2013機(jī)電機(jī)械工程控制基礎(chǔ)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型chapter2(改)

1、第二章 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型：描述系統(tǒng)特性，揭示其結(jié)構(gòu)、參數(shù)與動(dòng)態(tài)性能的關(guān)系 機(jī)械工程控制中數(shù)學(xué)模型的幾種形式:時(shí)域中有：微分方程、狀態(tài)方程和差分方程；復(fù)數(shù)域中有：傳遞函數(shù)、結(jié)構(gòu)圖；頻域中有：頻率特性等。本章主要內(nèi)容：列寫(xiě)微分方程的一般方法；非線性微分方程的性線化；傳遞函數(shù)的概念、方框圖及其簡(jiǎn)化。第一節(jié) 系統(tǒng)微分方程建立數(shù)學(xué)模型的方法： 分析法 依據(jù)系統(tǒng)及元件各變量之間所遵循的物理或化學(xué)規(guī)律列寫(xiě)出相應(yīng)的數(shù)學(xué)關(guān)系式，建立模型。 人為地對(duì)系統(tǒng)施加某種測(cè)試信號(hào)，記錄其輸出響應(yīng)，并用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型進(jìn)行逼近。這種方法也稱為系統(tǒng)辨識(shí)。 實(shí)驗(yàn)法 第二章 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型第一節(jié) 系統(tǒng)微分方程線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)：

2、線性定常系統(tǒng)：線性時(shí)變系統(tǒng)：非線性系統(tǒng)： 能用線性微分方程描述的系統(tǒng)是線性系統(tǒng)否則是非線性系統(tǒng)。第二章 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型K-M-C系統(tǒng)：)()()()(tftkytyctym線性系統(tǒng)的性質(zhì):第一節(jié) 系統(tǒng)微分方程線性系統(tǒng)的齊次性和疊加性： 線性系統(tǒng)在多個(gè)輸入的作用下，其總輸出等于各個(gè)輸入單獨(dú)作用下所產(chǎn)生的輸出之和。線性系統(tǒng)的微分特性：線性系統(tǒng)的積分特性：線性系統(tǒng)的頻率保持性： 信號(hào)通過(guò)系統(tǒng)后不會(huì)產(chǎn)生新的頻率分量，盡管分量的大小和相位會(huì)發(fā)生變化。第二章 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型第一節(jié) 系統(tǒng)微分方程列寫(xiě)微分方程式的一般方法：1、確定系統(tǒng)的輸入量、輸出量。（給定輸入量和擾動(dòng)量）；2、按照信號(hào)的傳遞順序，列寫(xiě)出各個(gè)環(huán)節(jié)

3、的微分方程。3、消去中間變量，得到只包含輸入量和輸出量的微分方程；4、變換成標(biāo)準(zhǔn)形式。將與輸入有關(guān)的項(xiàng)寫(xiě)在微分方程的右邊，與輸出有關(guān)的項(xiàng)寫(xiě)在微分方程的左邊，并且各階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)按降冪排列。 第二章 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型典型元件所遵循的物理定律第一節(jié) 系統(tǒng)微分方程機(jī)械系統(tǒng)：質(zhì)量元件：彈性元件：阻尼元件：第二章 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型電網(wǎng)絡(luò)：容性元件：感性元件：阻性元件：dttiCtu)(1)(dttdiLtu)()()()(tRitu典型元件所遵循的物理定律第一節(jié) 系統(tǒng)微分方程第二章 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型例2-1：試列出如圖所示機(jī)械系統(tǒng)的微分方程。 微分方程舉例：第一節(jié) 系統(tǒng)微分方程1、明確系統(tǒng)的輸入和輸出：輸入為f，輸出為x

4、。2、根據(jù)牛頓第二定律列出原始微分方程：3、整理：第二章 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型例2-2：試列出如圖所示機(jī)械系統(tǒng)的微分方程。 1、明確系統(tǒng)的輸入和輸出：輸入為T，輸出為x（t）。2、列出原始微分方程：3、消除中間變量，并整理得：J 旋轉(zhuǎn)體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；K1 扭轉(zhuǎn)剛度系數(shù); K2 剛度系數(shù)B1、粘性阻尼系數(shù); B2、粘性阻尼系數(shù);r:旋轉(zhuǎn)體轉(zhuǎn)動(dòng)半徑1()oTKrxrTxrkxrBBxmrJ22.221.2)()(微分方程舉例：第一節(jié) 系統(tǒng)微分方程第二章 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型rfBJK101)(xKBmfxx22輸入輸入輸出輸出例2-3：試列出如圖所示電氣系統(tǒng)的微分方程。 1、明確系統(tǒng)的輸入和輸出：輸入為ui（t），輸

5、出為uo（t）。2、列出原始微分方程3、消除中間變量，并整理得：dttiCiRdtdiLtui)(1)(u uo o( (t t) )L LR RC Cu ui i( (t t) )i i( (t t) )R-L-CR-L-C無(wú)源電路網(wǎng)絡(luò)無(wú)源電路網(wǎng)絡(luò)dttiCtuo)(1)(dttduCio)(或)()()()(22tutudttduRCdttudLCiooo微分方程舉例：第一節(jié) 系統(tǒng)微分方程第二章 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型例2-4：試列出如圖所示電氣系統(tǒng)的微分方程。 1、明確系統(tǒng)的輸入和輸出輸入為ui，輸出為uo。2、列出原始微分方程負(fù)載效應(yīng)iudtiiCRi)(121111dtiiCdtiCRi)(1

