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1、第三章第三章線彈性問題的有限單元法線彈性問題的有限單元法第一節(jié)第一節(jié) 彈性力學(xué)基本方程彈性力學(xué)基本方程第二節(jié)第二節(jié) 一維問題有限單元法簡(jiǎn)例一維問題有限單元法簡(jiǎn)例第三節(jié)第三節(jié) 平面彈性問題的三角形常應(yīng)變單元平面彈性問題的三角形常應(yīng)變單元第四節(jié)第四節(jié) 平面彈性問題的矩形單元及等參元平面彈性問題的矩形單元及等參元第五節(jié)第五節(jié) 軸對(duì)稱問題的有限單元法自學(xué))軸對(duì)稱問題的有限單元法自學(xué))第六節(jié)第六節(jié) 空間問題自學(xué))空間問題自學(xué))資源與地球科學(xué)學(xué)院資源與地球科學(xué)學(xué)院第一節(jié)第一節(jié) 彈性力學(xué)基本方程彈性力學(xué)基本方程本節(jié)內(nèi)容:本節(jié)內(nèi)容:一、平衡微分方程一、平衡微分方程二、幾何方程二、幾何方程三、物理方程三、物理方
2、程四、邊界條件方程四、邊界條件方程五、虛功方程五、虛功方程資源與地球科學(xué)學(xué)院資源與地球科學(xué)學(xué)院n盡管實(shí)際巖土體表現(xiàn)為彈性體的情形并不多見,但盡管實(shí)際巖土體表現(xiàn)為彈性體的情形并不多見,但由于線彈性問題物理概念清晰,求解格式簡(jiǎn)單明了、由于線彈性問題物理概念清晰,求解格式簡(jiǎn)單明了、編程方便,通過它可以看到有限單元法的基本原理、編程方便,通過它可以看到有限單元法的基本原理、方法和特點(diǎn)。方法和特點(diǎn)。n非線性問題有限單元法都是在其基礎(chǔ)上通過改變本非線性問題有限單元法都是在其基礎(chǔ)上通過改變本構(gòu)方程和非線方程組的求解而實(shí)現(xiàn)的。構(gòu)方程和非線方程組的求解而實(shí)現(xiàn)的。資源與地球科學(xué)學(xué)院資源與地球科學(xué)學(xué)院4彈性問題的基
3、本量概述彈性問題的基本量概述n已知彈性體被考查點(diǎn)的空間位置坐標(biāo)已知彈性體被考查點(diǎn)的空間位置坐標(biāo)x x、y y、z z,可用列,可用列陣表示為陣表示為 zyxx Tzyxx 上標(biāo)T表示轉(zhuǎn)置。已知變量已知變量或者或者資源與地球科學(xué)學(xué)院資源與地球科學(xué)學(xué)院彈性體空間任一點(diǎn)共有變量:彈性體空間任一點(diǎn)共有變量:1515個(gè)個(gè)n. .任一點(diǎn)的任一點(diǎn)的6 6個(gè)應(yīng)力分量,用列陣表示為個(gè)應(yīng)力分量,用列陣表示為n. 6. 6個(gè)應(yīng)變分量用列陣表示為個(gè)應(yīng)變分量用列陣表示為n. 3. 3個(gè)位移分量用列陣表示為個(gè)位移分量用列陣表示為 Tzxyzxyzyx Tzxyzxyzyx Twvuf 資源與地球科學(xué)學(xué)院資源與地球科學(xué)學(xué)院
4、u.作用在彈性體上的外力作用在彈性體上的外力u 體積力體積力(簡(jiǎn)稱體力簡(jiǎn)稱體力):u P=Px,Py,PzTu 面積力面積力(簡(jiǎn)稱面力簡(jiǎn)稱面力):u p=px,py,pzTu 集中力集中力:u F=Fx,F(xiàn)y,F(xiàn)zTu. 彈性體力學(xué)參數(shù)彈性體力學(xué)參數(shù)u E、 資源與地球科學(xué)學(xué)院資源與地球科學(xué)學(xué)院一、平衡微分方程一、平衡微分方程資源與地球科學(xué)學(xué)院資源與地球科學(xué)學(xué)院n物體在外力作用下,其內(nèi)部將產(chǎn)生應(yīng)力。物體在外力作用下,其內(nèi)部將產(chǎn)生應(yīng)力。n從彈性體中取一微分平行六面體從彈性體中取一微分平行六面體dxdydzn設(shè)該微分體受體力設(shè)該微分體受體力P=Px,Py,PzT的作用。的作用。000zzyzzxy
5、zyyxyxxzyxxPzyxPzyxPzyx資源與地球科學(xué)學(xué)院資源與地球科學(xué)學(xué)院n根據(jù)對(duì)坐標(biāo)軸力矩的平衡條件,可以得到剪力根據(jù)對(duì)坐標(biāo)軸力矩的平衡條件,可以得到剪力互等關(guān)系,即互等關(guān)系,即nxy=yxxy=yx,yz=zyyz=zy,zx=xzzx=xzxyzzxyzyx000000000zxyzxyzyx0PzPyPx 0 pLT簡(jiǎn)記為:簡(jiǎn)記為:資源與地球科學(xué)學(xué)院資源與地球科學(xué)學(xué)院xyzzxyzyx000000000 TLxzyzxyzyxL000000000L為微分算子為微分算子資源與地球科學(xué)學(xué)院資源與地球科學(xué)學(xué)院xyzzxyzyx000000000zxyzxyzyx PPzPyPx TL
6、 xyzzxyzyx000000000zxyzxyzyx0PzPyPx TL 0 P(2-3)資源與地球科學(xué)學(xué)院資源與地球科學(xué)學(xué)院二、幾何方程二、幾何方程yuxyxvzvyzywzuzxxw 幾何方程是描述彈性體內(nèi)任意點(diǎn)應(yīng)變分量與位移分量的方幾何方程是描述彈性體內(nèi)任意點(diǎn)應(yīng)變分量與位移分量的方程,在小變形的情況下,略去位移余數(shù)的高次冪,可得程,在小變形的情況下,略去位移余數(shù)的高次冪,可得zxyzxyzyxxzyzxyzyx000000000wvuxuxyvyzwz資源與地球科學(xué)學(xué)院資源與地球科學(xué)學(xué)院令zxyzxyzyxwvu f L L資源與地球科學(xué)學(xué)院資源與地球科學(xué)學(xué)院zxyzxyzyxxzy
7、zxyzyx000000000wvu 幾何方程的矩陣形式為幾何方程的矩陣形式為 Lf資源與地球科學(xué)學(xué)院資源與地球科學(xué)學(xué)院三、物理方程三、物理方程n物理方程是描述彈性體應(yīng)力分量與應(yīng)變分量之間物理方程是描述彈性體應(yīng)力分量與應(yīng)變分量之間轉(zhuǎn)換關(guān)系的一組方程。對(duì)于各向同性線彈性材料,轉(zhuǎn)換關(guān)系的一組方程。對(duì)于各向同性線彈性材料,物理方程用廣義虎克定律表示為:物理方程用廣義虎克定律表示為:zyxxE1zzxyyE1yxzzE1令令= =,)1 (2xyxyE,)1 (2yzyzEzxzxE)1 (2EE)2-(1)(11-1-112資源與地球科學(xué)學(xué)院資源與地球科學(xué)學(xué)院為:、量條件下,求得的應(yīng)力分和,即在zx
8、yzxyzyx5 . 010 zxzxyzyzxyxyxyzzzxyyzyxxEEEEEEEEE12,12,12)(211211)1 ()(211211)1 ()(211211)1 (資源與地球科學(xué)學(xué)院資源與地球科學(xué)學(xué)院寫成矩陣形式:寫成矩陣形式:nD稱為彈性矩陣。它完全取決于材料的稱為彈性矩陣。它完全取決于材料的彈性模量和泊松比,也常表示成彈性模量和泊松比,也常表示成: D )1 (2210)1 (22100)1 (221000100011000111211)1 (稱對(duì)ED資源與地球科學(xué)學(xué)院資源與地球科學(xué)學(xué)院n式中式中G G,拉梅常數(shù),拉梅常數(shù), GG也稱剪切彈性模量。也稱剪切彈性模量。 G
