科學(xué)計算與數(shù)學(xué)建模第七章學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1科學(xué)計算與數(shù)學(xué)科學(xué)計算與數(shù)學(xué)(shxu)建模第七章建模第七章第一頁，共88頁。常微分方程的舉例常微分方程的舉例7.17.1 初值問題數(shù)值解法的推導(dǎo)公式初值問題數(shù)值解法的推導(dǎo)公式7.27.2 求解初值問題的數(shù)值解法求解初值問題的數(shù)值解法7.37.3常微分方程邊值問題的數(shù)值解常微分方程邊值問題的數(shù)值解法法7.47.4第1頁/共87頁第二頁，共88頁。第2頁/共87頁第三頁，共88頁。7.1 7.1 常微分方程模型常微分方程模型(mxng)(mxng)的舉例的舉例第3頁/共87頁第四頁，共88頁。 00150uC01100uC024auCut0t 解解: : 為了解決上述問題為了解決上述問題

2、(wnt)(wnt)，需要了解有關(guān)熱力學(xué)的一些基本規(guī)律。，需要了解有關(guān)熱力學(xué)的一些基本規(guī)律。例如，熱量總是從溫度高的物體向溫度低的物體傳導(dǎo)的；在一定的溫度例如，熱量總是從溫度高的物體向溫度低的物體傳導(dǎo)的；在一定的溫度范圍內(nèi)，一個物體的溫度變化速度與這個物體的溫度和其所在的介質(zhì)溫范圍內(nèi)，一個物體的溫度變化速度與這個物體的溫度和其所在的介質(zhì)溫度的差值成正比。這是已為實驗證實了的牛頓（度的差值成正比。這是已為實驗證實了的牛頓（NewtonNewton）冷卻定律。設(shè)）冷卻定律。設(shè)物體在時刻的溫度為物體在時刻的溫度為 ，則溫度的速度以，則溫度的速度以 來示。來示。 ( )uu tdudt第4頁/共87頁

3、第五頁，共88頁。0auuauu()aduk u udt0k utu 注意到注意到 常數(shù)常數(shù), ,且且 , ,可將可將(7.1(7.1.1.1) )改寫成改寫成 （7.1.27.1.2）這樣這樣 和和 就被分離開了。兩邊積分，得到就被分離開了。兩邊積分，得到 （7.1.37.1.3） 這里的這里的c c是任意常數(shù)。上式可寫成是任意常數(shù)。上式可寫成 au0auu()()aad uukdtuu utln()auuktc kt cauue第5頁/共87頁第六頁，共88頁。1cce1ktauuc e0(0):uu1acuu()ktaauuuu eut1uu101()taauuuue0111lnln1.

4、660.0511010aauukuu10t 0.051()taauuuu e0270uC第6頁/共87頁第七頁，共88頁。t 024uC第7頁/共87頁第八頁，共88頁。第8頁/共87頁第九頁，共88頁。22dyxydx第9頁/共87頁第十頁，共88頁。( )yy x0()(,),(),yxfxyaxbyay( , )f x y( , )( ,),f x yf x yL yy,yy0yL( )y x , a bixaih(),iy x() /,0,1, 2,.,.hban in第10頁/共87頁第十一頁，共88頁。ixx()(,().iiiyxfxyx111211()()()()21()()(

5、)()21()()()()26iiiiiiiiiiiihyxy xy xyhhyxy xy xyhhyxy xy xyh第11頁/共87頁第十二頁，共88頁。( )iy x1iy212111311()()(,()()2()()(,()()2()()2(,()()3iiiiiiiiiiiiiiihy xy xhf xy xyhy xy xhf xy xyhy xy xhf xy xy第12頁/共87頁第十三頁，共88頁。iy1iy1()iy x111111(,)(,)2(,)iiiiiiiiiiiiyyhfxyyyhfxyyyhfxy11,iiiyyy1( ), ()iiy xy x1()iy

6、x第13頁/共87頁第十四頁，共88頁。00()( )yy xy aiy1iyiy1iy1iy1,iiyy第14頁/共87頁第十五頁，共88頁。1iy11,.,iiimyyy R y11(),(),.,iiiiyy xyy x11()iiy xy1ph0h第15頁/共87頁第十六頁，共88頁。初值問題：初值問題：取步長取步長h=0.02.h=0.02.iy121,.,iiyyyiy()iiy xy0.9(x)=-,00.1,12(0)1,yyxxy第16頁/共87頁第十七頁，共88頁。0.02,0,1,2,3,4,5.ixi i01,y10.9,12iiiihyyyx123450.9820,0