6、12112222oudtiC2213、消除中間變量，并整理得：ioouudtduCRCRCRdtudCRCR2212211222211)(本例中如果看成兩個(gè)RC電路,不考慮后一級(jí)RC電路的負(fù)載作用,結(jié)果就錯(cuò)誤了。 微分方程舉例：第一節(jié) 系統(tǒng)微分方程L1L2第二章 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型例2-4：直流電機(jī)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)。 1、明確系統(tǒng)的輸入和輸出輸入為ua，干擾輸入為ML,輸出為。2、列出原始微分方程電樞回路電壓平衡方程為: daaaaedtdiLiRuddkekd為電動(dòng)機(jī)的反電動(dòng)勢(shì)系數(shù) daaaakdtdiLiRu2.1.1微分方程舉例：第一節(jié) 系統(tǒng)微分方程第二章 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型M Mde設(shè)J為轉(zhuǎn)動(dòng)部分折算到軸

7、上的總的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：力矩平衡方程為: LMMdtdJamikM Km為電動(dòng)機(jī)電磁力矩常數(shù)。LamMikdtdJdtdkJMkimLma1daaaakdtdiLiRu3、消除中間變量：中間變量damLmLmaakdtdtdkJMkdLdtdkJMkRu)1()1(電樞回路電壓平衡方程為:則電機(jī)轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)方程為:消除變量M兩方程間的聯(lián)系：第二章 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型M為電動(dòng)機(jī)的電磁轉(zhuǎn)矩：4、整理得：22aaLaLdmmmRJRdMdLLJ duMkkkdtkdtkdtLdmaLdmaddmadmMkkRdtdMkkLukdtdkkJRdtdkkLJ1225、標(biāo)準(zhǔn)形式：LmLamadmmaMCdtdMTCuCd

8、tdTdtdTT22aaRRdmLmLmaakdtdtdkJMkdLdtdkJMkRu)1()1(mCmTaTmaC TdC第二章 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型例2-5：直流電機(jī)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)。 LmLamadmmaMCdtdMTCuCdtdTdtdTT22若電機(jī)處于平衡狀態(tài)，有： LmadMCuC（靜態(tài)數(shù)學(xué)模型電機(jī)處于平衡狀態(tài)，對(duì)應(yīng)的輸入量和輸出量分別表示為： 000;LLaaMMuu000LmadMCuC若某一時(shí)刻，輸入量發(fā)生變化，其變化值為： ，電機(jī)的平衡狀態(tài)被破壞，輸出亦發(fā)生變化，其變化量為： ，這時(shí)，輸入量和輸出量可表示為增量形式： LaMu;000,LLLaaaMMMuuu第一節(jié) 系統(tǒng)微分方程微分方程的

9、增量化表示：第二章 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型)()()()()()(000000202LLmLLamaadmmaMMCdtMMdTCuuCdtdTdtdTT化簡(jiǎn)并整理得： )()()()()()(000022LLmLamaadmmaMMCdtMdTCuuCdtdTdtdTTLmLamadmmaMCdtMdTCuCdtdTdtdTT022000LmadMCuC考慮到于是有： 第二章 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型討論1：LmLamadmmaMCdtdMTCuCdtdTdtdTT22LmLamadmmaMCdtMdTCuCdtdTdtdTT0221、增量方程與實(shí)際坐標(biāo)方程形式相同； 2、當(dāng)平衡點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)兩者等價(jià)，否則兩者不

10、等價(jià)； 3、增量方程式的意義是：對(duì)于定值控制系統(tǒng)，總是工作在設(shè)定值即穩(wěn)態(tài)或平衡點(diǎn)附近，將變量的坐標(biāo)原點(diǎn)設(shè)在該平衡點(diǎn)，則微分方程轉(zhuǎn)換為增量方程，它同樣描述了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，但它由于不考慮初始條件，求解及分析時(shí)方便了許多。 第二章 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型討論2：LmLamadmmaMCdtMdTCuCdtdTdtdTT022若ML=0：022admmauCdtdTdtdTT若ua=0：)(22LLammmaMdtMdTCdtdTdtdTT 在系統(tǒng)同時(shí)具有二種輸入作用的情況下，該線性系統(tǒng)遵循疊加原理。非線性方程線性化條件：1、系統(tǒng)在預(yù)定工作點(diǎn)附近作小偏差運(yùn)動(dòng)，即變量的變化范 圍很??；2、非線性函數(shù)是連續(xù)函數(shù)，

11、即函數(shù)中各個(gè)變量在平衡點(diǎn)處 有導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù)存在； 1、確定預(yù)定工作點(diǎn)； 2、在工作點(diǎn)附近將非線性方程展開(kāi)成Taylor級(jí)數(shù)形式； 非線性方程線性化方法：3、忽略高階項(xiàng)； 4、表示成增量方程形式； 第一節(jié) 系統(tǒng)微分方程非線性系統(tǒng)的線性化：第二章 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型 非線性系統(tǒng)的線性化的實(shí)質(zhì)是在平衡點(diǎn)附近用增量方程非線性系統(tǒng)的線性化的實(shí)質(zhì)是在平衡點(diǎn)附近用增量方程描述這個(gè)系統(tǒng)。描述這個(gè)系統(tǒng)。ppqxxqpxqpxqxxppxxpp0000),(),(00Apycym.例2-6：液壓伺服機(jī)構(gòu)。 1、明確系統(tǒng)的輸入與輸出： 輸入為x，輸出為y 2、列寫(xiě)原始方程：.yAq ),(pxqq3、非線性方程線性化：、