9、GGGGGD000000200020002稱對(duì)211,12EEG資源與地球科學(xué)學(xué)院資源與地球科學(xué)學(xué)院四、邊界條件四、邊界條件n邊界條件邊界條件(S)(S)可分為:可分為:n 位移邊界條件位移邊界條件(Su)(Su)和應(yīng)力邊界條件和應(yīng)力邊界條件(S)(S)n且有且有 S=Su+S S=Su+S n1.1.位移邊界條件位移邊界條件n 表示為表示為n f=f0 f=f0 在邊界在邊界SuSu上上n 式中式中 f=f=u v wu v wT Tn f0= f0=u0 v0 w0u0 v0 w0T T資源與地球科學(xué)學(xué)院資源與地球科學(xué)學(xué)院PN2.2.應(yīng)力邊界條件應(yīng)力邊界條件n由靜力平衡條件導(dǎo)出由靜力平衡條
10、件導(dǎo)出n 微元體微元體PQRS的的QRS面為彈性體邊界,其上作面為彈性體邊界,其上作用的面力用的面力p=px py pzTQRSyyxxzzxyxyxzxzzxy資源與地球科學(xué)學(xué)院資源與地球科學(xué)學(xué)院nQRS面外法線面外法線N的方向余弦的方向余弦l=cos(x,N),m=cos(y,N),n=cos(z,N),則應(yīng)力邊界條件,則應(yīng)力邊界條件為:為:xxzxyxpnmlyyzyyxpnmlzzzyxzpnml(2-12)資源與地球科學(xué)學(xué)院資源與地球科學(xué)學(xué)院n寫成矩陣形式:寫成矩陣形式:n=P 在邊界在邊界S上上zyxxzyzxyzyxppplmnnlmnml000000000資源與地球科學(xué)學(xué)院資源
11、與地球科學(xué)學(xué)院五、虛功方程五、虛功方程u 虛位移指的是彈性體或結(jié)構(gòu)系的附加的滿足約束條虛位移指的是彈性體或結(jié)構(gòu)系的附加的滿足約束條件及連續(xù)條件的無限小可能位移。件及連續(xù)條件的無限小可能位移。u 所謂虛位移的所謂虛位移的“虛虛字表示它可以與真實(shí)的受力結(jié)構(gòu)的變字表示它可以與真實(shí)的受力結(jié)構(gòu)的變形而產(chǎn)生的真實(shí)位移無關(guān),而可能由于其它原因如溫度變化,形而產(chǎn)生的真實(shí)位移無關(guān),而可能由于其它原因如溫度變化,或其它外力系,或是其它干擾造成的滿足位移約束、連續(xù)條或其它外力系,或是其它干擾造成的滿足位移約束、連續(xù)條件的幾何可能位移。件的幾何可能位移。u 對(duì)于虛位移要求是微小位移,即要求在產(chǎn)生虛位移過程中對(duì)于虛位移
12、要求是微小位移,即要求在產(chǎn)生虛位移過程中不改變?cè)芰ζ胶怏w的力的作用方向與大小,亦即受力平衡體不改變?cè)芰ζ胶怏w的力的作用方向與大小,亦即受力平衡體平衡狀態(tài)不因產(chǎn)生虛位移而改變。平衡狀態(tài)不因產(chǎn)生虛位移而改變。 幾個(gè)相關(guān)概念:幾個(gè)相關(guān)概念:資源與地球科學(xué)學(xué)院資源與地球科學(xué)學(xué)院 真實(shí)力在虛位移上做的功稱為虛功。真實(shí)力在虛位移上做的功稱為虛功。 作功的力與位移彼此作功的力與位移彼此獨(dú)立無關(guān),這種功稱為虛功;在虛功中,力與位移分別屬于同獨(dú)立無關(guān),這種功稱為虛功;在虛功中,力與位移分別屬于同一體系的兩種彼此獨(dú)立無關(guān)的狀態(tài)。一體系的兩種彼此獨(dú)立無關(guān)的狀態(tài)。 虛功與實(shí)際位移中的元功它們之間有著本質(zhì)的區(qū)別。因
13、為虛功與實(shí)際位移中的元功它們之間有著本質(zhì)的區(qū)別。因?yàn)樘撐灰剖羌傧氲模皇钦鎸?shí)位移,因此其虛功就不是真實(shí)的功,虛位移是假想的,不是真實(shí)位移,因此其虛功就不是真實(shí)的功,是假想的,它與實(shí)際位移無關(guān);而實(shí)際位移中的元功是真實(shí)位是假想的,它與實(shí)際位移無關(guān);而實(shí)際位移中的元功是真實(shí)位移的功,它與物體運(yùn)動(dòng)的路徑有關(guān)。這一點(diǎn)上學(xué)習(xí)時(shí)應(yīng)當(dāng)注意。移的功,它與物體運(yùn)動(dòng)的路徑有關(guān)。這一點(diǎn)上學(xué)習(xí)時(shí)應(yīng)當(dāng)注意。 資源與地球科學(xué)學(xué)院資源與地球科學(xué)學(xué)院n設(shè)有任一彈性體,在一定外力作用下處于平衡設(shè)有任一彈性體,在一定外力作用下處于平衡狀態(tài),如下圖狀態(tài),如下圖n面力面力p=p=px py pzpx py pzT Tn體力體力P=P
14、=Px Py PzPx Py PzT Tn集中力集中力F=F=Fx Fy FzFx Fy FzT Tzxy p P FS資源與地球科學(xué)學(xué)院資源與地球科學(xué)學(xué)院n彈性體中存在的實(shí)際位移分量為彈性體中存在的實(shí)際位移分量為n f=f=u v wu v wT Tn現(xiàn)在假想這些位移分量發(fā)生了位移邊界條件所容許的現(xiàn)在假想這些位移分量發(fā)生了位移邊界條件所容許的微小改變微小改變VariationsVariations),即所謂虛位移),即所謂虛位移ff* *=u u* * v v * * w w* *T ,T ,又稱位移變分又稱位移變分VariationsVariations)n位移邊界位移邊界SuSu上的虛位
15、移為上的虛位移為u u* *=0=0,v v* *=0=0,w w* *=0=0;n虛位移引起的虛應(yīng)變?yōu)樘撐灰埔鸬奶搼?yīng)變?yōu)閚 * *=* *x x * *y y * *z z * *xy xy * *xz xz * *yzyzT T資源與地球科學(xué)學(xué)院資源與地球科學(xué)學(xué)院現(xiàn)在來考查能量方面將發(fā)生什么樣的變化。現(xiàn)在來考查能量方面將發(fā)生什么樣的變化。n1 1外力在虛位移上做的虛功外力在虛位移上做的虛功n虛功是指作用在彈性體上的外力在彈性體的虛位虛功是指作用在彈性體上的外力在彈性體的虛位移上所做的功。移上所做的功。n以彈性桿件受拉為例,以彈性桿件受拉為例,x x方向的集中力方向的集中力FxFx,該方向
16、,該方向產(chǎn)生的位移為產(chǎn)生的位移為u u,產(chǎn)生的虛位移為,產(chǎn)生的虛位移為u u* *,虛位移過程,虛位移過程中,認(rèn)為力是恒定不變的,則力中,認(rèn)為力是恒定不變的,則力FxFx在虛位移上所在虛位移上所做的虛功做的虛功( (下圖中陰影部分下圖中陰影部分) )為為*uFWX資源與地球科學(xué)學(xué)院資源與地球科學(xué)學(xué)院以彈性桿件受拉為例以彈性桿件受拉為例Fxuu*uFxO虛位移引起的單位體積形變勢(shì)能*uFWXFx在虛位移上所做的虛功*1XXU資源與地球科學(xué)學(xué)院資源與地球科學(xué)學(xué)院n對(duì)上圖所示的彈性體,外力對(duì)上圖所示的彈性體,外力( (體力、面力和集體力、面力和集中力中力) )對(duì)虛位移做的虛功為:對(duì)虛位移做的虛功為:
17、dVwPvPuPWzyVx)(*dSwpvpupzySx)(*)(*iziiyiixiwFvFuF FdSpfdVPfTTSTV*體力體力面力面力集中力集中力資源與地球科學(xué)學(xué)院資源與地球科學(xué)學(xué)院2 2彈性體形變勢(shì)能的變化彈性體形變勢(shì)能的變化n假定彈性體在一個(gè)方向的均勻正應(yīng)力x,n相應(yīng)正應(yīng)變x,在受力過程中始終保持平衡,沒有勢(shì)能的改變,外力勢(shì)能的減小全部轉(zhuǎn)變?yōu)樾巫儎?shì)能,單位體積的形變勢(shì)能為xxU211外力勢(shì)能外力勢(shì)能形變勢(shì)能形變勢(shì)能Oxx*xxx*x資源與地球科學(xué)學(xué)院資源與地球科學(xué)學(xué)院虛位移產(chǎn)生時(shí),單位體積內(nèi)形變勢(shì)能的改變?yōu)椋禾撐灰飘a(chǎn)生時(shí),單位體積內(nèi)形變勢(shì)能的改變?yōu)椋?1xxU*1XYXYU只有
18、兩個(gè)相互垂直的剪應(yīng)力作用時(shí):一般地,六個(gè)應(yīng)力分量都存在時(shí): 只有正應(yīng)力存在時(shí): dVdVUYZYZXZXZXYXYZZYYXXT*1)(資源與地球科學(xué)學(xué)院資源與地球科學(xué)學(xué)院n因而,在整個(gè)變形體內(nèi),虛位移引起的應(yīng)變勢(shì)能的增加為(體積 積分): VTV1VUUd資源與地球科學(xué)學(xué)院資源與地球科學(xué)學(xué)院3 3虛功方程虛功方程n 由能量守恒定律彈性體形變勢(shì)能的增加V*TdV等于外力勢(shì)能的減少,也就等于外力在虛位移上所做的虛功。 FdSpfdVPfdVTTSTVTV* 這就是所謂的虛功方程,該方程右邊各項(xiàng)稱為應(yīng)力在虛位移這就是所謂的虛功方程,該方程右邊各項(xiàng)稱為應(yīng)力在虛位移上做的虛功,則虛功方程表示:上做的虛
19、功,則虛功方程表示: 如果在虛位移發(fā)生之前,彈性體是處于平衡狀態(tài),那么,如果在虛位移發(fā)生之前,彈性體是處于平衡狀態(tài),那么,在虛位移過程中,外力在虛位移上所做的虛功就等于應(yīng)力在虛應(yīng)在虛位移過程中,外力在虛位移上所做的虛功就等于應(yīng)力在虛應(yīng)變上所做的虛功。變上所做的虛功。(2-18)外力勢(shì)能形變勢(shì)能資源與地球科學(xué)學(xué)院資源與地球科學(xué)學(xué)院討論討論n1.虛功原理在推導(dǎo)過程中沒有涉及到物理方程,因虛功原理在推導(dǎo)過程中沒有涉及到物理方程,因此式此式(218)不僅適用于彈性體,而且也可推廣到包不僅適用于彈性體,而且也可推廣到包括彈塑性體在內(nèi)的其它連續(xù)變形體中。括彈塑性體在內(nèi)的其它連續(xù)變形體中。n在邊界受力條件下
20、,常利用虛功原理求等效節(jié)點(diǎn)力。在邊界受力條件下,常利用虛功原理求等效節(jié)點(diǎn)力。資源與地球科學(xué)學(xué)院資源與地球科學(xué)學(xué)院n2.在應(yīng)用有限單元法求解彈性力學(xué)問題時(shí),利用虛功原在應(yīng)用有限單元法求解彈性力學(xué)問題時(shí),利用虛功原理代替平衡微分方程和應(yīng)力邊界條件較為方便,可以證理代替平衡微分方程和應(yīng)力邊界條件較為方便,可以證明虛功方程式明虛功方程式(218)等價(jià)于平衡微分方程式等價(jià)于平衡微分方程式(21)和應(yīng)和應(yīng)力邊界條件式力邊界條件式(212)。即:。即: FdSpfdVPfdVTTSTVTV*000zzyzzxyzyyxyxxzyxxPzyxPzyxPzyxxxzxyxpnmlyyzyyxpnmlzzzyxz
21、pnml資源與地球科學(xué)學(xué)院資源與地球科學(xué)學(xué)院 下面證明虛功方程式下面證明虛功方程式(218)等價(jià)于平衡微分方程式等價(jià)于平衡微分方程式(21)和應(yīng)力邊界條件式和應(yīng)力邊界條件式(212)。 取一單位厚度的平板,假定體積力和集中力都為零,取一單位厚度的平板,假定體積力和集中力都為零,只受面力只受面力p的作用,見下圖。的作用,見下圖。 Tyxppp xy0bSaS現(xiàn)假定物體產(chǎn)生的虛位移為:現(xiàn)假定物體產(chǎn)生的虛位移為:則相應(yīng)的虛應(yīng)變?yōu)椋簞t相應(yīng)的虛應(yīng)變?yōu)椋骸yyxxyyx,則相應(yīng)的虛功為:則相應(yīng)的虛功為: dxdyxyyxdxdyUxyyxT)(資源與地球科學(xué)學(xué)院資源與地球科學(xué)學(xué)院由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)得:由復(fù)合
22、函數(shù)求導(dǎo)得:dxdyxdxdyxdxdyxxxx)(dxdyxdxdyxdxdyxxxx)(同理可得:同理可得:dxdyxdxdyxdxdyxdxdyydxdyydxdyydxdyydxdyydxdyyxyxyxyxyxyxyyyy)()()(資源與地球科學(xué)學(xué)院資源與地球科學(xué)學(xué)院 dxdyxyyxdxdyUxyyxT)(則下面公式:則下面公式:可變?yōu)椋嚎勺優(yōu)椋篸xdyyyxxdxdyxyyxUxyyxyxxyyxyx)()()()()()(由格林公式:由格林公式:dSPmQldxdyyPxQ則可令:則可令:xyyxyxPQ,資源與地球科學(xué)學(xué)院資源與地球科學(xué)學(xué)院則可得物體內(nèi)部的應(yīng)力產(chǎn)生的虛功為:
23、則可得物體內(nèi)部的應(yīng)力產(chǎn)生的虛功為:dSlmmldxdyxyyxdSmldxdyxyyxUxyyxyxxyyxyxxyyxyxxyyxyx)()()()()()()(又面力在虛位移上做的虛功為:又面力在虛位移上做的虛功為:dSppWyx最終推導(dǎo)出三者等價(jià)關(guān)系最終推導(dǎo)出三者等價(jià)關(guān)系資源與地球科學(xué)學(xué)院資源與地球科學(xué)學(xué)院n3.用結(jié)點(diǎn)位移作為基本未知量,用有限單元法求用結(jié)點(diǎn)位移作為基本未知量,用有限單元法求解彈性力學(xué)問題時(shí),離散后的單元體一般都直接解彈性力學(xué)問題時(shí),離散后的單元體一般都直接用虛功方程來代替平衡微分方程和應(yīng)力邊界條件。用虛功方程來代替平衡微分方程和應(yīng)力邊界條件。n因而,每一個(gè)單元都要滿足虛
24、功方程式因而,每一個(gè)單元都要滿足虛功方程式(218)、幾何方程式幾何方程式(25)和物理方程式和物理方程式(27),在邊界上,在邊界上的單元還要滿足位移邊界條件。的單元還要滿足位移邊界條件。資源與地球科學(xué)學(xué)院資源與地球科學(xué)學(xué)院第二節(jié)第二節(jié) 一維問題有限單元法簡(jiǎn)例一維問題有限單元法簡(jiǎn)例本節(jié)內(nèi)容:本節(jié)內(nèi)容:一、簡(jiǎn)例分析一、簡(jiǎn)例分析二、有限單元法分析過程概二、有限單元法分析過程概述述資源與地球科學(xué)學(xué)院資源與地球科學(xué)學(xué)院一、簡(jiǎn)例分析一、簡(jiǎn)例分析n考查一個(gè)簡(jiǎn)單的例子,來說明有限單元考查一個(gè)簡(jiǎn)單的例子,來說明有限單元法的基本概念、原理和解題步驟。法的基本概念、原理和解題步驟。n圖圖2-7為一個(gè)由兩根桿件構(gòu)
