科學(xué)計(jì)算與數(shù)學(xué)建模第七章學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1科學(xué)計(jì)算與數(shù)學(xué)科學(xué)計(jì)算與數(shù)學(xué)(shxu)建模第七章建模第七章第一頁(yè)，共88頁(yè)。常微分方程的舉例常微分方程的舉例7.17.1 初值問(wèn)題數(shù)值解法的推導(dǎo)公式初值問(wèn)題數(shù)值解法的推導(dǎo)公式7.27.2 求解初值問(wèn)題的數(shù)值解法求解初值問(wèn)題的數(shù)值解法7.37.3常微分方程邊值問(wèn)題的數(shù)值解常微分方程邊值問(wèn)題的數(shù)值解法法7.47.4第1頁(yè)/共87頁(yè)第二頁(yè)，共88頁(yè)。第2頁(yè)/共87頁(yè)第三頁(yè)，共88頁(yè)。7.1 7.1 常微分方程模型常微分方程模型(mxng)(mxng)的舉例的舉例第3頁(yè)/共87頁(yè)第四頁(yè)，共88頁(yè)。 00150uC01100uC024auCut0t 解解: : 為了解決上述問(wèn)題為了解決上述問(wèn)題

2、(wnt)(wnt)，需要了解有關(guān)熱力學(xué)的一些基本規(guī)律。，需要了解有關(guān)熱力學(xué)的一些基本規(guī)律。例如，熱量總是從溫度高的物體向溫度低的物體傳導(dǎo)的；在一定的溫度例如，熱量總是從溫度高的物體向溫度低的物體傳導(dǎo)的；在一定的溫度范圍內(nèi)，一個(gè)物體的溫度變化速度與這個(gè)物體的溫度和其所在的介質(zhì)溫范圍內(nèi)，一個(gè)物體的溫度變化速度與這個(gè)物體的溫度和其所在的介質(zhì)溫度的差值成正比。這是已為實(shí)驗(yàn)證實(shí)了的牛頓（度的差值成正比。這是已為實(shí)驗(yàn)證實(shí)了的牛頓（NewtonNewton）冷卻定律。設(shè)）冷卻定律。設(shè)物體在時(shí)刻的溫度為物體在時(shí)刻的溫度為 ，則溫度的速度以，則溫度的速度以 來(lái)示。來(lái)示。 ( )uu tdudt第4頁(yè)/共87頁(yè)

3、第五頁(yè)，共88頁(yè)。0auuauu()aduk u udt0k utu 注意到注意到 常數(shù)常數(shù), ,且且 , ,可將可將(7.1(7.1.1.1) )改寫成改寫成 （7.1.27.1.2）這樣這樣 和和 就被分離開了。兩邊積分，得到就被分離開了。兩邊積分，得到 （7.1.37.1.3） 這里的這里的c c是任意常數(shù)。上式可寫成是任意常數(shù)。上式可寫成 au0auu()()aad uukdtuu utln()auuktc kt cauue第5頁(yè)/共87頁(yè)第六頁(yè)，共88頁(yè)。1cce1ktauuc e0(0):uu1acuu()ktaauuuu eut1uu101()taauuuue0111lnln1.

4、660.0511010aauukuu10t 0.051()taauuuu e0270uC第6頁(yè)/共87頁(yè)第七頁(yè)，共88頁(yè)。t 024uC第7頁(yè)/共87頁(yè)第八頁(yè)，共88頁(yè)。第8頁(yè)/共87頁(yè)第九頁(yè)，共88頁(yè)。22dyxydx第9頁(yè)/共87頁(yè)第十頁(yè)，共88頁(yè)。( )yy x0()(,),(),yxfxyaxbyay( , )f x y( , )( ,),f x yf x yL yy,yy0yL( )y x , a bixaih(),iy x() /,0,1, 2,.,.hban in第10頁(yè)/共87頁(yè)第十一頁(yè)，共88頁(yè)。ixx()(,().iiiyxfxyx111211()()()()21()()(