12、確定系統(tǒng)的預(yù)定工作點(diǎn)：設(shè)為（x0，p0）、展開(kāi)成Taylor級(jí)數(shù)形式：、表示成增量化形式：qCqKxKp第一節(jié) 系統(tǒng)微分方程非線性系統(tǒng)的線性化處理：qkckqCqKxKpq第二章 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型2、 作用在負(fù)載上的力：AP=A(P1-P2）qk：流量增益ck：流量壓力系數(shù) 圖 q, p, x三者線性關(guān)系qCqKxKp由于：.yAq 于是：)(1qxKKpqc)(1.yAxKKpqc、P代入動(dòng)態(tài)方程：xkAKyKAcymcqc.2.)(Apycym.第二章 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型討論：3、非線性項(xiàng)線性化后得到的微分方程是增量形式的微分方程。 2、線性化的結(jié)果與系統(tǒng)預(yù)定的工作點(diǎn)有關(guān)。工作點(diǎn)不同所得的線性方程的

13、系數(shù)不同。 1、非線性項(xiàng)線性化后必須滿足連續(xù)性和小偏差的條件。 0 0 x xy y= =f f( (x x) )y y0 0 x x0 0 x x yy y yA A第一節(jié) 系統(tǒng)微分方程非線性系統(tǒng)的線性化處理：第二章 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型第二節(jié) 系統(tǒng)傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)是復(fù)數(shù)域描述線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型線性定常系統(tǒng)微分方程的一般形式為:（其中Xo(t)為輸出，Xi(t)為輸入）(1)110(1)(1)110(1)( )( )( )( )( )( )( )( )nnooonnonnmmiiimmimmd xtdxtdxtaaaa xtdtdtdtdx tdx tdx tbbbb x tdtdtdt在零初始條件

14、下，方程兩邊分別取拉氏變換，有：于是有：)()()()(01110111mnasasasabsbsbsbsXsXsGnnnnmmmmio(1)110(1)(1)110(1)( )( )( )( )( )( )( )( )nnooonnonnmmiiimmimmd xtdxtdxtL aaaa xtdtdtdtdx tdx tdx tL bbbb x tdtdtdt第二章 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型)(.)()()(.)()(011011sXbsXsasXsbsXasXsasXsaiimmimmoonnonn)().()().(011011sXbsasbsXasasaimmmmonnnn傳遞函數(shù)的定義: 在零

15、初始條件下，線性定常系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比，稱為該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。.)()()(sXsXsGio)(SG()iXS()oXS傳遞函數(shù)的特點(diǎn)：)()()()(01110111mnasasasabsbsbsbsXsXsGnnnnmmmmio第二章 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型1、傳遞函數(shù)是關(guān)于復(fù)變量S的復(fù)變函數(shù)；2、傳遞函數(shù)的分母反映系統(tǒng)本身與外界無(wú)關(guān)的固有特性，傳遞函數(shù)的分子反映了系統(tǒng)與外界的聯(lián)系；3、當(dāng)輸入確定時(shí)系統(tǒng)的輸出完全取決于系統(tǒng)的傳遞函數(shù)； xo(t)=L-1Xo(s)=L-1G(s) Xi(s)4、物理性質(zhì)不同的系統(tǒng)可以有相同的傳遞函數(shù)（相似系統(tǒng)）傳遞函數(shù)的零點(diǎn)、極點(diǎn)和增益決定著

16、系統(tǒng)的瞬態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能第二章 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型第二節(jié) 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)的零、極點(diǎn)模型:).()().()()()()(2121nmiopspspszszszsKsXsXsG零點(diǎn)：mzzz.,21極點(diǎn)：nppp.,21使用傳遞函數(shù)模型后，對(duì)系統(tǒng)的研究可轉(zhuǎn)化為對(duì)系統(tǒng)傳遞函數(shù)的零點(diǎn)、極點(diǎn)和放大系數(shù)的研究。由于Xi(s)=1/s, 由拉氏變換終值定理得: ()ox放大系數(shù)（增益）：系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)時(shí)輸出與輸入之比；lim( )/( )oitkx tx tlim( )/1( )lim( )oottx ttx t0( )limossXs 0( )( )limissG s Xs (0)G0( )limsG s

17、1110011100(0)mmmmnnnnb sbsbsbbGa sasa saa1212()().()()().()mnKzzzppp()ox=第二節(jié) 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)例2-7：求圖示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。 1、確定系統(tǒng)的輸入和輸出量：u1，u22、列定原始微分方程：121111)(1UIIsCRI)(112112222IIsCIsCRI2221UIsC121111)(1udtiiCRidtiiCdtiCRi)(1121122222221udtiC3、在零初始條件下進(jìn)行拉氏變換：3、在零初始條件下進(jìn)行拉氏變換：121111)(1UIIsCRI)(112112222IIsCIsCRI2221UIsC4