25、成的桁架。桿為一個(gè)由兩根桿件構(gòu)成的桁架。桿件的截面積都為件的截面積都為A,彈性模量為,彈性模量為E,長(zhǎng)度,長(zhǎng)度分別為分別為l1和和l2,桁架在鉸鏈處分別受到外,桁架在鉸鏈處分別受到外力力Fx1,F(xiàn)y1,F(xiàn)x2,F(xiàn)y2,F(xiàn)x3,F(xiàn)y3的作的作用。用。2個(gè)單元,個(gè)單元,3個(gè)結(jié)點(diǎn)個(gè)結(jié)點(diǎn)資源與地球科學(xué)學(xué)院資源與地球科學(xué)學(xué)院123圖2-7 鉸接桁架a集合體;b桁架單元1;c桁架單元2xyO23)(11vFy)(11uFx)(22vFy)(22uFx)(1111vFy)(1111uFx21)(2121vFy)(2121uFx)(2222vFy)(2222uFx)(3232uFx)(3232vFy)(33v
26、Fy)(33uFx(a)(b)(c)資源與地球科學(xué)學(xué)院資源與地球科學(xué)學(xué)院第一步,將其離散化:?jiǎn)卧c結(jié)點(diǎn)第一步,將其離散化:?jiǎn)卧c結(jié)點(diǎn)n設(shè)取每根桿件作為一個(gè)單元,記為單元設(shè)取每根桿件作為一個(gè)單元,記為單元1和單元和單元2,各桿端部的鉸鏈作為結(jié)點(diǎn),記為結(jié)點(diǎn)各桿端部的鉸鏈作為結(jié)點(diǎn),記為結(jié)點(diǎn)1、2和和3。n結(jié)點(diǎn)結(jié)點(diǎn)單元與單元的連接點(diǎn),坐標(biāo)為單元與單元的連接點(diǎn),坐標(biāo)為x,y,z)n單元單元由一組有序的結(jié)點(diǎn)組成或圍成的線段、由一組有序的結(jié)點(diǎn)組成或圍成的線段、面積、體積等,表征實(shí)體的一部分。面積、體積等,表征實(shí)體的一部分。資源與地球科學(xué)學(xué)院資源與地球科學(xué)學(xué)院第二步,單元分析:元結(jié)點(diǎn)力第二步,單元分析:元結(jié)點(diǎn)
27、力位移關(guān)系位移關(guān)系n先建立單元先建立單元1 1的結(jié)點(diǎn)力和結(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系式。的結(jié)點(diǎn)力和結(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系式。n結(jié)點(diǎn)結(jié)點(diǎn)1 1、2 2作用在單元作用在單元1 1上的力的分量記為上的力的分量記為F1x1F1x1、F1y1F1y1、F1x2F1x2、F1y2F1y2,n結(jié)點(diǎn)結(jié)點(diǎn)1 1、2 2位移沿位移沿x x軸和軸和y y軸的分量為軸的分量為 u11u11、 v11v11、u12u12、v12v12,n上標(biāo)上標(biāo)單元號(hào),下標(biāo)單元號(hào),下標(biāo)結(jié)點(diǎn)號(hào)。因?yàn)榻Y(jié)點(diǎn)號(hào)。因?yàn)闂U件在結(jié)點(diǎn)處是鉸連的,不存在力矩。桿件在結(jié)點(diǎn)處是鉸連的,不存在力矩。n每個(gè)結(jié)點(diǎn)的力和位移各有兩個(gè)分量,即每每個(gè)結(jié)點(diǎn)的力和位移各有兩個(gè)分量,即每個(gè)結(jié)點(diǎn)有
28、兩個(gè)自由度(個(gè)結(jié)點(diǎn)有兩個(gè)自由度( Degrees of Degrees of freedom freedom ),),n全單元有四個(gè)未知數(shù),因此需要用四個(gè)方全單元有四個(gè)未知數(shù),因此需要用四個(gè)方程式來描述它的力程式來描述它的力位移關(guān)系。位移關(guān)系。xyO21)(1111vFy)(1111uFx)(2121vFy)(2121uFx資源與地球科學(xué)學(xué)院資源與地球科學(xué)學(xué)院121412131112111111vkukvkukFx122412231122112111vkukvkukFy123412331132113112vkukvkukFx124412431142114112vkukvkukFy1222111
29、1yxyxFFFF44434241343332312423222114131211kkkkkkkkkkkkkkkk12121111vuvun采用矩陣記為(2-28)資源與地球科學(xué)學(xué)院資源與地球科學(xué)學(xué)院12221111yxyxFFFF44434241343332312423222114131211kkkkkkkkkkkkkkkk12121111vuvu 1F 1k 1n簡(jiǎn)記為:資源與地球科學(xué)學(xué)院資源與地球科學(xué)學(xué)院n式中1=u11 v11 u12 v12T稱為單元1的結(jié)點(diǎn)位移列陣。n F=F1x1 F1y1 F1x2 F1y2 T稱為單元1的結(jié)點(diǎn)力列陣。nk1稱為單元1的剛度矩陣;nk11,k12
30、,k13k14稱為剛度系數(shù)。 1F 1k 1資源與地球科學(xué)學(xué)院資源與地球科學(xué)學(xué)院下面重點(diǎn)討論剛度系數(shù)的物理意義下面重點(diǎn)討論剛度系數(shù)的物理意義 以彈簧的剛度系數(shù)為例以彈簧的剛度系數(shù)為例kuFx 在豎向力在豎向力F作用下,彈簧產(chǎn)生的位移作用下,彈簧產(chǎn)生的位移為為u,彈簧產(chǎn)生單位位移所需要的力即,彈簧產(chǎn)生單位位移所需要的力即為剛度系數(shù):為剛度系數(shù):uFk 資源與地球科學(xué)學(xué)院資源與地球科學(xué)學(xué)院n令u11=1,v11=u12=v12=0,下式可變?yōu)椋簄則有F1x1=k11,F(xiàn)1y1=k21,F(xiàn)1x2=k31,F(xiàn)1y2=k41121412131112111111vkukvkukFx122412231122
31、112111vkukvkukFy123412331132113112vkukvkukFx124412431142114112vkukvkukFy資源與地球科學(xué)學(xué)院資源與地球科學(xué)學(xué)院n如下圖,它們表示如下圖,它們表示:當(dāng)當(dāng)結(jié)點(diǎn)結(jié)點(diǎn)1沿沿x方向產(chǎn)生一單方向產(chǎn)生一單位位移,而單元位位移,而單元1的所的所有其余結(jié)點(diǎn)位移都等于有其余結(jié)點(diǎn)位移都等于零時(shí),各結(jié)點(diǎn)施于單元零時(shí),各結(jié)點(diǎn)施于單元1上的力,將組成一個(gè)上的力,將組成一個(gè)平衡力系,表示單元平衡力系,表示單元1抵抗位移抵抗位移u11的剛度。的剛度。2131k41k11k21k11u資源與地球科學(xué)學(xué)院資源與地球科學(xué)學(xué)院21 xyO11ucos31k41k1