5、)()21()()()()26iiiiiiiiiiiihyxy xy xyhhyxy xy xyhhyxy xy xyh第11頁(yè)/共87頁(yè)第十二頁(yè)，共88頁(yè)。( )iy x1iy212111311()()(,()()2()()(,()()2()()2(,()()3iiiiiiiiiiiiiiihy xy xhf xy xyhy xy xhf xy xyhy xy xhf xy xy第12頁(yè)/共87頁(yè)第十三頁(yè)，共88頁(yè)。iy1iy1()iy x111111(,)(,)2(,)iiiiiiiiiiiiyyhfxyyyhfxyyyhfxy11,iiiyyy1( ), ()iiy xy x1()iy

6、x第13頁(yè)/共87頁(yè)第十四頁(yè)，共88頁(yè)。00()( )yy xy aiy1iyiy1iy1iy1,iiyy第14頁(yè)/共87頁(yè)第十五頁(yè)，共88頁(yè)。1iy11,.,iiimyyy R y11(),(),.,iiiiyy xyy x11()iiy xy1ph0h第15頁(yè)/共87頁(yè)第十六頁(yè)，共88頁(yè)。初值問(wèn)題：初值問(wèn)題：取步長(zhǎng)取步長(zhǎng)h=0.02.h=0.02.iy121,.,iiyyyiy()iiy xy0.9(x)=-,00.1,12(0)1,yyxxy第16頁(yè)/共87頁(yè)第十七頁(yè)，共88頁(yè)。0.02,0,1,2,3,4,5.ixi i01,y10.9,12iiiihyyyx123450.9820,0

7、.9650,0.9489,0.9337,0.9192.yyyyy1110.9,12iiiihyyyx第17頁(yè)/共87頁(yè)第十八頁(yè)，共88頁(yè)。1iy11,0 .9112iiiyyhx123450.9830,0.9669,0.9516,0.9370,0.9232.yyyyy111.8,12iiiihyyyx第18頁(yè)/共87頁(yè)第十九頁(yè)，共88頁(yè)。10.9830,y 23450.9660,0.9508,0.9354,0.9218.yyyy0.45(12 ),yx123450.9825055161,0.9659603719,0.9502806582,0.9353925462,0.9212307783.yy

8、yyy第19頁(yè)/共87頁(yè)第二十頁(yè)，共88頁(yè)。1 ,iix x11()()( , ( ),iixiixy xy xf x y x dx132112( , ( ) ( , ( )(, ()( , ( ).212iixiiiiiixhh df x y x dxf x y xf xy xfydx第20頁(yè)/共87頁(yè)第二十一頁(yè)，共88頁(yè)。111f(x ,y )+f(x,y),2iiiiiihyy( ).iiyy x323112 ()(, ()().1212iiiiihdhR yy xyfyydx ( , ( )( ).f x y xy x第21頁(yè)/共87頁(yè)第二十二頁(yè)，共88頁(yè)。( )1,00.5,(0)1

9、,y xxyxy0.1h ,0,1,2,3,4,5.ixih i1110.05(2),iiiiiiyyxyxy11(0.10.950.105).1.05iiiyxy01,y 123451.004762,1.018594,1.040633,1.070096,1.106278.yyyyy0.1h 第22頁(yè)/共87頁(yè)第二十三頁(yè)，共88頁(yè)。L Lh h1iy1iy1iy(1)()111(,)(,),2kkiiiiiihyyfxyfxy111()(,)(,)2iiiiiihyyfxyfxy111()(,),22iyiihhyfxyLh1()1iy第23頁(yè)/共87頁(yè)第二十四頁(yè)，共88頁(yè)。1iy( 0 )1

10、.iy1iy1iy1iy1iy第24頁(yè)/共87頁(yè)第二十五頁(yè)，共88頁(yè)。121112(,)(,)1()2iiiiiiKhfxyKhfxh yKyyKK11(,)(,(,)2iiiiiiiihyyf xyf xyhf xy第25頁(yè)/共87頁(yè)第二十六頁(yè)，共88頁(yè)。2( ),00.8,(0)1,xy xyxyy111112()22()()2iiiiiiiiiiiiixyyh yyxxhyyyyyy第26頁(yè)/共87頁(yè)第二十七頁(yè)，共88頁(yè)。01,y 123456781.0959,1.1841,1.2662,1.3434,1.4164,1.4860,1.5525,16153.yyyyyyyy( )12 ,y

