第1.7講 求二次函數(shù)的最值-備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)熱點難點突破（教師版）

1、【備戰(zhàn)2019年中考數(shù)學(xué)熱點、難點突破】考綱要求:1. 會用描點法畫出二次函數(shù)的圖像，理解二次函數(shù)的性質(zhì)。2. 利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決簡單的實際問題；能解決二次函數(shù)與其他知識結(jié)合的有關(guān)問題?；A(chǔ)知識回顧: 二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)圖象來源:來源:Zxxk.Com來源:Z&X&X&K來源:Z§X§X§K來源:Z#xx#k.Com來源:開口向上向下對稱軸 x 頂點坐標(biāo)增減性當(dāng)x>時，y隨x的增大而增大；當(dāng)x時，y隨x的增大而減小.當(dāng)x>時，y隨x的增大而減??；當(dāng)x時，y隨x的增大而增大.最值x=，y最小.x=，y最大

2、.應(yīng)用舉例:招數(shù)一、利用二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，用最值的公式解決最值問題問題 【例1】如果二次函數(shù)圖象對稱軸為直線，那么二次函數(shù)的最小值是_;【答案】17【解析】由圖象的對稱軸為直線x=3，得-解得k=-2，二次函數(shù)解析式為y=y=(x-3)2-17,二次函數(shù)的最小值是-17.故答案為：-17.【例2】已知二次函數(shù)yx22x2在mxm1時有最小值m，則整數(shù)m的值是（    ）A1 B2 C1或2 D±1或2【答案】C招數(shù)二、解決與二次函數(shù)的增減性有關(guān)的最之問題時，簡便的方法是結(jié)合圖象，利用數(shù)形結(jié)合的思想直觀地得出結(jié)論，不限定自變量的取值范圍求最值【例3】如

3、圖，拋物線y=ax2+bx(a0）過點E(10,0)，矩形ABCD的邊AB在線段OE上（點A在點B的左邊），點C，D在拋物線上設(shè)A(t,0)，當(dāng)t=2時，AD=4（1）求拋物線的函數(shù)表達式（2）當(dāng)t為何值時，矩形ABCD的周長有最大值？最大值是多少？（3）保持t=2時的矩形ABCD不動，向右平移拋物線當(dāng)平移后的拋物線與矩形的邊有兩個交點G，H，且直線GH平分矩形的面積時，求拋物線平移的距離【答案】（1）；（2）當(dāng)t=1時，矩形ABCD的周長有最大值，最大值為；（3）拋物線向右平移的距離是4個單位（2）由拋物線的對稱性得，當(dāng)時，矩形的周長，當(dāng)時，矩形的周長有最大值，最大值為；（3）如圖，【例4】

4、已知二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象過點A（3，0），C（1，0）(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)如圖，點P是二次函數(shù)圖象的對稱軸上的一個動點，二次函數(shù)的圖象與y軸交于點B，當(dāng)PB+PC最小時，求點P的坐標(biāo)；(3)在第一象限內(nèi)的拋物線上有一點Q，當(dāng)QAB的面積最大時，求點Q的坐標(biāo)【答案】(1)y=x2+2x+3；(2)P（1，2）；(3)當(dāng)m=時，S最大，此時Q（，）【解析】（1）把點A（3，0）、C（-1，0）代入y=-x2+bx+c中，得，解得，則拋物線的解析式為y=-x2+2x+3；（3）設(shè)Q（m，-m2+2m+3），QAB的面積為S，如圖，連接QA，QB，OQ則S=SOBQ+SAOQ-

5、SAOB=×3m+×3（-m2+2m+3）-×3×3=-m2+m=-（m-）2+，當(dāng)m時，S最大，此時Q（，）招數(shù)三、二次函數(shù)的最值一定要結(jié)合實際問題中自變量的取值范圍確定，即限定自變量的取值范圍求最值【例5】當(dāng)2x1時，關(guān)于x的二次函數(shù)y（xm）2+m2+1有最大值4，則實數(shù)m的值為（）A2 B2或 C2或或 D2或或【答案】B招數(shù)四、由函數(shù)的最大值，確定的自變量的取值范圍?！纠?】（2017遼寧省錦州市）如圖，二次函數(shù)的圖象與y軸正半軸相交，其頂點坐標(biāo)為（，1），下列結(jié)論：abc0；a=b；a=4c4；方程有兩個相等的實數(shù)根，其中正確的結(jié)論是 （只填