18、、消除中間變量并整理得：12212211222111)(UUsCRCRCRSCRCR于是有：1)(1)(2122112221112sCRCRCRSCRCRUUsG第二章 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)（比例、慣性、積分、微分、振蕩、延時(shí)等環(huán)節(jié)）第二節(jié) 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)1、比例環(huán)節(jié)：輸出量與輸入量成正比。動(dòng)力學(xué)方程：傳遞函數(shù)：特點(diǎn)：輸入量與輸出量成正比；不不失真，不延時(shí)。例如：第二章 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型( )( )oix tKx t( )( )( )oiXsG sKX s第二節(jié) 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)2、慣性環(huán)節(jié)：動(dòng)力學(xué)方程：傳遞函數(shù)：特點(diǎn)： 具有一個(gè)儲(chǔ)能元件和一個(gè)耗能元件，在階躍輸入下，輸出不能立即達(dá)到穩(wěn)態(tài)值

19、。例如：)()()(txtxdttdxTioo11)(TssG11)(RCssG11)(skcsG)()()(tutudttduRCioo)()()(tkxtkxdttdxcioo第二章 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型( )( )( )ooiTsXsXsXs慣性環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)第二節(jié) 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)3、微分環(huán)節(jié)：輸出正比于輸入的微分。動(dòng)力學(xué)方程：)()(txTtxio例如， 理想微分環(huán)節(jié)：傳遞函數(shù)：TssG)(Ts)(sXi)(sXo第二章 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型( )( )oiXsTsXs11oui R1iduiicdt1ioduuR Cdt 1( )( )oiXsR CsXs 傳遞函數(shù)：1( )G sRCs 1）、微分

20、環(huán)節(jié)一般存在于其它環(huán)節(jié)中，不能單獨(dú)存在。2）、微分環(huán)節(jié)的輸出反映輸入的變化趨勢(shì)，強(qiáng)化了系統(tǒng)噪聲；特點(diǎn)：第二章 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型R RC Cu ui i( (t t) )u uo o( (t t) )i i( (t t) )無(wú)源微分網(wǎng)絡(luò)RtituRtidttiCtuoi)()()()(1)(RCTTsTsRCsRCssG,11)( 顯然，無(wú)源微分網(wǎng)絡(luò)包括有慣性環(huán)節(jié)和微分環(huán)節(jié)，稱之為慣性微分環(huán)節(jié)，只有當(dāng)|Ts|1時(shí)，才近似為微分環(huán)節(jié)。 例：無(wú)源微分網(wǎng)絡(luò) 1( )( )( )( )( )ioU sI sI s RCSUsI s R例：機(jī)械-液壓阻尼器 圖中A為活塞的面積，K為彈簧剛度，R為節(jié)流閥液阻，P

21、1和P2 分別為活塞左右腔油的工作壓力，xi為活塞位移，xo 為油缸位移。工作原理：當(dāng)活塞作階躍位移xi時(shí)，油缸瞬時(shí)位移xo在初始時(shí)刻與xi相等，當(dāng)彈簧被壓縮時(shí)，彈簧力加大，油缸右油缸壓力P2增大，迫使液壓油以流量q通過(guò)節(jié)流閥反流到油缸左油腔，從而使油缸左移，彈力最終使Xo減到零，油缸返回到初始位置。油缸壓力平衡方程：okxppA)(12通過(guò)節(jié)流閥的流量為：RppxxAqoi12)(由上兩式得：ooixRAkxx2)(方程兩邊取拉氏變換：)()()(2SXRAkssXssXooi故傳遞函數(shù)為：RAksssXsXsGio2)()()(令：TkRA21)()()(TsTssXsXsGioR13)、

22、微分環(huán)節(jié)的控制作用：( )ox tt例：圖示比例環(huán)節(jié)中，比例系數(shù)（K=-1）：并聯(lián)微分環(huán)節(jié)所產(chǎn)生的附加輸出：傳遞函數(shù)：1( )G sRCs 在單位速度信號(hào)(u（t）=r(t)=t)作用下在時(shí)域的輸出uo1(t)即為-450的斜線。1( )LRCsR sRC使輸出提前1t0( )r t0( )r t-RC第二章 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型)(1ssRLRC)(tuRC在系統(tǒng)中加入微分環(huán)節(jié)引起輸出超前。)()()(12sRsGLtuottrtutuio)()(1)(1根據(jù)疊加性：)()()()(21RCxtututuooo)(1tuo)(tuo一階微分環(huán)節(jié)：3)、一階微分環(huán)節(jié)Rp11oui R 1iipd uu

23、iicd tR11ioipduRuR CudtR 11( )( )( )oiipRXsR CsXsXsR 傳遞函數(shù)：11( )(1)pPRG sR CsKp R CsR 第二章 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型其中：pRRKp1第二節(jié) 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)4、積分環(huán)節(jié)環(huán)節(jié)：輸出正比于輸入對(duì)時(shí)間的積分。動(dòng)力學(xué)方程：1）輸出具有時(shí)間累 加特性；2）輸出滯后作用；3）具有記憶功能系統(tǒng)中凡有存儲(chǔ)或積累特點(diǎn)的元件都有積分特性.dttxTtxio)(1)(特點(diǎn)：積分環(huán)節(jié)輸入輸出關(guān)系當(dāng)輸入為單位階躍信號(hào)時(shí),sTsSXo11)(sSXi1)(對(duì)該式取拉氏反變換:tTtx1)(0設(shè)：dttQtAhtQtQtQ)()()()()(21或：