11、 xx123456781.0954,1.1832,1.2649,1.3416,1.4142,1.4832,1.5492,16165.yyyyyyyy第27頁(yè)/共87頁(yè)第二十八頁(yè)，共88頁(yè)。讀者自己可以試一試。11,iixx1111()()( , ( ),iixiixy xy xf x y x dx第28頁(yè)/共87頁(yè)第二十九頁(yè)，共88頁(yè)。1()iy x21()(1)(1)1()()()()().2!11()(),!(1)!iiiiippppiiy xy xhy xhyxh yxh yxhyppiix1ix( )( ),1,2,., ,kiyxkp( )y xix第29頁(yè)/共87頁(yè)第三十頁(yè)，共88

12、頁(yè)。2()()(,() )()(,() )(,() )()()(,() )2(,() )()(,() ) () )(,() )().().iiiixiiyiiiix xiix yiiiy yiiiyiiipiyxfxyxyxfxyxfxyxyxyxfxyxfxyxyxfxyxyxfxyxyxyx（7.2.147.2.14）2()12()11.2!(,)(,)(,)()(,)2(,)(,)()(,).ppiiiiiiiiixiiyiiiixxiixyiiiyyiiiyiiipiyyhyh yh ypyfxyyfxyfxyyyxfxyfxyyfxyyfxyyy（7.27.2.15.15）第30頁(yè)/

13、共87頁(yè)第三十一頁(yè)，共88頁(yè)。.以計(jì)算在區(qū)間上的若干函數(shù)值。它的一般形式是：其中和都是待定參數(shù)。1(1)1 ().(1)!ppiR yhyp( , )f x y( , )f x y1 ,iix x11122122211333113221122,11.( ,)(,)(,).(,.).iimmiiiiiimimimmm mmyyKKKKhf x yKhf xa h yKKhf xa h yKKKhf xa h yKKK,(1,2,.,),rrmrm(2,3,.,1,2,.,1)rsrm sm第31頁(yè)/共87頁(yè)第三十二頁(yè)，共88頁(yè)。11122121( ,)(,)iiiiiiyyKKKhf x yKh

14、f xh yK112212 ()()()( , ( )(, ( )( , ( )iiiiiiiiiiR yy xhyKKy xhyhf x y xhf xh y xhf x y x第32頁(yè)/共87頁(yè)第三十三頁(yè)，共88頁(yè)。232()( )( , ( )( ( , ( )( , ( ) ( , ( )2( , ( ) 2( , ( ) ( , ( )( , ( )( , ( )6( , ( )( ( , ( )( , ( ) ( , ( ),iiiixiiyiiiixxiixyiiiiyyiiiiyiixiiyiiiiy xhy xhf x y xhf x y xf x y xf x y xhfx

15、 y xfx y xf x y xfx y xfx y xf x y xf x y xf x y xf x y x22222(, ( )( , ( )( , ( )( , ( )( , ( ) ( , ( )1( , ( )2( , ( )( , ( )( , ( )2!.iiiiiixiiyiiiixxiiiixyiiyyiif xh y xhf x y xf x y xhfx y xhfx y xf x y xh fx y xh f x y xfx y xh fx y x第33頁(yè)/共87頁(yè)第三十四頁(yè)，共88頁(yè)。Ry21222322222211 (1) ( , ( )()( , ( )()(

16、 , ( ) ( , ( )22111()( , ( )()( , ( ) ( , ( )62311()( , ( )( , ( )621( , ( )(6iixiiyiiiixxiixyiiiiyyiiiiyiixR yhf x y xhfx y xfx y xf x y xhfx y xfx y xf x y xfx y xfx y xfx y xf ( , ( )( , ( ) ( , ( ).iiyiiiix y xfx y xf x y x第34頁(yè)/共87頁(yè)第三十五頁(yè)，共88頁(yè)。Ry2h12, 和12211110,0,0.22Ry( , )f x y第35頁(yè)/共87頁(yè)第三十六頁(yè)，共8

17、8頁(yè)。21,21 ,iix x第36頁(yè)/共87頁(yè)第三十七頁(yè)，共88頁(yè)。1123411223431(22)6( ,)(,)22(,)22(,)iiiiiiiiiiyyKKKKKhf x yKhKhf xyKhKhf xyKhf xh yK（1 1）11341121234231(4)6( ,)(,)22(,)244(,2)iiiiiiiiiiyyKKKKhf x yKhKhf xyKKhKhf xyKhf xh yKK（2 2）第37頁(yè)/共87頁(yè)第三十八頁(yè)，共88頁(yè)。114561121234235124612345452712524856336(,)(,)22(,)244(,2)27101(,)3

