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文檔簡介

1、拉格朗日方程的三種推導(dǎo)方法1 引言拉格朗日方程是分析力學(xué)中的重要方程，其地位相當(dāng)于牛頓第二定律之于牛頓力學(xué)。2 達(dá)朗貝爾原理推導(dǎo)達(dá)朗貝爾原理由法國物理學(xué)家與數(shù)學(xué)家讓達(dá)朗貝爾發(fā)現(xiàn)并以其命名。達(dá)朗貝爾原理表明：對于任意物理系統(tǒng)，所有慣性力或施加的外力，經(jīng)過符合約束條件的虛位移，所作的虛功的總合為零。即：W=iFi+Iiri=0(1)其中Ii為慣性力，Ii=-miai。Fi為粒子所受外力，ri為符合系統(tǒng)約束的虛位移。設(shè)粒子Pi的位置ri為廣義坐標(biāo)q1, q2, , qn與時間t的函數(shù)：ri=ri(q1, q2, , qn, t)則虛位移可以表示為：ri=jriqjqj(2)粒子的速度vi=vi(q1

2、,q2,qn,q1,q2,qn,t)可表示為：取速度對于廣義速度的偏微分：(3)首先轉(zhuǎn)化方程 (1) 的加速度項。將方程 (2) 代入：應(yīng)用乘積法則：注意到的參數(shù)為，而速度的參數(shù)為，所以，。因此，以下關(guān)系式成立： (4)將方程 (3) 與 (4) 代入，加速度項成為代入動能表達(dá)式：，則加速度項與動能的關(guān)系為(5)然后轉(zhuǎn)換方程(1)的外力項。代入方程 (2) 得：(6)其中是廣義力：將方程 (5) 與 (6) 代入方程 (1) 可得：(7)假設(shè)所有的廣義坐標(biāo)都相互獨(dú)立，則所有的廣義坐標(biāo)的虛位移也都相互獨(dú)立。由于這些虛位移都是任意設(shè)定的，只有滿足下述方程，才能使方程 (7) 成立：(8)這系統(tǒng)的廣義力與廣義位勢之間的關(guān)系式為代入得：定義拉格朗日量為動能與勢能之差，可得拉格朗日方程：3 哈密頓原理推導(dǎo)哈密頓原理可數(shù)學(xué)表述為：在等時變分情況下，有 (1)由拉格朗日量定義得，在等時變分情況下有(2)其中第一項可化為：(3)將(3)代入(2)得(4)將(4)代入(1)得(5)在處，所以(5)變?yōu)?6)即(7)q是獨(dú)立變量，所以拉格朗日方程： 4 歐拉-拉格朗日方程推導(dǎo)歐拉-拉格朗日方程可以表述為：設(shè)有函數(shù)和：其中是自變量。若存在使泛函取得局部平穩(wěn)值，則在區(qū)間內(nèi)對于所有

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