32、1k21k這些值由材料力學(xué)知識(shí)容易求得:N 11122n此時(shí),單元長(zhǎng)度縮短l1=cos,需要軸向壓力為:111cosEAEAFEAFlEAll所以軸向壓力資源與地球科學(xué)學(xué)院資源與地球科學(xué)學(xué)院它在x和y方向的分量( F1x1=k11,F(xiàn)1y1=k21分別是:1211coslEAk121sincoslEAkn由平衡條件:1231coslEAk141sincoslEAkFx =k1111Fy =k211F11資源與地球科學(xué)學(xué)院資源與地球科學(xué)學(xué)院同理,可以求得作用于單元1其它結(jié)點(diǎn)的系數(shù)表達(dá)式:yxo12v11=1Fx =k1211Fy =k2211Fx =k3221Fy =k4221u11=0u21=
33、0v21=0單元1l2=sinFx =k1211Fy =k221F11資源與地球科學(xué)學(xué)院資源與地球科學(xué)學(xué)院n同理,可以對(duì)同理,可以對(duì)v11、u21、v12 作類似分析,便可得到作類似分析,便可得到k1中其它各列的元素。將所有的結(jié)果匯集一起,得到單元中其它各列的元素。將所有的結(jié)果匯集一起,得到單元1的的剛度矩陣為:剛度矩陣為: 1k222222221sinsincossinsincossincoscossincoscossinsincossinsincossincoscossincoscoslEA即:12221111yxyxFFFF222222221sinsincossinsincossinco
34、scossincoscossinsincossinsincossincoscossincoscoslEA12121111vuvu資源與地球科學(xué)學(xué)院資源與地球科學(xué)學(xué)院同理,可以求得作用于單元2的結(jié)點(diǎn)和位移之間的關(guān)系式如下:n于是,單元2的剛度矩陣23232222yxyxFFFF10100000101000002lEA23232222vuvu 2k10100000101000002lEA23)(2222vFy)(2222uFx)(3232uFx)(3232vFy資源與地球科學(xué)學(xué)院資源與地球科學(xué)學(xué)院第三步,整體分析:整個(gè)結(jié)構(gòu)的力第三步,整體分析:整個(gè)結(jié)構(gòu)的力位移關(guān)系位移關(guān)系n引進(jìn)圖引進(jìn)圖2-72-7
35、中結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)位移量中結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)位移量u1u1、v1v1、u2u2、v2v2、u3u3、v3v3,它們,它們和單元結(jié)點(diǎn)位移的協(xié)調(diào)關(guān)系如下和單元結(jié)點(diǎn)位移的協(xié)調(diào)關(guān)系如下nu1=u11u1=u11,v1=v11 u2=u12=u22v1=v11 u2=u12=u22,v2=v12=v22v2=v12=v22,v3=v23v3=v23,u3=u23u3=u23資源與地球科學(xué)學(xué)院資源與地球科學(xué)學(xué)院又根據(jù)各結(jié)點(diǎn)的平衡條件,作用在各結(jié)點(diǎn)上的荷又根據(jù)各結(jié)點(diǎn)的平衡條件,作用在各結(jié)點(diǎn)上的荷載,等于圍繞該結(jié)點(diǎn)的各單元受到的結(jié)點(diǎn)力之和,載,等于圍繞該結(jié)點(diǎn)的各單元受到的結(jié)點(diǎn)力之和,即:即:)sincoscossincos
36、(cos2221121111vuvulEAFFxx)sinsincossinsin(cos2221211111vuvulEAFFyy)sincoscossincoscos(222112122122vuvulEAFFFxxx)()sinsincossinsincos(322222121122122vvlEAvuvulEAFFFyyy0233xxFF)(322233vvlEAFFyy資源與地球科學(xué)學(xué)院資源與地球科學(xué)學(xué)院3322112222121121112112121121112112332211/10/1000000000/10/1/sin/sincos/sin/sincos00/sincos/
37、cos/sincos/cos00/sin/sincos/sin/sincos00/sincos/cos/sincos/cosvuvuvullllllllllllllllllllEAFFFFFFyxyxyx寫成矩陣形式寫成矩陣形式: :n或簡(jiǎn)寫成:或簡(jiǎn)寫成:F=K (2-35)n這就是有限單元法所要建立的基本方程組。這就是有限單元法所要建立的基本方程組。n式中式中F為作用在結(jié)點(diǎn)上的載荷所組成的列陣,稱為載荷為作用在結(jié)點(diǎn)上的載荷所組成的列陣,稱為載荷列陣;列陣;是由基本未知量結(jié)點(diǎn)位移所組成的列陣;矩陣是由基本未知量結(jié)點(diǎn)位移所組成的列陣;矩陣K稱為結(jié)構(gòu)的整體剛度矩陣,由式稱為結(jié)構(gòu)的整體剛度矩陣,由式
38、(2-34)得整體剛度矩得整體剛度矩陣陣K。資源與地球科學(xué)學(xué)院資源與地球科學(xué)學(xué)院K2222121121112112121121112112/10/1000000000/10/1/sin/sincos/sin/sincos00/sincos/cos/sincos/cos00/sin/sincos/sin/sincos00/sincos/cos/sincos/cosllllllllllllllllllllEAn整體剛度矩陣的建立是用有限單元法解題的核心內(nèi)容。整體剛整體剛度矩陣的建立是用有限單元法解題的核心內(nèi)容。整體剛度矩陣由單元的剛度矩陣疊加而成。左上方虛線畫出的是單元度矩陣由單元的剛度矩陣疊加而
39、成。左上方虛線畫出的是單元1的剛度矩陣,右下方虛線畫出的是單元的剛度矩陣,右下方虛線畫出的是單元2的剛度矩陣,而兩個(gè)長(zhǎng)的剛度矩陣,而兩個(gè)長(zhǎng)方形重疊部分中的元素,是同位置上兩個(gè)單元?jiǎng)偠染仃嚨脑胤叫沃丿B部分中的元素,是同位置上兩個(gè)單元?jiǎng)偠染仃嚨脑刂?。因而,要建立整體剛度矩陣,先要求出單元的剛度矩陣。之和。因而,要建立整體剛度矩陣,先要求出單元的剛度矩陣。應(yīng)用式應(yīng)用式(2-35)和幾何邊界條件,排除剛體位移,即可解全部位移和幾何邊界條件,排除剛體位移,即可解全部位移分量。應(yīng)用物理方程或本構(gòu)關(guān)系求解全部應(yīng)力分量。分量。應(yīng)用物理方程或本構(gòu)關(guān)系求解全部應(yīng)力分量。資源與地球科學(xué)學(xué)院資源與地球科學(xué)學(xué)院二