7、.9650,0.9489,0.9337,0.9192.yyyyy1110.9,12iiiihyyyx第17頁/共87頁第十八頁，共88頁。1iy11,0 .9112iiiyyhx123450.9830,0.9669,0.9516,0.9370,0.9232.yyyyy111.8,12iiiihyyyx第18頁/共87頁第十九頁，共88頁。10.9830,y 23450.9660,0.9508,0.9354,0.9218.yyyy0.45(12 ),yx123450.9825055161,0.9659603719,0.9502806582,0.9353925462,0.9212307783.yy

8、yyy第19頁/共87頁第二十頁，共88頁。1 ,iix x11()()( , ( ),iixiixy xy xf x y x dx132112( , ( ) ( , ( )(, ()( , ( ).212iixiiiiiixhh df x y x dxf x y xf xy xfydx第20頁/共87頁第二十一頁，共88頁。111f(x ,y )+f(x,y),2iiiiiihyy( ).iiyy x323112 ()(, ()().1212iiiiihdhR yy xyfyydx ( , ( )( ).f x y xy x第21頁/共87頁第二十二頁，共88頁。( )1,00.5,(0)1

9、,y xxyxy0.1h ,0,1,2,3,4,5.ixih i1110.05(2),iiiiiiyyxyxy11(0.10.950.105).1.05iiiyxy01,y 123451.004762,1.018594,1.040633,1.070096,1.106278.yyyyy0.1h 第22頁/共87頁第二十三頁，共88頁。L Lh h1iy1iy1iy(1)()111(,)(,),2kkiiiiiihyyfxyfxy111()(,)(,)2iiiiiihyyfxyfxy111()(,),22iyiihhyfxyLh1()1iy第23頁/共87頁第二十四頁，共88頁。1iy( 0 )1

10、.iy1iy1iy1iy1iy第24頁/共87頁第二十五頁，共88頁。121112(,)(,)1()2iiiiiiKhfxyKhfxh yKyyKK11(,)(,(,)2iiiiiiiihyyf xyf xyhf xy第25頁/共87頁第二十六頁，共88頁。2( ),00.8,(0)1,xy xyxyy111112()22()()2iiiiiiiiiiiiixyyh yyxxhyyyyyy第26頁/共87頁第二十七頁，共88頁。01,y 123456781.0959,1.1841,1.2662,1.3434,1.4164,1.4860,1.5525,16153.yyyyyyyy( )12 ,y

11、 xx123456781.0954,1.1832,1.2649,1.3416,1.4142,1.4832,1.5492,16165.yyyyyyyy第27頁/共87頁第二十八頁，共88頁。讀者自己可以試一試。11,iixx1111()()( , ( ),iixiixy xy xf x y x dx第28頁/共87頁第二十九頁，共88頁。1()iy x21()(1)(1)1()()()()().2!11()(),!(1)!iiiiippppiiy xy xhy xhyxh yxh yxhyppiix1ix( )( ),1,2,., ,kiyxkp( )y xix第29頁/共87頁第三十頁，共88

12、頁。2()()(,() )()(,() )(,() )()()(,() )2(,() )()(,() ) () )(,() )().().iiiixiiyiiiix xiix yiiiy yiiiyiiipiyxfxyxyxfxyxfxyxyxyxfxyxfxyxyxfxyxyxfxyxyxyx（7.2.147.2.14）2()12()11.2!(,)(,)(,)()(,)2(,)(,)()(,).ppiiiiiiiiixiiyiiiixxiixyiiiyyiiiyiiipiyyhyh yh ypyfxyyfxyfxyyyxfxyfxyyfxyyfxyyy（7.27.2.15.15）第30頁/

13、共87頁第三十一頁，共88頁。.以計算在區(qū)間上的若干函數(shù)值。它的一般形式是：其中和都是待定參數(shù)。1(1)1 ().(1)!ppiR yhyp( , )f x y( , )f x y1 ,iix x11122122211333113221122,11.( ,)(,)(,).(,.).iimmiiiiiimimimmm mmyyKKKKhf x yKhf xa h yKKhf xa h yKKKhf xa h yKKK,(1,2,.,),rrmrm(2,3,.,1,2,.,1)rsrm sm第31頁/共87頁第三十二頁，共88頁。11122121( ,)(,)iiiiiiyyKKKhf x yKh