24、ASSG1)()()()(21tQtQtQ輸入輸出水箱面積為A.dttduCRtuoi)()(RCSsUSUSGiO1)()()(第二章 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型傳遞函數(shù)：TsSXSXsGiO1)()()(Ts例如：第二節(jié) 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)5、振蕩環(huán)節(jié)（二階振蕩環(huán)節(jié)）：傳遞函數(shù)：222()()()2oninnXsGSXsss 或：22()1()()21oiXsGSXsTsT s式中 無(wú)阻尼固有頻率 為阻尼比， 為時(shí)間常數(shù)。 nnT/1二階振蕩環(huán)節(jié)系統(tǒng)框圖動(dòng)力學(xué)方程：第二章 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型一般含有二個(gè)儲(chǔ)能元件、一個(gè)耗能元件。10)()()(2)(2 txtxtxTtxTiooo5、振蕩環(huán)節(jié)（二階振蕩環(huán)節(jié)）：特點(diǎn)

25、：、當(dāng) 時(shí)，輸出無(wú)振蕩，非振蕩環(huán)節(jié)是二個(gè)一階慣性環(huán)節(jié)的組合。110傳遞函數(shù)：2222)(nnnssSG或：121)(22TssTSG第二節(jié) 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)第二章 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型式中 無(wú)阻尼固有頻率 為阻尼比， 為時(shí)間常數(shù)。 nnT/1、當(dāng) 時(shí)，輸出存在振蕩， 且 越小振蕩越劇烈；10解：建立力距平衡方程：例如：旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的J-C-K系統(tǒng)CMkcJ.kcsJssMssG21)()()(MskscssJs)()()(2與標(biāo)準(zhǔn)式比較：2222)(nnnssSG方程兩邊取拉氏變換：JksJcsJkk2/1;2;JkcJkn例如:L-R-C電路oLiudtdiLu11)(2sRLLCsSGLCn/12/1

26、/nLL CR CRCLRLCRC2121解：建立電路方程：dtiCRiuCRo1CRLiii方程兩邊取拉氏變換：)()()(sUSLsIsUoLi)(1)()(SICssRIsUCRo)()()(sIsIsICRL整理得：與標(biāo)準(zhǔn)式比較：2222)(nnnssSG傳遞函數(shù)：( ) ()( )( ) ( ) ( )( )ssOiiiiiL x tL x tX S eG seL x tL x tX S6、延時(shí)環(huán)節(jié)（遲延環(huán)節(jié)）：運(yùn)動(dòng)方程：)()(txtxio為延遲時(shí)間。特點(diǎn)：輸出滯后于輸入，但不失真。延遲環(huán)節(jié)的階躍響應(yīng)第二節(jié) 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)第二章 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型例如：扎鋼時(shí)的帶鋼厚度檢測(cè)示意圖)()(

27、12ththsesG)(輸出滯后于輸入時(shí)間 ，但不失真地反映輸入的環(huán)節(jié)。1） 傳遞函數(shù)框圖中的環(huán)節(jié)是根據(jù)動(dòng)力學(xué)方程來(lái)劃分的，一個(gè)環(huán)節(jié)并不一定代表一個(gè)物理元件或物理子系統(tǒng)，一個(gè)物理元件或物理子系統(tǒng)也不一定就是一個(gè)傳遞函數(shù)環(huán)節(jié)（也許幾個(gè)物理元件的特性才組成一個(gè)傳遞函數(shù)環(huán)節(jié)（環(huán)節(jié)間有負(fù)載效有應(yīng)） ，也許一個(gè)物理環(huán)節(jié)的特性分散在幾個(gè)傳遞函數(shù)環(huán)節(jié)中。）幾點(diǎn)說(shuō)明：2） 注意區(qū)別表示系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的物理框圖和分析系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 框圖。3） 同一元件在不同的系統(tǒng)中作用不同時(shí)，其傳遞函數(shù)可以不同。第二節(jié) 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)第二章 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型（如：動(dòng)力學(xué)方程： 取輸入為位移 是微分環(huán)節(jié)，若取速度 為輸入 是就成比例環(huán)節(jié)了

28、。） )(txi)()(tktxiox)(.tix注意：求取傳遞函數(shù)時(shí),一般假設(shè)網(wǎng)絡(luò)輸出端有無(wú)窮大的負(fù)載阻抗,輸入內(nèi)阻為零,否則應(yīng)考慮負(fù)載效應(yīng). 圖2-11中,兩個(gè)RC網(wǎng)絡(luò)不相連接時(shí),可視為空載, 傳遞函數(shù)分別為：圖2-11 負(fù)載效應(yīng)示意圖I2I1I第二節(jié) 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)第二章 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型若將 G1(s) 與 G2(s) 兩方塊串聯(lián)連接,如圖2-11右端, 不考慮負(fù)載效應(yīng)，其傳遞函數(shù)為：但是,若將兩個(gè)RC網(wǎng)絡(luò)直接連接,前述由電路微分方程可求得連接后電路的傳遞函數(shù)。第二章 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型iooouudtduCRCRCRdtudCRCR)(2122112222111)(1)(21221122211