40、、有限單元法分析過程概述二、有限單元法分析過程概述n由上面的簡(jiǎn)例可以把有限單元法的分析過程概由上面的簡(jiǎn)例可以把有限單元法的分析過程概括為以下五個(gè)步驟:括為以下五個(gè)步驟:1 1結(jié)構(gòu)的離散化結(jié)構(gòu)的離散化n有限單元法可以通俗地看作是在力學(xué)模型上進(jìn)行近有限單元法可以通俗地看作是在力學(xué)模型上進(jìn)行近似的一種計(jì)算方法。似的一種計(jì)算方法。n近似的計(jì)算模型即為原結(jié)構(gòu)的離散化模型,它是由近似的計(jì)算模型即為原結(jié)構(gòu)的離散化模型,它是由若干個(gè)尺寸有限的單元在有限個(gè)結(jié)點(diǎn)上相互連接而若干個(gè)尺寸有限的單元在有限個(gè)結(jié)點(diǎn)上相互連接而成的。所以結(jié)構(gòu)離散化是有限單元法分析的第一步。成的。所以結(jié)構(gòu)離散化是有限單元法分析的第一步。n但對(duì)
41、于連續(xù)體而言,就要考慮單元的形狀、大小和但對(duì)于連續(xù)體而言,就要考慮單元的形狀、大小和數(shù)目,使離散化的模型逼近實(shí)際的連續(xù)體。數(shù)目,使離散化的模型逼近實(shí)際的連續(xù)體。資源與地球科學(xué)學(xué)院資源與地球科學(xué)學(xué)院結(jié)構(gòu)的離散化結(jié)構(gòu)的離散化123456789101234567810m10m10m10m10m資源與地球科學(xué)學(xué)院資源與地球科學(xué)學(xué)院結(jié)構(gòu)的離散化結(jié)構(gòu)的離散化資源與地球科學(xué)學(xué)院資源與地球科學(xué)學(xué)院結(jié)構(gòu)的離散化結(jié)構(gòu)的離散化資源與地球科學(xué)學(xué)院資源與地球科學(xué)學(xué)院2選擇基本未知量及位移模式選擇基本未知量及位移模式n當(dāng)采用剛度法求解時(shí),基本未知量為位移,即離散化模型結(jié)點(diǎn)當(dāng)采用剛度法求解時(shí),基本未知量為位移,即離散化模型
42、結(jié)點(diǎn)的位移,即:的位移,即:=u1 v1 u2 Tn求解時(shí)先假定一種位移解的形式,也就是假定位移是坐標(biāo)的某求解時(shí)先假定一種位移解的形式,也就是假定位移是坐標(biāo)的某種簡(jiǎn)單的函數(shù),這種函數(shù)稱為位移模式種簡(jiǎn)單的函數(shù),這種函數(shù)稱為位移模式(或位移函數(shù)或位移函數(shù))或插值函數(shù)?;虿逯岛瘮?shù)。n選擇適當(dāng)?shù)奈灰坪瘮?shù)是有限單元法分析中的關(guān)鍵。為了計(jì)算方選擇適當(dāng)?shù)奈灰坪瘮?shù)是有限單元法分析中的關(guān)鍵。為了計(jì)算方便,通常選擇多項(xiàng)式作為位移函數(shù)。便,通常選擇多項(xiàng)式作為位移函數(shù)。n例如平面問題分析中的三角形單元,為了構(gòu)造求解單元內(nèi)任一例如平面問題分析中的三角形單元,為了構(gòu)造求解單元內(nèi)任一點(diǎn)的位移函數(shù)點(diǎn)的位移函數(shù)u(x,y),可
43、取該函數(shù)在三角形結(jié)點(diǎn),可取該函數(shù)在三角形結(jié)點(diǎn)(i,j,m)上的上的位移值位移值(ui,uj,um)為參數(shù),引入插值多項(xiàng)式去構(gòu)成其位移模式:為參數(shù),引入插值多項(xiàng)式去構(gòu)成其位移模式:n u(x,y)=Ni(x,y)ui+Nj(x,y)uj+Nm(x,y)um (237)n式中式中Ni(x,y),Nj(x,y),Nm(x,y)是插值多項(xiàng)式是插值多項(xiàng)式.資源與地球科學(xué)學(xué)院資源與地球科學(xué)學(xué)院n上式可表示為上式可表示為n f=Ne (238)n式中式中:n f=u vTn e=ui vi uj vj um vm Tn由式由式(238)可知,有了單元位移列陣可知,有了單元位移列陣e,單元內(nèi)任,單元內(nèi)任一點(diǎn)的
44、位移便可確定。一點(diǎn)的位移便可確定。mjimjiNNNNNNN000000資源與地球科學(xué)學(xué)院資源與地球科學(xué)學(xué)院3單元分析單元分析4彈性力學(xué)的基本方程彈性力學(xué)的基本方程n平衡微分方程平衡微分方程n幾何方程幾何方程n物理方程物理方程n邊界條件邊界條件(位移、應(yīng)力位移、應(yīng)力)位移法:位移法:幾何方程幾何方程物理方程物理方程虛功方程虛功方程位移邊界條件位移邊界條件資源與地球科學(xué)學(xué)院資源與地球科學(xué)學(xué)院n選定位移模式后,便可對(duì)單元的力學(xué)特性進(jìn)行選定位移模式后,便可對(duì)單元的力學(xué)特性進(jìn)行分析,包括下面三部分內(nèi)容分析,包括下面三部分內(nèi)容(1)(1)利用幾何方程,由位移表達(dá)式利用幾何方程,由位移表達(dá)式(2(238)
45、38)推導(dǎo)出推導(dǎo)出單元應(yīng)變:?jiǎn)卧獞?yīng)變:n=Lfn =LNen =Be (239)n式中式中:n 單元內(nèi)任一點(diǎn)的應(yīng)變列陣單元內(nèi)任一點(diǎn)的應(yīng)變列陣n B單元應(yīng)變矩陣單元應(yīng)變矩陣資源與地球科學(xué)學(xué)院資源與地球科學(xué)學(xué)院(2)(2)利用物理方程推導(dǎo)應(yīng)力表達(dá)式利用物理方程推導(dǎo)應(yīng)力表達(dá)式由應(yīng)變表達(dá)由應(yīng)變表達(dá)(239)導(dǎo)出用結(jié)點(diǎn)位移表示單導(dǎo)出用結(jié)點(diǎn)位移表示單元應(yīng)力的關(guān)系式元應(yīng)力的關(guān)系式 =D =DBe (240)式中式中 單元內(nèi)任一點(diǎn)的應(yīng)力列陣單元內(nèi)任一點(diǎn)的應(yīng)力列陣 D與單元材料有關(guān)的彈性矩陣與單元材料有關(guān)的彈性矩陣資源與地球科學(xué)學(xué)院資源與地球科學(xué)學(xué)院(3)利用虛功原理求等效結(jié)點(diǎn)力,建立結(jié)點(diǎn)力利用虛功原理求等效結(jié)
46、點(diǎn)力,建立結(jié)點(diǎn)力和結(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系和結(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系n作用在結(jié)構(gòu)上的實(shí)際荷載結(jié)構(gòu)離散化以后,需將其作用在結(jié)構(gòu)上的實(shí)際荷載結(jié)構(gòu)離散化以后,需將其轉(zhuǎn)化為作用在結(jié)點(diǎn)上的等效集中荷載轉(zhuǎn)化為作用在結(jié)點(diǎn)上的等效集中荷載F,轉(zhuǎn)化的,轉(zhuǎn)化的原理是這兩組荷載原理是這兩組荷載(實(shí)際荷載與結(jié)點(diǎn)等效集中荷載實(shí)際荷載與結(jié)點(diǎn)等效集中荷載)在虛位移過程中作的虛功相等。在虛位移過程中作的虛功相等。 建立結(jié)點(diǎn)力和結(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系建立結(jié)點(diǎn)力和結(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系 Fe=Fe=k kee (2ee (241)41)式中式中 FeFe等效結(jié)點(diǎn)力等效結(jié)點(diǎn)力 k kee單元?jiǎng)偠染仃噯卧獎(jiǎng)偠染仃噷?dǎo)出單元?jiǎng)偠染仃囀菃卧治龅暮诵膬?nèi)容。導(dǎo)出單元?jiǎng)偠染仃囀?/p>