14、f xh yK112212 ()()()( , ( )(, ( )( , ( )iiiiiiiiiiR yy xhyKKy xhyhf x y xhf xh y xhf x y x第32頁/共87頁第三十三頁，共88頁。232()( )( , ( )( ( , ( )( , ( ) ( , ( )2( , ( ) 2( , ( ) ( , ( )( , ( )( , ( )6( , ( )( ( , ( )( , ( ) ( , ( ),iiiixiiyiiiixxiixyiiiiyyiiiiyiixiiyiiiiy xhy xhf x y xhf x y xf x y xf x y xhfx

15、 y xfx y xf x y xfx y xfx y xf x y xf x y xf x y xf x y x22222(, ( )( , ( )( , ( )( , ( )( , ( ) ( , ( )1( , ( )2( , ( )( , ( )( , ( )2!.iiiiiixiiyiiiixxiiiixyiiyyiif xh y xhf x y xf x y xhfx y xhfx y xf x y xh fx y xh f x y xfx y xh fx y x第33頁/共87頁第三十四頁，共88頁。Ry21222322222211 (1) ( , ( )()( , ( )()(

16、 , ( ) ( , ( )22111()( , ( )()( , ( ) ( , ( )62311()( , ( )( , ( )621( , ( )(6iixiiyiiiixxiixyiiiiyyiiiiyiixR yhf x y xhfx y xfx y xf x y xhfx y xfx y xf x y xfx y xfx y xfx y xf ( , ( )( , ( ) ( , ( ).iiyiiiix y xfx y xf x y x第34頁/共87頁第三十五頁，共88頁。Ry2h12, 和12211110,0,0.22Ry( , )f x y第35頁/共87頁第三十六頁，共8

17、8頁。21,21 ,iix x第36頁/共87頁第三十七頁，共88頁。1123411223431(22)6( ,)(,)22(,)22(,)iiiiiiiiiiyyKKKKKhf x yKhKhf xyKhKhf xyKhf xh yK（1 1）11341121234231(4)6( ,)(,)22(,)244(,2)iiiiiiiiiiyyKKKKhf x yKhKhf xyKKhKhf xyKhf xh yKK（2 2）第37頁/共87頁第三十八頁，共88頁。114561121234235124612345452712524856336(,)(,)22(,)244(,2)27101(,)3

18、27272711(,(2812554654378)5625iiiiiiiiiiiiiiyyKKKKKhf xyKhKhf xyKKhKhf xyKhf xh yKKKhf xh yKKKKhf xh yKKKKK（3 3）第38頁/共87頁第三十九頁，共88頁。第39頁/共87頁第四十頁，共88頁。( )1,00.5,(0)0,y xyxy 第40頁/共87頁第四十一頁，共88頁。 歐拉法h=0.025改進(jìn)的歐拉法 h=0.05標(biāo)準(zhǔn)R-K方法 h=0.1標(biāo)準(zhǔn)值 0.1 0.0963120.0951230.095162500.09516258 0.20.1833480.1811930.18126

19、9100.181269250.30.2620010.2590850.259181580.25918178 0.40.3330790.3295630.329679710.32967995 0.50.3973120.3933370.393469060.39346934 從計算結(jié)果可以看出從計算結(jié)果可以看出, ,標(biāo)準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)(biozhn)(biozhn)龍格龍格- -庫塔方法庫塔方法比另外兩種方法的精度好很多比另外兩種方法的精度好很多. .在在x=0.5x=0.5處處, ,三種方法的誤差三種方法的誤差分別是分別是 3473.8 10 ,1.3 10 ,2.8 10 . ( )iy x ix第41頁/共

20、87頁第四十二頁，共88頁。1iix x 11,iixiixy xy xf x y xdxjy(,1,2,)jy xji iiirL,(,1,2,)jjf xyji iiirL,iiixf x y111,iiixf xy,i ri ri rxf xy ,f x y x 0,rrj rj rjjP xf xylx第42頁/共87頁第四十三頁，共88頁。其中其中 是拉格朗日插值基函數(shù)是拉格朗日插值基函數(shù)(hnsh)(hnsh)。利用插值多項式。利用插值多項式 ，就可以近似計算（就可以近似計算（7.3.17.3.1）式右端的定積分）式右端的定積分, ,從而可得從而可得（7.3.27.3.2）記記則（