6、序號即可） 解析：根據(jù)圖示知，拋物線開口方向向下，a0由對稱軸在y軸的右側(cè)知b0，拋物線與y軸正半軸相交，c0，abc0故錯誤；拋物線的對稱軸直線x=，a=b故錯誤；該拋物線的頂點坐標(biāo)為（，1），1=，b24ac=4ab=a，a24ac=4a，a0，等式兩邊除以a，得a4c=4，即a=4c4故正確；二次函數(shù)的最大值為1，即，方程有兩個相等的實數(shù)根故正確綜上所述，正確的結(jié)論有故答案為：方法、規(guī)律歸納:一、二次函數(shù)最值的方法與技巧：1、若自變量的取值范圍是全體實數(shù)，則函數(shù)在頂點處取得最大值或最小值。2、若自變量的取值范圍是，若-在自變量的取值范圍內(nèi)，則當(dāng)x=-時，y=是其中的一個最值。另一個最值在

7、或處取得。若不在自變量的取值范圍內(nèi)，則函數(shù)的最值即為函數(shù)在，時的函數(shù)值，且較大的為最大值，較小的為最小值，最大值和最小值是同時存在的。二、解決最值應(yīng)用題要注意兩點設(shè)未知數(shù)，在 “當(dāng)某某為何值時，什么最大（最?。钡脑O(shè)問中，“某某”要設(shè)為自變量，“什么”要設(shè)為函數(shù)；求解最值時，一定要考慮頂點（橫、縱坐標(biāo)）的取值是否在 自變量的取值范圍內(nèi).實戰(zhàn)演練:1、二次函數(shù)的最大值是，則_【答案】2.如圖所示，點C是線段AB上的一個動點，AB1，分別以AC和CB為一邊作正方形，用S表示這兩個正方形的面積之和，下列判斷正確的是( )A當(dāng)點C是AB的中點時，S最小 B當(dāng)點C是AB的中點時，S最大C當(dāng)點C為AB的三

8、等分點時，S最小 D當(dāng)點C為AB的三等分點時，S最大【答案】A3.二次函數(shù)（a、b、c是常數(shù)，且a0）的圖象如圖所示，下列結(jié)論錯誤的是（）A4acb2 Babc0 Cb+c3a Dab4、拋物線與直線y=-x+5一個交點A（2，m），另一個交點B在x軸上，點P是線段AB上異于A、B的一個動點，過點P做x軸的垂線，交拋物線于點E；（1）求拋物線的解析式；（2）是否存在這樣的點P，使線段PE長度最大？若存在求出最大值及此時點P的坐標(biāo)，若不存在說明理由；（3）求當(dāng)PAE為直角三角形時點P的坐標(biāo).【答案】（1）；(2) 當(dāng)P時，PE長度的最大值為 （3）.（2）設(shè)P的橫坐標(biāo) m, 則 . .m=時,

9、當(dāng)P時，PE長度的最大值為 5、如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a0）的圖象交x軸于A、B兩點，交y軸于點D，點B的坐標(biāo)為（3，0），頂點C的坐標(biāo)為（1，4）（1）求二次函數(shù)的解析式和直線BD的解析式；（2）點P是直線BD上的一個動點，過點P作x軸的垂線，交拋物線于點M，當(dāng)點P在第一象限時，求線段PM長度的最大值；0=a（31）2+4，解得a=1，6、（2017畢節(jié)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象交坐標(biāo)軸于A（1，0），B（4，0），C（0，4）三點，點P是直線BC下方拋物線上一動點（1）求這個二次函數(shù)的解析式；（2）是否存在點P，使POC是以O(shè)C為底邊的等腰三角形？若存在，求出

10、P點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；（3）動點P運動到什么位置時，PBC面積最大，求出此時P點坐標(biāo)和PBC的最大面積（2）作OC的垂直平分線DP，交OC于點D，交BC下方拋物線于點P，如圖1，（3）點P在拋物線上，可設(shè)P（t，t23t4），過P作PEx軸于點E，交直線BC于點F，如圖2，B（4，0），C（0，4），直線BC解析式為y=x4，F(xiàn)（t，t4），PF=（t4）（t23t4）=t2+4t，SPBC=SPFC+SPFB=PFOE+PFBE=PF（OE+BE）=PFOB=（t2+4t）×4=2（t2）2+8，當(dāng)t=2時，SPBC最大值為8，此時t23t4=6，當(dāng)P點坐標(biāo)為（2，6）時