18、27272711(,(2812554654378)5625iiiiiiiiiiiiiiyyKKKKKhf xyKhKhf xyKKhKhf xyKhf xh yKKKhf xh yKKKKhf xh yKKKKK（3 3）第38頁(yè)/共87頁(yè)第三十九頁(yè)，共88頁(yè)。第39頁(yè)/共87頁(yè)第四十頁(yè)，共88頁(yè)。( )1,00.5,(0)0,y xyxy 第40頁(yè)/共87頁(yè)第四十一頁(yè)，共88頁(yè)。 歐拉法h=0.025改進(jìn)的歐拉法 h=0.05標(biāo)準(zhǔn)R-K方法 h=0.1標(biāo)準(zhǔn)值 0.1 0.0963120.0951230.095162500.09516258 0.20.1833480.1811930.18126

19、9100.181269250.30.2620010.2590850.259181580.25918178 0.40.3330790.3295630.329679710.32967995 0.50.3973120.3933370.393469060.39346934 從計(jì)算結(jié)果可以看出從計(jì)算結(jié)果可以看出, ,標(biāo)準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)(biozhn)(biozhn)龍格龍格- -庫(kù)塔方法庫(kù)塔方法比另外兩種方法的精度好很多比另外兩種方法的精度好很多. .在在x=0.5x=0.5處處, ,三種方法的誤差三種方法的誤差分別是分別是 3473.8 10 ,1.3 10 ,2.8 10 . ( )iy x ix第41頁(yè)/共

20、87頁(yè)第四十二頁(yè)，共88頁(yè)。1iix x 11,iixiixy xy xf x y xdxjy(,1,2,)jy xji iiirL,(,1,2,)jjf xyji iiirL,iiixf x y111,iiixf xy,i ri ri rxf xy ,f x y x 0,rrj rj rjjP xf xylx第42頁(yè)/共87頁(yè)第四十三頁(yè)，共88頁(yè)。其中其中 是拉格朗日插值基函數(shù)是拉格朗日插值基函數(shù)(hnsh)(hnsh)。利用插值多項(xiàng)式。利用插值多項(xiàng)式 ，就可以近似計(jì)算（就可以近似計(jì)算（7.3.17.3.1）式右端的定積分）式右端的定積分, ,從而可得從而可得（7.3.27.3.2）記記則（

21、則（7.3.27.3.2）式可以簡(jiǎn)單地寫成：）式可以簡(jiǎn)單地寫成：（7.3.37.3.3）式就是求解初值問(wèn)題的阿達(dá)姆斯顯式計(jì)算公式，它屬于多步法。又因）式就是求解初值問(wèn)題的阿達(dá)姆斯顯式計(jì)算公式，它屬于多步法。又因?yàn)闉?是關(guān)于是關(guān)于 的線性表達(dá)式，所以說(shuō)它是線性多步法。的線性表達(dá)式，所以說(shuō)它是線性多步法。 在上述阿達(dá)姆斯顯式公式的推導(dǎo)中，選用了在上述阿達(dá)姆斯顯式公式的推導(dǎo)中，選用了 ，作為插值節(jié)點(diǎn)，作為插值節(jié)點(diǎn)，但構(gòu)造出來(lái)的插值多項(xiàng)式但構(gòu)造出來(lái)的插值多項(xiàng)式 是代替區(qū)間是代替區(qū)間 上的未知函數(shù)上的未知函數(shù)(hnsh)(hnsh)，因此，因此屬于屬于“外插外插”。 (0,1, )jlxjrL 110,

22、iirxiij rj rjxjy xyf xylx dx,ijijijff xy 11,iixrjjxlx dxh10riirjijjy xyhf1iy(,1,2,)jyji iiirL rP x rP x1iix x1,iii rx xxL第43頁(yè)/共87頁(yè)第四十四頁(yè)，共88頁(yè)。1,ix,ix1i rx 110riirjijjyxyhf1iy1,2,3,4r 第44頁(yè)/共87頁(yè)第四十五頁(yè)，共88頁(yè)。12j212j324j4720jj012343-123-16555-5937-91901-27742616-1274251第45頁(yè)/共87頁(yè)第四十六頁(yè)，共88頁(yè)。12j212j324j4720jj