21、則（7.3.27.3.2）式可以簡單地寫成：）式可以簡單地寫成：（7.3.37.3.3）式就是求解初值問題的阿達(dá)姆斯顯式計算公式，它屬于多步法。又因）式就是求解初值問題的阿達(dá)姆斯顯式計算公式，它屬于多步法。又因為為 是關(guān)于是關(guān)于 的線性表達(dá)式，所以說它是線性多步法。的線性表達(dá)式，所以說它是線性多步法。 在上述阿達(dá)姆斯顯式公式的推導(dǎo)中，選用了在上述阿達(dá)姆斯顯式公式的推導(dǎo)中，選用了 ，作為插值節(jié)點，作為插值節(jié)點，但構(gòu)造出來的插值多項式但構(gòu)造出來的插值多項式 是代替區(qū)間是代替區(qū)間 上的未知函數(shù)上的未知函數(shù)(hnsh)(hnsh)，因此，因此屬于屬于“外插外插”。 (0,1, )jlxjrL 110,

22、iirxiij rj rjxjy xyf xylx dx,ijijijff xy 11,iixrjjxlx dxh10riirjijjy xyhf1iy(,1,2,)jyji iiirL rP x rP x1iix x1,iii rx xxL第43頁/共87頁第四十四頁，共88頁。1,ix,ix1i rx 110riirjijjyxyhf1iy1,2,3,4r 第44頁/共87頁第四十五頁，共88頁。12j212j324j4720jj012343-123-16555-5937-91901-27742616-1274251第45頁/共87頁第四十六頁，共88頁。12j212j324j4720jj

23、012341158-1919-51251646-264106-19第46頁/共87頁第四十七頁，共88頁。隱式公式顯式公式321r3512ih yx4(4)38ih yx 5(5)251720ih yx 3(3)112ih yx 4 (4)124ih yx 5(5)19720ih yx第47頁/共87頁第四十八頁，共88頁。101().rrijijjijjjyyhf1010(,1,2,)jyji iiirL(1, , )i kfkiir L1r 第48頁/共87頁第四十九頁，共88頁。 101()(,()rrikikkikikkkR yy xy xhf xy x 101()() .rrikik

24、kikkkRyy xyxhyx 1( )(1)20()(),!1 !jppjppi kiijkhkhy xyxyxO hjp 1( )(1)11( )(),(1)!jppjppi kiijkhkhy xyxyxO hjp第49頁/共87頁第五十頁，共88頁。 1( )0111(1)1( )!jprrrjjikikkikjkkhR yy xkjkyxj11(1)2111(1)()(),1 !prrppppkkikkhkpkyxO hp R y2(), ,piy xh hh,kk第50頁/共87頁第五十一頁，共88頁。(rngrn).01111010,1,2, .rkkrrjjkkkkkjkjp

25、11(1)2111(1)( )(),1 !prrppppkkikkhR ykpkyxO hp1k 第51頁/共87頁第五十二頁，共88頁。1230,0012355593791,.24242424 556251.720iR yh yxO h 3,4rp103r 第52頁/共87頁第五十三頁，共88頁。31230,01112(9195).24iiiiiihyyffff 55619.720iR yh yxO h 11200,0,301238481,0.333 55614.45iR yh yxO h第53頁/共87頁第五十四頁，共88頁。23130,0,121113(9)(2).88iiiiiiyyy

26、h fff 5561.40iRyh yxOh 30230,0,11111(4).3iiiiiyyhfff 5561.90iRyh yxOh 第54頁/共87頁第五十五頁，共88頁。112311112(5559379)24(9 (,) 195)24piiiiiipiiiiiiihyyffffhyyf xyfff第55頁/共87頁第五十六頁，共88頁。1iy1piy1312121114(22)3139( (,) 2)88piiiiipiiiiiiihyyfffhyyyf xyff第56頁/共87頁第五十七頁，共88頁。5(5)1115(5)11214()()451()()40piiiihy xyy

27、y xyh y(5)(5)12()()yy5(5)111121()360piihyyy5(5)5(5)1211360()()121piih yh yyy第57頁/共87頁第五十八頁，共88頁。11111111112()()1219()()121ppiiiipiiiiy xyyyy xyyy1piy1iy第58頁/共87頁第五十九頁，共88頁。4(22)13123112()1112113(9)(,) 2)12111889()1111121hpyfffiiiiimpcpiiiihpcyyfxyffiiiiiiiyccpiiii1im1ip1ic1iy1ic1()iy x3i 0y123,y yy3