29、12sCRCRCRSCRCRUUsG 將組成系統(tǒng)的各個(gè)環(huán)節(jié)用傳遞函數(shù)方框圖表示，并將相應(yīng)的變量按信號(hào)流向連接起來(lái)，就構(gòu)成系統(tǒng)的方框圖。第三節(jié) 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)方框圖及其簡(jiǎn)化方框圖的結(jié)構(gòu)要素：傳遞函數(shù)方框圖相加點(diǎn)示意圖分支點(diǎn)示意建立傳遞函數(shù)方框圖的方法：列寫(xiě)原始微分方程；在零初始條件下，對(duì)各原始微分方程分別取Laplace變換；將變換的代數(shù)方程表示成各環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)方框圖的形式；根據(jù)信號(hào)在各環(huán)節(jié)傳遞和變換的流向，依次連接上述各個(gè)方框圖,構(gòu)成整個(gè)系統(tǒng)的方框圖。第二章 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型1、列寫(xiě)原始方程：3、繪制上述各傳遞函數(shù)方框圖：4、連接各個(gè)環(huán)節(jié)：)(1qxKKpqc)(sX)(sP)(sX)(sP)(s

30、Q)(sY第三節(jié) 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)方框圖及其簡(jiǎn)化第二章 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型2、取Laplace變換)()()(2sAPsYcsms)()(sAsYsQ)()(1)(sQsXKKsPqcApycym yAq)()()(2sYsPcsmsA)()(1sQsYAs)()()(1sPsQsXKKqc1、列寫(xiě)原始方程：adaaaueiLiRddkeLMMJamikM 3、繪制上述各傳遞函數(shù)方框圖：第三節(jié) 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)方框圖及其簡(jiǎn)化第二章 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型2、取Laplace變換adaaUEILsR)(ddkELMMJsamIkM aadaILsREU1)(ddEk)(1LMMJsMIkam傳遞函數(shù)方框圖的等效變換

31、。所謂等效變換 是指變換前后輸入輸出總的數(shù)學(xué)關(guān)系保持不變。 第三節(jié) 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)方框圖及其簡(jiǎn)化第二章 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型4 相鄰比較點(diǎn)的處理相鄰比較點(diǎn)的處理u變換方法變換方法1 三種典型結(jié)構(gòu)的變換三種典型結(jié)構(gòu)的變換3 相鄰引出點(diǎn)的處理相鄰引出點(diǎn)的處理2 比較點(diǎn)和引出點(diǎn)的移動(dòng)變換比較點(diǎn)和引出點(diǎn)的移動(dòng)變換代數(shù)變換代數(shù)變換圖形變換圖形變換1、串聯(lián)環(huán)節(jié)的等效變換：2、并聯(lián)環(huán)節(jié)的等效變換：3、反饋環(huán)節(jié)用其等效變換規(guī)則：前向通道傳遞函數(shù)：)(/)()(sEsXsGo反饋通道傳遞函數(shù)：)(/)()(sXsBsHo開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)：)()()(/)()(sHsGsEsBsGK閉環(huán)傳遞函數(shù)：)(/)()(sXsXsGi

32、oB);()()(sEsGsXo)()()()()()()()(sHsXsGsXsGsEsGsXoio因?yàn)椋核裕?()(1)()(sHsGsGsGB第三節(jié) 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)方框圖及其簡(jiǎn)化第二章 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型反饋環(huán)節(jié)等效遞函數(shù)：)()()(sXsXsGiOB)()()(sHsXsBo于是：);()()(sBsXsEi又：);()()()(sHsXsXsEoi誤差傳遞函數(shù)：)(/)()(sXsEsGiE第三節(jié) 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)方框圖及其簡(jiǎn)化第二章 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型說(shuō)明：1、前向通道、反饋通道、開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)都只是閉環(huán)系統(tǒng)的部分環(huán)節(jié)（或環(huán)節(jié)組合的傳遞函數(shù)），閉環(huán)傳遞函數(shù)才是系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。2、相加點(diǎn)B（s）

33、處的符號(hào)不代表閉環(huán)系統(tǒng)的反饋是正反饋還是負(fù)反饋。即：4、分支點(diǎn)移動(dòng)規(guī)則：第三節(jié) 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)方框圖及其簡(jiǎn)化第二章 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型移動(dòng)的支路上乘以它所掃過(guò)方框內(nèi)的傳函。移動(dòng)的支路上乘以它所掃過(guò)方框內(nèi)的傳函。移動(dòng)的支路上乘以它所掃過(guò)方框內(nèi)的傳函的倒數(shù)。移動(dòng)的支路上乘以它所掃過(guò)方框內(nèi)的傳函的倒數(shù)。4、相加點(diǎn)移動(dòng)規(guī)則：第三節(jié) 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)方框圖及其簡(jiǎn)化第二章 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型移動(dòng)的支路上乘以它所掃過(guò)方框內(nèi)的傳函。移動(dòng)的支路上乘以它所掃過(guò)方框內(nèi)的傳函。移動(dòng)的支路上乘以它所掃過(guò)方框內(nèi)的傳函的倒數(shù)。移動(dòng)的支路上乘以它所掃過(guò)方框內(nèi)的傳函的倒數(shù)。4、相鄰分支點(diǎn)之間或相鄰相加點(diǎn)之間相互移動(dòng)規(guī)則：第三節(jié) 系統(tǒng)的傳遞函