23、012341158-1919-51251646-264106-19第46頁(yè)/共87頁(yè)第四十七頁(yè)，共88頁(yè)。隱式公式顯式公式321r3512ih yx4(4)38ih yx 5(5)251720ih yx 3(3)112ih yx 4 (4)124ih yx 5(5)19720ih yx第47頁(yè)/共87頁(yè)第四十八頁(yè)，共88頁(yè)。101().rrijijjijjjyyhf1010(,1,2,)jyji iiirL(1, , )i kfkiir L1r 第48頁(yè)/共87頁(yè)第四十九頁(yè)，共88頁(yè)。 101()(,()rrikikkikikkkR yy xy xhf xy x 101()() .rrikik

24、kikkkRyy xyxhyx 1( )(1)20()(),!1 !jppjppi kiijkhkhy xyxyxO hjp 1( )(1)11( )(),(1)!jppjppi kiijkhkhy xyxyxO hjp第49頁(yè)/共87頁(yè)第五十頁(yè)，共88頁(yè)。 1( )0111(1)1( )!jprrrjjikikkikjkkhR yy xkjkyxj11(1)2111(1)()(),1 !prrppppkkikkhkpkyxO hp R y2(), ,piy xh hh,kk第50頁(yè)/共87頁(yè)第五十一頁(yè)，共88頁(yè)。(rngrn).01111010,1,2, .rkkrrjjkkkkkjkjp

25、11(1)2111(1)( )(),1 !prrppppkkikkhR ykpkyxO hp1k 第51頁(yè)/共87頁(yè)第五十二頁(yè)，共88頁(yè)。1230,0012355593791,.24242424 556251.720iR yh yxO h 3,4rp103r 第52頁(yè)/共87頁(yè)第五十三頁(yè)，共88頁(yè)。31230,01112(9195).24iiiiiihyyffff 55619.720iR yh yxO h 11200,0,301238481,0.333 55614.45iR yh yxO h第53頁(yè)/共87頁(yè)第五十四頁(yè)，共88頁(yè)。23130,0,121113(9)(2).88iiiiiiyyy

26、h fff 5561.40iRyh yxOh 30230,0,11111(4).3iiiiiyyhfff 5561.90iRyh yxOh 第54頁(yè)/共87頁(yè)第五十五頁(yè)，共88頁(yè)。112311112(5559379)24(9 (,) 195)24piiiiiipiiiiiiihyyffffhyyf xyfff第55頁(yè)/共87頁(yè)第五十六頁(yè)，共88頁(yè)。1iy1piy1312121114(22)3139( (,) 2)88piiiiipiiiiiiihyyfffhyyyf xyff第56頁(yè)/共87頁(yè)第五十七頁(yè)，共88頁(yè)。5(5)1115(5)11214()()451()()40piiiihy xyy

27、y xyh y(5)(5)12()()yy5(5)111121()360piihyyy5(5)5(5)1211360()()121piih yh yyy第57頁(yè)/共87頁(yè)第五十八頁(yè)，共88頁(yè)。11111111112()()1219()()121ppiiiipiiiiy xyyyy xyyy1piy1iy第58頁(yè)/共87頁(yè)第五十九頁(yè)，共88頁(yè)。4(22)13123112()1112113(9)(,) 2)12111889()1111121hpyfffiiiiimpcpiiiihpcyyfxyffiiiiiiiyccpiiii1im1ip1ic1iy1ic1()iy x3i 0y123,y yy3

28、i 33cp,iiiiyfp c3i 第59頁(yè)/共87頁(yè)第六十頁(yè)，共88頁(yè)。0.9(),00.1,1201.yyxxxy 0.02h 0,0.9 /(1 2 ),1,0.02,f x yyx yh 第60頁(yè)/共87頁(yè)第六十一頁(yè)，共88頁(yè)。1123412132431(22)6(,)1(,)221(,)221(,)22iiiiiiiiiiyykkkkKhfxyhKhfxyKhKhfxyKhKhfxyK00012,0.9,0.018,0.017488235.ffxyKK 0i 3410.017492751,0.017004933,0.9825055158.KKy 第61頁(yè)/共87頁(yè)第六十二頁(yè)，共88