28、i 33cp,iiiiyfp c3i 第59頁/共87頁第六十頁，共88頁。0.9(),00.1,1201.yyxxxy 0.02h 0,0.9 /(1 2 ),1,0.02,f x yyx yh 第60頁/共87頁第六十一頁，共88頁。1123412132431(22)6(,)1(,)221(,)221(,)22iiiiiiiiiiyykkkkKhfxyhKhfxyKhKhfxyKhKhfxyK00012,0.9,0.018,0.017488235.ffxyKK 0i 3410.017492751,0.017004933,0.9825055158.KKy 第61頁/共87頁第六十二頁，共88

29、頁。11112,0.8502451579,0.017004903,0.016539675.ff x yKK3410.016543625,0.016099365,0.9659603713.KKy 22212341,0.8049669761,0.01609934,0.016539675.0.015678375,0.015272389,0.9502806574.ff xyKKKKy 第62頁/共87頁第六十三頁，共88頁。1312111211111114(22)3112()12113(9)( (,)2)889()121iiiiiiiiipiiiiiiiiiiihpyfffmpcphcyyf xyff

30、yccp第63頁/共87頁第六十四頁，共88頁。差約為差約為所以所以(suy) (suy) 的誤差的誤差限為限為 , ,即即準(zhǔn)確到了小數(shù)點后準(zhǔn)確到了小數(shù)點后7 7位數(shù)位數(shù). .333444,0.7636183854,0.9353930638,0.9353925067,0.9353925481.ffxypcy 4445555,0.7257355977,0.9212312021,0.92123120210.9212307515.0.9212307850.ff x ypmcy5y5c5c5c559()0.0000000335121cp5y70.00000003350.5105y第64頁/共87頁第六

31、十五頁，共88頁。 yyx , ,yf x y yy ay b ,xa b, ,f x y z, y z第65頁/共87頁第六十六頁，共88頁。 , ,yf x y yy ay am .y am zy x , ,yzzfx y zy az am 第66頁/共87頁第六十七頁，共88頁。 1200, , , ,TTTyy zf x yf x y z f x y zy xym 12, , , ,fx y zz fx y zf x y z 00,yfx yyxy ,iiyfiyif第67頁/共87頁第六十八頁，共88頁。1,iiiiyyhfxy11.,iiiiiiiizyyhzzfxyzm12,m

32、m 12,mmyxyx 12,mmybyb y b12,m第68頁/共87頁第六十九頁，共88頁。12,12,mm2131112.mmmm 3m 3myb y b33m2m第69頁/共87頁第七十頁，共88頁。 24216,28,335 / 3.yyyxyy 2,ym344228,2yzyzxzyzm 第70頁/共87頁第七十一頁，共88頁。11.5,0.2mmh 1311.488935/3my12.5,0.2mmh 2311.842135/3my12,m m 2212132335/32.0032241.33mmmmmmmyyy 3311.667835/3my23,m m第71頁/共87頁第七

33、十二頁，共88頁。 3323243335/31.999979.33mmmmmmmyyy 4311.66665935/3my43,m m 4434354335/32.000000.33mmmmmmmyyy 5311.66666666935/3,my第72頁/共87頁第七十三頁，共88頁。 i 0 1 2 3 4 5 2.0 2.22.42.62.83.0 88.4763636789.0333333529.83692307810.6971426511.66666666ixiy第73頁/共87頁第七十四頁，共88頁。 yxhyxh yxyxhh2y xhy xhh 22y xhy xy xhh yx

34、,1,2,iy i 1,n y x第74頁/共87頁第七十五頁，共88頁。選步長。計算各節(jié)點，（2）將邊值問題離散化為差分方程：（7.4.7） ,yxq x y xf xy ay b ,q xf x 0.q x ,a b/hbaN 11202,1,2,.,1.,.iiiiiNyyyq x yf xiNhyy0ixxih0,1,iN第75頁/共87頁第七十六頁，共88頁。值問題（7.4.8）的數(shù)值解，局部截斷誤差為其中 是介于 與之間的常數(shù)。2211021,2,.,1,.iiiiiNyq hyyh fiNyy ,.iiiiqq xff x01,.,Nyyy 421,12iiiiRxyxyh yi1ix1ix第76頁/共87頁第七十七頁，