11、，PBC的最大面積為8 7、如圖，過拋物線上一點A作x軸的平行線，交拋物線于另一點B，交y軸于點C，已知點A的橫坐標(biāo)為1，在AB上任取一點P，連結(jié)OP，作點C關(guān)于直線OP的對稱點D，連結(jié)BD，則線段BD的最小值為_.【答案】2如圖1中，由題意點D在以O(shè)為圓心OC為半徑的圓上，當(dāng)O、D、B共線時，BD的最小值=OB-OD=-3=2故答案為：2 8、如圖，已知拋物線yx2+bx+c與一直線相交于A（1，0）、C（2，3）兩點，與y軸交于點N，其頂點為D（1）求拋物線及直線AC的函數(shù)關(guān)系式；（2）若P是拋物線上位于直線AC上方的一個動點，求APC的面積的最大值及此時點P的坐標(biāo)；（3）在對稱軸上是否存

12、在一點M，使ANM的周長最小若存在，請求出M點的坐標(biāo)和ANM周長的最小值；若不存在，請說明理由【答案】（1）yx22x+3；yx+1；（2）當(dāng)x時，APC的面積取最大值，最大值為，此時點P的坐標(biāo)為（，）；（3）在對稱軸上存在一點M（1，2），使ANM的周長最小，ANM周長的最小值為3（2）過點P作PEy軸交x軸于點E，交直線AC于點F，過點C作CQy軸交x軸于點Q，如圖1所示（3）當(dāng)x0時，yx22x+33，點N的坐標(biāo)為（0，3）yx22x+3（x+1）2+4，拋物線的對稱軸為直線x1點C的坐標(biāo)為（2，3），點C，N關(guān)于拋物線的對稱軸對稱令直線AC與拋物線的對稱軸的交點為點M，如圖2所示點C，

13、N關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，MNCM，AM+MNAM+MCAC，此時ANM周長取最小值當(dāng)x1時，yx+12，此時點M的坐標(biāo)為（1，2）點A的坐標(biāo)為（1，0），點C的坐標(biāo)為（2，3），點N的坐標(biāo)為（0，3），AC 3，AN ，CANMAM+MN+ANAC+AN3+在對稱軸上存在一點M（1，2），使ANM的周長最小，ANM周長的最小值為3+9、（2017四川省涼山州）為了推進我州校園籃球運動的發(fā)展，2017年四川省中小學(xué)生男子籃球賽于2月在西昌成功舉辦在此期間，某體育文化用品商店計劃一次性購進籃球和排球共60個，其進價與售價間的關(guān)系如下表：（1）商店用4200元購進這批籃球和排球，求購進籃球和排球各

14、多少個？（2）設(shè)商店所獲利潤為y（單位：元），購進籃球的個數(shù)為x（單位：個），請寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出x的取值范圍）；（3）若要使商店的進貨成本在4300元的限額內(nèi)，且全部銷售完后所獲利潤不低于1400元，請你列舉出商店所有進貨方案，并求出最大利潤是多少？（3）設(shè)購進籃球x個，則購進排球（60x）個，根據(jù)進貨成本在4300元的限額內(nèi)且全部銷售完后所獲利潤不低于1400元，即可得出關(guān)于x的一元一次不等式組，解之即可得出x的取值范圍，取其整數(shù)即可得出各購進方案，再結(jié)合（2）的結(jié)論利用一次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問題試題解析：（1）設(shè)購進籃球m個，排球n個，根據(jù)題意得：，解得：答：購進

15、籃球40個，排球20個10、為迎接“世界華人炎帝故里尋根節(jié)”，某工廠接到一批紀念品生產(chǎn)訂單，按要求在15天內(nèi)完成，約定這批紀念品的出廠價為每件20元，設(shè)第x天（1x15，且x為整數(shù)）每件產(chǎn)品的成本是p元，p與x之間符合一次函數(shù)關(guān)系，部分數(shù)據(jù)如表：天數(shù)（x）13610每件成本p（元）7.58.51012任務(wù)完成后，統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)工人李師傅第x天生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)y（件）與x（天）滿足如下關(guān)系：y=，設(shè)李師傅第x天創(chuàng)造的產(chǎn)品利潤為W元（1）直接寫出p與x，W與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并注明自變量x的取值范圍：（2）求李師傅第幾天創(chuàng)造的利潤最大？最大利潤是多少元？（3）任務(wù)完成后統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)平均每個工人每天創(chuàng)造的利潤為299元工廠制定如下獎勵制度：如果一個工人某天創(chuàng)造的利潤超過該平均值，則該工人當(dāng)天可獲得20元獎金請計算李師傅共可獲得多少元獎金？【答案】（1）W=；（2）李師傅第8天創(chuàng)造的利潤最大，最大利潤是324元；（3）李師傅共可獲得160元獎金（2）當(dāng)1x10時，W=x2+16x+260=（x8）2+324，當(dāng)x=8時，W取得最大值，