47、單元分析的核心內(nèi)容。資源與地球科學(xué)學(xué)院資源與地球科學(xué)學(xué)院4 4整體分析整體分析n集合所有單元的平衡方程,建立整個(gè)結(jié)構(gòu)的平衡方集合所有單元的平衡方程,建立整個(gè)結(jié)構(gòu)的平衡方程:程:n 將各個(gè)單元的結(jié)點(diǎn)位移列陣將各個(gè)單元的結(jié)點(diǎn)位移列陣ee,集合成整,集合成整個(gè)物體的結(jié)點(diǎn)位移列陣個(gè)物體的結(jié)點(diǎn)位移列陣;n 把作用在各單元的等效結(jié)點(diǎn)力列陣把作用在各單元的等效結(jié)點(diǎn)力列陣Fe Fe ,集,集合成總的荷載列陣合成總的荷載列陣F F ;n 將各個(gè)單元的剛度矩陣將各個(gè)單元的剛度矩陣k ke e,集合成,集合成整個(gè)物體的整體剛度矩陣整個(gè)物體的整體剛度矩陣K K;n得到得到K K、F F和所有結(jié)點(diǎn)位移列陣和所有結(jié)點(diǎn)位移
48、列陣表示的表示的整個(gè)結(jié)構(gòu)的平衡方程:整個(gè)結(jié)構(gòu)的平衡方程:n K K=F (2=F (242)42)資源與地球科學(xué)學(xué)院資源與地球科學(xué)學(xué)院5 5求解結(jié)點(diǎn)位移,計(jì)算單元應(yīng)力求解結(jié)點(diǎn)位移,計(jì)算單元應(yīng)力方程組方程組(242)還應(yīng)考慮幾何邊界條件作適當(dāng)?shù)男捱€應(yīng)考慮幾何邊界條件作適當(dāng)?shù)男薷囊院?,才能解出所有的未知結(jié)點(diǎn)位移。改以后,才能解出所有的未知結(jié)點(diǎn)位移。 K=F (242)并利用式并利用式(240)(即物理方程或本構(gòu)關(guān)系求解(即物理方程或本構(gòu)關(guān)系求解各單元應(yīng)力。各單元應(yīng)力。 =DBe (240)資源與地球科學(xué)學(xué)院資源與地球科學(xué)學(xué)院實(shí)例分析實(shí)例分析-不考慮采空區(qū)冒落條件下模擬不考慮采空區(qū)冒落條件下模擬 采
49、空區(qū)部分 z 0 y H=12.5 MPa k0 H=37.5MPa 20m 45 m 5 m 40 m第一層 厚度20m第二層 厚度20m第三層 厚度20m用用ADINA和和FLAC2D兩種有限元軟件選一種進(jìn)行分析兩種有限元軟件選一種進(jìn)行分析資源與地球科學(xué)學(xué)院資源與地球科學(xué)學(xué)院巖性E(MPa)(kg/m3)第一層(軟)24000.272500第二層(硬)156000.202750第三層(軟)29000.242600資源與地球科學(xué)學(xué)院資源與地球科學(xué)學(xué)院第三節(jié)第三節(jié) 平面彈性問題的平面彈性問題的 三角形常應(yīng)變單元三角形常應(yīng)變單元本節(jié)內(nèi)容:本節(jié)內(nèi)容:一、離散化一、離散化二、位移模式二、位移模式 形
50、函數(shù)形函數(shù)三、單元?jiǎng)偠染仃嚾?、單元?jiǎng)偠染仃囁?、整體剛度矩陣四、整體剛度矩陣五、給定位移邊界條五、給定位移邊界條件件六、解題步驟六、解題步驟資源與地球科學(xué)學(xué)院資源與地球科學(xué)學(xué)院4三角形常應(yīng)變單元三角形常應(yīng)變單元 4矩形單元矩形單元4等參數(shù)單元等參數(shù)單元4 在平面彈性問題分析中,最簡(jiǎn)單的是三在平面彈性問題分析中,最簡(jiǎn)單的是三角形常應(yīng)變單元。本節(jié)將通過它闡明有限單角形常應(yīng)變單元。本節(jié)將通過它闡明有限單元法用于彈性體應(yīng)力分析的基本原理和方法。元法用于彈性體應(yīng)力分析的基本原理和方法。資源與地球科學(xué)學(xué)院資源與地球科學(xué)學(xué)院一、離散化一、離散化n將連續(xù)體劃分為有限個(gè)將連續(xù)體劃分為有限個(gè)n互不重疊的三角形互不重
51、疊的三角形n結(jié)點(diǎn)結(jié)點(diǎn)三角形的頂點(diǎn)三角形的頂點(diǎn)n單元單元三角形三角形n三角形單元三角形單元n 平面應(yīng)力問題平面應(yīng)力問題 三角板三角板n 平面應(yīng)變問題平面應(yīng)變問題 三棱柱三棱柱n 對(duì)所有單元和結(jié)點(diǎn)進(jìn)行編號(hào)對(duì)所有單元和結(jié)點(diǎn)進(jìn)行編號(hào)用單元集合體代替原來的彈性體用單元集合體代替原來的彈性體資源與地球科學(xué)學(xué)院資源與地球科學(xué)學(xué)院n把所有作用在單元上的荷載,包括集中力、表把所有作用在單元上的荷載,包括集中力、表面力和體積力都移置到結(jié)點(diǎn)上,化為靜力等效面力和體積力都移置到結(jié)點(diǎn)上,化為靜力等效結(jié)點(diǎn)荷載。結(jié)點(diǎn)荷載。資源與地球科學(xué)學(xué)院資源與地球科學(xué)學(xué)院二、位移模式二、位移模式 形函數(shù)形函數(shù) 首先建立以單元結(jié)首先建立以
52、單元結(jié)點(diǎn)位移表示單元內(nèi)任點(diǎn)位移表示單元內(nèi)任一點(diǎn)位移的關(guān)系式。一點(diǎn)位移的關(guān)系式。 三角形單元三角形單元i,j,m的的每個(gè)結(jié)點(diǎn)在單元平面每個(gè)結(jié)點(diǎn)在單元平面內(nèi)有兩個(gè)位移分量,內(nèi)有兩個(gè)位移分量,整個(gè)單元共有整個(gè)單元共有6個(gè)結(jié)點(diǎn)個(gè)結(jié)點(diǎn)位移分量,可用列陣位移分量,可用列陣表示為:表示為: TmTjTieTmmjjiivuvuvu資源與地球科學(xué)學(xué)院資源與地球科學(xué)學(xué)院 式 中式 中 1 , 2 , , 6 待 定 常 數(shù) , 稱 為待 定 常 數(shù) , 稱 為廣義坐標(biāo),可由單元的廣義坐標(biāo),可由單元的6個(gè)結(jié)點(diǎn)位移來確定。個(gè)結(jié)點(diǎn)位移來確定。n建立以單元結(jié)點(diǎn)位移表示單元內(nèi)任一點(diǎn)位移的關(guān)系建立以單元結(jié)點(diǎn)位移表示單元內(nèi)任
53、一點(diǎn)位移的關(guān)系式:位移模式式:位移模式結(jié)點(diǎn)位移與結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系式結(jié)點(diǎn)位移與結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系式n選擇最簡(jiǎn)單的線性函數(shù)作為位移模式,即:選擇最簡(jiǎn)單的線性函數(shù)作為位移模式,即:1uyxv654x2y3uv),(yx(2-44)資源與地球科學(xué)學(xué)院資源與地球科學(xué)學(xué)院以結(jié)點(diǎn)i、j、m三點(diǎn)的坐標(biāo)代入式(244),得:n(i,j,m)表示表示i,j,m可以輪換得到,實(shí)際式可以輪換得到,實(shí)際式(245)共表示六個(gè)方程式。求解得到:共表示六個(gè)方程式。求解得到:1iuiiiyxv654ix2iy3),(mji(2-45)資源與地球科學(xué)學(xué)院資源與地球科學(xué)學(xué)院mjiuuuA211mjixxxmjiyyymjiuuuA11