34、數(shù)方框圖及其簡(jiǎn)化第二章 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型注意：分支點(diǎn)和相加點(diǎn)之間不能相互移動(dòng)！a a b ba ab b1） 相鄰引出點(diǎn)可互換位置、可合并相鄰引出點(diǎn)可互換位置、可合并2） 相鄰比較點(diǎn)可互換位置、可合并相鄰比較點(diǎn)可互換位置、可合并a ab ba ab b1x2x3x1y1x2x3x1y+-3x1y1x2x+-+-+ 1、變換目的：是為了得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。與傳遞函數(shù)的代數(shù)運(yùn)算等價(jià)，通過(guò)代數(shù)運(yùn)算也可以得到同樣的結(jié)果。需要說(shuō)明的兩點(diǎn)：2、 變換思路 （1）用最少的步驟將系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖化成由三種基本結(jié)構(gòu)組成的圖形，然后通過(guò)串聯(lián)和并聯(lián)變換化簡(jiǎn)信號(hào)通道，通過(guò)反饋回路變換化簡(jiǎn)回路（記住公式）。（2）通過(guò)比較點(diǎn)和引出

35、點(diǎn)的移動(dòng)，解除回路之間互相交連的部分,從而簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)圖。 變換技巧一：向同類移動(dòng) 引出點(diǎn)向引出點(diǎn)移動(dòng)，比較點(diǎn)向比較點(diǎn)移動(dòng)。移動(dòng)后再將它們合并，以減少結(jié)構(gòu)圖中引出點(diǎn)和比較點(diǎn)的數(shù)目。一般適用于前向通道。u變換技巧 變換技巧二：作用分解 同一個(gè)變量作用于兩個(gè)比較點(diǎn)，或者是兩個(gè)變量作用于同一個(gè)方框，可以把這種作用分解成兩個(gè)單獨(dú)的回路，用以化解回路之間的相互交連。一般適用于反饋通道。引出點(diǎn)移動(dòng)引出點(diǎn)移動(dòng)G1G2G3G4H3H2H1abG1G2G3G4H3H2H1G41請(qǐng)你寫(xiě)出結(jié)果請(qǐng)你寫(xiě)出結(jié)果,行嗎？行嗎？向同類移動(dòng)向同類移動(dòng)G2H1G1G3比較點(diǎn)移動(dòng)比較點(diǎn)移動(dòng)G1G2G3H1G2無(wú)用功無(wú)用功向同類移動(dòng)向同

36、類移動(dòng)G1sC21)(sUosC11)(1sU)(2sI11R)(sUi)(1sI21R)(2sIsC21111CsR1122CsR21CsR)(sUi)(sUo)(sUi)(sUo212211) 1)(1(1CsRCsRCsR注意圖形等效后面的代數(shù)輔助運(yùn)算注意圖形等效后面的代數(shù)輔助運(yùn)算1RG1G4H3G2G3H1H1H3G1G4G2G3H3H1作用分解作用分解G1G2+-RC例例3 求系統(tǒng)傳遞函數(shù)。求系統(tǒng)傳遞函數(shù)。PMN此圖如采用結(jié)構(gòu)圖化簡(jiǎn)的方式，該怎么辦？用代數(shù)運(yùn)算法求解,由結(jié)構(gòu)圖列寫(xiě)方程式：消去中間變量，可得系統(tǒng)傳遞函數(shù)：121212122( )( )1GGGGC sR sGGGG1()

37、PN GM2()PM GN-R CPMNC解：補(bǔ)講內(nèi)容補(bǔ)講內(nèi)容： 信號(hào)流圖的組成和繪制信號(hào)流圖的組成和繪制對(duì)于復(fù)雜的控制系統(tǒng)，傳遞函數(shù)框圖的簡(jiǎn)化過(guò)程仍較復(fù)雜，且易出錯(cuò)。u信號(hào)流圖：表示系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和變量傳送過(guò)程中的數(shù)學(xué)關(guān)系的圖示方法。優(yōu)點(diǎn)：直接應(yīng)用梅遜公式就可以寫(xiě)出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，無(wú)需對(duì)信號(hào)流圖進(jìn)行化簡(jiǎn)和變換。由節(jié)點(diǎn)、支路組成u基本組成：xyGxGy 節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)：節(jié)點(diǎn)表示信號(hào)，輸入節(jié)點(diǎn)表示輸入信號(hào)，輸出節(jié)點(diǎn)：節(jié)點(diǎn)表示信號(hào)，輸入節(jié)點(diǎn)表示輸入信號(hào)，輸出節(jié)點(diǎn)表示輸出信號(hào)。表示輸出信號(hào)。xyGxGy 支路支路：連接節(jié)點(diǎn)之間的線段為支路。支路上箭頭方向表示：連接節(jié)點(diǎn)之間的線段為支路。支路上箭頭方向表示信號(hào)傳

38、送方向。傳遞函數(shù)標(biāo)在支路上箭頭的旁邊，稱支路傳信號(hào)傳送方向。傳遞函數(shù)標(biāo)在支路上箭頭的旁邊，稱支路傳輸輸(增益增益)。2x3x4x5xabcdef1xu有關(guān)術(shù)語(yǔ)源節(jié)點(diǎn)：輸入節(jié)點(diǎn)。它只有輸出支路。阱節(jié)點(diǎn)：輸出節(jié)點(diǎn)。它只有輸入支路?；旌瞎?jié)點(diǎn)：既有輸入支路又有輸出支路的節(jié)點(diǎn)。相當(dāng)于結(jié)構(gòu)圖中的信號(hào)比較點(diǎn)和引出點(diǎn)。它上面的信號(hào)是所有輸入支路引進(jìn)信號(hào)的疊加。2x3x4x5xabcdef1x1121233254355xxxaxdxexxbxxxcxxxf通路：沿支路箭頭方向連接起始點(diǎn)和終點(diǎn)的支路路徑?；芈罚浩瘘c(diǎn)和終點(diǎn)為同一節(jié)點(diǎn)的通路稱為(單獨(dú))回路。但通路與任一節(jié)點(diǎn)相交不多于一次。不接觸回路：各回路之間沒(méi)有公

