange的確這樣做了，正如我們知道的他的預(yù)解的確這樣做了，正如我們知道的他的預(yù)解式分別為：式分別為： 和和 ，并且用上述的，并且用上述的方法同樣取得了成功；并且他還得到了解任意次方程的

20、方法同樣取得了成功；并且他還得到了解任意次方程的預(yù)解式預(yù)解式 3221xxxu4321xxxxunnxcxcxcu2211 內(nèi)涵：內(nèi)涵：解代數(shù)方程實(shí)際是要解輔助方程，因此要尋解代數(shù)方程實(shí)際是要解輔助方程，因此要尋找一個(gè)預(yù)解式，此預(yù)解式在原方程根的置換下取不同值找一個(gè)預(yù)解式，此預(yù)解式在原方程根的置換下取不同值的個(gè)數(shù)即為輔助方程的次數(shù)，找的個(gè)數(shù)即為輔助方程的次數(shù)，找到到了合適的預(yù)解式就得了合適的預(yù)解式就得到了輔助方程（輔助方程的系數(shù)可由原方程的系數(shù)表到了輔助方程（輔助方程的系數(shù)可由原方程的系數(shù)表示），解答了輔助方程就可以順利的得到原方程的根。示），解答了輔助方程就可以順利的得到原方程的根。我們我們以以四次方程為例用圖表表示如下：四次方程為例用圖表表示如下：解解四四次次方方程程原方程根的函數(shù)預(yù)預(yù)解解式式在原方程根的置換下只能取三個(gè)不同值三三次次輔輔助助方方程程三三次次輔輔助助方方程程的的根根與 聯(lián)立mdcba原原四四次次方方程程找得到 解 答得到解方程 得到了三、四次方程的一般求解方法其實(shí)就得到得到了三、四次方程的一般求解方法其實(shí)就得到了一般任意次方程的解法，所以用置換思想解代數(shù)方了一般任意次方程的解法，所以用置換思想解代數(shù)方程就可以推廣到任意程就可以推廣到任意n次。次。解解 n次次方方程程在原方程根的置換下只能取r（rn）個(gè)不同值 r次次輔輔助助方方程程原原方方程程