54、1212mjiyyymjixxxA111213mjiuuummjjiiyxyxyxA11121A為三角形的面積。為使為三角形的面積。為使A不為負(fù)不為負(fù)i, j, m的次序必須為逆時(shí)針。的次序必須為逆時(shí)針。(2-46)資源與地球科學(xué)學(xué)院資源與地球科學(xué)學(xué)院將式(2)代入n整理后,得到n式中n同理1ux2y3mmjjiiuyxNuyxNuyxNu),(),(),(),()(21),(mjiycxbaAyxNiiii),()(,mjixxcyybyxyxamjimjijmmjimmjjiivyxNvyxNvyxNv),(),(),(形函數(shù)資源與地球科學(xué)學(xué)院資源與地球科學(xué)學(xué)院mmjjiiuyxNuyxN
55、uyxNu),(),(),(mmjjiivyxNvyxNvyxNv),(),(),( emjimjiNNNNNNvuf000000 eNf mjimjiNNNNNNN000000 mjiINININN 1001I矩陣或 形函數(shù)矩陣稱為二階單元矩陣。(2-50)資源與地球科學(xué)學(xué)院資源與地球科學(xué)學(xué)院0),(,),(,1),(yxNxxxxyxNxxxxyxNmijijijii形函數(shù)形函數(shù)N N有以下性質(zhì)有以下性質(zhì)n(1)(1)形函數(shù)在本身結(jié)點(diǎn)上的值為形函數(shù)在本身結(jié)點(diǎn)上的值為1 1,在其它結(jié)點(diǎn)上的值,在其它結(jié)點(diǎn)上的值為零。為零。n Ni(xi,yi)=1Ni(xi,yi)=1,Ni(xj,yj)=0
56、Ni(xj,yj)=0,Ni(xm,ym)=0Ni(xm,ym)=0n Nj(xi,yi)=0 Nj(xi,yi)=0,Nj(xj,yj)=1Nj(xj,yj)=1,Nj(xm,ym)=0Nj(xm,ym)=0n Nm(xi,yi)=0 Nm(xi,yi)=0,Nj(xj,yj)=0Nj(xj,yj)=0,Nm(xm,ym)=1 (2Nm(xm,ym)=1 (251)51)n(2)(2)在單元任一點(diǎn)上三個(gè)形函數(shù)之和等于在單元任一點(diǎn)上三個(gè)形函數(shù)之和等于1 1。n 即即Ni(x,y)+Nj(x,y)+Nm(x,y)=1 (2Ni(x,y)+Nj(x,y)+Nm(x,y)=1 (252)52)n(3
57、)(3)在三角形單元在三角形單元i i、j j、m m的邊界上一點(diǎn)的形函數(shù),與的邊界上一點(diǎn)的形函數(shù),與該點(diǎn)所在邊相對(duì)第三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)無關(guān),例如該點(diǎn)所在邊相對(duì)第三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)無關(guān),例如i i、j j邊邊上某點(diǎn)上某點(diǎn)(x,y)(x,y)有有n (2 253)53)資源與地球科學(xué)學(xué)院資源與地球科學(xué)學(xué)院形函數(shù)補(bǔ)充相關(guān)內(nèi)容)形函數(shù)補(bǔ)充相關(guān)內(nèi)容)u形函數(shù)法是目前實(shí)體插值領(lǐng)域最重要的一種算法,形函數(shù)法是目前實(shí)體插值領(lǐng)域最重要的一種算法,是有限元分析的重要基礎(chǔ)。是有限元分析的重要基礎(chǔ)。u形函數(shù)法就是如何根據(jù)線段、平面多邊形、空間多形函數(shù)法就是如何根據(jù)線段、平面多邊形、空間多面體等的節(jié)點(diǎn)上的已知值來建立求解線段
58、、平面多邊面體等的節(jié)點(diǎn)上的已知值來建立求解線段、平面多邊形、空間多面體等內(nèi)部任意一點(diǎn)的值的插值函數(shù)。平形、空間多面體等內(nèi)部任意一點(diǎn)的值的插值函數(shù)。平面多邊形中除了平面三角形之外,基本可以應(yīng)用等參面多邊形中除了平面三角形之外,基本可以應(yīng)用等參單元法來求取形函數(shù)表達(dá)式;對(duì)于不可以應(yīng)用等參單單元法來求取形函數(shù)表達(dá)式;對(duì)于不可以應(yīng)用等參單元求解形函數(shù)的平面多邊形或空間多面體,基本可以元求解形函數(shù)的平面多邊形或空間多面體,基本可以采用面積法或體積法來推導(dǎo)插值形函數(shù)。采用面積法或體積法來推導(dǎo)插值形函數(shù)。 資源與地球科學(xué)學(xué)院資源與地球科學(xué)學(xué)院 對(duì)于平面三角形和空間四面體等,基本采用面積或體積對(duì)于平面三角形和
59、空間四面體等,基本采用面積或體積法來求出形函數(shù)。法來求出形函數(shù)。 任取如下圖平面三角形,節(jié)點(diǎn)逆時(shí)針分別為任取如下圖平面三角形,節(jié)點(diǎn)逆時(shí)針分別為AXA,YA )、)、BXB,YB )、)、CXC,YC ),任意待求點(diǎn)為),任意待求點(diǎn)為PXP,YP ),),A、B、C點(diǎn)樣本值分別為點(diǎn)樣本值分別為UA、UB、UC,待求,待求P點(diǎn)的值為點(diǎn)的值為UP。 根據(jù)上圖根據(jù)上圖ABP、BCP、CAP的面積分別為的面積分別為T1、T2、T3,顯然有下式成立:顯然有下式成立: SABCT1T2T3 上式兩邊分別除以上式兩邊分別除以SABC,則上,則上式轉(zhuǎn)化為:式轉(zhuǎn)化為: 1STSTSTABC3ABC2ABC1資源與
60、地球科學(xué)學(xué)院資源與地球科學(xué)學(xué)院根據(jù)上式就可定義根據(jù)上式就可定義A點(diǎn)的相對(duì)面積變量點(diǎn)的相對(duì)面積變量SA如下:如下: ABCBCPABC2ASSSTS 顯然當(dāng)顯然當(dāng)P點(diǎn)與點(diǎn)與A點(diǎn)重合,此時(shí)點(diǎn)重合,此時(shí)SA1,當(dāng),當(dāng)P點(diǎn)點(diǎn)B、C點(diǎn)重合點(diǎn)重合時(shí),顯然時(shí),顯然SA0。同樣可以。同樣可以B、C點(diǎn)。因此三角形的形函數(shù)可以點(diǎn)。因此三角形的形函數(shù)可以表示為:表示為: , CCBBAAPSUSUSUUABCCAPABC3BSSSTSABCABPABC1CSSSTS資源與地球科學(xué)學(xué)院資源與地球科學(xué)學(xué)院CCBBAABC11121SyxyxyxACCBBPPBCP11121SyxyxyxCCPPAACAP11121Sy
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