29、頁(yè)。11112,0.8502451579,0.017004903,0.016539675.ff x yKK3410.016543625,0.016099365,0.9659603713.KKy 22212341,0.8049669761,0.01609934,0.016539675.0.015678375,0.015272389,0.9502806574.ff xyKKKKy 第62頁(yè)/共87頁(yè)第六十三頁(yè)，共88頁(yè)。1312111211111114(22)3112()12113(9)( (,)2)889()121iiiiiiiiipiiiiiiiiiiihpyfffmpcphcyyf xyff

30、yccp第63頁(yè)/共87頁(yè)第六十四頁(yè)，共88頁(yè)。差約為差約為所以所以(suy) (suy) 的誤差的誤差限為限為 , ,即即準(zhǔn)確到了小數(shù)點(diǎn)后準(zhǔn)確到了小數(shù)點(diǎn)后7 7位數(shù)位數(shù). .333444,0.7636183854,0.9353930638,0.9353925067,0.9353925481.ffxypcy 4445555,0.7257355977,0.9212312021,0.92123120210.9212307515.0.9212307850.ff x ypmcy5y5c5c5c559()0.0000000335121cp5y70.00000003350.5105y第64頁(yè)/共87頁(yè)第六

31、十五頁(yè)，共88頁(yè)。 yyx , ,yf x y yy ay b ,xa b, ,f x y z, y z第65頁(yè)/共87頁(yè)第六十六頁(yè)，共88頁(yè)。 , ,yf x y yy ay am .y am zy x , ,yzzfx y zy az am 第66頁(yè)/共87頁(yè)第六十七頁(yè)，共88頁(yè)。 1200, , , ,TTTyy zf x yf x y z f x y zy xym 12, , , ,fx y zz fx y zf x y z 00,yfx yyxy ,iiyfiyif第67頁(yè)/共87頁(yè)第六十八頁(yè)，共88頁(yè)。1,iiiiyyhfxy11.,iiiiiiiizyyhzzfxyzm12,m

32、m 12,mmyxyx 12,mmybyb y b12,m第68頁(yè)/共87頁(yè)第六十九頁(yè)，共88頁(yè)。12,12,mm2131112.mmmm 3m 3myb y b33m2m第69頁(yè)/共87頁(yè)第七十頁(yè)，共88頁(yè)。 24216,28,335 / 3.yyyxyy 2,ym344228,2yzyzxzyzm 第70頁(yè)/共87頁(yè)第七十一頁(yè)，共88頁(yè)。11.5,0.2mmh 1311.488935/3my12.5,0.2mmh 2311.842135/3my12,m m 2212132335/32.0032241.33mmmmmmmyyy 3311.667835/3my23,m m第71頁(yè)/共87頁(yè)第七

33、十二頁(yè)，共88頁(yè)。 3323243335/31.999979.33mmmmmmmyyy 4311.66665935/3my43,m m 4434354335/32.000000.33mmmmmmmyyy 5311.66666666935/3,my第72頁(yè)/共87頁(yè)第七十三頁(yè)，共88頁(yè)。 i 0 1 2 3 4 5 2.0 2.22.42.62.83.0 88.4763636789.0333333529.83692307810.6971426511.66666666ixiy第73頁(yè)/共87頁(yè)第七十四頁(yè)，共88頁(yè)。 yxhyxh yxyxhh2y xhy xhh 22y xhy xy xhh yx

34、,1,2,iy i 1,n y x第74頁(yè)/共87頁(yè)第七十五頁(yè)，共88頁(yè)。選步長(zhǎng)。計(jì)算各節(jié)點(diǎn)，（2）將邊值問(wèn)題離散化為差分方程：（7.4.7） ,yxq x y xf xy ay b ,q xf x 0.q x ,a b/hbaN 11202,1,2,.,1.,.iiiiiNyyyq x yf xiNhyy0ixxih0,1,iN第75頁(yè)/共87頁(yè)第七十六頁(yè)，共88頁(yè)。值問(wèn)題（7.4.8）的數(shù)值解，局部截?cái)嗾`差為其中 是介于 與之間的常數(shù)。2211021,2,.,1,.iiiiiNyq hyyh fiNyy ,.iiiiqq xff x01,.,Nyyy 421,12iiiiRxyxyh yi1ix1ix第76頁(yè)/共87頁(yè)第七十七頁(yè)，