39、共節(jié)點(diǎn)的回路。前向通路：信號(hào)從輸入節(jié)點(diǎn)到輸出節(jié)點(diǎn)傳遞時(shí)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)只通過(guò)一次的通路。2x3x4x5xabcdef1x回路增益：回路中所有支路增益的乘積。一般用La表示。前向通路增益：前向通路上各支路增益的的乘積。一般用Pk來(lái)表示。232xxx2342xxxx343xxx2352xxxx23542xxxxx3543xxxx44xx 232xxx和44xx 2352xxxx和44xx Output node1Mixed nodeinput node(source)1x2x3x4x5x6x23a32a34a45a25a44a24a12a43a1235453a單獨(dú)回路(7個(gè))不接觸回路(2組)有幾條前向

40、通路？1 信流圖是線性代數(shù)方程組結(jié)構(gòu)的一種圖形表示，兩者一一對(duì)應(yīng)。u說(shuō)明1121233254355xxxaxdxexxbxxxcxxxf2x3x4x5xabcdef1x2 混合節(jié)點(diǎn)可以通過(guò)增加一個(gè)增益為1的支路變成為輸出節(jié)點(diǎn),且兩節(jié)點(diǎn)的變量相同。2x3x4xabcde1x x51u由傳遞函數(shù)框圖繪制信號(hào)流圖由傳遞函數(shù)框圖繪制信號(hào)流圖 信號(hào)流圖包含了傳遞函數(shù)框圖所包含的全部信息，在描述系統(tǒng)性能方面，其作用是相等的。但是，在圖形結(jié)構(gòu)上更簡(jiǎn)單方便?？驁D： 輸入量比較點(diǎn)引出點(diǎn)方框輸出量信流圖： 源節(jié)點(diǎn)混合節(jié)點(diǎn)支路阱節(jié)點(diǎn)由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖繪制信號(hào)流圖的步驟 1）將方框圖的所有信號(hào)(變量)換成節(jié)點(diǎn)，并按方框圖的

41、順序分布好；2）用標(biāo)有傳遞函數(shù)的線段(支路)代替結(jié)構(gòu)圖中的方框。解：畫(huà)出系統(tǒng)的信流圖。 G1 1G6 6G7 7G2 2G3 3G5 5-H1 1-H2 2G4 4abcdR(s)C(s)注意：引出點(diǎn)和比較點(diǎn)相鄰的處理例 繪制下圖所示系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖對(duì)應(yīng)的信號(hào)流圖。abc( )R s( )C s2( )G s1( )G s3( )G s114( )G s( )H s1 將傳遞函數(shù)框圖的變量換成節(jié)點(diǎn)，并按傳遞函數(shù)框圖的順序分布好；解：2 用標(biāo)有傳遞函數(shù)的線段(支路)代替結(jié)構(gòu)圖中的函數(shù)方框。abc 輸入與輸出兩個(gè)節(jié)點(diǎn)間的傳遞函數(shù)可用下面的梅森公式來(lái)求?。簁kN1kp1Gm1m2m3mmm1LLL 式中：

42、信流圖的特征式 =1-(所有單獨(dú)回路增益之和)+(所有兩個(gè)互不接觸回 路 增益乘積之和)(所有三個(gè)互不接觸回路增益乘積 之和)+ 梅森公式 Pk N條前向通路中第k條前向通路的增益； k第k條前向通路余因式，即與第k條前向通路不接 觸部分的值； N 前向通路的總數(shù)。例 利用梅森公式，求：C(s)/R(s)。G1 1G6 6G7 7G2 2G3 3G5 5-H1 1-H2 2G4 4abcdR(s)C(s)解：畫(huà)出信號(hào)流圖G1 1G6 6G7 7G2 2G3 3G5 5-H1 1-H2 2G4 4abcdR(s)C(s)用梅森公式141L = G H 該系統(tǒng)中有四個(gè)獨(dú)立的回路：該系統(tǒng)中有四個(gè)獨(dú)立的回路：G1 1G6 6G7 7G2 2G3 3G5 5-H1 1-H2 2G4 4abcdR(s)C(s) 該系統(tǒng)中有四個(gè)獨(dú)立的回路：該系統(tǒng)中有四個(gè)獨(dú)立的回路：用梅森公式用梅森公式141L = G H2272 L = G G HG G1 1G G6 6G G7 7G G2 2G G3 3G G5 5-H-H1 1-H-H2 2G G4 4a ab bc cd dR(sR(s) )C(sC(s) ) 該系統(tǒng)中有四個(gè)獨(dú)立的回路：該系統(tǒng)中有四個(gè)獨(dú)立的回路：用梅森公式用梅森公式141L = G H2272 L = G G H36452L = G G G HG1 1G6 6G7 7G2 2G